譯者按

　　伯克霍夫是微分方程、動(dòng)力系統(tǒng)和混沌理論等領(lǐng)域的大家，在其中多有建樹(shù)，同時(shí)也繼承并發(fā)展了龐加萊在此的諸多研究工作。本文是伯克霍夫?qū)Α洱嫾尤R文集》第一卷的書(shū)評(píng)。在此文中，作者較為系統(tǒng)和具體地總結(jié)龐加萊的微分方程及相關(guān)研究；同時(shí)，此文還涉及龐加萊的微分方程研究與他的拓?fù)浜妥允睾瘮?shù)研究的相互關(guān)系。這對(duì)我們理解和探究龐加萊及其數(shù)學(xué)創(chuàng)造活動(dòng)整體有重要意義。

　　撰文 | 伯克霍夫（G. D. Birkhoff）

　　翻譯 | 金威

　　本書(shū)是《亨利·龐加萊文集》（The Collected Works of Henri Poincaré；以下簡(jiǎn)稱(chēng)《文集》）出版的第二本，文集中最先出版的是1916年出版的第二卷[1]。該卷收錄了他在一般自守函數(shù)領(lǐng)域的貢獻(xiàn)，而本卷則主要收錄他關(guān)于常微分方程、偏微分方程和線性差分方程的研究工作?！段募返木庉嬳樞蚺c龐加萊自己的論文集的《分析》（Analyse）部分[2]所載的順序一致。前兩卷中有關(guān)《分析》的內(nèi)容已經(jīng)在第一卷開(kāi)始時(shí)提及，這對(duì)讀者很有幫助。后續(xù)卷冊(cè)也將沿用類(lèi)似的編排計(jì)劃。

　　龐加萊非凡數(shù)學(xué)工作的起點(diǎn)是他于1878年在《綜合理工學(xué)院學(xué)報(bào)》（Journal de l'école Polytechnique）上發(fā)表的《關(guān)于微分方程定義的函數(shù)性質(zhì)的注記》（Note sur les propriétés des fonctions définies par les équations différentielles）。一個(gè)如下的一階常微分方程系統(tǒng)：

　　龐加萊便著手將這個(gè)線性偏微分方程作為理論基礎(chǔ)，研究系統(tǒng) (1) 在此類(lèi)奇點(diǎn)附近的解。

　　龐加萊在 1879 年完成的博士論文《關(guān)于由偏微分方程定義的函數(shù)的性質(zhì)》（Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles）中闡

　　如果這些限制條件未被全部滿(mǎn)足，則只能得到部分結(jié)果。事實(shí)上，在所有λi都相等的特殊情況下，龐加萊的方法就完全失效了。然而，龐加萊成功地探索了其中各種有啟發(fā)性的典型例子。對(duì)于其一般情況，盡管已取得了很大進(jìn)展，但迄今為止仍缺乏系統(tǒng)的處理方法。

　　隨著對(duì)系統(tǒng) (1) 的局部解的研究如此成功地開(kāi)始，龐加萊自然而然地將他的研究成果應(yīng)用于對(duì)大范圍內(nèi)實(shí)數(shù)解的研究，特別是在最簡(jiǎn)單的n=2的情況下，此時(shí)式 (1) 可以寫(xiě)為

　　他的偉大論文（memoir）《關(guān)于由微分方程定義的曲線》（Sur les courbes définies par des équations différentielles）分四部分發(fā)表在《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》（Journal de Mathématiques Pures et Appliquées，1881-1886年）[3]上，其中前三部分以精湛的方式論述了這類(lèi)方程。本論文的第四部分涉及n=3的類(lèi)似問(wèn)題。我們可以參考阿達(dá)馬（Hadamard）在1925年剛剛出版的《萊斯研究所講座》（Rice Institute Lectures）[4]中對(duì)這一工作的分析，讀者還可以在其中找到有關(guān)這一領(lǐng)域后續(xù)發(fā)展的參考文獻(xiàn)。在龐加萊對(duì)n=2的情況的處理中，最基本的是將(x,y)幾何地表示為平面或曲面上的一個(gè)點(diǎn)，而方程(3)則

　　龐加萊這篇論文的前三部分可視為最簡(jiǎn)單的實(shí)微分方程系統(tǒng)（即一階的單個(gè)方程）理論的基礎(chǔ)。事實(shí)上，它們可能永遠(yuǎn)是這一領(lǐng)域最重要的著作。拉格朗日（Lagrange）、雅可比（Jacobi）和其他數(shù)學(xué)家將注意力集中在可積情況上，或者至少滿(mǎn)足于通過(guò)已知的積分盡可能地降低階數(shù)。在天體力學(xué)領(lǐng)域，拉普拉斯（Laplace）和后來(lái)的理論天文學(xué)家一直滿(mǎn)足于使用形式級(jí)數(shù)作為系統(tǒng)計(jì)算的手段。但是，龐加萊是第一個(gè)從純粹數(shù)學(xué)的角度來(lái)探討不可積的微分方程系統(tǒng)的一般問(wèn)題的人。他在這一研究方向上對(duì)n=2的主要研究成果載于上述論文中。他后來(lái)在天體力學(xué)方面的大部分工作可被視為與n>2的特殊重要情況有關(guān)，特別是n減為3時(shí)的三體問(wèn)題。

　　即使在n=2的情況下，有趣的“位置分析學(xué)”（analysis situs）問(wèn)題[5]也呈現(xiàn)在龐加萊面前。一個(gè)重要的問(wèn)題是[6]：假設(shè)給定一個(gè)一對(duì)一的直接連續(xù)變換（direct continuous

　　解析時(shí)，龐加萊也未能證明上述粗體字部分的假設(shè)成立；盡管只要f(θ)是連續(xù)的，他就能證明該假設(shè)無(wú)需滿(mǎn)足。當(dāng)茹瓦（Denjoy）在1932年出色地解決了這個(gè)非常困難而又有趣的開(kāi)放問(wèn)題[7]，他證明如果f(θ)是連續(xù)的，并且全變差（total variation）有限[8]，那么該假設(shè)就會(huì)自動(dòng)成立。

　　正是由于龐加萊試圖處理n>3的情況，他才開(kāi)始了后來(lái)的位置分析學(xué)研究，因?yàn)樗约涸凇斗治觥分袑?xiě)道：“為了更進(jìn)一步，我必須創(chuàng)造一種幾何工具，而當(dāng)我希望深入到三維以上的空間時(shí)，卻缺乏這種工具。我這是促使我開(kāi)始研究位置分析學(xué)的主要原因?！贝送?，關(guān)于當(dāng)茹瓦解決的上述具體問(wèn)題，龐加萊實(shí)際上表明，他的一些結(jié)果與天體力學(xué)中已知事實(shí)之間的類(lèi)比，無(wú)疑會(huì)使他以后再回到這個(gè)問(wèn)題上來(lái)。因此，他在這篇論文中的研究直接導(dǎo)致了他后來(lái)在位置分析學(xué)和天體力學(xué)領(lǐng)域的基礎(chǔ)性工作。

　　龐加萊幾乎是同時(shí)開(kāi)始研究上述n=2,3兩種情況下的非線性常微分方程，以及n階線性常微分方程和差分方程的。事實(shí)上，雖然他關(guān)于線性微分方程和差分方程的第一篇論文發(fā)表在1883年的《美國(guó)數(shù)學(xué)雜志》（American Journal of Mathematics）上，但正如他自己所說(shuō)，大部分結(jié)果已經(jīng)包含在他1880年未獲獎(jiǎng)的論文中。富克斯（Fuchs）和其他人關(guān)于線性常微分方程的研究主要局限于正則奇點(diǎn)的情況——一種非常特殊的情況，而龐加萊則很好地處理了非正則奇點(diǎn)。在這方面，有必要提及物理學(xué)家斯托克斯（G. G. Stokes）在更早時(shí)（1857年）發(fā)表的一篇非常有啟發(fā)性的論文，題目為“關(guān)于出現(xiàn)在發(fā)散延拓中的任意常數(shù)的不連續(xù)性”(On the discontinuity of arbitrary constants which appear in divergent developments）[9]。斯托克斯在文中詳細(xì)研究了貝塞爾方程在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)的解的行為；該方程在無(wú)窮遠(yuǎn)處有一個(gè)非正則奇點(diǎn)。龐加萊似乎并不知道這篇極具啟發(fā)性的論文，因?yàn)樗麤](méi)有在任何地方提到過(guò)它。

　　龐加萊在這一領(lǐng)域的主要進(jìn)展是證明了在特定條件下，托梅（Thomé）和法布里（Fabry）的已知形式級(jí)數(shù)解代表了復(fù)平面的適當(dāng)部分（sector）處線性微分方程的實(shí)際解，與斯特林公式作為函數(shù) Γ(n)的漸近表示的意義相同。他在線性差分方程中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)類(lèi)似的結(jié)果。龐加萊在這一領(lǐng)域的論文為給出此類(lèi)線性方程的一般理論做出了巨大貢獻(xiàn)。然而，直到最近，這種方程的一般理論才得以發(fā)展。[10]

　　本卷的最后一篇論文是上文提到的那篇不太令人滿(mǎn)意的未獲獎(jiǎng)?wù)撐牡牡诙糠?，直?923年才在《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》上發(fā)表。在這里，我們發(fā)現(xiàn)了對(duì)以下問(wèn)題的初步處理：對(duì)一個(gè)具有多項(xiàng)式

　　線性獨(dú)立解，則x是z的亞純函數(shù)。這個(gè)問(wèn)題由富克斯在1880年提出并部分解決，而龐加萊的文章主要是對(duì)富克斯工作的評(píng)論（critique）。在這篇文章中，我們可以找到龐加萊在自守函數(shù)理論方面的研究成果，它收錄在《文集》第二卷中。

　　第一卷的讀者也將非常感謝德拉奇（Drach）教授所做的認(rèn)真且非常稱(chēng)職的修訂。

　　參考文獻(xiàn)及注釋

　　[1] 我也評(píng)論了該卷；見(jiàn)Bull. Amer. Math. Soc., Volume 40, Number 5 (1934), 363-366. 譯者注：中譯見(jiàn)返樸文章《伯克霍夫：龐加萊在自守函數(shù)領(lǐng)域的研究》。

　　[2] 譯者注：Analyse位于龐加萊文集的卷首。在此部分中，龐加萊扼要地將自己的文集分為七個(gè)領(lǐng)域：1. 微分方程；2. 函數(shù)的一般理論；3. 純數(shù)學(xué)雜項(xiàng)（代數(shù)、算術(shù)、群論、位置分析）；4. 天體力學(xué)；5. 數(shù)學(xué)物理學(xué)；6. 科學(xué)哲學(xué)；7. 教學(xué)、普及、雜項(xiàng)（參考文獻(xiàn)、各類(lèi)報(bào)告）。

　　[3] 譯者注：Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 是世界上第二古老、且仍持續(xù)出版的數(shù)學(xué)期刊。它由法國(guó)數(shù)學(xué)家約瑟夫·劉維爾（Joseph Liouville，1809-1882）創(chuàng)立，自 1836 年起在巴黎出版，其影響力極大地刺激了 19 世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)的氣氛。因此在此處該雜志被稱(chēng)為“劉維爾的雜志”（Liouville's Journal），以表示對(duì)他的紀(jì)念。

　　[4] The later scientific work of Henri Poincaré, Rice Institute Pamphlets,vol. 20 (1933).

　　[5] 譯者注：即“拓?fù)鋵W(xué)”的原名。

　　[6] 見(jiàn)其論文第三部分第15 章

　　[7] Sur les caractéristiques à la surface du tore, Comptes Rendus, vol. 194 (1932)

　　[8] 譯者注：即f為有界變差函數(shù)。

　　[9] Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 10.

　　[10] 可參見(jiàn)我與 Trjitzinsky 合著的文章, Analytic theory of linear difference equations, Acta Mathematica, vol. 60 (1932), 和另一篇 Trjitzinsky 的文章：Analytic theory of linear，在同刊的vol. 62。

　　本文譯自G. D. Birkhoff, The Work of Poincaré on Differential Equations, Bull. Amer. Math. Soc. 40(5): 363-366 (May 1934).