|作 者：曹則賢?

(中國(guó)科學(xué)院物理研究所)

本文選自《物理》2025年第9期

思維鋒利如刃，神情和藹可親。1)

摘要維格納深刻認(rèn)識(shí)到對(duì)稱(chēng)性之于物理學(xué)的意義，對(duì)發(fā)展群論的量子力學(xué)應(yīng)用做出了突出貢獻(xiàn)；特別地，他的工作解釋了為什么群論應(yīng)用于量子力學(xué)會(huì)比應(yīng)用于經(jīng)典力學(xué)能得到更多的結(jié)果。1925年維格納甫一出道即提出量子能級(jí)必有自然寬度，其硬性假設(shè)的關(guān)系式

h

后來(lái)被當(dāng)作能量—時(shí)間不確定性關(guān)系。維格納對(duì)物理學(xué)的貢獻(xiàn)是全面的，在數(shù)學(xué)物理、相對(duì)論、量子力學(xué)、粒子物理和固體物理方面都留下了個(gè)人印記。

關(guān)鍵詞對(duì)稱(chēng)性，群論，分子譜，能級(jí)寬度，維格納定理，Wigner—Eckard定理，Wigner—Seitz單胞

0 維格納其人簡(jiǎn)介

維格納(Eugene Paul Wigner，1902—1995)1902年出生于匈牙利布達(dá)佩斯。在5歲到10歲期間維格納念私塾，1912年到德語(yǔ)學(xué)校Lutheran gymnasium上學(xué)。維格納1920年中學(xué)畢業(yè)后，為了日后的掙錢(qián)大業(yè)，決定選擇讀化工專(zhuān)業(yè)。1920—1921年間維格納在布達(dá)佩斯大學(xué)學(xué)了一年化工，第二年轉(zhuǎn)學(xué)到德國(guó)的柏林技校(die Technische Hochschule Berlin)，因?yàn)槟抢锏幕瘜W(xué)比較強(qiáng)。在柏林求學(xué)期間，維格納對(duì)數(shù)學(xué)和物理的熱情不減，在那里他試圖學(xué)到更多的理論物理，幸好不遠(yuǎn)處就是柏林大學(xué)，當(dāng)時(shí)那里有普朗克、愛(ài)因斯坦和勞厄等人。1924年，維格納從柏林技校畢業(yè)，本科論文(Diplomarbeit)是關(guān)于crystal structure of rhombic sulphur (硫的菱方晶體結(jié)構(gòu))。晶體是原子對(duì)稱(chēng)排列的固體，維格納的本科論文工作奠立了他一生工作的基調(diào)：對(duì)稱(chēng)性。

維格納大學(xué)畢業(yè)后在柏林技校接著跟Michael Polanyi(1891—1976)攻讀化工博士，論文題目為Bildung und Zerfall von Molekülen(分子的形成與分解)。他們?cè)谘芯吭优c激發(fā)態(tài)分子的平衡中注意到，量子能級(jí)不是絕對(duì)確切的，而是有一定的寬度。與此相對(duì)，角動(dòng)量卻有確定的值(the electron’s angular momentum had its definite value)。1925年，維格納獲得工學(xué)博士學(xué)位，成了Dr. Ing. Wigner {Dr. Ing.是博士工程師的縮寫(xiě)。1923年，Dr. Ing. Rudolf Plank為我國(guó)帶來(lái)了熵的概念，他被訛傳成了I. R. 普朗克。參見(jiàn)拙著《物理學(xué)咬文嚼字》卷一}。

圖1　維格納(1902—1995)

維格納博士畢業(yè)后回到布達(dá)佩斯，進(jìn)了皮革廠(圖1)。不過(guò)，他訂了份德語(yǔ)物理雜志

Zeitschrift für Physik

。在這份雜志上，維格納讀到了玻恩和約當(dāng)關(guān)于矩陣力學(xué)的文 章。{It was there that he first read the article by Born and Jordan on matrix mechanics. 這是我讀到的極罕見(jiàn)的忠實(shí)于史實(shí)的關(guān)于矩陣力學(xué)的描述！}維格納因?yàn)檠芯窟^(guò)晶體，懂矩陣，他輕松看懂了玻恩—約當(dāng)?shù)木仃嚵W(xué)論文以及接下來(lái)的玻恩—海森堡—約當(dāng)那一篇。他當(dāng)時(shí)的知識(shí)可以計(jì)算(電子的)能級(jí)以及描述躍遷。

維格納的導(dǎo)師Polanyi惜才，把他推薦給了柏林技校的新任理論物理教授Richard Becker做助手。在接下來(lái)的一段時(shí)間里，他的三篇關(guān)于量子力學(xué)的論文讓他名聲鵲起。1927年底，維格納受邀到哥廷恩給希爾伯特當(dāng)助手，對(duì)于技校畢業(yè)的年輕學(xué)者來(lái)說(shuō)這得算是一步登天。{一剎那間，筆者覺(jué)得登堂入室有了具象}。不過(guò)此時(shí)希爾伯特已經(jīng)病得很厲害了，和維格納沒(méi)有多少學(xué)術(shù)上的合作。在哥廷恩，維格納認(rèn)識(shí)了玻恩、約當(dāng)與弗蘭克等人，和約當(dāng)成了親密的合作者。1928年，維格納回到柏林技校任私俸講師，1930年成了那里的編外教授(au?erordentlicher Professor)。在1929年底維格納就收到了普林斯頓大學(xué)的邀請(qǐng)，柏林技校也為他提供了半時(shí)聘任。維格納1930年到普林斯頓大學(xué)工作，1935年在威斯康星大學(xué)謀得全職教授的位，1937年加入美國(guó)籍。在1932年原子核的質(zhì)子加中子模型被提出來(lái)后，維格納轉(zhuǎn)向原子核物理的研究，并做出了突出貢獻(xiàn)。維格納于1938年獲聘普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)物理教授，此后參與了曼哈頓計(jì)劃，二戰(zhàn)后繼續(xù)研究相對(duì)論量子力學(xué)。

1維格納的量子力學(xué)著作

維格納的“群論及其在原子譜量子力學(xué)中的應(yīng)用”(Eugene P. Wigner, Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atomspektren, Vieweg (1931). 有英文版 Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra) 一書(shū)是最早的那批量子力學(xué)著作之一，其對(duì)量子力學(xué)的推廣與應(yīng)用具有重要的意義(圖2)。維格納的散文集 Symmetries and reflections (The MIT Press，1970)也有一些值得關(guān)注的相關(guān)內(nèi)容。

圖2　維格納著

Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atomspektren

維格納發(fā)表了眾多有價(jià)值的數(shù)學(xué)與物理研究論文，其中與量子力學(xué)有關(guān)的論文大致羅列如下：

(1) M. Polanyi, Eugene Wigner, Bildung und Zerfall von Molekülen (分子的形成與分解)，

Zeitschrift für Physik

33, 429 — 434 (1925).

(2) Eugene P. Wigner, über nicht kombinierende Terme in der neueren Quantentheorie (論新量子論中的非組合項(xiàng)), Zeitschrift für Physik 40，492—500(1926)；40, 883—892(1927).

(3) Eugene P. Wigner, Einige Folgerungen aus der Schr?dingerschen Theorie für die Termstrukturen (關(guān)于項(xiàng)結(jié)構(gòu)基于薛定諤理論的一些推論)，

Zeitschrift für Physik

43, 624 — 652 (1927).

(4) Eugene P. Wigner, über die Erhaltungss?tze in der Quantenmechanik (論量子力學(xué)中的守恒律),

Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen

, Mathematisch-Physikalische Klasse

, 375— 381 (1927).

(5) John von Neumann, Eugene P. Wigner, Zur Erkl?rung einiger Eigenschaften der Spektren aus der Quantenmechanik des Drehelektrons (基于轉(zhuǎn)動(dòng)電子的量子力學(xué)對(duì)譜性質(zhì)的解釋), Zeitschrift für Physik 47, 203—220 (1928); 49, 73—94(1928); 51, 844—858 (1928).

(6) Pascual Jordan, Eugene P. Wigner, über das Paulische ?quivalenzverbot (論泡利的等價(jià)禁制),

Z

eitschrift für Physik

47, 631 — 651 (1928).

(7) Eugene P. Wigner, E. E. Witmer, über die Struktur der zweiatomigen Molekelspektren nach der Quantenmechanik (依據(jù)量子力學(xué)的雙原子分子譜結(jié)構(gòu)), Zeitschrift für Physik 51, 859—886 (1928).

(8) John von Neumann, Eugene P. Wigner, über merkwürdige diskrete Eigenwerte (論值得關(guān)注的分立本征值), Physikalische Zeitschrift 30, 465—467 (1929).

(9) John von Neumann, Eugene P. Wigner, über das Verhalten von Eigenwerten bei adiabatischen Prozessen (論非渡越過(guò)程本征值的行為), Physikalische Zeitschrift 30, 467—470 (1929).

(10) Eugene P. Wigner, über die elastischen Eigenschwingungen symmetrischer Systeme (對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的彈性本征振動(dòng))，Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen, Mathematisch Physikalische Klasse, 133—146 (1930).

(11) V. Weisskopf, Eugene P. Wigner, Berechnung der natürlichen Linienbreite auf Grund der Diracschen Lichttheorie (基于狄拉克光理論的自然線寬計(jì)算), Zeitschrift für Physik 63, 54—73 (1930).

(12) V. Weisskopf, Eugene P. Wigner, über die natürliche Linienbreite in der Strahlung des harmonischen Oszillators (論諧振子輻射的自然線寬), Zeitschrift für Physik 65, 18—29 (1930).

(13) Eugene P. Wigner, über eine Versch?rfung des Summensatzes (對(duì)求和規(guī)則的明確), Zeitschrift für Physik 32, 450—453 (1931).

(14) Eugene P. Wigner, über die Operation der Zeitumkehr in der Quantenmechanik (論量子力學(xué)中的時(shí)間反演操作), Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 546—559 (1932).

(15) E. Wigner, F. Seitz, On the Constitution of Metallic Sodium, Physical Review 43, 804—810 (1933).

(16) R. D?pel, K. Gailer, Eugene P. Wigner, über die experimentelle Prüfung des Spinerhaltungssatzes (自旋守恒定律的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證), Physikalische Zeitschrift 35, 336—337 (1934).

(17) Pascual Jordan, John von Neumann, Eugene P. Wigner, On an Algebraic Generalization of the Quantum Mechanical Formalism, Annals of Mathematics 35, 29—64 (1934).

(18) J. O. Hirschfelder, Eugene P. Wigner, Separation of Rotational Coordinates from the Schrodinger Equation for N Particles, PNAS 21, 113—119 (1935).

(19) Eugene P. Wigner, On Unitary Representations of the Inhomogeneous Lorentz Group, Annals of Mathematics 40, 149—204 (1939).

(20) Eugene P. Wigner, On Representations of Certain Finite Groups, American Journal of Mathematics 63, 57—63 (1941).

(21) Eugene P. Wigner, Relativistische Wellengleichungen (相對(duì)論波方程), Zeitschrift für Physik 124, 665—684 (1948).

(22) V. Bargmaim, Eugene P. Wigner, Group Theoretical Discussion of Relativistic Wave Equations, PNAS 34, 211—223 (1948).

(23) T. D. Newton, Eugene P. Wigner, Localized States for Elementary Systems, Reviews of Modern Physics 21, 400—406 (1949).

(24) Eugene P. Wigner, Do the Equations of Motion Determine the Quantum Mechanical Commutation Relations? Physical Review 77, 711—712(1950).

(25) Eugene P. Wigner, On a Class of Analytic Functions from the Quantum Theory of Collisions,

Annals of Mathematics

53, 36 — 67 (1951).

(26) Eugene P. Wigner, Derivative Matrix and Scattering Matrix, Revista Mexicana de Fisica 1, 91—101 (1952).

(27) E. In?nü, Eugene P. Wigner, Representations of the Galilei Group, Il Nuovo Cimento 9, 705—718 (1952).

(28) Eugene P. Wigner, Application of the Rayleigh-Schrodinger Perturbation Theory to the Hydrogen Atom, The Physical Review 94, 77—78 (1954).

(29) Eugene P. Wigner, Conservation Laws in Classical and Quantum Physics, Progress of Theoretical Physics 11, 437—440 (1954).

(30) Eugene P. Wigner, John von Neumann, Significance of Loewner’s Theorem in the Quantum Theory of Collisions, Annals of Mathematics 59, 418—433 (1954).

(31) Eugene P. Wigner, Relativistic Invariance in Quantum Mechanics, Il Nuovo Cimento (X) 5, 517—532 (1956).

(32) Eugene P. Wigner, Relativistic Invariance of Quantum-Mechanical Equations, Helvetica Physica Acta, Suppl. 4, 210—226 (1956).

與外爾、馮·諾伊曼的數(shù)學(xué)物理成就相比，維格納的研究更偏物理一些，特別是后期的一些工作，然而終不脫用數(shù)學(xué)這種小無(wú)相功催動(dòng)相對(duì)論、量子力學(xué)招式的窠臼。

2維格納對(duì)量子力學(xué)的貢獻(xiàn)

2.1 分子的形成與分解

維格納1925年的博士論文同年由導(dǎo)師Michael Polanyi與維格納聯(lián)名發(fā)表在

Zeitschrift für Physik

雜志上，這讓我們有幸一睹這篇?dú)v史性文獻(xiàn)的面目。

碰撞單元之間的相對(duì)能量恰好是待形成的分子的量子許可能量值，這是無(wú)限不可能的(undlich unwahrscheinlich ist)。若一個(gè)原子或分子吸附在固體上，其允許具有的能量值是一個(gè)連續(xù)的流形(eine kontinuierliche Mannigfaltigkeit von Energiewerten)，就沒(méi)這個(gè)問(wèn)題了[見(jiàn)Max Born, James Franck, Bemerkungen über die Dissipation der Reactio nsw?rme ( 關(guān)于反應(yīng)熱耗散的說(shuō)明 ),

Annalen der Physik

76, 225—230(1925)]。維格納的這篇文章則是就著分子形成之結(jié)合過(guò)程加上接下來(lái)的自發(fā)衰減過(guò)程自身討論問(wèn)題。為此引入的觀點(diǎn)是，量子態(tài)有有限的寬度(die Quantenst?nde eine endliche Breite haben)，因此具有量子化能量的碰撞單元也會(huì)有有限的概率碰到一起形成分子。所謂自發(fā)衰減過(guò)程{如今會(huì)用弛豫過(guò)程這個(gè)概念}是受不久前發(fā)現(xiàn)的俄歇(Pierre Auger, 1899—1993)過(guò)程的啟發(fā)。一個(gè)被X射線撕去一個(gè)，比如

K

層的，電子的原子，會(huì)從比如

L

層發(fā)射出一個(gè)電子，而為此所需的能量是另一個(gè)電子自

L

層向

K

層躍遷所獲得的能量提供的{萬(wàn)幸筆者玩過(guò)多年的俄歇譜}。

為了湊出原子結(jié)合形成分子的熱平衡圖像，用前述的被撕去一個(gè)

K

層電子的原子(一價(jià)離子)作為研究對(duì)象，研究的是電子和二價(jià)離子同一價(jià)離子之間的熱平衡問(wèn)題。二價(jià)離子同電子相遇時(shí)，假設(shè)相對(duì)動(dòng)能(die Energie der Relativbewegung)落在(二價(jià)離子的)量子允許能量的?

大小的范圍內(nèi)，則會(huì)發(fā)生結(jié)合。

是表征一價(jià)離子分解成二價(jià)離子與電子的特征時(shí)間，表征分解的速率。計(jì)算時(shí)取

h

以便和線寬理論吻合(für

setzen wir nun in übereinstimmung mit der Theorie der Linienbreite

h

)。{此處關(guān)于線寬理論維格納引用的是Niels Bohr, über die Anwendung der Quantentheorie auf den Atombau ( 論量子論在原子構(gòu)造上的應(yīng)用 ) ，

Zeitschrift für Physik

13, 117—165(1923)一文。}

與此類(lèi)比建立起分子形成過(guò)程的圖像。必須強(qiáng)調(diào)一下，結(jié)合過(guò)程中的角動(dòng)量(守恒)律要求要取消。量子理論允許所產(chǎn)生的單元可擁有的角動(dòng)量只能是

h

/2

的整數(shù)倍(Es mu? hervorgehoben werden, da? hierdurch der Drehimpulssatz bei Rekombinationen aufgehoben wird. Die Quanten theorie erlaubt für den Drehimpuls des entstandenen Gebildes nur ganzzahlige Vielfache von

h

/2

). 關(guān)于分子形成的 假設(shè)如下：當(dāng)原子間具有的相對(duì)能量在

Q

+?

Q

之間，角動(dòng)量在與 之間，它們的復(fù)合就形成內(nèi)能為

，角動(dòng)量為 的分子 {

Q

是分子的分解熱，現(xiàn)在一般稱(chēng)為結(jié)合能}。此處?

通過(guò)方程?

ετ

h

相聯(lián)系(Dabei h?ngt ?

durch die Gleichung ?

ετ

h

mit

zusammen)，見(jiàn)圖3。

圖3 Polanyi—Wigner 1925年論文p.432上的截圖，有關(guān)系式?

ετ

h

關(guān)于維格納的這篇論文，容筆者斗膽評(píng)論幾句。這篇文章的意義在于注意到，若原子、分子所具有的是作為算符本征值那樣的分立能量與分立角動(dòng)量(0測(cè)度的存在)，如果還要求過(guò)程滿足能量守恒與動(dòng)量守恒，那么原子結(jié)合成分子這種事情就不會(huì)發(fā)生(0概率事件)。0測(cè)度的存在對(duì)應(yīng)0概率的事件，沒(méi)毛病。顯然，世界不是這樣的。為了調(diào)和這個(gè)矛盾，可以假設(shè)反應(yīng)前的能量在目標(biāo)能量的一定偏差范圍內(nèi)反應(yīng)即可以一定的概率發(fā)生，然后生成物中有個(gè)能量調(diào)節(jié)的過(guò)程，反正要使得能量守恒是滿足的。這是個(gè)很聰明的、也符合實(shí)際的模型。打個(gè)不太恰當(dāng)?shù)谋确?。設(shè)想你帶了98塊錢(qián)試圖購(gòu)買(mǎi)一件標(biāo)價(jià)100元的商品，嚴(yán)格的計(jì)劃經(jīng)濟(jì)下這筆交易成功的概率為0。但是，靈活的私營(yíng)經(jīng)濟(jì)就能允許它以一定的概率發(fā)生，比如賣(mài)家通過(guò)適當(dāng)降價(jià)的方式讓交易發(fā)生，且賣(mài)家通過(guò)后續(xù)的調(diào)賬(弛豫過(guò)程)讓賬面上是嚴(yán)格地能平賬的(滿足守恒律)。

這個(gè)工作的一個(gè)引人注意的地方是關(guān)系式?

ετ

h

，它后來(lái)被詮釋為海森堡的不確定性原理之能量—時(shí)間不確定性關(guān)系的前驅(qū)。然而，我們注意到，這里?

是反應(yīng)前的相對(duì)動(dòng)能與目標(biāo)能級(jí)之差，而不是有一個(gè)真實(shí)的能量寬度；

是表征分子分解為原子之速率的特征時(shí)間。用概率談?wù)摲纸馑俾?，就不得不引入壽命的概念。關(guān)系式?

ετ

h

(注意是等式！)是維格納硬寫(xiě)出來(lái)以便同玻爾的線寬理論相一致的。當(dāng)然，等到海森堡1927年的被當(dāng)作提出不確定性原理的論文出來(lái)以后，人們不顧物理理論自洽性與物理事實(shí)提出了很多稀奇古怪的能量—時(shí)間不確定性關(guān)系(參見(jiàn)拙著《物理學(xué)咬文嚼字》卷二)，其中和本文扯上關(guān)系的是所謂?

ετ

h

關(guān)系中?

被理解為能級(jí)寬度(譜線寬度)而

是激發(fā)態(tài)壽命。這個(gè)解釋的一個(gè)明顯缺陷是，譜線是涉及兩個(gè)能級(jí)的故事，而

作為壽命是單個(gè)能級(jí)的特征量。其實(shí)，所謂的能級(jí)壽命就是為了湊合關(guān)系?

ετ

h

而來(lái)的說(shuō)辭，沒(méi)有獨(dú)立的確認(rèn)能級(jí)壽命的程式。這是個(gè)永遠(yuǎn)沒(méi)有可能驗(yàn)證的雞—蛋關(guān)系。再者，能級(jí)寬度——在維格納這里還只是允許分子形成的前驅(qū)物之相對(duì)能量的范圍——同譜線寬度之間的直接等價(jià)只是對(duì)普朗克關(guān)系

hν

的濫用。電子躍遷產(chǎn)生的光譜線同兩個(gè)能級(jí)有關(guān)，即便固定終態(tài)能級(jí)，同一個(gè)線系的譜線寬度也沒(méi)表現(xiàn)出關(guān)系式?

ετ

h

所規(guī)定的單調(diào)關(guān)系。其實(shí)，只要能量算符解不出帶寬度的能量本征值，所謂的能量—時(shí)間不確定性關(guān)系就沒(méi)有任何存在依據(jù)。

2.2　群論在量子力學(xué)中的應(yīng)用

外維格納1925年回到柏林技校當(dāng)研究助手，期間和一位名叫G. Wessenberg的私俸講師一起工作。據(jù)說(shuō)如下的一段對(duì)話讓維格納回到了對(duì)稱(chēng)性研究。

Wessenberg：“… it’s a miracle that in a crystal the atoms are often arranged along the axis or plane of symmetry, why?”

Wigner：“I noticed that if you have an axis of symmetry, the potential is an extremum (a maximum or minimum), but the probability of its being a maximum is much larger, and a similar consideration applied to the plane of symmetry.”

Wessenberg：“Perhaps you are right, but it is important to give a more elegant demonstration!”

維格納認(rèn)識(shí)到了，就量子力學(xué)之于原子系統(tǒng)(單原子、分子、大塊物質(zhì))的應(yīng)用而言，關(guān)鍵的突破口是對(duì)稱(chēng)性。當(dāng)維格納認(rèn)識(shí)到對(duì)稱(chēng)性對(duì)新力學(xué)的意義時(shí)，他手邊還就有幫得上忙的參考書(shū)，即數(shù)學(xué)家韋伯(Heinrich Martin Weber，1842—1913)的Lehrbuch der Algebra(代數(shù)課本)，這個(gè)三卷本中的第二卷里有群論。

維格納開(kāi)始研究電子置換下原子波函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性(symmetry of atomic eigenfunctions under permutation of electrons)。海森堡研究了兩個(gè)電子的情形，維格納迅速給推廣到三電子以至更多電子的情形，當(dāng)然都沒(méi)考慮自旋。接下來(lái)維格納和馮·諾伊曼合作了三篇，用泡利理論處理了電子的自旋。到這時(shí)，維格納已經(jīng)成了用群論研究量子力學(xué)的先驅(qū)者，在柏林大學(xué)的勞厄教授的催促下，維格納寫(xiě)出了

Gruppentheorie und ihre Anwendung auf der Theorie der Atomspektren

這本經(jīng)典，1931年出版。

維格納對(duì)量子力學(xué)(應(yīng)用)的貢獻(xiàn)是典型的數(shù)學(xué)物理。他的《群論及其在原子譜量子力學(xué)上的應(yīng)用》，如人們所評(píng)價(jià)，是同類(lèi)三本經(jīng)典中(另外兩本是外爾和范德沃頓的)最接近應(yīng)用情景的、對(duì)量子力學(xué)的應(yīng)用推廣最有用的。這本書(shū)洋洋灑灑24章，從各章標(biāo)題我們正好可以一窺理解量子力學(xué)應(yīng)用于原子譜到底涉及哪些內(nèi)容：

I. Vektor und Matrizen (矢量與矩陣)

II. Verallgemeinerung (上一章內(nèi)容的推廣)

III. Hauptachesentransformation (主軸變換)

IV. Gundlagen der Quantenmechanik (量子力學(xué)基礎(chǔ))

V. St?rungstheorie (攝動(dòng)理論)

VI. Transformationstheorie und Grundlinien der Statistischen Deutung der Quantenmechanik (變換理論與量子力學(xué)統(tǒng)計(jì)詮釋的基本原理)

VII. Abstrakte Gruppentheorie (抽象群)

VIII. Normalteiler (正規(guī)子群)

IX. Allgemeine Darstellungstheorie ( 表示理論通論)

X. Kontinuierliche Gruppen (連續(xù)群)

XI. Darstellungen und Eigenfunktionen (表示與本征函數(shù))

XII. Algebra der Darstellungstheorie (表示論的代數(shù))

XIII. Die symmetrische Gruppe (對(duì)稱(chēng)群)

XIV. Die Drehgruppen (轉(zhuǎn)動(dòng)群)

XV. Die Darstellungen der dreidimensionalen reinen Drehgruppe (三維純轉(zhuǎn)動(dòng)群的表示)

XVI. Die Darstellungen des direkten Produktes (分立積的表示)

XVII. Die Grundzüge der Atomspektren (原子譜的特征)

XVIII. Auswahlregeln und die Aufspaltung der Spektrallinien (選擇定則與譜線劈裂)

XIX. Teilweise Bestimmung der Eigenfunktionen aus ihren Transforamtionseigenschaften (用變換性質(zhì)部分確立本征函數(shù))

XX. Das Drehelektron (轉(zhuǎn)動(dòng)原子)

XXI. Die Gesamtquantenzahl (總量子數(shù))

XXII. Die Feinstruktur der Spektrallinien (譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu))

XXIII. Auswhal-und Intensit?tsregeln bei Mitberücksichtigung des Spins (納入自旋考量的選擇定則與強(qiáng)度規(guī)則)

XXIV. Das Aufbauprinzip (構(gòu)造原理)

維格納的這本書(shū)提供了對(duì)量子力學(xué)中的對(duì)稱(chēng)性觀念的基本分析，他將那些思考的中間過(guò)程盡可能地掰開(kāi)揉碎了講清楚，努力想讓數(shù)學(xué)功底不深的讀者“感到輕松自在(sich zu Hause fühlen)”。他讓人們看到群論應(yīng)用于量子力學(xué)會(huì)比應(yīng)用于經(jīng)典力學(xué)能得到更多的結(jié)果。對(duì)于我們這些智力與基礎(chǔ)雙虧的原子物理與量子力學(xué)修習(xí)者，這真是一本難得的入門(mén)參考書(shū)。當(dāng)然，這本書(shū)對(duì)數(shù)學(xué)功底的挑戰(zhàn)也不容小覷，至少關(guān)于維格納定理及其證明這些群論知識(shí)就不是筆者這樣的學(xué)習(xí)者容易弄懂的。

解量子力學(xué)的微分方程一般都會(huì)遭遇極大的困難，直接計(jì)算只能得到粗略的近似，萬(wàn)幸的是，很大一部分的量子力學(xué)結(jié)果僅憑對(duì)稱(chēng)性考慮就能得到(ein so gro?er Teil der quantenmechanischen Resultate schon durch reine Symmetrieüberlegungen erhalten werden kann)。對(duì)用群論處理薛定諤方程的做法，有人認(rèn)為它是非物理的。維格納說(shuō)，“我倒是覺(jué)得，有意識(shí)地運(yùn)用基本的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)要比計(jì)算更加對(duì)應(yīng)物理感覺(jué)(Es scheint mir aber, da? die bewu?te Ausnutzung elementarer Symmetrieeigenschaften dem physikalischen Gefühl eher entsprechen mu?, als die mehr rechnerische Behandlung)”?！八?群論)由大量的相當(dāng)不明顯的結(jié)論組成，盡管單個(gè)看來(lái)是平凡的，但其作為一個(gè)整體就不可無(wú)視了(Sie besteht n?mlich aus einer gro?en Zahl unscheinbarer Schlüsse, die zwar einzeln betrachtet trivial, in ihrer Gesamtheit aber doch nicht so leicht zu überblicken sind)”。對(duì)數(shù)學(xué)之美以及物理感覺(jué)這種抽象品質(zhì)的強(qiáng)調(diào)，是維格納的科學(xué)研究的特色。

2.3　Wigner—Eckart定理

維格納的另外一個(gè)成就是留下了Wigner—Eckart定理，這是群表示論的一個(gè)結(jié)果，從數(shù)學(xué)的角度看未必有多了不得，但是對(duì)于量子力學(xué)的應(yīng)用還是蠻重要的。Wigner—Eckart定理斷言，不可約張量算符關(guān)于角動(dòng)量本征態(tài)的矩陣元可以寫(xiě)成Clebsch—Gordan系數(shù)同一個(gè)不依賴(lài)于角動(dòng)量投影(即

m

值)的項(xiàng)之積，即

這個(gè)工作，一般文獻(xiàn)會(huì)回溯到“Carl Eckart, Some Studies Concerning Rotating Axes and Polyatomic Molecules, Physical Review 47, 552 —558 (1935)”一文，該文結(jié)尾提及維格納閱讀過(guò)稿件。然而，該文似乎并不是顯著地與這個(gè)定理有關(guān)，當(dāng)然可能是筆者理解不到位?！癊ugene P. Wigner, On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of S. R. Groups”一文對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)群(角動(dòng)量問(wèn)題)有詳細(xì)的介紹，此文成于1940年但未發(fā)表，后收錄入“L. C. Biedenharn, H. van Dam (eds.), Quantum Theory of Angular Momentum , Academic Press(1965)”一書(shū)。

2.4　維格納—塞茨單胞

我第一次知道維格納這個(gè)名字是在1985年，從固體物理課上學(xué)到的，見(jiàn)于維格納—塞茨單胞{其實(shí)我覺(jué)得不應(yīng)加這個(gè)“單”字}，當(dāng)然我那時(shí)沒(méi)管這個(gè)維格納是誰(shuí)。單胞，unit cell，是晶體的構(gòu)成單元，通過(guò)復(fù)制—平移充滿整個(gè)空間。一個(gè)只包含一個(gè)格點(diǎn)的特殊單胞稱(chēng)為元胞(primitive cell)。一塊晶體可以有無(wú)窮多種不同的元胞。維格納—塞茨胞是這樣的元胞，是通過(guò)弗羅諾伊(Георгий Феодосьевич Вороной，1868—1908)分割方法(Voronoi decomposition)構(gòu)造的，即從一個(gè)格點(diǎn)出發(fā)，向附近的格點(diǎn)連線，作連線的垂直平分線，垂直平分線所圍成的最小閉合空間就是維格納—塞茨胞，胞內(nèi)任意一點(diǎn)到此格點(diǎn)的距離比到其他格點(diǎn)都近。維格納—塞茨胞就是最小結(jié)界，看看烤面包(如果面包劑子是周期排列的，如果烤好的面包充滿整個(gè)烤盤(pán)的話)您就知道什么是維格納—塞茨胞啦。若格點(diǎn)是一個(gè)原子實(shí)，則維格納—塞茨胞就是圍繞原子實(shí)最近的、供電子占據(jù)的可重復(fù)空間。

圖4　截角八面體。它既是面心立方結(jié)構(gòu)的Wigner—Seitz單胞，也是Brillouin區(qū)，還是能充滿三維空間但表面積幾乎是最小的幾何體

維格納—塞茨胞是維格納和塞茨在1933年的論文中為解鈉晶體中電子的薛定諤方程而引入的。對(duì)于鈉晶體(面心立方晶體)，維格納—塞茨胞是截角八面體(truncated octahedron)，見(jiàn)圖4。維格納—塞茨用球?qū)亟前嗣骟w作近似，在表面上引入邊界條件
。有物理文獻(xiàn)說(shuō)，這是周期性邊界條件，筆者以為不確。這是由弗羅諾伊分割的規(guī)則決定的，即便旁邊的格點(diǎn)有偏移，即周期性破缺了，這個(gè)邊界條件也成立。我們的固體物理書(shū)說(shuō)不清楚這里的問(wèn)題，真讓人無(wú)語(yǔ)。

維格納他們當(dāng)年全憑一張紙、一支筆手算固體的能帶結(jié)構(gòu)，真令人佩服。一門(mén)學(xué)問(wèn)，如果不是親手感知，是難以有深刻體會(huì)的。

3多余的話

關(guān)于量子力學(xué)中的角動(dòng)量理論，特別指軌道角動(dòng)量的理論，長(zhǎng)期以來(lái)存在一些誤解及含混之處?；谖覀兇饲瓣P(guān)于“量子態(tài)矢是無(wú)量綱的”之認(rèn)識(shí)以及據(jù)此對(duì)狄拉克表示理論的討論等準(zhǔn)備性工作，本文給出軌道角動(dòng)量算符在算符—態(tài)矢體系中的表示，討論了與量子力學(xué)的軌道角動(dòng)量理論相關(guān)的問(wèn)題。波函數(shù)體系中的理論對(duì)于軌道角動(dòng)量存在誤解，根源在于一直把量子力學(xué)的波函數(shù)(概率幅)描述與態(tài)矢量描述完全等同起來(lái)。不能將量子力學(xué)中作用于波函數(shù)上的動(dòng)能算符(即數(shù)學(xué)意義的拉普拉斯算符)的角部分就當(dāng)作系統(tǒng)的軌道角動(dòng)量。一個(gè)具有三分量的對(duì)象，僅僅因?yàn)槠鋵?duì)易關(guān)系與空間轉(zhuǎn)動(dòng)的三個(gè)生成元之間的對(duì)易關(guān)系一致即被當(dāng)成角動(dòng)量，并認(rèn)為其本征值譜應(yīng)為(

l

m

)這樣的分立譜形式，有失嚴(yán)謹(jǐn)。利用嚴(yán)格可解的三維諧振子模型，我們證明了系統(tǒng)的定態(tài)并不必然還是軌道角動(dòng)量(J

維格納為錢(qián)財(cái)謀，青年時(shí)期修習(xí)化工專(zhuān)業(yè)于柏林技校至獲得博士學(xué)位(1925)，其間堅(jiān)持自學(xué)數(shù)學(xué)、物理熱情不減，略有小成，1927年竟至于被數(shù)學(xué)大神希爾伯特眷顧，招至哥廷恩當(dāng)研究助手。維格納自1925年開(kāi)始發(fā)表數(shù)學(xué)、物理研究論文，拋開(kāi)在純數(shù)學(xué)、相對(duì)論方面的成就不論，其關(guān)于量子力學(xué)的著述竟位列量子力學(xué)自開(kāi)創(chuàng)以來(lái)之第6(見(jiàn)本系列之?？似?，可見(jiàn)其在柏林技校(不是柏林大學(xué)！)還是學(xué)到了不少真數(shù)學(xué)與真物理的。與此相對(duì)，在世界太多的地方，即便名校宗師講壇也是連個(gè)野狐禪都聽(tīng)不到，殊為可嘆。饒你高聳入云，綿延千里，無(wú)神仙不算名山。聰穎少年們欲成棟梁之材，一要始終保持極高的求知熱忱，二要早成飽學(xué)之士，三要早得名師點(diǎn)化研習(xí)真經(jīng)，四要早歷研究劫難。非如此，不足以登堂入室。

追述維格納的成才經(jīng)歷，不得不說(shuō)，他這樣的大才一般的彎路都改變不了他成為數(shù)理巨擘的宿命。這可能與他們?cè)谥袑W(xué)就打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)有關(guān)。他上的布達(dá)佩斯德語(yǔ)學(xué)校短時(shí)期內(nèi)聚集了維格納、馮·諾伊曼、西拉德和泰勒四位火星人。有文獻(xiàn)稱(chēng)贊到，“His teachers were excellent there, eager to impart knowledge”。老師優(yōu)秀，而且還急切地想把知識(shí)給傳遞出去，那學(xué)生該是多么幸運(yùn)。那么他們那里的中學(xué)老師優(yōu)秀的標(biāo)準(zhǔn)是什么呢？維格納的數(shù)學(xué)老師創(chuàng)立中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，還寫(xiě) 書(shū)(He founded the Mathematics Journal for Secondary Schools and wrote books which elucidated the simplest solutions of the problems posed there) ；物理老師做漂亮演示實(shí)驗(yàn)還總是成功 (showed nice experiments and the experiments were always successful)，跟他讀了兩年中學(xué)物理后，維格納覺(jué)得柏林技校和柏林大學(xué)前兩年的物理課都不過(guò)是復(fù)習(xí)。

圖5　晚年的狄拉克與維格納

維格納和狄拉克同年，都是1902年出生的。到了1934年，狄拉克早已是出門(mén)帶光環(huán)的量子力學(xué)奠基人，還依然是個(gè)光棍。這一年，維格納介紹自己離婚的妹妹同狄拉克相識(shí)，1937年那兩人結(jié)婚，而維格納自己也是到了1936年才結(jié)婚。這兩位是立業(yè)成大家而后結(jié)婚成小家的典范，都被圈內(nèi)人稱(chēng)為strange man。狄拉克與維格納維持了一生的妹夫郎舅加好友的關(guān)系(圖5)，但似乎沒(méi)見(jiàn)共同署名的文章，也算是物理學(xué)史上的一段佳話。

注：1) J. Coleman 評(píng)維格納：a person with razor-sharp mind and of a kind and gentle spirit.

參考文獻(xiàn)

[1] Wightman A S(ed.). The Collected Works of Eugene Paul Wigner. Springer，Vol. I，1993；Vol. II，1996；Vol. III，1997；Vol. IV，1997；Vol. V，1992

[2] Mehra J(ed.). The Collected Works of Eugene Paul Wigner. Springer，Vol.VI，1995；Vol. VII，2001；Vol. VIII，1998

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[4] van der Waerden B L. Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik (量子力學(xué)中的群論方法). Springer，1932

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