對(duì)普通人來(lái)說(shuō)，三角學(xué)最常見(jiàn)的應(yīng)用是計(jì)算各種測(cè)量相關(guān)的問(wèn)題。
▲單位圓中的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)

但實(shí)際上，三角學(xué)的應(yīng)用遠(yuǎn)比我們想象的廣泛和深入，例如在音樂(lè)理論中的應(yīng)用；其他一些用途則更具技術(shù)性，比如在數(shù)論中的應(yīng)用。傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換等數(shù)學(xué)分支，都高度依賴(lài)于三角函數(shù)的知識(shí)，并廣泛應(yīng)用于包括統(tǒng)計(jì)學(xué)在內(nèi)的多個(gè)領(lǐng)域。

unsetunset托馬斯·潘恩的贊譽(yù)unsetunset

美國(guó)革命家與啟蒙思想家托馬斯·潘恩在其著作《理性時(shí)代》的第十一章中曾這樣描述三角學(xué)：

人類(lèi)預(yù)測(cè)日食或其他天體運(yùn)行的科學(xué)原理，核心藏在一門(mén)叫 “三角學(xué)” 的學(xué)問(wèn)里 —— 簡(jiǎn)單說(shuō)，就是研究三角形特性的科學(xué)。這門(mén)學(xué)問(wèn)應(yīng)用在不同領(lǐng)域，會(huì)有不同的名字：

• 當(dāng)它用來(lái)探索星空，就成了天文學(xué)；

• 當(dāng)它指引船只在海上航行，就成了航海學(xué)；

• 當(dāng)它輔助用直尺和圓規(guī)畫(huà)圖，就融入了幾何學(xué)；

• 當(dāng)它參與建筑的平面設(shè)計(jì)，就成了建筑學(xué)的工具；

• 當(dāng)它用來(lái)丈量地球表面的土地，就成了土地測(cè)量學(xué)。

說(shuō)到底，三角學(xué)就像科學(xué)的靈魂，它承載著人類(lèi)所說(shuō)的 “數(shù)學(xué)證明”，是永恒的真理。而它的用途之廣，至今仍有無(wú)數(shù)種的可能等待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。

unsetunset歷史上的重要應(yīng)用unsetunset 印度大三角測(cè)量

從 1802 年到 1871 年，英國(guó)在印度曾開(kāi)展了一項(xiàng)浩大的工程——印度大三角測(cè)量，目的是高精度測(cè)繪整個(gè)印度次大陸。

數(shù)學(xué)家和地理學(xué)家們從沿海的基線(xiàn)開(kāi)始，用三角測(cè)量法一步步“鋪”滿(mǎn)了這個(gè)國(guó)家的廣袤土地。這項(xiàng)工程最亮眼的成就之一，就是測(cè)出了喜馬拉雅山脈的高度，確認(rèn)了珠穆朗瑪峰確實(shí)就是地球的最高峰。

在乘法運(yùn)算中的歷史用途

1614 年對(duì)數(shù)發(fā)明前的 25 年里，“三角和差化積法”是當(dāng)時(shí)唯一能快速估算乘積的通用方法。它的巧妙之處在于：利用三角恒等式，把角度和與差的三角函數(shù)，轉(zhuǎn)換成這些角度各自三角函數(shù)的乘積——就這么一變，復(fù)雜的乘法問(wèn)題就成了簡(jiǎn)單的加減法。

unsetunset近現(xiàn)代應(yīng)用unsetunset
▲國(guó)際空間站上的加拿大臂 2 號(hào)（Canadarm2） 機(jī)械臂通過(guò)控制其關(guān)節(jié)角度進(jìn)行操作。計(jì)算宇航員在機(jī)械臂末端的最終位置需要反復(fù)使用這些角度的三角函數(shù)。

三角學(xué)遍布了科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，比如下面這些：

• 物理工程領(lǐng)域：聲學(xué)、建筑學(xué)、天文學(xué)、制圖學(xué)、土木工程、地球物理學(xué)、電氣工程、電子學(xué)、測(cè)量學(xué)

• 科學(xué)研究領(lǐng)域：結(jié)晶學(xué)、機(jī)械工程、醫(yī)學(xué)成像、海洋學(xué)、光學(xué)、藥理學(xué)、地震學(xué)

• 數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域：數(shù)論、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)

• 感知與藝術(shù)：視覺(jué)感知、音樂(lè)理論

不過(guò)要說(shuō)明一點(diǎn)，上述領(lǐng)域都涉及了三角學(xué)，不代表必須先精通三角學(xué)才能入門(mén)。但三角學(xué)知識(shí)的欠缺，有些內(nèi)容就肯定沒(méi)法完全弄懂。比如一位音樂(lè)教授可能不懂?dāng)?shù)學(xué)，卻多半知道——畢達(dá)哥拉斯是最早為音樂(lè)的數(shù)學(xué)理論添磚加瓦的人。

有些領(lǐng)域里，三角學(xué)的應(yīng)用很容易理解。比如航海和土地測(cè)量中，有時(shí)用的三角學(xué)知識(shí)特別基礎(chǔ)，初級(jí)課本里就能找到。

在音樂(lè)理論中，三角學(xué)的應(yīng)用能追溯到畢達(dá)哥拉斯的研究：他最早發(fā)現(xiàn)，兩根弦被撥動(dòng)時(shí)，如果長(zhǎng)度是某個(gè)共同長(zhǎng)度的小整數(shù)倍，聲音就會(huì)很和諧。而振動(dòng)的弦，形狀和正弦函數(shù)圖像驚人地相似——這可不是巧合。

海洋學(xué)里也一樣：有些波浪的形狀和正弦函數(shù)圖像像“雙胞胎”，背后藏著必然聯(lián)系。在氣候?qū)W、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域，還有很多季節(jié)性的周期現(xiàn)象，研究它們時(shí)，總少不了正弦、余弦函數(shù)的周期性幫忙。

傅里葉級(jí)數(shù)

不少領(lǐng)域?qū)θ菍W(xué)的應(yīng)用更“高級(jí)”，復(fù)雜到一篇文章說(shuō)不完。這些應(yīng)用常和“傅里葉級(jí)數(shù)”有關(guān)——這是以 18 到 19 世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家約瑟夫·傅里葉命名的概念。

傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用范圍廣得驚人，尤其在涉及季節(jié)性周期現(xiàn)象和波形運(yùn)動(dòng)的領(lǐng)域。比如輻射、聲學(xué)、地震學(xué)、無(wú)線(xiàn)電波調(diào)制、電力工程等，都少不了它。

傅里葉級(jí)數(shù)是一種無(wú)窮級(jí)數(shù)，長(zhǎng)這樣：

式子里的每個(gè)方框（ ）都代表不同的數(shù)字（也就是系數(shù)），整個(gè)級(jí)數(shù)是無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)加起來(lái)的結(jié)果。傅里葉最早用它研究熱流和擴(kuò)散現(xiàn)象——比如把方糖放進(jìn)一加侖水里，糖會(huì)慢慢散開(kāi)；污染物在空氣中擴(kuò)散；或者任何溶解物在液體中散開(kāi)的過(guò)程，都能用它分析。

傅里葉級(jí)數(shù)還能用到看似和波動(dòng)無(wú)關(guān)的領(lǐng)域。比如數(shù)字壓縮技術(shù)：圖像、音頻、視頻數(shù)據(jù)能被壓得更小，方便通過(guò)電話(huà)、網(wǎng)絡(luò)、廣播傳輸，這些技術(shù)背后就有它的功勞。其他應(yīng)用還有幾何數(shù)論、等周問(wèn)題、隨機(jī)游走的重現(xiàn)、二次互反律、中心極限定理、海森堡不等式等。

傅里葉變換

傅里葉變換比傅里葉級(jí)數(shù)更抽象，它用積分代替求和，應(yīng)用領(lǐng)域同樣廣泛。很多自然規(guī)律可以表述為“量的變化率和量本身相關(guān)”，比如人口變化率，可能和當(dāng)前人口數(shù)量、人口與環(huán)境承載能力的差額都成正比——這就是“微分方程”。

如果想把人口表示成時(shí)間的函數(shù)，其實(shí)就是在“解”這個(gè)微分方程。傅里葉變換能把某些微分方程變成代數(shù)方程，而代數(shù)方程的解法早就被人們掌握了。它的用途太多了：幾乎所有提到“頻譜”“諧波”“共振”的科學(xué)場(chǎng)景，都和傅里葉變換或傅里葉級(jí)數(shù)脫不了干系。

統(tǒng)計(jì)學(xué)與心理學(xué)

智商（IQ）分布常被說(shuō)成“鐘形曲線(xiàn)”：曲線(xiàn)下約 40%的面積在 100 到 120 之間，對(duì)應(yīng)著約 40%的人 IQ 得分在這個(gè)區(qū)間；近 9%的面積在 120 到 140 之間，對(duì)應(yīng)著約 9%的人得分在此范圍，以此類(lèi)推。

很多事物都遵循這種“鐘形曲線(xiàn)”，比如物理測(cè)量中的誤差。為什么它這么普遍？背后的理論原因就和傅里葉變換有關(guān)，自然也離不開(kāi)三角函數(shù)。這只是傅里葉變換在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用之一。此外，統(tǒng)計(jì)學(xué)家研究季節(jié)性周期時(shí)，也常常用傅里葉級(jí)數(shù)表示周期規(guī)律。

數(shù)論

三角學(xué)和數(shù)論之間，藏著一層微妙的聯(lián)系。簡(jiǎn)單說(shuō)，數(shù)論研究的是數(shù)的“性質(zhì)”，而不是“大小”。

看一組分?jǐn)?shù)：

只保留那些已經(jīng)是最簡(jiǎn)形式的分?jǐn)?shù)，剩下這些：

再用三角學(xué)算個(gè)和：

結(jié)果是 -1。這是因?yàn)?42 有奇數(shù)個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)（42=2×3×7），且沒(méi)有重復(fù)。這個(gè)和其實(shí)就是 42 的莫比烏斯函數(shù)值——如果一個(gè)數(shù)有偶數(shù)個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)，和為 1；如果有重復(fù)質(zhì)因數(shù)（比如 60=2×2×3×5），和為 0。這個(gè)例子告訴我們，傅里葉分析也能用到數(shù)論里。

求解非三角方程

用三角學(xué)還能解很多種方程。

比如常系數(shù)線(xiàn)性差分方程或線(xiàn)性微分方程，它們的解可以用特征方程的特征值表示。如果有些特征值是復(fù)數(shù)，這些復(fù)數(shù)項(xiàng)能換成實(shí)變量的三角函數(shù)——這說(shuō)明變量會(huì)呈現(xiàn)振蕩行為。

再比如三次方程，如果有三個(gè)實(shí)數(shù)解，它的代數(shù)解里會(huì)有復(fù)數(shù)的立方根，用起來(lái)不方便。但有一種替代解法：用實(shí)變量的三角函數(shù)表示，處理起來(lái)簡(jiǎn)單多了。

來(lái)源：遇見(jiàn)數(shù)學(xué)

編輯：Decoherence

轉(zhuǎn)載內(nèi)容僅代表作者觀(guān)點(diǎn)

不代表中科院物理所立場(chǎng)

如需轉(zhuǎn)載請(qǐng)聯(lián)系原公眾號(hào)