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幾十年來，數(shù)學(xué)家們一直在努力理解那些既能反映有序性又能反映隨機(jī)性的矩陣，比如那些對半導(dǎo)體建模的矩陣。一種新的方法或許能改變這一現(xiàn)狀。

數(shù)學(xué)家們長期以來一直著迷于隨機(jī)性如何阻止電流流動，將粒子困在原地。

視頻源：Wei-An Jin / Quanta Magazine

作者：Leila Sloman（量子雜志特約記者）2025-8-15

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-8-18

初始謎團(tuán)是這樣的：1950年代，貝爾實(shí)驗(yàn)室的物理學(xué)家喬治·費(fèi)赫爾（George Feher）將少量其他元素（例如磷或砷）注入硅中。當(dāng)他注入少量元素時，電子可以在生成的材料中自由移動。但隨著他注入更多元素，材料的內(nèi)部結(jié)構(gòu)變得更加隨機(jī)，阻礙了電子的運(yùn)動。這種阻礙并非像人們預(yù)期的那樣逐漸發(fā)生，而是在濃度超過特定點(diǎn)時突然發(fā)生，將電子困在里面。然后，電子的運(yùn)動就完全停止了。

“它之前導(dǎo)電，導(dǎo)電，導(dǎo)電，然后就不再導(dǎo)電了，”倫敦國王學(xué)院的物理學(xué)家 揚(yáng)·費(fèi)奧多羅夫（Yan Fyodorov）說。耐人尋味的是，這種行為的急劇變化讓人聯(lián)想到相變，比如零攝氏度時水突然結(jié)冰?！拔锢韺W(xué)家喜歡相變，”費(fèi)奧多羅夫說。

很快，貝爾實(shí)驗(yàn)室的另一位物理學(xué)家菲利普·W·安德森（Philip W. Anderson）建立了一個模型來描述這種令人費(fèi)解的行為。他希望嚴(yán)格證明他的模型與費(fèi)赫爾的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。也就是說，他想證明，一旦一種材料的結(jié)構(gòu)足夠隨機(jī)，它的電子就會從自由移動（即“離域”delocalized）的狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橥耆础?strong>定域”localized）。

安德森后來獲得了諾貝爾獎，部分原因就是這項(xiàng)工作，正如他在諾貝爾演講中所述 https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/anderson-lecture-1.pdf ，他為尋找這一證明所做的努力使他“成了所有人的麻煩”。

但他最終還是無法給出嚴(yán)格的證明。

幾十年來，其他研究人員也一直未能解決這個問題，但在過去的一年里，研究人員發(fā)表了一系列成果 https://arxiv.org/abs/2501.01718 ，標(biāo)志著自1980年代以來該問題取得的最重大進(jìn)展 https://arxiv.org/abs/2503.07606 。

菲利普·W·安德森建立了一個描述半導(dǎo)體材料中電子行為的模型。從那時起，數(shù)學(xué)家們就一直希望證明它能夠準(zhǔn)確地反映實(shí)驗(yàn)中觀察到的某些特性。

圖源：Wikimedia Commons

他們的技術(shù)不僅有望用于分析像安德森這樣的電子行為模型，這項(xiàng)工作還觸及了長期以來對非完全隨機(jī)或非完全有序系統(tǒng)的探索。

“我真的很興奮，”哈佛大學(xué)的姚鴻澤說道，他職業(yè)生涯的大部分時間都在研究這個問題。談到這些具有挑戰(zhàn)性的模型，“我覺得這是我們第一次擁有一種能夠產(chǎn)生巨大影響的方法?！?/p>

厚薄之間

安德森將材料視為一個由電子可以隨機(jī)跳躍的點(diǎn)組成的網(wǎng)格。如果電子跳躍頻繁，材料就會導(dǎo)電。如果電子無法跳躍，材料就會絕緣。

為了理解電子的整體行為，你可以使用一個稱為矩陣的數(shù)字?jǐn)?shù)組來計(jì)算值列表。這些值列表被稱為特征函數(shù)（eigenfunction）。

在相對純凈的物質(zhì)中，幾乎所有特征函數(shù)的平均值都非常小。這說明電子跳躍到網(wǎng)格上不同位置的概率相對均等。它被離域化了（delocalized）。

安德森表示，對于描述具有足夠隨機(jī)性的材料的矩陣，每個特征函數(shù)應(yīng)該會發(fā)現(xiàn)它的一些值突然變得非常大，而其他值則降至零。這意味著電子現(xiàn)在被困在網(wǎng)格的特定區(qū)域中。它被定域化了（localized）。

問題在于，對于安德森使用的矩陣類型，計(jì)算特征函數(shù)非常困難。它們顯然超出了標(biāo)準(zhǔn)方法的范疇。

這就是帶狀矩陣發(fā)揮作用的地方。

“帶”（band）指的是矩陣對角線上散布的數(shù)字——這是安德森矩陣的標(biāo)志。如果矩陣中僅有的非零數(shù)字位于從左上角到右下角的線上，則該矩陣的帶寬為1。對角線上的其他非零數(shù)字會使帶寬增大。安德森模型中的矩陣總是具有非常薄的帶。這種薄矩陣的特征函數(shù)很難計(jì)算。

帶寬就像電子移動距離的反映：帶寬越大，電子就能傳送到網(wǎng)格上更遠(yuǎn)的點(diǎn)。（這雖然不是一個非?，F(xiàn)實(shí)的模型，但仍然很有用。）

姚鴻澤花了數(shù)十年時間研究矩陣中隨機(jī)性和有序性的相互作用。

圖源：姚鴻澤

在安德森矩陣中，有些元素是隨機(jī)的，有些則不是。但在1990年，物理學(xué)家注意到，所有元素均為隨機(jī)的帶狀矩陣也表現(xiàn)出定域化轉(zhuǎn)變：寬帶表示離域電子，窄帶表示定域電子。與安德森模型不同，這種轉(zhuǎn)變是緩慢的，而不是突然的。但研究人員仍然可以檢測到一個閾值——一個將離域態(tài)與定域態(tài)區(qū)分開來的帶寬。因此，與安德森模型一樣，數(shù)學(xué)家們想要精確地確定這個閾值。也就是說，他們想要找到一個盡可能窄的帶狀矩陣，使特征函數(shù)的值保持較小。

這仍然很難做到，因?yàn)閹г奖?，分析矩陣的特征函?shù)就越困難。但這可能比計(jì)算安德森薄帶矩陣的特征函數(shù)要容易。如果數(shù)學(xué)家們能夠證明這個新的閾值，或許能幫助他們理解那些更難的矩陣。

失控

發(fā)現(xiàn)帶狀矩陣轉(zhuǎn)變的物理學(xué)家們從一個更簡單的模型入手。他們設(shè)想了一種類似無限細(xì)的金屬絲的材料——這個問題的一維版本。然后，他們利用數(shù)值實(shí)驗(yàn)精確地確定了定域化和離域化之間的閾值。

但這些實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)證明不同?！八鼈兓谕耆皇芸刂频慕?，雖然看似合理，但通常很難做到嚴(yán)格，”日內(nèi)瓦大學(xué)的安蒂·諾爾斯（Antti Knowles）說道。因此，數(shù)學(xué)家們一直將帶狀矩陣列在他們的待辦事項(xiàng)清單上，希望將這些理論轉(zhuǎn)化為定理。姚鴻澤和他當(dāng)時的博士后尹?。↗un Yin）就是其中之一。

尹俊教授于2008年在普林斯頓大學(xué)物理系獲得博士學(xué)位后加入姚鴻澤團(tuán)隊(duì)。兩人最初從一維情況入手。到2013年，他們與諾爾斯和拉茲洛·埃爾德什（László Erd?s）合作，證明了 https://link.springer.com/article/10.1007/s00220-013-1773-3 一旦帶非常寬，大多數(shù)特征函數(shù)就會發(fā)生離域化。但這個寬度仍然遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于物理學(xué)家預(yù)測的閾值。

多年來，他們探索了各種各樣的方法，試圖證明特征函數(shù)在較小的帶寬下仍然保持較小。他們甚至嘗試了七維版本的問題 https://arxiv.org/abs/2104.12048 ，雖然這個設(shè)置與物理學(xué)關(guān)系不大，但他們希望從中得到一些數(shù)學(xué)上的啟發(fā)。

尹俊，前物理學(xué)家，最初希望專注于氣體的量子行為研究。但他很快被一個涉及隨機(jī)矩陣和半導(dǎo)體模型的新問題所吸引。

但經(jīng)過十年的努力，他們只距離目標(biāo)近了一點(diǎn)點(diǎn)。

他們似乎什么方法都試過了。然后，在2024年春天，他們意識到之前被否定的一種方法或許真的有用。

噩夢縈繞

姚鴻澤和尹俊最初否定的方法是隨機(jī)矩陣?yán)碚撝幸环N古老而老套的方法：仔細(xì)調(diào)整一個難以求解的矩陣，得到一個更容易處理的新矩陣。這將一個難題——研究帶狀矩陣的特征函數(shù)——變成了兩個更容易處理的問題。首先，數(shù)學(xué)家需要證明他們調(diào)整矩陣的方法不會對其特征函數(shù)產(chǎn)生太大的影響。然后，他們必須證明新矩陣的特征函數(shù)很小——電子是離域的。

然而，當(dāng)姚鴻澤和尹俊將這項(xiàng)技術(shù)應(yīng)用于帶狀矩陣時，他們?nèi)匀浑y以理解新矩陣的特征函數(shù)。他們已經(jīng)把分析推到最后一步：他們必須證明某個特定方程的解很小。

但在嘗試解這個方程時，兩人最終陷入了噩夢般的循環(huán)。他們非但沒有得到一個簡潔的答案，反而得到了一個新的、甚至更混亂的方程式。而當(dāng)他們試圖解這個方程時，得到的只是更難解的東西。

“計(jì)算越來越復(fù)雜了，你說，真的嗎？這就是你的方案？你從哪兒能解決？”尹俊說。

他花了幾個月的時間琢磨這些方程式，畫了200多頁圖，試圖理解它們?！跋敕ㄊ且稽c(diǎn)一點(diǎn)產(chǎn)生的，”他說，“要花很長時間才能弄清楚?！?/p>

經(jīng)過數(shù)月的艱苦探索，他和姚鴻澤找到了簡化方程的方法。這使得他們得以完成證明：他們證明， https://arxiv.org/abs/2501.01718 一旦帶寬略大于預(yù)測的閾值，特征函數(shù)的值就必須很小。電子必然處于離域狀態(tài)。

這是自安德森提出他的模型以來，對離域現(xiàn)象的最大證明。

十六個冬天

姚鴻澤和尹俊的證明處理的是一維模型。有了新的成果，他們立即著手解決高維帶狀矩陣的閾值問題。他們聘請了姚鴻澤的研究生索菲婭·杜波娃（Sofiia Dubova）和他的博士后凱文·楊（Kevin Yang）來協(xié)助。幾個月后，團(tuán)隊(duì)就能夠?qū)⒁櫇珊鸵〉募夹g(shù)應(yīng)用于電子在二維網(wǎng)格中跳躍的情況。上個月，姚鴻澤、尹俊、杜波娃和楊帆在三維情形下取得了重大進(jìn)展，https://arxiv.org/abs/2507.20274 而三維情形最能模擬我們的物理三維現(xiàn)實(shí)。

數(shù)學(xué)家們長期以來一直在努力理解那些帶有少量隨機(jī)性的矩陣。最近這一系列的研究為如何理解這些矩陣提供了新的見解。研究人員現(xiàn)在希望將姚鴻澤、尹俊和他們的同事開發(fā)的方法應(yīng)用到各種其他場景中?！盎旧?，人們可以定義并嘗試應(yīng)用這些技術(shù)的不同變體有無數(shù)種，”諾爾斯說。

索菲亞·杜波娃（上）和凱文·楊（下）利用概率論來了解電子如何在材料中卡住或脫離。

圖片由 Sofiia Dubova（左） 和 Serena Blacklow 提供

盡管如此，對于該領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家來說，利用帶狀矩陣?yán)斫獍驳律Ｐ偷那熬斑h(yuǎn)勝于任何其他目標(biāo)?！懊總€人都知道這些問題，而且它們無法通過傳統(tǒng)技術(shù)來解決，”哥倫比亞大學(xué)的阿莫爾·阿加瓦爾（Amol Aggarwal）說道。“現(xiàn)在它們能夠被理解，這讓人們對帶狀矩陣產(chǎn)生了極大的興趣?！?/p>

為此，尹俊和楊帆將他們的方法應(yīng)用于另一類與安德森模型更為相似的矩陣 https://arxiv.org/abs/2501.08608 。今年6月，拉茲洛·埃爾德什和沃洛迪米爾·里亞博夫發(fā)表了一篇論文，https://arxiv.org/abs/2506.06441 將姚鴻澤和尹俊的一維結(jié)果應(yīng)用于更廣泛的帶狀矩陣。他們的證明或許對更現(xiàn)實(shí)的電子行為模型有所裨益。

半個世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)家們第一次對解決安德森最初問題的前景感到充滿希望。回想起來，尹俊記得2008年他問過拉茲洛·埃爾德什，他們的團(tuán)隊(duì)能否在冬天結(jié)束前完成關(guān)于帶狀矩陣的論文?！八_玩笑說，哪個冬天？”尹俊說。“我沒想到竟然花了16個冬天才最終完成。”

參考資料

https://www.quantamagazine.org/new-physics-inspired-proof-probes-the-borders-of-disorder-20250815/

https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/anderson-lecture-1.pdf

https://arxiv.org/abs/2501.01718

https://arxiv.org/abs/2503.07606

https://link.springer.com/article/10.1007/s00220-013-1773-3

https://arxiv.org/abs/2104.12048

https://arxiv.org/abs/2507.20274

https://arxiv.org/abs/2501.08608

https://arxiv.org/abs/2506.06441

本文轉(zhuǎn)載自《zzllrr小樂》微信公眾號

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