《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 006

006.梅森數(shù)

什么是梅森數(shù)？

梅森數(shù)是指形如 2^p - 1 的數(shù)列，其中 p 取值為正整數(shù)中的所有素?cái)?shù)。例如，當(dāng) p 分別為 2、3、5、7等素?cái)?shù)時(shí)，得到的數(shù)列中的素?cái)?shù)，如 3、7、31、127等，這些數(shù)就被稱(chēng)為梅森數(shù)。常見(jiàn)的梅森數(shù)包括 2、3、5、7、13、19、31、61 等。

我們注意到，梅森數(shù)并非全都是素?cái)?shù)，其中還包含大量的合數(shù)。世界頂尖的數(shù)學(xué)家們主要關(guān)注以下兩個(gè)問(wèn)題：

1. 梅森數(shù)中的素?cái)?shù)是否無(wú)窮多？

2. 如何判斷一個(gè)數(shù)是否為梅森數(shù)，以及如何尋找梅森數(shù)？

歷史上的數(shù)學(xué)家們認(rèn)為這兩個(gè)問(wèn)題的解決極為困難，甚至連計(jì)算機(jī)也難以應(yīng)對(duì)。然而，借助我的Ltg-空間理論，這些問(wèn)題已被簡(jiǎn)化到初等水平。

我們使用Ltg-空間理論里面的2N+A(A=1,2)空間來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。

表格如下，

這個(gè)表格的主要性質(zhì)有：

1、 通過(guò)兩個(gè)等差數(shù)列2N+1和2N+2，可以涵蓋所有正整數(shù)。

2、 這個(gè)空間自然而然地與其他等差數(shù)列所形成的空間相互封閉。

3、 如此一來(lái)，每一個(gè)正整數(shù)，無(wú)論是合數(shù)還是素?cái)?shù)，都擁有了自己的坐標(biāo)，并與唯一的項(xiàng)數(shù)N相對(duì)應(yīng)。

4、 等差數(shù)列轉(zhuǎn)換成了初等函數(shù)的直線方程，完全符合該函數(shù)的所有特性。

5、合數(shù)項(xiàng)公式表達(dá)為：Nh = a(2b + 1) + b，其中a和b均大于或等于1。

第一個(gè)問(wèn)題：梅森數(shù)中的素?cái)?shù)是否無(wú)窮無(wú)盡？

我們分析2^p - 1 這一數(shù)列，發(fā)現(xiàn)除了2以外，其余所有數(shù)均為奇數(shù)，且均包含在 2N + 1 的形式中。基于此，我們可以得出結(jié)論：

梅森數(shù)中的素?cái)?shù)是無(wú)窮多的。

第二個(gè)問(wèn)題：如何尋找并判斷梅森數(shù)？

由于2^p - 1 均包含于2N + 1 中，因此可得：

2N + 1 = 2^p - 1

進(jìn)而推導(dǎo)出：

N = 2^{(p-1)} - 1 （公式1）

這個(gè)公式究竟代表什么含義？例如，我們選取素?cái)?shù) p = 3，那么相應(yīng)的梅森數(shù)等于 7，而7 在表格中對(duì)應(yīng)的位置是N = 3)。

也就是說(shuō)，無(wú)論我們選擇哪個(gè)素?cái)?shù) p ，都能確定梅森數(shù)所在的項(xiàng)數(shù) N ，而這個(gè) N 既可能是素?cái)?shù)項(xiàng) Ns)，也可能是合數(shù)項(xiàng) Nh。

通過(guò)使用我們的合數(shù)項(xiàng)公式\( Nh = a(2b + 1) + b)，其中a, b≥ 1 ，借助計(jì)算機(jī)可以生成一個(gè)龐大的表格，從而將合數(shù)項(xiàng)與素?cái)?shù)項(xiàng)一一標(biāo)注出來(lái)。

如此一來(lái)，我們便能輕松選取一個(gè)素?cái)?shù)p，進(jìn)而確定項(xiàng)數(shù)N，從而判斷相應(yīng)的數(shù)是否為梅森數(shù)。

我們還可以引入一個(gè)公式：

P =log2{(N+1)} + 1 （公式2）

這個(gè)公式有何用途？

在表格中任意選取一個(gè)素?cái)?shù)項(xiàng) Ns ，將其代入公式( P = log2{(N+1)} + 1) 中。如果公式有解，那么 2^P - 1 便必定是一個(gè)梅森數(shù)。

公式2，文本表達(dá)也困難。這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上涉及到了對(duì)數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)，而我個(gè)人在這一領(lǐng)域的學(xué)識(shí)和能力相對(duì)有限，因此對(duì)于這個(gè)具體的方法，我并沒(méi)有親自進(jìn)行過(guò)詳細(xì)的驗(yàn)證和推導(dǎo)。然而，從整體的解題思路以及所采用的大方向來(lái)看，我認(rèn)為其核心理念和邏輯路徑是基本正確的，能夠?yàn)榻鉀Q問(wèn)題提供一個(gè)合理的參考框架。

利用Ltg-空間理論來(lái)應(yīng)對(duì)這些歷史悠久、錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)論難題，竟然能夠如此輕松便捷！雖然我并非數(shù)學(xué)相關(guān)專(zhuān)業(yè)的科班出身，不具備使用各類(lèi)數(shù)學(xué)軟件的能力，也無(wú)法熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)、標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)公式以及規(guī)范的數(shù)學(xué)文本進(jìn)行表述，不過(guò)我的數(shù)學(xué)思維模式還是準(zhǔn)確無(wú)誤的，我在數(shù)學(xué)方面的敏銳洞察力和獨(dú)特靈感相較于其他人而言還是更為卓越突出的。

在此誠(chéng)摯地歡迎年齡在40周歲以下、有著數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)背景的人士，你們可以將我所撰寫(xiě)的文章內(nèi)容加以整理，按照數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)論文的格式梳理成包含定義、定理及其性質(zhì)等形式的學(xué)術(shù)論文并進(jìn)行發(fā)表，只要在論文中明確注明來(lái)源出處就可以了，我對(duì)這種做法表示由衷的歡迎，并且不會(huì)有任何追究的想法。

然而，我堅(jiān)決反對(duì)一切形式的剽竊與抄襲行為！

李鐵鋼2025年10月29日星期三 于保定市