導(dǎo)語

重整化群作為20世紀(jì)最具影響力的理論工具之一，已從量子場論擴(kuò)展至統(tǒng)計(jì)物理、非線性動(dòng)力學(xué)乃至人工智能領(lǐng)域。其核心思想是在多尺度系統(tǒng)中尋找普適規(guī)律與有效變量，正契合當(dāng)代科學(xué)對(duì)復(fù)雜性的理解需求。本期我們訪談北京郵電大學(xué)蘭岳恒教授來分享如何用重整化群來讀懂復(fù)雜系統(tǒng)。未來，若能將重整化群的理論深度與現(xiàn)代計(jì)算方法相結(jié)合，它將不僅是解釋自然規(guī)律的工具，也可能成為推動(dòng)人工智能與復(fù)雜系統(tǒng)研究前進(jìn)的重要?jiǎng)恿Α?/strong>

蘭岳恒丨受訪者

集智編輯部｜整理

目錄

1. 什么是重整化群？

2. 重整化群的發(fā)展脈絡(luò)如何？

3. 理解重整化群的關(guān)鍵是什么？

4. 重整化群在不同領(lǐng)域如何被應(yīng)用？

5. 重整化群下一步的發(fā)展是什么？

6. 重整化群與復(fù)雜系統(tǒng)有何聯(lián)系？

7. 請舉例說明重整化群，能在復(fù)雜系統(tǒng)發(fā)揮什么作用？

8. 目前重整化群應(yīng)用受限的原因是什么？

9. 復(fù)雜系統(tǒng)建模還有哪些，有潛力的理論？

認(rèn)識(shí)重整化群 | 不變性下的系統(tǒng)規(guī)則演化

Q1：什么是重整化群？

：重整化群（Renormalization Group）是一個(gè)發(fā)展歷史相當(dāng)悠久的理論，到現(xiàn)在大概已經(jīng)有七八十年的時(shí)間了。它最早起源于量子場論，研究的是物理體系在不同時(shí)間或空間尺度下，不同層次之間的關(guān)系。換句話說，它關(guān)注的是當(dāng)我們改變觀察尺度時(shí)，物理規(guī)律會(huì)以什么方式發(fā)生變化。這是傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)物理教材中的表述。但近年來，重整化群的思想有了新的發(fā)展。實(shí)際上，在任何連續(xù)群的框架下，我們都可以去看重整化群是如何起作用的。

Q2：重整化群的發(fā)展脈絡(luò)如何？

：重整化群最早是從量子場論中發(fā)展起來的。當(dāng)時(shí)人們在做微擾展開時(shí)發(fā)現(xiàn)積分項(xiàng)會(huì)發(fā)散，這是一個(gè)很大的問題。為了解決這個(gè)問題，他們提出了所謂的正則化（regularization）方法，通過改變積分的上下限，讓結(jié)果成為有限值。但這個(gè)有限值通常仍然很大，與微擾應(yīng)當(dāng)是“小修正”的要求不符。

于是人們想到，可以把這些微擾的值吸收到理論參數(shù)里去，這一過程就被稱為參數(shù)的重整化。后來人們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)過程可以形成一種系統(tǒng)的計(jì)算和分析框架，也就是重整化群。

最初，重整化群只是量子場論計(jì)算中的一個(gè)技巧，但后來它的思想被引入統(tǒng)計(jì)物理和凝聚態(tài)物理中。研究相變的人發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在標(biāo)度律（scaling law），Benjamin Widom 和 Leo Kadanoff 就借鑒了重整化群的思路，提出了“塊自旋”（block spin）的概念：把小尺度的自由度做平均，再把平均的效果反映到參數(shù)中，然后不斷重復(fù)這一過程。這樣就可以逐步簡化系統(tǒng)，理解臨界現(xiàn)象。

之后，Kenneth Wilson 對(duì)這一方法進(jìn)行了更系統(tǒng)的發(fā)展，并成功應(yīng)用于凝聚態(tài)物理的復(fù)雜計(jì)算中，取得了極其重要的成果，因此在1982年獲得了諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。后來，重整化群也被推廣到非平衡體系，比如動(dòng)力學(xué)重整化群（Dynamic RG）。

在1990年代，Nigel Goldenfeld 和日本學(xué)者 Oono（都在伊利諾伊大學(xué)香檳分校）把重整化群的思想引入到微分方程的分析中，寫了一系列非常精彩的文章。他們用重整化群統(tǒng)一了很多漸近分析的方法，使得整個(gè)理論在數(shù)學(xué)和動(dòng)力學(xué)層面上都得到了進(jìn)一步的發(fā)展。

Q3：理解重整化群的關(guān)鍵是什么？

：我學(xué)習(xí)重整化群大概花了十年以上。其實(shí)我很早就知道重整化群，也掌握量子場論和統(tǒng)計(jì)物理里的做法，但總覺得差那么一點(diǎn)，沒有真正理解。真正完全理解，是在我學(xué)習(xí)了微分方程中的重整化方法之后。那時(shí)我突然覺得明白了，再也不需要額外的概念幫助。

我當(dāng)時(shí)讀了一本印象非常深的書，Eugene Wigner 的 Group Theory and Its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra，對(duì)我理解重整化群幫助非常大。

如果讓我給出學(xué)習(xí)建議，我不建議從量子場論開始?？梢詮慕y(tǒng)計(jì)物理中的“塊自旋”模型（Kadanoff）入手，那是最直觀、最容易理解的途徑。接著，可以直接轉(zhuǎn)向微分方程中的重整化方法。那個(gè)領(lǐng)域的前置知識(shí)要求比較少，可以集中精力理解重整化群的本質(zhì)思想。

一旦在微分方程的框架下理解了重整化群，再回頭看場論或統(tǒng)計(jì)物理中的內(nèi)容，很多以前覺得復(fù)雜的地方都會(huì)變得清晰。當(dāng)然，如果真的要做計(jì)算，會(huì)很麻煩，比如圈圖展開等。但其實(shí)圈圖展開和重整化群可以毫無關(guān)系，只是當(dāng)年我也花了不少時(shí)間在上面。很多知識(shí)其實(shí)是繞遠(yuǎn)路的。動(dòng)力學(xué)的重整化群，反而讓你能更直接地理解核心思想。

Q4：重整化群在不同領(lǐng)域如何被應(yīng)用？

：重整化群最早用于量子場論，后來擴(kuò)展到統(tǒng)計(jì)物理、動(dòng)力學(xué)、甚至混沌理論。雖然這些領(lǐng)域表面上看差別很大，但它們背后的精神實(shí)質(zhì)是一致的。

總體上，重整化群的目標(biāo)是提取出系統(tǒng)中相關(guān)變量（relevant variables），即那些對(duì)目標(biāo)結(jié)果真正起作用的變量。通過提取這些變量并簡化體系，我們就能用更少的自由度描述系統(tǒng)的關(guān)鍵性質(zhì)。

不同領(lǐng)域的目標(biāo)雖然不同，但思路是一樣的。在統(tǒng)計(jì)物理中，目標(biāo)是保持配分函數(shù)不變；在量子場論中，是保持散射矩陣不變；在動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，則是保持最終狀態(tài)或軌跡不變。所以重整化群的方法本質(zhì)上是相同的，只是每個(gè)領(lǐng)域的“保持不變”的對(duì)象不一樣。

用重整化群理解復(fù)雜系統(tǒng)

Q5：重整化群下一步的發(fā)展是什么？

：下一步的進(jìn)展，一定是要和復(fù)雜系統(tǒng)的研究結(jié)合起來。也就是說，能不能用重整化群去解釋復(fù)雜系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，或者幫助我們更有效地進(jìn)行計(jì)算和分析。

復(fù)雜系統(tǒng)包括腦科學(xué)、人工智能、社會(huì)系統(tǒng)、生物生態(tài)系統(tǒng)等等。這些都是當(dāng)前科學(xué)中最復(fù)雜、最熱門的對(duì)象。如果重整化群能在這些系統(tǒng)中得到有效應(yīng)用，我認(rèn)為它會(huì)迎來新的發(fā)展階段。

目前，在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和腦科學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)有一些相關(guān)研究。尤其在人工智能中，研究者發(fā)現(xiàn)重整化群和深度學(xué)習(xí)之間存在精確的類比。例如，Restricted Boltzmann Machine（RBM）與重整化群可以一一對(duì)應(yīng)，這類研究已經(jīng)發(fā)表在 Nature Physics 等期刊上。對(duì)于更一般的深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)，也可以找到類似的類比。

不過，這些研究目前還主要停留在理論層面。雖然類比本身能帶來一些新的認(rèn)識(shí)，但并沒有真正提高AI的性能，也沒有改善模型的收斂速度。因此在工業(yè)界的關(guān)注度并不高。未來如果我們能把這種理解轉(zhuǎn)化為“生產(chǎn)力”，讓它在性能上帶來實(shí)際提升，我想重整化群會(huì)重新受到重視。

Q6：重整化群與復(fù)雜系統(tǒng)有何聯(lián)系？

：復(fù)雜系統(tǒng)建模面臨的最大問題是高維度和非線性。系統(tǒng)可能隨著參數(shù)或外部條件的變化出現(xiàn)定性的躍遷。雖然可以通過大規(guī)模模擬去“暴力”求解，但那并不能帶來理解。要想更高效地分析復(fù)雜系統(tǒng)，就必須進(jìn)行簡化，而這種簡化應(yīng)該與研究目標(biāo)直接相關(guān)。

重整化群正好是一種以目標(biāo)為導(dǎo)向的簡化方法。它能夠從復(fù)雜、多單元的體系中提取最重要的變量，用這些變量來描述系統(tǒng)的主要行為。未來的關(guān)鍵問題，是如何將不同層次上的描述重新拼合，形成一個(gè)完整的整體認(rèn)識(shí)。這正是重整化群能夠發(fā)揮作用的地方。

Q7：請舉例說明重整化群，能在復(fù)雜系統(tǒng)發(fā)揮什么作用？

：如果我們能找到一個(gè)好的例子，重整化群的研究可能馬上就會(huì)重新火起來。我能想到的一個(gè)例子是關(guān)于氣候系統(tǒng)的。一篇發(fā)表在 Nature 上的研究指出，他們只用了十幾個(gè)方程，就能很好地描述并預(yù)測厄爾尼諾現(xiàn)象。相比之下，傳統(tǒng)的氣候模擬需要幾百萬個(gè)方程，仍然難以得到準(zhǔn)確結(jié)果。

重整化群的思想，就有可能解釋這種“方程數(shù)的極大簡化”。如果我們有一個(gè)非常復(fù)雜的高維模型，通過重整化群的粗粒化（coarse-graining）過程，逐步簡化，最終得到一個(gè)能描述主要現(xiàn)象的低維有效模型——那就可能解釋為什么十幾個(gè)方程就足夠描述整個(gè)氣候系統(tǒng)。

這個(gè)例子目前還只是一個(gè)想法，那篇文章的作者并沒有用重整化群的框架去做。如果我們能夠用RG方法去復(fù)現(xiàn)他們的方程，我認(rèn)為那將是一項(xiàng)非常有意義的工作。

Q8：目前重整化群應(yīng)用受限的原因是什么？

：我認(rèn)為目前最大的限制在于，大家對(duì)“動(dòng)力學(xué)重整化群”還不夠熟悉。多數(shù)人熟悉的是統(tǒng)計(jì)物理中的平衡系統(tǒng)做法，但對(duì)非平衡體系——比如人腦、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、復(fù)雜社會(huì)系統(tǒng)等——如何應(yīng)用重整化群，還缺乏深入研究。要想真正把重整化群用到復(fù)雜系統(tǒng)研究中，必須在動(dòng)力學(xué)方向上有新的突破。這是必經(jīng)之路。

Q9：復(fù)雜系統(tǒng)建模還有哪些，有潛力的理論？

：我目前的主要研究方向，都是圍繞“如何解析復(fù)雜系統(tǒng)”展開的。重整化群當(dāng)然是一個(gè)重要方向，但還有其他幾個(gè)理論同樣值得關(guān)注。

首先是Koopman算子理論。它偏向數(shù)值方法，強(qiáng)調(diào)如何從數(shù)據(jù)中提取重要的動(dòng)力學(xué)模式；而重整化群則更偏解析。其次是非線性動(dòng)力學(xué)。任何研究復(fù)雜系統(tǒng)的人，如果不懂非線性動(dòng)力學(xué)，我都會(huì)覺得奇怪。里面的分岔理論（bifurcation theory）、幾何圖像、幾何化思維都非常重要。

最后我想特別提一下符號(hào)動(dòng)力學(xué)。我認(rèn)為它在未來的復(fù)雜系統(tǒng)和人工智能研究中都會(huì)發(fā)揮極大作用。符號(hào)動(dòng)力學(xué)可以用非常簡潔的方式描述動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，不依賴坐標(biāo)變換，也就是說無論系統(tǒng)經(jīng)歷怎樣的變換，它的符號(hào)描述是不變的。這是一個(gè)非常好的性質(zhì)。它能很好地描述信息的獲取、傳輸、轉(zhuǎn)換和整合過程（integration），這些都是復(fù)雜系統(tǒng)研究的核心問題。

我自己現(xiàn)在也正在嘗試往這個(gè)方向走。

本文根據(jù)訪談內(nèi)容進(jìn)行了書面化整理，內(nèi)容刪減僅涉及重復(fù)表述與非核心細(xì)節(jié)。

本文為科普中國創(chuàng)作培育計(jì)劃作品 受訪者：蘭岳恒 北京郵電大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院教授 創(chuàng)作團(tuán)隊(duì)：集智俱樂部 審核專家：張江 北京師范大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院教授 出品：中國科協(xié)科普部 監(jiān)制：中國科學(xué)技術(shù)出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司

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