導語

為了幫助大家更好地學習這門基礎(chǔ)學科，我們特別整理了線性代數(shù)課程主講諸葛昌靖老師與拓撲學課程主講金威老師的閱讀書單。兩套體系各有側(cè)重：前者從系統(tǒng)科學與應(yīng)用直覺切入，而后者則從數(shù)學思想與結(jié)構(gòu)的本質(zhì)展開。它們共同構(gòu)成了一份完整的學習地圖。

諸葛昌靖老師推薦

《線性代數(shù)的幾何意義》——任廣千、謝聰、胡翠芳

一本非常適合“快速重溫”或建立直觀結(jié)構(gòu)感的書。用向量空間的幾何圖像解釋線性變換、特征值、正交分解等主題，語言清爽、例子直觀。這本書自學、重溫或者作為教學的參考都很合適。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/26651221/

《線性代數(shù)導引》——馮琦

從數(shù)理邏輯家的視角寫作的線性代數(shù)教材。在具體的數(shù)學概念前，解釋清楚了數(shù)學的核心規(guī)范和思維方式。說明了作為“嚴謹性”的代表，數(shù)學是確保自身正確性以及數(shù)學語言背后的底層邏輯。特別適合去理解“代數(shù)”學科理論的建構(gòu)方式。

書籍鏈接：https://item.jd.com/12446312.html

《代數(shù)學引論》——許以超

經(jīng)典的教科書，有很大的篇幅是線性代數(shù)的內(nèi)容，同時包括解析幾何的內(nèi)容。有很多有意思的例題。我自己本科時期非常受益的一本書。近年來出版了根據(jù)此書修改而成的《線性代數(shù)與矩陣論》。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/5326379/

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/3160836/

《高等代數(shù)學》——張賢科、許甫華

同樣經(jīng)典的教科書，特別是這本書的習題以及參考文獻。此外，這本書還有配套的習題集。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/1231135/

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/1721852/

《代數(shù)學基礎(chǔ)》——張英伯

這本書在很多細節(jié)處理上比較易讀，在數(shù)學的意義上盡量從具體之處幫助理解。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/20268043/

《數(shù)值線性代數(shù)》——徐樹方、高立、張平文

需要注意，本次課程重點是闡述線性代數(shù)中的概念及其在自然科學和工程技術(shù)中的應(yīng)用。線性代數(shù)自身還有一個重要領(lǐng)域，就是如果把理論和概念具體計算出來，這就是數(shù)值線性代數(shù)以及矩陣計算，對這方面感興趣的朋友可以參考徐樹方、高立、張平文編著《數(shù)值線性代數(shù)》。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/21267860/

《線性模型引論（第二版）》——吳密霞、王松桂

此外，線性代數(shù)在統(tǒng)計學、運籌學和最優(yōu)化、理論計算機科學中也有具有重要的應(yīng)用。這些領(lǐng)域內(nèi)蘊的發(fā)展需要，也產(chǎn)生了利用線性代數(shù)的語言刻畫的數(shù)學結(jié)果。例如，在統(tǒng)計學領(lǐng)域吳密霞、王松桂編著《線性模型引論（第二版）》（書籍鏈接： https://book.douban.com/subject/37458175/ ）、Charu C. Aggarwal著《線性代數(shù)與優(yōu)化》（書籍鏈接： https://book.douban.com/subject/37443576/，原版鏈接： https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-030-40344-7 ）就包含很多由數(shù)理統(tǒng)計和運籌學激發(fā)的對于矩陣等問題的研究。

從矩陣計算算法和統(tǒng)計優(yōu)化應(yīng)用等多個角度去理解線性代數(shù)中的概念，能幫助我們注意到一些純理論概念學習中可能會忽略的要點。應(yīng)用和理論的發(fā)展是互利共生的。

金威老師推薦

線性代數(shù)（數(shù)學院系一般稱為“高等代數(shù)”）理論主要研究有限維線性空間，其觀點可以延伸到無限維。顧名思義，它將空間/形象/幾何思維（“線性”）和時間/邏輯-計算/代數(shù)思維（“代數(shù)”）結(jié)合到一起，所以對學習者而言二者的結(jié)合和轉(zhuǎn)換尤為重要。線性空間理論的代數(shù)觀點又可分為計算觀點（求解線性方程組、矩陣變換打洞等）和抽象結(jié)構(gòu)觀點（線性空間和線性變換等），而幾何角度則主要是抽象概念所對應(yīng)的幾何觀點和直覺，這三種視角的交織就構(gòu)成了線性代數(shù)理論的主干。所以對應(yīng)的講法也有幾種，多數(shù)教材均選擇從求解線性方程組開始，逐漸導向抽象的線性空間理論，這種講法比較直觀。而少數(shù)教材則是先定義抽象的線性空間和線性變換，再將解線性方程組和矩陣、行列式等內(nèi)容作為其應(yīng)用，這種講法相對較抽象，更適合相應(yīng)思維類型的讀者。此外，此門課程的內(nèi)容還包括基本的多項式理論。

《高等代數(shù)》——丘維聲

首先推薦北京大學丘維聲教授所寫的《高等代數(shù)》（兩卷本，多次再版） ，此書從高中時期即熟知的求解線性方程組這個實際問題出發(fā)，逐漸展開全部線性代數(shù)理論。此書深入淺出，講述了不少動機，示例和習題較多。其簡寫版是丘教授的一卷本《簡明線性代數(shù)》，一般供非數(shù)學專業(yè)的讀者使用。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/34778837/

《代數(shù)學》——101計劃

此外國內(nèi)還有不少類似的教材，比如最近出版的101計劃中的《代數(shù)學》（五卷本，第一卷）

書籍鏈接：https://math101.pku.edu.cn/hxjc/qb/a486ddd669bd4014806c0aed33dfb53e.htm

《代數(shù)學引論》（前兩卷）——柯斯特利金

蘇聯(lián)方面，柯斯特利金的《代數(shù)學引論》（前兩卷）很不錯，其第一卷從實際問題引入，比較具體，而第二卷主要從抽象線性空間觀點研究，讀者可以根據(jù)實際需要選讀。此書對我國幾十年來的線性代數(shù)教學體系產(chǎn)生過很大影響。作者是蘇聯(lián)著名數(shù)學家，還著有《線性代數(shù)與幾何》等，但該書似無中譯版。(書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/2036531/)

《線性代數(shù)可以這樣學》——Sheldon Axler

美國也有不少好書，例如Sheldon Axler的《線性代數(shù)可以這樣學》和 P.D.Lax的《線性代數(shù)及其應(yīng)用》等。后者的作者是阿貝爾獎、沃爾夫數(shù)學獎得主，又是美國科朗所教授，因此其觀點貫穿理論與應(yīng)用，此書發(fā)揮了線性代數(shù)中的諸多專題，不過內(nèi)容更深一些，適合作為進階讀物。

書籍鏈接：

https://book.douban.com/subject/3715623/

書籍鏈接：

https://book.douban.com/subject/3309541/

《代數(shù)學基礎(chǔ)》——沙法列維奇

在代數(shù)學（抽象代數(shù)）方面，線性代數(shù)更深刻的理論基礎(chǔ)，可以參考沙法列維奇的《代數(shù)學基礎(chǔ)》。此書從問題和動機角度介紹眾多的代數(shù)結(jié)構(gòu)。作者在數(shù)論、代數(shù)幾何等領(lǐng)域頗有成就，與柯爾莫哥洛夫和蓋爾范德并列為蘇聯(lián)數(shù)學三巨頭。

書籍鏈接：https://mall.hep.com.cn/goods-8805.html

《代數(shù)學引論》——李文威

李文威教授十分熱心于中文數(shù)學寫作，且觀點較高，故需要讀者具有“較高的數(shù)學上的成熟性”。

學術(shù)主頁：https://wwli.asia/index.php/zh/

《線性代數(shù)講義》——李思

清華李思教授在他的主頁https://sili-math.github.io/上發(fā)布了線性代數(shù)講義，其內(nèi)容十分豐富，除線性代數(shù)基本理論外，還涉及線性代數(shù)在線性微分方程、矩陣群、線性規(guī)劃和博弈論、量子論中的應(yīng)用等相關(guān)專題。該講義用于清華大學的課程教學，不斷更新，值得一讀。

網(wǎng)頁鏈接： https://sili-math.github.io/

《高等數(shù)學引論》四卷本——華羅庚

在應(yīng)用方面，還可參考數(shù)值線性代數(shù)（也稱為“數(shù)值代數(shù)”）和矩陣論方面的書籍，主要涉及一些數(shù)值算法和矩陣分解等，它們在系統(tǒng)科學、復(fù)雜性科學，和量子信息與量子計算、人工智能等領(lǐng)域非常重要。同時也可參考華羅庚教授的著作《高等數(shù)學引論》四卷本（該書由中國科技大學數(shù)學系在上世紀50年代的“一條龍”數(shù)學教學材料整理而成），線性代數(shù)理論在其中的第四卷。華老的視野貫穿基礎(chǔ)數(shù)學和應(yīng)用數(shù)學領(lǐng)域，并且強調(diào)數(shù)學的內(nèi)在統(tǒng)一性。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/3729143/

線性代數(shù)作為高等數(shù)學三大基礎(chǔ)課（微積分、線性代數(shù)、解析幾何）中代數(shù)學方向的入門課，可謂無處不在。例如，它可以直接應(yīng)用到幾何學中的的解析幾何（比如用于二次曲面的分類）、微分幾何、代數(shù)幾何；分析學中的的實分析、復(fù)分析、常微分方程、泛函分析；代數(shù)學中的抽象代數(shù)和伽羅瓦理論、同調(diào)代數(shù)、代數(shù)群、代數(shù)表示論，以及代數(shù)拓撲、概率論和隨機過程等學科——此列表幾乎涉及所有高等數(shù)學分支，想深入的讀者可以根據(jù)自身需要，自行選擇相關(guān)參考資料。并且，學習好線性結(jié)構(gòu)，對理解更復(fù)雜的非線性結(jié)構(gòu)（比如常微分方程定性理論、動力系統(tǒng)、混沌理論、非線性動力學、范疇論和張量范疇等）也十分必要。

不論如何，我個人對數(shù)學學習的建議是從問題出發(fā)、主動學習。選擇參考書在精不在多，且每門課程可反復(fù)多次地滲透學習——數(shù)學基礎(chǔ)課尤其如此。

結(jié)語｜線性代數(shù)，是科研思維的第一性原理

線性代數(shù)不僅教授“矩陣運算”，還教會我們抽象世界的結(jié)構(gòu)。它涉及：

• 如何把數(shù)據(jù)壓縮成向量

• 如何把系統(tǒng)的變化抽象為變換

• 如何在高維空間里尋找不變量

• 如何從譜結(jié)構(gòu)中識別穩(wěn)定性、協(xié)同作用與模式

無論是控制系統(tǒng)、分析網(wǎng)絡(luò)、做機器學習模型、推導量子態(tài)演化、構(gòu)建統(tǒng)計模型……你總是在與線性結(jié)構(gòu)打交道。希望這份書單能成為你學習路線圖中的一部分，讓你在向量空間、變換、特征結(jié)構(gòu)與譜分解之中，看見現(xiàn)代科學世界的隱藏骨架

線性，是結(jié)構(gòu)的起點；
代數(shù)，是思維的語言。

線性代數(shù)：一名合格科研人的筑基課

線性代數(shù)研究向量空間及其上的線性映射，是現(xiàn)代科學最通用、最具結(jié)構(gòu)性的數(shù)學語言之一。它的核心對象——向量、矩陣、線性方程組、特征值與特征向量、內(nèi)積空間——不僅是抽象的代數(shù)元素，更是描述狀態(tài)、關(guān)系、變換、對稱性與降維結(jié)構(gòu)的基本工具。

在科研世界中，無論你研究的是人工智能、生物信息、網(wǎng)絡(luò)科學，還是物理與工程，幾乎所有復(fù)雜系統(tǒng)的建模與推理都指向同一種底層語言——線性代數(shù)。它不僅是計算公式的集合，更是一名科研人理解“結(jié)構(gòu)”、刻畫“變換”、判斷“穩(wěn)定性”、提取“信息”的基本思維框架。本課程以系統(tǒng)科學的視角重新解構(gòu)線性代數(shù)，帶你越過技巧、直達本質(zhì)，在跨學科的真實問題中建立起科研必備的數(shù)學基石。

集智學園聯(lián)合清華大學數(shù)學博士諸葛昌靖老師開設(shè)「線性代數(shù)：一名合格科研人的筑基課」，課程將于12月20日開啟，現(xiàn)在加入可享早鳥價格。

拓撲學課程：從空間直覺到系統(tǒng)科學

你是否曾思考過：為什么咖啡杯在數(shù)學上可以變成甜甜圈？為什么混沌系統(tǒng)中會出現(xiàn)周期軌、可約化結(jié)構(gòu)和“奇怪吸引子”模式？為什么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、量子物理甚至心理結(jié)構(gòu)，都可以從“拓撲”角度理解？

拓撲學不僅是數(shù)學的抽象分支，更提供了系統(tǒng)的思維方式，讓我們理解連續(xù)性、結(jié)構(gòu)不變性乃至復(fù)雜系統(tǒng)的整體規(guī)律。從歐拉七橋問題到DNA的纏結(jié)，從量子場論到思維科學與腦科學，拓撲學思想正在各學科中普遍而深刻地重塑著我們的認知方式。

集智學園聯(lián)合北京大學博士金威老師開設(shè)，課程將于11月23日開啟，現(xiàn)在加入可享早鳥價格。