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幾何學(xué)的起源或許可以追溯到數(shù)千年前的古代土地測(cè)量，但它對(duì)現(xiàn)代物理學(xué)的影響卻令人驚嘆。在最新一期量子雜志播客《因悅The Joy of Why》（舊譯名：為何之樂、追問的樂趣）中，何楊輝探討了幾何學(xué)的演變及其通過人工智能展現(xiàn)的未來潛力。

圖源：Peter Greenwood | Quanta Magazine

作者：史蒂文·斯特羅加茨（播客主持人）、詹娜·萊文（專欄作家） 2025-5-15

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-6-7

幾何學(xué)是人類歷史上最古老的學(xué)科之一，但其描述的世界已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出最初用途。這門始于數(shù)千年前用于丈量土地和建造金字塔的學(xué)問，在古希臘被歐幾里得賦予嚴(yán)謹(jǐn)體系，19世紀(jì)被應(yīng)用于曲線和曲面研究，最終幫助愛因斯坦理解宇宙。

何楊輝（Yang-Hui He，倫敦?cái)?shù)學(xué)科學(xué)研究所理論物理學(xué)家）將幾何學(xué)視為現(xiàn)代物理學(xué)的統(tǒng)一語言，認(rèn)為兩者相互影響、相互塑造。在《因悅The Joy of Why》最新一期中，他向聯(lián)合主持人史蒂文·斯特羅加茨講述了幾何學(xué)如何從古代文明的實(shí)用根源，發(fā)展到對(duì)廣義相對(duì)論和弦理論的影響，并推測(cè)人工智能可能如何徹底改變這一領(lǐng)域。

他們還討論了形式化嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)與直覺驅(qū)動(dòng)的洞察力之間的張力，以及為何數(shù)學(xué)家分為兩類——俯瞰思想全景的“飛鳥型”，和深耕特定理念的“刺猬型”。

斯特羅加茨：我是史蒂文·斯特羅加茨（Steven Strogatz）。

萊文：我是詹娜·萊文（Steven Strogatz）。

斯特羅加茨：這里是《因悅The Joy of Why》，量子雜志推出的播客節(jié)目，探索當(dāng)今數(shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域一些最大的未解之謎。

萊文：嗨！

斯特羅加茨：嗨，詹娜。很高興見到你。

萊文：很高興見到你。

斯特羅加茨：我想和你聊聊一個(gè)你會(huì)感興趣的話題。

萊文：好吧，我已經(jīng)被勾起了興趣。

斯特羅加茨：是的，我覺得這正合你意：幾何學(xué)。

萊文：哦，不錯(cuò)。是啊，我們目之所及處處是幾何。

斯特羅加茨：確實(shí)如此，對(duì)吧？我妻子喜歡藝術(shù)，有一次她問我，如果我們的房間有七英尺高的天花板，我有一塊八英尺的畫布，把它斜靠在墻角，它會(huì)在地板上伸出多遠(yuǎn)？

萊文：所以你真的用切線理論讓她大開眼界？

斯特羅加茨：召喚出畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）。

萊文：是啊。這對(duì)婚姻很有好處。

斯特羅加茨：畢達(dá)哥拉斯確實(shí)幫了我們婚姻一點(diǎn)忙，因?yàn)樗_實(shí)想知道，這會(huì)占用多少空間？這塊畫布會(huì)占很多地板面積嗎？

萊文：沒錯(cuò)。你看過那種從側(cè)面看才能顯現(xiàn)畫面的畫嗎？比如看到一張臉的圖像？

斯特羅加茨：對(duì)，對(duì)。

萊文：這些投影幾何的概念，我認(rèn)為可能存在于很多藝術(shù)實(shí)踐中。也許創(chuàng)作者并未意識(shí)到自己在運(yùn)用幾何，但這本質(zhì)上就是幾何學(xué)。

斯特羅加茨：是的，這是我們作為視覺生物的全部體驗(yàn)。

萊文：哦，是的。這很有趣。我的一些朋友可能以為我們只是在討論三角形，但愛因斯坦用幾何理論完全取代了引力理論。這非常精妙。宇宙就是一種幾何結(jié)構(gòu)。

斯特羅加茨：你如此推崇幾何學(xué)，我并不感到驚訝。

萊文：沒錯(cuò)。

斯特羅加茨：最近我有機(jī)會(huì)和一位志同道合者交談。他是理論物理學(xué)家何楊輝，熱愛幾何學(xué)，將幾何視為現(xiàn)代物理學(xué)的統(tǒng)一語言。

萊文：嗯。哦，真棒。

斯特羅加茨：我想你會(huì)喜歡聽他的見解。這位是來自倫敦?cái)?shù)學(xué)科學(xué)研究所和牛津大學(xué)的何楊輝。

萊文：太棒了。讓我們開始吧。

斯特羅加茨：嗨，何楊輝。很高興見到你。

何楊輝：榮幸之至。很高興見到你。

斯特羅加茨：告訴我，你現(xiàn)在在哪里？

何楊輝：我現(xiàn)在在倫敦?cái)?shù)學(xué)科學(xué)研究所，這里曾是邁克爾·法拉第（Michael Faraday，1791 - 1867）生活和工作的房間。所以這是非常特別、令人興奮的地方。能在這里我感到非常榮幸。

斯特羅加茨：太不可思議了。邁克爾·法拉第，你能提醒我們他是誰嗎？

何楊輝：邁克爾·法拉第可以說是維多利亞時(shí)代最偉大的科學(xué)家。法拉第籠、電動(dòng)機(jī)的先驅(qū)。他與我的偶像麥克斯韋相遇，法拉第是實(shí)驗(yàn)家，麥克斯韋是數(shù)學(xué)家，他們共同開創(chuàng)了電磁理論。所以這是個(gè)非常令人興奮的地方。他們就是在這堵墻后面的房間見面的。我們有一系列漂亮而令人振奮的工作空間。

斯特羅加茨：非常激動(dòng)人心。我已經(jīng)看出你對(duì)科學(xué)史很感興趣?？梢韵胂笤谶@種圣地工作對(duì)你來說多么令人振奮。

何楊輝：我覺得自己非常幸運(yùn)，因?yàn)槲乙丛诜ɡ谒诘倪@座18世紀(jì)建筑里，要么在牛津大學(xué)的默頓學(xué)院，那里曾有許多偉人駐足。我是個(gè)崇拜英雄的人。這就是我如此熱愛歷史的原因。

斯特羅加茨：我注意到你曾在普林斯頓待過一段時(shí)間，那里也有許多數(shù)學(xué)和物理學(xué)界的偉人。

何楊輝：確實(shí)。

斯特羅加茨：特別是其中一位；我想知道你是否去朝圣過他的故居之類的。

何楊輝：哦，當(dāng)然。事實(shí)上，我在普林斯頓讀大一做的第一件事，就是放下行李直奔默瑟街112號(hào)尋找愛因斯坦的故居，大膽走進(jìn)去問這里是不是博物館。一位女士和藹地開門說，很遺憾這是私人住宅。

多年后我才知道，那位女士其實(shí)是弗蘭克·維爾切克（Frank Wilczek，1951 -）的妻子，他搬到普林斯頓的條件就是得到愛因斯坦的故居。多年后我和這家人成了朋友，我把這個(gè)故事告訴了弗蘭克，他覺得很有趣。

斯特羅加茨：確實(shí)有趣。告訴你，我在普林斯頓讀大一時(shí)，也去參觀過。

何楊輝：哦，你也是？太好了。加油，老虎隊(duì)（普林斯頓大學(xué)吉祥物是老虎，zzllrr小樂譯注）。

斯特羅加茨：我也去朝圣過愛因斯坦故居，做了和你一樣的事。我敲門后，一位老婦人開門對(duì)我說這是私人住宅，但這位正是愛因斯坦的秘書海倫·杜卡斯（Helen Dukas）。

何楊輝：哦，不會(huì)吧。哇。你知道我還做過什么瘋狂事嗎？我花了多個(gè)周日下午在普林斯頓公墓學(xué)習(xí)，因?yàn)楦绲聽枺↘urt G?del，1906 - 1978）和馮·諾伊曼（John von Neumann，1903 - 1957）的墓地之間有一片草地。

斯特羅加茨：真的嗎？

何楊輝：他們被安葬在彼此旁邊。所以我經(jīng)常去那片草地上做量子力學(xué)習(xí)題或測(cè)度論習(xí)題，試圖沾些靈氣。但從未成功過。

斯特羅加茨：他們的墓穴真的是緊挨著的嗎？

何楊輝：千真萬確，就緊挨著。

斯特羅加茨：這我倒不知道。

何楊輝：那里有個(gè)非常奇妙的小空間。

斯特羅加茨：好吧，我們可以聊上一整天各種話題。

何楊輝：我想我們會(huì)成為很好的朋友。

斯特羅加茨：我很期待。雖然這是我們第一次見面交談，但讓我們深入探討這個(gè)非常經(jīng)典的主題。很多聽眾可能對(duì)幾何學(xué)的印象還停留在中學(xué)幾何課，在大眾認(rèn)知里這不是當(dāng)代數(shù)學(xué)家的主流研究方向。請(qǐng)談?wù)勀愕慕?jīng)歷，是從小就對(duì)幾何感興趣嗎？

何楊輝：最初吸引我的是數(shù)學(xué)物理，因?yàn)榕ｎD和愛因斯坦。當(dāng)我試圖理解學(xué)習(xí)狹義相對(duì)論、廣義相對(duì)論時(shí)，發(fā)現(xiàn)必須研究高等幾何。諷刺的是，我越深入研究，對(duì)幾何本身的興趣反而超過了最初追求的數(shù)學(xué)物理。

斯特羅加茨：所以你說的幾何是帶修飾詞的“高等幾何”，不是三角形和平行公設(shè)那種幾何，而是微分幾何之類的？

何楊輝：完全正確。我十幾歲就想研究微分幾何，因?yàn)檫@是理解廣義相對(duì)論等現(xiàn)代物理理論必需的工具。當(dāng)時(shí)我對(duì)歐幾里得幾何其實(shí)沒什么興趣。

在代數(shù)派與幾何派的分野中，我更喜歡代數(shù)符號(hào)運(yùn)算。但后來走上這條研究微分幾何的道路后，才逐漸意識(shí)到歐幾里得古典幾何那種水晶般清晰的公理化表述才是數(shù)學(xué)的真金。這是個(gè)漫長(zhǎng)的認(rèn)知過程。

斯特羅加茨：真有趣，竟是隨著閱歷增長(zhǎng)才開始欣賞更基礎(chǔ)的學(xué)科。

何楊輝：正是。當(dāng)時(shí)太年輕，沒能領(lǐng)悟這種絕對(duì)的美。

斯特羅加茨：這很有意思，因?yàn)槲以暾?qǐng)退出中學(xué)幾何課，覺得太枯燥。后來學(xué)校體貼地把我調(diào)到了微積分預(yù)備班，導(dǎo)致我至今缺少某些基礎(chǔ)幾何知識(shí)。

何楊輝：我也在重讀古典公理，發(fā)現(xiàn)它們?nèi)绱撕?jiǎn)潔優(yōu)美。

斯特羅加茨：剛才提到的微分幾何，為什么你認(rèn)為它如此重要？

何楊輝：就現(xiàn)代物理學(xué)而言——這里“現(xiàn)代”指的是20世紀(jì)后的物理學(xué)，以區(qū)別于牛頓物理學(xué)——其中一個(gè)核心思想就是要突破歐幾里得幾何的框架，不再拘泥于歐幾里得公理體系下的平面與平面直線相交概念。

我認(rèn)為這正是愛因斯坦的偉大洞見。他意識(shí)到要構(gòu)建這種自洽的廣義相對(duì)論，就需要非歐幾何這個(gè)數(shù)學(xué)工具——需要彎曲的時(shí)空連續(xù)體。

當(dāng)然，這要?dú)w功于黎曼（Riemann）、羅巴切夫斯基（Lobachevsky）和鮑耶（Bolyai）三人在19世紀(jì)末奠定的局部幾何理論（即彎曲幾何，現(xiàn)稱微分幾何）。愛因斯坦的過人之處，就在于敏銳地識(shí)別出這正是他所需的理論工具。

斯特羅加茨：這里的好東西實(shí)在太多了。在告別歐氏幾何前，我想與你共同探討它對(duì)人類歷史的深遠(yuǎn)影響。你想必了解美索不達(dá)米亞、埃及乃至世界各地的幾何學(xué)發(fā)展。那么幾何學(xué)究竟源起何處？為何早在公元前3000年那樣的遠(yuǎn)古時(shí)代，人類就開始研究幾何？

何楊輝：確實(shí)，這是個(gè)極好的問題?！皫缀巍边@個(gè)詞本身源自希臘語，字面意思是“測(cè)量土地”。但這個(gè)學(xué)科的出現(xiàn)其實(shí)更早——現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)的古巴比倫泥板上就有勾股定理，中國(guó)古代和印度的石刻中也有記載。這些都是我們觀察周遭世界時(shí)最基礎(chǔ)的發(fā)現(xiàn)，我認(rèn)為這體現(xiàn)了人類與生俱來的本能。

我們最先感知到的世界本質(zhì)就是幾何性的：形狀、大小、距離，這種認(rèn)知逐漸演化成理解事物關(guān)系的需求。但真正從嚴(yán)謹(jǐn)角度系統(tǒng)構(gòu)建幾何學(xué)的榮譽(yù)，確實(shí)要?dú)w于古希臘人。

比如歐幾里得，他的《幾何原本》十三卷匯集了當(dāng)時(shí)所有古代數(shù)學(xué)知識(shí)，其中九卷都專注于幾何學(xué)——正因?yàn)檫@是最直觀的學(xué)科。

斯特羅加茨：讓我理解下你所說的區(qū)別。在前歐幾里得時(shí)代，無論是印度的神廟還是埃及的金字塔建造，幾何學(xué)已用于神圣建筑、土地測(cè)量，或許還有部分天文學(xué)。但后來歐幾里得引入了嚴(yán)謹(jǐn)性和公理體系的概念。

中學(xué)老師總愛強(qiáng)調(diào)幾何是學(xué)習(xí)證明的起點(diǎn)——在更基礎(chǔ)的課程里很少涉及證明，但幾何課人人都會(huì)接觸。為何這在人類思想史上如此重要？

何楊輝：我認(rèn)為這正是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。沒有精確定義、嚴(yán)格證明和嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)，數(shù)學(xué)就不復(fù)存在。歐幾里得之前當(dāng)然已有思想流派，但他將前人智慧匯集起來，用精確語言系統(tǒng)闡述。

幾何學(xué)正是通向這種語言最直觀的路徑，這正是《幾何原本》的非凡之處，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的奠基之作。

雖然書中還包含初等數(shù)論等內(nèi)容（比如著名的素?cái)?shù)無限性證明），但幾何論證的直觀性無可比擬——你可以真切看到一個(gè)三角形，然后嘗試用嚴(yán)謹(jǐn)方式定義這個(gè)我們?cè)缫咽熘膱D形，這實(shí)在美妙。

斯特羅加茨：確實(shí)有趣。我們談到歐幾里得對(duì)教育及人類文化（不僅是西方文明，更是世界文明）的遺產(chǎn)。你提到羅巴切夫斯基、鮑耶等人，能否為不太了解這些學(xué)者的聽眾講講歐幾里得之后幾何學(xué)的發(fā)展？公元前300年有歐幾里得，然后呢？

何楊輝：之后各文明都在某些方面有所發(fā)展，彼此間必有交流。耐人尋味的是，這種經(jīng)典歐氏方法直到牛頓時(shí)代仍是核心——牛頓在構(gòu)建定律、推導(dǎo)行星運(yùn)動(dòng)時(shí)，使用的并非現(xiàn)代微積分符號(hào)體系。

《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中大量推導(dǎo)純靠幾何完成，他甚至用笨拙的幾何累加法推導(dǎo)出高斯定律，這不僅是純數(shù)學(xué)的成就，更為數(shù)學(xué)物理確立了幾何化思維范式。

高斯——這位史上最偉大的數(shù)學(xué)家，與羅巴切夫斯基、鮑耶是同時(shí)代人。而這兩位甚至比高斯更早萌生了一個(gè)顛覆性的想法：如果放寬歐幾里得的一條公設(shè)（即著名的平行公設(shè)）會(huì)怎樣？該公設(shè)規(guī)定：給定一條直線和直線外一點(diǎn)，有且僅有一條平行線能通過該點(diǎn)。

他們?cè)噲D推翻這條公設(shè)，構(gòu)建了若干替代性公理，最終開創(chuàng)了一種全新的幾何體系。高斯深受啟發(fā)，隨后與黎曼共同奠定了這一領(lǐng)域的理論基礎(chǔ)。

實(shí)際上，黎曼的教授資格論文答辯題目就是《論幾何學(xué)基礎(chǔ)》，高斯正是答辯評(píng)委之一。黎曼發(fā)展的正是我們現(xiàn)在所稱的微分幾何——對(duì)經(jīng)典歐氏幾何的廣義拓展。

斯特羅加茨：嗯...你提到更接近我們這個(gè)時(shí)代的愛因斯坦也受到黎曼幾何的影響。那么愛因斯坦是如何運(yùn)用這套來自黎曼的數(shù)學(xué)理論的？

何楊輝：這正體現(xiàn)了愛因斯坦的天才之處。他擁有近乎超人的直覺...總能精準(zhǔn)把握關(guān)鍵要素。狹義相對(duì)論的誕生堪稱神來之筆——其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不過是高中代數(shù)水平，但他通過思想實(shí)驗(yàn)擺弄時(shí)鐘和量桿，就意識(shí)到這才是正確路徑。我不確定具體時(shí)間線，或許他先有這種直覺，然后才向格羅斯曼Grossman等數(shù)學(xué)家朋友（甚至可能是他妻子米列娃Mileva）請(qǐng)教合適的數(shù)學(xué)工具，而這套工具恰好就是黎曼早已構(gòu)建的體系。

斯特羅加茨：??！你讓我想到許多值得探討的方向。比如歐幾里得代表的嚴(yán)謹(jǐn)性——人們常將幾何與嚴(yán)密證明、絕對(duì)確定性聯(lián)系在一起，那些歷經(jīng)千年依然屹立不倒的定理。但數(shù)學(xué)物理還有另一面：直覺。能談?wù)勥@個(gè)嗎？

何楊輝：菲爾茲獎(jiǎng)得主米爾諾有篇精彩論文...

斯特羅加茨：約翰·米爾諾（John Milnor，1931 -）。

何楊輝：正是。米爾諾精辟地指出：人們總以為數(shù)學(xué)家的工作就是枯燥的形式化定義，但實(shí)際上我們往往先憑直覺探索，再逆向構(gòu)建嚴(yán)格定義。這種數(shù)學(xué)直覺主義正是阿諾德大力推崇的

這位大師甚至稱數(shù)學(xué)是物理學(xué)的分支，說“數(shù)學(xué)是最廉價(jià)的物理實(shí)驗(yàn)”，這話實(shí)在太妙了！

某種程度上，這是對(duì)布爾巴基學(xué)派的反叛。那群法國(guó)數(shù)學(xué)家推崇極端形式化、干巴巴的定義式數(shù)學(xué)。但阿諾德和米爾諾都認(rèn)為：數(shù)學(xué)的樂趣根本不在于此。不過說實(shí)話，大多數(shù)數(shù)學(xué)家本來就不那么工作。

斯特羅加茨：這是個(gè)有趣的社會(huì)學(xué)現(xiàn)象?？v觀數(shù)學(xué)史，總能看見兩種沖動(dòng)在角力：直覺派與可視化派永遠(yuǎn)在相互制衡。

就像拉格朗日曾在《分析力學(xué)》序言里驕傲宣稱全書不用一張圖示——他認(rèn)為視覺化是敵人，圖形可能誘導(dǎo)錯(cuò)誤認(rèn)知。

所以聽你回顧學(xué)術(shù)生涯特別有意思：你說自己最初癡迷代數(shù)演算，后來才逐漸領(lǐng)悟幾何直觀之美。這種認(rèn)知轉(zhuǎn)變本身就印證了數(shù)學(xué)思想史的辯證發(fā)展。

何楊輝：你看，我這輩子就在不斷搖擺。就像人們說音樂品味的變化——年輕時(shí)聽莫扎特，青春期迷戀浪漫派，成熟后鐘情巴赫，臨終前又回歸莫扎特。據(jù)說馬勒臨終時(shí)最后的囈語就是“莫扎特...莫扎特...”。

斯特羅加茨：真的嗎？

何楊輝：某種意義上，莫扎特的純粹性就像歐式幾何一樣永恒。

斯特羅加茨：這很有趣，因?yàn)閯?chuàng)造力的源泉究竟在哪里？我們討論的其實(shí)是數(shù)學(xué)在人類心智中的誕生過程。作為能在世界中移動(dòng)、觀察的生物，我們天生具有直覺。我們總在說“直覺”——讓我問個(gè)難題：你說的直覺究竟指什么？

何楊輝：要追溯學(xué)派的話，數(shù)學(xué)史上確實(shí)存在直覺主義學(xué)派，與之對(duì)立的是希爾伯特的形式主義，以及羅素和懷特海那種極端形式化體系。不過說到直覺...我終究還是要談到AI人工智能。我一直在思考所謂“自下而上”和“自上而下”的數(shù)學(xué)方法論差異。

斯特羅加茨：這兩個(gè)概念是指？

何楊輝：自下而上的數(shù)學(xué)就是希爾伯特、羅素那種逐行構(gòu)建的公理化體系——可以說是歐幾里得式的。

而自上而下則是直覺引導(dǎo)的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)：我會(huì)綜合公式、論述、論文等各種數(shù)據(jù)，形成初步認(rèn)知，在腦中建立某種預(yù)判，再沿著這個(gè)方向探索。

但數(shù)學(xué)最妙之處在于可以驗(yàn)證對(duì)錯(cuò)。高斯繪制素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)π(X)就是個(gè)經(jīng)典案例——他僅憑觀察散點(diǎn)圖就直覺判斷出π(X)≈X/lnX。

最驚人的是，歷史記載顯示他當(dāng)時(shí)甚至為此發(fā)明了回歸分析這種統(tǒng)計(jì)方法。這究竟是怎么做到的？

斯特羅加茨：按你的描述，高斯是通過觀察實(shí)例來研究的。比如我們知道100以內(nèi)有25個(gè)質(zhì)數(shù)，然后可以繼續(xù)統(tǒng)計(jì)1000以內(nèi)有多少個(gè)——就這樣記錄每個(gè)數(shù)以內(nèi)的質(zhì)數(shù)數(shù)量，而高斯竟能從中猜出這個(gè)函數(shù)的近似公式。

你把這稱為直覺，因?yàn)樗殚喠舜罅繑?shù)據(jù)。事實(shí)上傳說——很可能是真事——他手工編制了龐大的質(zhì)數(shù)表。

何楊輝：純手工?。?jù)說他整理了數(shù)萬條數(shù)據(jù)，超過十萬后就力不從心了。想想這位可憐的天才當(dāng)時(shí)的工作量...

斯特羅加茨：但你堅(jiān)持把這歸為直覺而非實(shí)驗(yàn)證據(jù)？

何楊輝：我認(rèn)為直覺正是建立在這種實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的。首先，單是想到要定義質(zhì)數(shù)計(jì)數(shù)函數(shù)就夠天才了——質(zhì)數(shù)本是不連續(xù)的離散對(duì)象，他卻突發(fā)奇想：“我要用連續(xù)函數(shù)來研究這個(gè)”。然后繪制曲線、計(jì)算估值，最終猜出π(X)≈X/lnX這個(gè)形式。這種近乎神啟的數(shù)學(xué)直覺，是所有偉大數(shù)學(xué)家的共同特質(zhì)。

斯特羅加茨：二者的區(qū)別在于： 自下而上（按你的術(shù)語用法）是指從基礎(chǔ)構(gòu)建——從堅(jiān)實(shí)的定義、公理出發(fā)。你就像一臺(tái)機(jī)器，逐步推導(dǎo)定理。每一步都穩(wěn)扎穩(wěn)打，因?yàn)樗薪Y(jié)論都源自根基。

而自上而下則更像是：你作為世界中的存在者觀察現(xiàn)象。好比嬰兒用嘴探索物品，通過不同形狀觸碰嘴唇的觸感來認(rèn)知世界。又比如高斯研究數(shù)表時(shí)，數(shù)據(jù)逐漸賦予他對(duì)世界規(guī)律的直覺——這種不依賴定義構(gòu)建、憑借直覺把握數(shù)學(xué)的方式，就是你說的“自上而下”。

何楊輝：精辟！這讓我想起俄羅斯學(xué)派的比喻——他們用鳥和刺猬來區(qū)分這兩種思維。

斯特羅加茨：?。「ダ锫ご魃‵reeman Dyson，1923 - 2020）那篇《飛鳥與青蛙》的著名文章...

何楊輝：確實(shí)。我認(rèn)為這個(gè)理念最早源自希臘關(guān)于狐貍與刺猬的寓言——狐貍通曉百事，刺猬專精一術(shù)。不過我最初聽到的版本來自普林斯頓的俄國(guó)教授們。我入學(xué)時(shí)正值蘇聯(lián)解體不久，美國(guó)學(xué)術(shù)界涌入了大批頂尖的蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家。

我們這代學(xué)生何其幸運(yùn)，能師從雅科夫·西奈（Yakov Sinai）、薩沙·波利亞科夫（Sasha Polyakov）、薩沙·米格達(dá)爾（Sasha Migdal）等大師。他們不僅傳授了許多當(dāng)時(shí)我們根本消化不了的高深知識(shí)，更帶來了鮮活的學(xué)術(shù)哲學(xué)——畢竟蘇聯(lián)學(xué)派深受朗道（Landau）、阿諾德（Arnold）等思想巨匠的影響，學(xué)術(shù)氛圍極為活躍。

西奈和麥克道爾等人是這樣詮釋的：有些學(xué)者像飛鳥或雄鷹，能迅速掠過數(shù)學(xué)蒼穹俯瞰全貌；另一些則如刺猬般向深處掘進(jìn)。這種二分法深刻影響了我的思考。

但必須強(qiáng)調(diào)，這兩種特質(zhì)在科學(xué)探索中都不可或缺。這不是非此即彼的學(xué)派之爭(zhēng)。

每位研究者都需要在不同階段切換這兩種角色。我想說的是，有時(shí)直覺恰恰來自“不”埋頭深挖，而是退后一步縱覽全局。當(dāng)然，這種視野唯有在經(jīng)歷過深度鉆研、理解學(xué)科本質(zhì)之后才能真正獲得。

萊文：聽數(shù)學(xué)家自我剖析很有意思。這個(gè)群體通常不太習(xí)慣自我反思——研究工作本身已經(jīng)足夠耗費(fèi)心力。但你揭示的科研過程令人寬慰：并非總是直線前進(jìn)，而是在黑暗中摸索，時(shí)而憑直覺飛躍，時(shí)而如刺猬般深挖。這個(gè)類比太精妙了。你之前知道戴森也討論過類似觀點(diǎn)嗎？我倒是第一次聽說。

斯特羅加茨：戴森有篇著名文章《飛鳥與青蛙》，精神內(nèi)核與狐貍刺猬之說相近。飛鳥翱翔天際，對(duì)應(yīng)著理論構(gòu)建者。

他們著眼學(xué)科全景，不拘泥細(xì)節(jié)，致力于創(chuàng)建統(tǒng)攝全局的理論框架。

而青蛙棲居泥沼，對(duì)應(yīng)問題解決者——他們專注攻克具體難題，理論只是副產(chǎn)品。這就是所謂的“理論構(gòu)建者vs問題解決者”之分，飛鳥與青蛙之喻。

萊文：這個(gè)分類法我倒是第一次聽說，但細(xì)想確實(shí)如此。現(xiàn)在環(huán)顧四周，都能辨認(rèn)出“那邊就住著個(gè)理論構(gòu)建者”。

斯特羅加茨：戴森那篇文章妙趣橫生。最幽默的是他對(duì)各位數(shù)學(xué)大師的點(diǎn)評(píng)——如果沒記錯(cuò)，他說馮·諾伊曼是“自以為是飛鳥的青蛙”，這個(gè)評(píng)價(jià)多耐人尋味??！

萊文：太精辟了！最打動(dòng)我的是他承認(rèn)數(shù)學(xué)需要多元思維。

斯特羅加茨：沒錯(cuò)，數(shù)學(xué)是頂大帳篷，容得下各種風(fēng)格。稍后我們將探討另一種數(shù)學(xué)研究方式——我們硅基朋友的思維方式。

萊文：哦？拭目以待。

斯特羅加茨：廣告之后馬上回來。

斯特羅加茨：歡迎回到《因悅The Joy of Why》，今天我們邀請(qǐng)到數(shù)學(xué)物理學(xué)家何楊輝。

現(xiàn)在讓我們轉(zhuǎn)向硅基朋友：人工智能。眾所周知，2022年ChatGPT的橫空出世震撼全球。我們突然發(fā)現(xiàn)AI不再只是雜志概念，而是能直接在筆記本上把玩的工具。它的能力令人驚嘆——但AI與物理數(shù)學(xué)的關(guān)系如何？你認(rèn)為它能在這些領(lǐng)域發(fā)揮作用嗎？

何楊輝：當(dāng)然可以。數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與理論發(fā)現(xiàn)的未來，必定是人類智慧與AI輔助的結(jié)合。

這已在發(fā)生。2017年我初涉此領(lǐng)域時(shí)，對(duì)機(jī)器學(xué)習(xí)還一竅不通。當(dāng)時(shí)我正研究弦論相關(guān)的幾何問題——具體來說是需要將十維弦論壓縮到四維時(shí)空的卡拉比-丘流形。最終推導(dǎo)出愛因斯坦方程的一個(gè)六維空間解，就來自威滕（Witten）、霍羅威茨（Horowitz）、坎德拉斯（Candelas）和斯特羅明格（Strominger）的那篇經(jīng)典論文——他們發(fā)現(xiàn)這些特殊幾何結(jié)構(gòu)正是關(guān)鍵所在。當(dāng)時(shí)處于80年代中期，此后二十年學(xué)界建立了約五億個(gè)這類流形的數(shù)據(jù)庫(kù)。

我當(dāng)時(shí)的工作就是篩選數(shù)據(jù)庫(kù)，尋找對(duì)應(yīng)四維標(biāo)準(zhǔn)模型粒子構(gòu)成的流形。直到2017年兒子出生——連續(xù)三個(gè)月每天只睡一小時(shí)。有一天晚上家人熟睡后，我盯著數(shù)百萬流形數(shù)據(jù)突發(fā)奇想：何不試試當(dāng)時(shí)PhD學(xué)生們正在研究的機(jī)器學(xué)習(xí)算法？

普通的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能計(jì)算這些流形的拓?fù)洳蛔兞繂?？畢竟這些計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜...它會(huì)不會(huì)只是簡(jiǎn)單擬合出個(gè)答案？

斯特羅加茨：讓我理清頭緒——你是說處理六維空間的多種方式都編碼在不同卡拉比-丘流形中？而你提到的那些不變量數(shù)值，比如整數(shù)或其他優(yōu)美結(jié)構(gòu)，是已經(jīng)計(jì)算好的，還是需要你親自計(jì)算？

何楊輝：部分需要我計(jì)算。讀博和做博士后時(shí)，我大量從事這類計(jì)算。對(duì)年輕學(xué)者來說，這些能對(duì)應(yīng)具體物理量——比如粒子代的數(shù)量、規(guī)范理論中BPS粒子數(shù)，或是貝蒂數(shù)、霍奇數(shù)這類表征高維空間“孔洞”數(shù)量的拓?fù)洳蛔兞俊?/p>

但我理解的核心是：存在某些流形，它們以特定方式表征，然后你需要附加拓?fù)洳蛔兞俊谶@個(gè)案例中就是整數(shù)。

這種計(jì)算極其困難，因?yàn)槟惚仨殢氐淄瓿烧麄€(gè)序列追蹤（基本上就是哈茨霍恩（Hartshorne）教材里那些讓人抓狂的內(nèi)容，還有布爾巴基學(xué)派那些讓人算到哭的東西）。不過幸運(yùn)的是，現(xiàn)在至少有很多計(jì)算可以由計(jì)算機(jī)自動(dòng)完成了。但當(dāng)時(shí)我處于半幻覺狀態(tài)——

斯特羅加茨：午夜對(duì)吧？

何楊輝：沒錯(cuò)。我當(dāng)時(shí)直接把流形轉(zhuǎn)化成圖像來表征，畢竟這些都是代數(shù)簇，你可以記錄它們的多重次數(shù)，轉(zhuǎn)換成某種張量表示。

一旦獲得這種張量表示，本質(zhì)上就變成圖像了。于是我就得到了一個(gè)帶標(biāo)簽的圖像識(shí)別問題——這看起來挺酷的。我直接把它輸入到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的MNIST神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)里，本來預(yù)期會(huì)得到一堆垃圾結(jié)果。因?yàn)橐A(yù)測(cè)這些不變量，本應(yīng)需要非常精妙的代數(shù)幾何知識(shí)。

斯特羅加茨：雖然不知道后續(xù)發(fā)展，但這故事開頭就很有趣。

何楊輝：先用50%的數(shù)據(jù)訓(xùn)練，再用剩余數(shù)據(jù)驗(yàn)證。我最初只是隨便試試，結(jié)果準(zhǔn)確率瞬間飆到95%。我當(dāng)時(shí)就驚了：開什么玩笑？這不可能！神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)明明不懂幾何，連基礎(chǔ)數(shù)學(xué)都不懂——它本質(zhì)上就是個(gè)手寫識(shí)別系統(tǒng)，卻給出了正確答案。

數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的訓(xùn)練不僅能錘煉思維，更讓我們理解何以為人。

現(xiàn)在人們已經(jīng)改進(jìn)了這個(gè)方法。他們采用更復(fù)雜的架構(gòu)，將預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率提升到99.99%的水平。這實(shí)在太詭異了——系統(tǒng)根本不知道自己在算什么，因?yàn)槲覐奈唇踢^它運(yùn)算規(guī)則。

斯特羅加茨：所以它是個(gè)超級(jí)模式識(shí)別器？擅長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律并外推？

何楊輝：正是。這讓我開始思考：什么是數(shù)學(xué)直覺？當(dāng)AI進(jìn)行原始版本的數(shù)學(xué)推理時(shí)，究竟發(fā)生了什么？

斯特羅加茨：2017年的AI就有這種能力，如今肯定更強(qiáng)了。這對(duì)弦論或代數(shù)幾何等領(lǐng)域確實(shí)有幫助？

何楊輝：當(dāng)時(shí)我徹底著了魔，覺得這簡(jiǎn)直太神奇了。我開始瘋狂收集所有能搞到的數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)集——差不多騷擾了上百位同行朋友，見人就問：“能分享些數(shù)據(jù)嗎？順便給我講講這些數(shù)據(jù)在數(shù)學(xué)哪個(gè)分支里有應(yīng)用？”

我特別感激自己受過弦論訓(xùn)練。雖然如今弦論頗具爭(zhēng)議，但這段經(jīng)歷讓我能相對(duì)輕松地與不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域的專家對(duì)話。作為弦論研究者，我被迫涉獵了群論、表示論、數(shù)論等眾多領(lǐng)域——當(dāng)然并非所有弦論學(xué)者都這樣培養(yǎng)，但我的導(dǎo)師阿米?！す{尼（Amihay Hanany）始終告誡我：“要保持好奇心，多探索不同問題?！?/p>

過去七年里，我基本就干了兩件事：一是結(jié)交各領(lǐng)域數(shù)學(xué)家，厚著臉皮討要數(shù)據(jù)；二是追問這些數(shù)據(jù)在其領(lǐng)域的意義。我們不斷測(cè)試神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能否超越傳統(tǒng)計(jì)算方法，并探究其成功原因。令人欣慰的是，數(shù)學(xué)界整體對(duì)這種跨界研究持非常開放的態(tài)度。

斯特羅加茨：不過我也知道，有些數(shù)學(xué)家認(rèn)為這可能會(huì)嚴(yán)重扭曲我們共同的學(xué)術(shù)文化。畢竟歐幾里得的偉大遺產(chǎn)在于：我們能真正理解自己在做什么。當(dāng)我們從公理出發(fā)構(gòu)建體系時(shí)，可以清晰地洞察定理為何成立——我們不是巴比倫人僅憑經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)勾股定理，而是通過嚴(yán)謹(jǐn)證明獲得真知。許多人都將這種“洞察力”視為數(shù)學(xué)最寶貴的特質(zhì)。

我有些朋友（相信你也是）堅(jiān)持認(rèn)為，數(shù)學(xué)的終極目標(biāo)就是獲得洞察。就像那句老話所說：“數(shù)值分析的終點(diǎn)不是數(shù)字，而是洞見?！表槺阋惶?，就像你提到與邁克爾·法拉第相鄰的辦公室——我現(xiàn)在的辦公室正是偉大拓?fù)鋵W(xué)家威廉·瑟斯頓（Bill Thurston）曾經(jīng)工作過的地方。

何楊輝：真的嗎？太巧了！

斯特羅加茨：是的。所以他寫了這篇精彩的文章《論數(shù)學(xué)的證明與進(jìn)步》（Proof and Progress in Mathematics），主張數(shù)學(xué)不是像機(jī)器那樣一個(gè)接一個(gè)地生產(chǎn)定理——就像希爾伯特希望我們做的那樣。而是一個(gè)人向另一個(gè)人傳遞洞見。這才是我們真正要做的事。

這些AI并沒有給我們帶來洞見。它們提供模式，但尚不能自我解釋。它們不會(huì)告訴我們?cè)撊绾嗡伎?。所以我不確定每位數(shù)學(xué)家都喜歡這種發(fā)展。你對(duì)此怎么看？

何楊輝：你說得完全正確。最初實(shí)驗(yàn)時(shí)，我收到最多的批評(píng)就是：好吧，你給了我一個(gè)能計(jì)算99.99%準(zhǔn)確率的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——不是100%，它有時(shí)還是會(huì)出錯(cuò)。但比如說在拓?fù)溆?jì)算上達(dá)到99.99%準(zhǔn)確率。所以呢？我從中什么都沒學(xué)到。它沒有提供任何我能使用的新工具。正因?yàn)槿绱?，這些年來...天啊，八年了，噢天哪。

斯特羅加茨：是啊，你孩子現(xiàn)在多大了？

何楊輝：我兒子現(xiàn)在八歲。

斯特羅加茨：對(duì)，他現(xiàn)在八歲了。

何楊輝：沒錯(cuò)。噢，我真不愿想這個(gè)。不過正因如此，我和同事米沙·布爾采夫（Misha Burtsev）嘗試構(gòu)建一個(gè)更精確有效的方案。這源于2023年我在劍橋艾薩克·牛頓研究所組織的一個(gè)會(huì)議。我們聚集了一些量子場(chǎng)論專家、數(shù)論專家，舉辦了為期三個(gè)月的工作坊，讓大家共同探討現(xiàn)狀。期間我們聽了布萊恩·伯奇（Bryan Birch）的講座后，

為《自然》雜志撰寫了一篇快訊，題為《伯奇測(cè)試》。面對(duì)所有這些AI引導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)，我們需要比ChatGPT更強(qiáng)大的東西。你知道ChatGPT能通過圖靈測(cè)試。所以我們覺得數(shù)學(xué)需要更嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)。

我們稱之為"AI發(fā)現(xiàn)的AIN標(biāo)準(zhǔn)"。AIN是伯奇測(cè)試的三個(gè)組成部分："A"代表自動(dòng)化（Automaticity），要求神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提出的猜想在其生成過程中不受人為干預(yù)；"I"代表可解釋性（Interpretable）——如何從中解讀出真正的人類數(shù)學(xué)；"N"代表非平凡性（Non-trivial），即必須能激發(fā)一個(gè)足夠精確的實(shí)際研究課題供人類深入研究。

迄今為止，還沒有任何成果能完全通過伯奇測(cè)試。當(dāng)然有些已非常接近。比如DeepMind團(tuán)隊(duì)2022年那篇關(guān)于紐結(jié)不變量的精彩論文。

斯特羅加茨：確實(shí)。

何楊輝：他們運(yùn)用顯著性檢測(cè)方法，得出了瓊斯多項(xiàng)式的新公式。這個(gè)成果滿足了自動(dòng)化標(biāo)準(zhǔn)——因?yàn)樗麄兺ㄟ^顯著性檢測(cè)獲得了不同結(jié)果；也滿足可解釋性——畢竟最終得出了明確公式。但在非平凡性方面稍有欠缺，因?yàn)樗麄兲岢龅牟孪雰H用一個(gè)月就自行證明了。

再比如我和奧利弗（Oliver）、李（Lee）以及波茲德尼亞科夫（Pozdnyakov）研究的“椋鳥群飛”murmuration項(xiàng)目（關(guān)于L函數(shù)分布的猜想，參閱）。該研究通過了可解釋性測(cè)試——因?yàn)槲覀兊贸隽司_公式；也具備非平凡性——因?yàn)椴孪胫两袢晕赐耆蛔C明（部分已獲證）。但它沒能通過自動(dòng)化測(cè)試，畢竟我們?cè)谶^程中進(jìn)行了人為干預(yù)：沒有簡(jiǎn)單輸入300萬條橢圓曲線數(shù)據(jù)就按下回車鍵，而是不斷調(diào)整算法。

雖然我們嘗試了不同算法，但最終得出的猜想?yún)s極具反直覺性——完全超出我們的預(yù)期認(rèn)知，因?yàn)樗婕皹O高維度。就連解析數(shù)論泰斗彼得·薩納克（Peter Sarnak）收到我們的信時(shí)都說：“從未見過這樣的猜想?！比绻B薩納克都無法立即證明，那確實(shí)是個(gè)難題?，F(xiàn)在他和研究團(tuán)隊(duì)仍在攻關(guān)，我們也持續(xù)合作研究，這非常有意思。

回到你關(guān)于“優(yōu)秀AI輔助發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)”的問題——我認(rèn)為至少要能通過伯奇測(cè)試。

斯特羅加茨：我之前從未聽說過伯奇測(cè)試。不過你可能知道，當(dāng)前數(shù)學(xué)教育界正在熱議將更多數(shù)據(jù)科學(xué)納入課程體系。支持者認(rèn)為，21世紀(jì)公民需要具備數(shù)字處理能力、圖表解讀技巧以及對(duì)概率、風(fēng)險(xiǎn)和不確定性的感知力。

按照這個(gè)邏輯，鑒于課時(shí)有限，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育中的某些內(nèi)容可能需要讓位。不少人將矛頭指向三角學(xué)甚至幾何學(xué)，主張轉(zhuǎn)向更注重?cái)?shù)據(jù)的課程體系。你對(duì)此有何看法？

何楊輝：學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)科學(xué)確實(shí)很重要，對(duì)現(xiàn)代人來說這是必備素養(yǎng)。如果對(duì)機(jī)器學(xué)習(xí)算法和基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)推斷一無所知，這樣的教育是不完整的。

但數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)——不一定要達(dá)到大學(xué)專業(yè)水平，而是作為通識(shí)教育——具有獨(dú)特價(jià)值。這種訓(xùn)練能錘煉思維，讓我們理解人類認(rèn)知的起源與本質(zhì)。

我曾與安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）大師就“AI會(huì)取代數(shù)學(xué)家嗎”進(jìn)行過精彩對(duì)話。他的回答很深刻：“計(jì)算器早已讓算術(shù)能力變得過時(shí)，但為什么我們?nèi)砸趟奈鍤q的孩子算術(shù)？因?yàn)檫@是人之為人的根本。盡管有些工具算得比我們快，但這種訓(xùn)練對(duì)塑造大腦神經(jīng)通路至關(guān)重要?！?/p>

斯特羅加茨：這個(gè)回答發(fā)人深省。我們的節(jié)目叫《因悅The Joy of Why》，作為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，你的研究帶給你怎樣的快樂？

何楊輝：當(dāng)然，我會(huì)給出那個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案——學(xué)科的美麗，理解的喜悅。有趣的是，我少年時(shí)代踏入這個(gè)領(lǐng)域是為了理解宇宙的運(yùn)行機(jī)制。但現(xiàn)在，宇宙如此浩瀚，我已放棄完全理解它的企圖，反而越來越沉醉于數(shù)學(xué)本身的純粹美感。我所領(lǐng)悟的是：眼前這個(gè)待證明的定理，這個(gè)內(nèi)在優(yōu)美的計(jì)算過程——這才是真正的魅力所在。

而比獨(dú)自研究數(shù)學(xué)更美好的，莫過于與眾多志同道合者共同探索。就像此刻在這塊黑板前，或是結(jié)識(shí)新友，或是重逢故交，我們用粉筆演繹著歐幾里得千百年前也曾描繪過的美妙圖景。這種學(xué)術(shù)共同體的歸屬感，同樣令人心馳神往。

斯特羅加茨：正是這種跨越時(shí)空的學(xué)術(shù)共同體，讓你能與歐幾里得、畢達(dá)哥拉斯乃至巴比倫先賢們神交，對(duì)嗎？

何楊輝：沒錯(cuò)。當(dāng)你在黑板上演算時(shí)，要知道瑟斯頓也曾在此揮毫——這種傳承本身就是件美妙的事。

斯特羅加茨：今天我們非常榮幸邀請(qǐng)到何楊輝。真希望能與你暢談更多時(shí)間，感謝做客《因悅The Joy of Why》。

何楊輝：非常感謝，這次對(duì)話令我非常愉快。

萊文：（笑）這個(gè)黑板演算的畫面真美好。粉筆與光滑黑板的組合至今仍是最完美的技術(shù)——那種觸感簡(jiǎn)直神奇。那些老式黑板...不知道你們是否了解，哥倫比亞大學(xué)拆樓時(shí)我搶救過一塊——是用壓制玻璃制成的，就像碎玻璃重組的那種。

斯特羅加茨：真的嗎？

萊文：書寫體驗(yàn)無比順滑，根本不是黑板漆能比擬的。這種純粹的快感，確實(shí)堪稱最佳技術(shù)。

斯特羅加茨：我很好奇你對(duì)人工智能的看法——它將對(duì)數(shù)學(xué)和物理學(xué)那些深?yuàn)W領(lǐng)域產(chǎn)生什么影響？假設(shè)幾十年后（或許更快），最卓越的定理真的都由機(jī)器證明甚至創(chuàng)造，人類被遠(yuǎn)遠(yuǎn)拋在后面...那時(shí)的數(shù)學(xué)研究還會(huì)有樂趣嗎？還值得從事嗎？

萊文：呃...我認(rèn)為數(shù)學(xué)的意義在于：當(dāng)他人理解某個(gè)概念時(shí)，我要繼續(xù)鉆研直到自己也領(lǐng)悟。就像我們討論的幾何學(xué)——不會(huì)因?yàn)槭澜缫颜莆諑缀沃R(shí)，我就無需學(xué)習(xí)。事情不是這樣運(yùn)作的。我依然要嘗試?yán)斫?、消化這些知識(shí)。

這不像“別人大腦里有的東西，我就不必儲(chǔ)存”那么簡(jiǎn)單。恰恰相反，數(shù)學(xué)應(yīng)該是我們共同的精神觸點(diǎn)。

通過思考圓、三角、方形這些基本圖形，我們進(jìn)行著思想實(shí)驗(yàn)。所以即便超級(jí)智能解決了量子引力難題，洞悉了宇宙時(shí)空幾何...我的探索也不會(huì)終止。我必須親自理解它。

斯特羅加茨：說得好！這份樂觀令人振奮，下期節(jié)目再見。

萊文：下期見。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/how-did-geometry-create-modern-physics-20250515/

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