2024年底，兩位數(shù)學(xué)家肯定地回答了傳奇數(shù)學(xué)家讓·布爾甘關(guān)于高維凸形狀的“簡單”問題。值得一提的是，他們的工作建立在中國數(shù)學(xué)家關(guān)慶揚(yáng)近期的突破之上。另一方面，對于凸幾何體截面的研究歷史，或許要追述到400余年前歐洲一位傳奇貴族的賭約。

撰文 | 嘉偉

魯珀特問題：立方體穿洞

Prince這個英語單詞，現(xiàn)在有不分語境統(tǒng)統(tǒng)翻譯成王子或親王的趨勢，其實(shí)很多情況應(yīng)譯成（地方的）邦君一類。不過馬上要介紹到的Prince Rupert，則是貨真價實(shí)的普法爾茨的魯珀特親王（Prince Rupert of the Rhine, Duke of Cumberland）。

這位400年前的歐洲貴族是一位發(fā)明家、藝術(shù)家，也是一位戰(zhàn)功彪炳的戰(zhàn)士，幾乎能流利使用歐洲所有主要國家的語言，在數(shù)學(xué)方面也有兩把刷子。

普法爾茨的魯珀特親王，軍人、政治家、私掠船船長和科學(xué)家丨圖源：Prince Rupert of the Rhine - Wikipedia

魯珀特親王在17世紀(jì)提出了一個至今仍被津津樂道的幾何問題。這個問題的由來頗具傳奇色彩：他曾與人打賭，聲稱可以在一個立方體上開一個洞，然后讓另一個同等大小的立方體穿過這個洞。

當(dāng)時的人們普遍認(rèn)為這不可能實(shí)現(xiàn)，直覺告訴我們，一個立方體怎么可能穿過一個同樣大小的立方體上開的洞呢？然而，魯珀特親王最終贏得了這筆賭金。（至少故事是這么講的，但歷史上是否確有其事還存有疑問。實(shí)際上，這個開洞模型所需的加工精度，以當(dāng)時的技術(shù)似乎無法做到。）

立方體穿過等大小立方體上的洞。| 圖源：科幻作家格雷格·伊根

問題的核心在于對“洞”的理解。由于立方體是一種簡單凸多面體（“凸”是指構(gòu)成幾何體的點(diǎn)集合中任意兩點(diǎn)連線，線段上的點(diǎn)也完全包含在該集合中），我們可以從投影入手：設(shè)想在正午陽光的垂直照射下，立方體的邊緣輪廓會在地面投下影子，能否調(diào)整立方體方向，使影子可以容納足夠大的內(nèi)接正方形呢？正方形截面與“內(nèi)方塊”穿過的直線運(yùn)動方向正交，截面本身就是打洞的輪廓。理解這一點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵。

不妨假設(shè)，當(dāng)投影面積最大時，更容易找到正方形截面。此時投影沿立方體的體對角線方向，影子是一個正六邊形?？梢詮倪@一方向穿越立方體的最大正方形（也就是可穿過的立方體的側(cè)面），就巧妙地“隱藏”在這個正六邊形內(nèi)部。

我們還可以進(jìn)一步提問：等大的立方體可以穿過，更大的立方體行不行？對于單位立方體，可穿過的立方體最大能有多大？

歷經(jīng)一個多世紀(jì)，上述問題才得到解決。第一個在書面上提到這個謎題的是約翰·沃利斯（John Wallis），他在1685年發(fā)行的《代數(shù)論著》（De Algebra Tractatus）中收錄了

荷蘭數(shù)學(xué)家彼得·紐蘭德（Pieter Nieuwland，1764—1794）給出。紐蘭德證明，只要從單位立方體的四條棱上各取距頂點(diǎn)3/4的位置作四點(diǎn)，這四點(diǎn)恰好形成一正方形，沿此正方形的法向挖通孔道，就是問題的最優(yōu)解。這個答案是在紐蘭德過世后的1816年，由他的老師揚(yáng)·亨德里克·范·史溫登（Jan Hendrik van Swinden）在整理他留下的論文集時意外發(fā)現(xiàn)的。

紐蘭德的最優(yōu)解 ｜ Wikipedia

數(shù)學(xué)家不會滿足于僅僅解決一個具體的問題，他們推廣出更普遍的幾何概念——“魯珀特性質(zhì)”（Rupert property）?！棒旂晏亍弊兂闪艘粋€形容詞：一個幾何體如果能被一個同等或更大尺寸的自身副本穿過，那么它就是魯珀特的。這個概念將魯珀特親王最初的立方體問題推廣到了更廣泛的多面體乃至高維空間。

目前我們知道，柏拉圖多面體（凸正多面體）都具備此性質(zhì)，所有n維超正方體也是如此。

到2019年，數(shù)學(xué)家證明截角四面體是魯珀特的。

截角四面體是將一個正四面體的四個頂點(diǎn)切去得到的形態(tài)。| 圖源：Truncated tetrahedron - Wikipedia

截角四面體屬于阿基米德多面體（Archimedean solids）。后者是幾何學(xué)中一類非常優(yōu)雅的凸多面體，它們的面都是正多邊形，且每個頂點(diǎn)的鄰接方式完全相同，但與柏拉圖多面體不同的是，它們的面可以由多種不同類型的正多邊形組成。共有13種阿基米德多面體，而已知其中9種都是魯珀特的。

另外，根據(jù)數(shù)學(xué)家理查德·蓋依（Richard Guy）與理查德·諾瓦科斯基（Richard Nowakowski）的研究結(jié)果，能夠穿過4維超正方體的最大超正方體，其邊長為1.007434 775…，即1.014924…的平方根，1.014924…也是一元四次方程4x^4-28x^3-7x^2+16x+16=0的最小實(shí)根。

有人推測所有凸多面體都是魯珀特的，沒有例外。但我想證明一定非常難。

數(shù)學(xué)巨匠讓·布爾甘的猜想

400年前的魯珀特問題，本質(zhì)上就是探究多面體可能的最大斜截面。20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家則從完全不同的角度來思考體積固定，但形狀可變的高維凸幾何體的最大截面的一致下界。

在1980年代研究最大函數(shù)（maximal function，現(xiàn)代分析學(xué)中的工具）的背景下，數(shù)學(xué)家讓·布爾甘（Jean Bourgain）提出了一個關(guān)于高維形狀的“簡單”問題，這便是著名的“布爾甘切片問題”：是否存在一個常數(shù)c>0，使得對于任何維度n和任何體積為1的凸體K，都存在一個超平面H，使得K ∩ H的(n-1)維體積至少為c？

簡單來說，這個問題問的是：如果一個凸體的體積是單位體積，那么它是否一定存在一個“足夠大”的低一維切片？

乍一看，和略反直覺的魯珀特問題不同，布爾甘猜想似乎是顯然的。畢竟，如果幾何體的形狀在各個方向都非常細(xì)，它怎么可能占據(jù)足夠的空間來形成一個體積單位呢？“得了吧——這能有多難？”高維幾何學(xué)家羅南·埃爾丹（Ronen Eldan）回憶起第一次聽說這個問題時的想法：“可你越思考，就越能體會到它其實(shí)有多么精妙?！?/p>

讓·布爾甘被譽(yù)為傳奇數(shù)學(xué)家，這源于他在多個數(shù)學(xué)核心領(lǐng)域做出的深遠(yuǎn)而變革性的貢獻(xiàn)，以及他獨(dú)特的研究風(fēng)格和影響力。作為數(shù)學(xué)界的最高榮譽(yù)——菲爾茲獎（Fields Medal）的獲得者，他以非凡的問題解決能力而聞名。數(shù)學(xué)家陶哲軒曾評價說：“我的早期工作可以概括為——讀讓的論文，學(xué)會他的技巧，嘗試做些改進(jìn)?！?/p>

Jean Bourgain于1980年代拍攝的照片丨圖源：IHES

然而，即使是這樣一位卓越的數(shù)學(xué)家，也未能在有生之年完全解決自己提出的關(guān)于高維凸體切片的問題。

特拉維夫大學(xué)的維塔利·米爾曼（Vitali Davidovich Milman）是以色列數(shù)學(xué)界的重量級人物，在凸幾何、泛函分析和高維空間理論方面作出了奠基性貢獻(xiàn)。他曾寫道：“讓告訴我，他在這個問題上投入的時間和付出的努力，比他研究過的任何其他問題都多?！?/p>

布爾甘于2018年去世。就在去世前幾個月，他還詢問米爾曼，這個問題是否有進(jìn)展?！八朐陔x開之前聽到答案?！?米爾曼回憶道。

直面古怪的高維世界

高維世界里物體的行為方式往往違背我們?nèi)祟愒诘途S宇宙里養(yǎng)成的直覺。如高維質(zhì)量集中現(xiàn)象：高維球的體積集中在它外圍很薄的一層球殼上，高維立方體的體積集中在它的一堆角上（微積分求極限可得），高維的高斯正態(tài)分布從球面坐標(biāo)看，它的質(zhì)量集中在一層半徑較大的薄薄的球殼上（用變分法可得）。

后一結(jié)論在概率論和實(shí)際應(yīng)用上非常有價值，從此我們在高維情形下只需要考慮距離原點(diǎn)1-ε到1+ε的一層球殼就可以了，因?yàn)槠溆嗖糠值母怕式茷?。

借助這些結(jié)論可以立刻推知一些原本難以計算的概率極限。

比如說，n維立方體里隨機(jī)兩點(diǎn)，隨著n增大取極限，隨機(jī)兩點(diǎn)的距離小于1的概率極限為0。

為什么呢？因?yàn)槿缜八觯c(diǎn)都集中在超正方體的角上，也就是n越大，立方體內(nèi)的點(diǎn)越接近超正方體的頂點(diǎn)。這就導(dǎo)致所謂任意兩點(diǎn)的距離，非常接近兩個頂點(diǎn)之間的距離。而超正方體兩個頂點(diǎn)間的距離最小就是1。

四維超正方體示意圖丨Tesseract - Wikipedia

再提供一個與切片猜想相關(guān)的問題——Busemann–Petty問題。這也是凸幾何中的經(jīng)典問題，提出于1956年。它探討的是高維空間中截面體積與整體體積之間的關(guān)系，看似直觀，卻在高維中展現(xiàn)出極大的復(fù)雜性：設(shè)有兩個中心對稱的凸體（即關(guān)于原點(diǎn)對稱），如果一個凸體的所有經(jīng)過中心的截面都比另一個大，那它的整體體積是否也更大？

在二維到四維空間中，這個直覺是正確的。然而令人驚訝的是，這個結(jié)論并不適用于五維及以上維度！這意味著，在五維及以上的空間中，存在這樣一種反直覺的可能：一個凸體的所有中心切面都比另一個小，但它的總體積卻更大。

正是高維的復(fù)雜性使得布爾甘切片問題遠(yuǎn)非表面上那么簡單，這也是高維幾何的美妙之處?？梢哉f，布爾甘的切片猜想是“馴服”古怪高維世界的一次嘗試：至少在某些方面，高維幾何形狀也應(yīng)順應(yīng)我們的直覺。

此外如同前面提到的高維正態(tài)分布，高維幾何的核心應(yīng)用之一就是借助幾何視角賦予多元概率直觀的形象，簡化期望、方差等數(shù)據(jù)特征的計算；反之，概率論提供了一種理解高維幾何的新方式——利用概率工具來估算幾何對象的度量屬性（面積、體積等），是現(xiàn)代幾何學(xué)的重要研究方法。布爾甘則是這種研究傳統(tǒng)的開創(chuàng)者之一。他的“切片猜想”，這個樸素且看似明顯的問題為高維幾何學(xué)確立了新的方向。

米爾曼評價說，自布爾甘提出這個問題以來，它已成為學(xué)者理解高維凸體諸多問題的“敲門磚”。高維凸體不僅是純數(shù)學(xué)家關(guān)心的對象，也吸引了統(tǒng)計學(xué)家、機(jī)器學(xué)習(xí)研究人員以及其他需要處理高維數(shù)據(jù)集的計算機(jī)科學(xué)家的廣泛興趣。

里程碑式的突破

2024年12月，以色列魏茨曼科學(xué)研究所的博阿茲·克拉塔格（Bo’azKlartag）和法國普瓦捷大學(xué)的約瑟夫·勒?？耍↗oseph Lehec）撰寫了一篇論文“Affirmative resolution of Bourgain's slicing problem using Guan's bound”，宣告這一長期懸而未決的問題，獲得了肯定的解答。

論文標(biāo)題里提到的“Guan's bound”，是指中國科學(xué)院的數(shù)學(xué)家關(guān)慶揚(yáng)得到的一個結(jié)論。關(guān)慶揚(yáng)的工作建立在一種名為隨機(jī)局部化（stochastic localization）的技術(shù)之上。該方法最初由羅南·埃爾丹在其博士論文中提出，并在后續(xù)由其他學(xué)者進(jìn)一步完善。

這種幾何方法也可以用物理學(xué)中的熱流解釋。該技術(shù)涉及在凸性假設(shè)下，運(yùn)用隨機(jī)分析方法，對定義在n維歐氏空間中的概率測度的熱流演化過程給出精確估計。

埃爾丹憑借此項工作拿到2023年新視野獎。同年獲獎?wù)哌€有解析數(shù)論領(lǐng)域的領(lǐng)導(dǎo)者之一、菲爾茲獎得主詹姆斯·梅納德（James Maynard）。

現(xiàn)代學(xué)者幾乎不直接考慮高維凸體所有截面的面積/體積，轉(zhuǎn)而研究一個名為凸體迷向常數(shù)（Isotropic Constant）的量：這是衡量凸體“大小”的另一種方式（“迷向”意思是分不清方向）。簡單來說，原本是證明最大可能切片存在下界，此時則變成證明不同維度的凸體迷向常數(shù)有一個上界。同時雖然該定義具有更復(fù)雜的形式，但也因此具備了信息和概率意義。我們能夠直接對它應(yīng)用信息論和概率論中的理論工具。

克拉塔格和勒?？俗鳛楦呔S凸體切片猜想的權(quán)威，對這一問題有深刻的理解。他們立刻意識到，關(guān)慶揚(yáng)的結(jié)果就像是一把鑰匙，能打開解決切片猜想的最后一扇門。實(shí)際上，看到關(guān)的論文后，克拉塔格和勒埃克僅用幾天就解決了之前40年未能攻克的難題。克拉塔格指出：“很幸運(yùn)，因?yàn)槲覀冎狸P(guān)慶揚(yáng)的結(jié)果正是我們所需的要素之一?！?/p>

他們結(jié)合米爾曼的M-橢球理論、隨機(jī)局部化技術(shù)以及關(guān)慶揚(yáng)最新得到的參數(shù)上界，利用Eldan-Mikulincer的Shannon-Stam不等式穩(wěn)定性估計，最終確立了凸體迷向常數(shù)有界（與維度n無關(guān)）的關(guān)鍵定理，一舉證得布爾甘的切片猜想。（M-橢球理論大致上是說，對于任何凸體K，都存在一個橢球E，使得二者在某種意義上相互“覆蓋”得很好。）

Bo’azKlartag對這個猜想、它的歷史、證明的一些成分以及仍然懸而未決的相關(guān)猜想進(jìn)行了精彩的演講。未來甚至有可能確定常數(shù)c的精確值。|圖源：Qingyang Guan, Joseph Lehec and Bo’az Klartag Solved The Slice Conjecture! | Combinatorics and more

克拉塔格半開玩笑地表示：“要是相信所謂的‘維度詛咒’，我們可能早就放棄了。好在，我和勒?？藢儆诓煌膶W(xué)派?！?/p>

維度詛咒，從機(jī)器學(xué)習(xí)的角度來看，是指隨著數(shù)據(jù)集維度的增加，要想在不過度擬合的情況下對數(shù)據(jù)進(jìn)行精確建模（即不記憶樣本的具體細(xì)節(jié)），所需的數(shù)據(jù)量會增長得非常快。因?yàn)榧词箶?shù)據(jù)集非常龐大，最終也只能覆蓋極其稀疏的整體可能性空間。舉例來說，用100個平均分布的點(diǎn)采樣一個單位區(qū)間，相鄰點(diǎn)距離不超過0.01；而當(dāng)維度增加到10后，如果以同樣的間距采樣一單位超正方體，則需要1020個采樣點(diǎn)。

如今，理論上的突破不僅為高維幾何學(xué)帶來了新的理論基礎(chǔ)，也為處理高維數(shù)據(jù)集的統(tǒng)計學(xué)、人工智能的機(jī)器學(xué)習(xí)和計算機(jī)科學(xué)等應(yīng)用領(lǐng)域提供了更深刻的理解和新的工具。

比如說，當(dāng)我們討論凸幾何體的截面時，是不是會讓人聯(lián)想起醫(yī)學(xué)影像和地質(zhì)勘探中的斷層掃描？實(shí)際上，“幾何層析成像”正是一門通過分析幾何對象在各個平面上的投影（陰影）或橫截面數(shù)據(jù)，來重建其整體形狀的數(shù)學(xué)方法。

此外，為了解決切片問題，以及更強(qiáng)的KLS（Kannan–Lovász–Simonovits）猜想，數(shù)學(xué)家發(fā)展出一整套的概率方法。它們已經(jīng)開始反哺統(tǒng)計學(xué)和信息科學(xué)，并在現(xiàn)實(shí)中發(fā)揮威力：這些研究告訴我們，在凸形空間中，即使用最樸素的隨機(jī)游走，也能在顯著更少的步數(shù)內(nèi)把行走位置分布逼近均勻；這為所有基于隨機(jī)游走的高維算法提供了堅實(shí)、可量化的性能下限，幫助計算機(jī)科學(xué)家在各種隨機(jī)采樣技術(shù)之間確定優(yōu)先級——弄清楚什么時候最基本的隨機(jī)游走就已足夠，何時則應(yīng)選擇更復(fù)雜、計算成本更高的算法以獲得更佳性能。

最后，我想每個人都會同意，布爾甘會對這一結(jié)果感到欣慰。

后記

雖然博阿茲·克拉塔格是凸幾何領(lǐng)域里的世界級權(quán)威學(xué)者，長期研究高維對稱結(jié)構(gòu)，此前從未正式涉足晶格/格點(diǎn)理論（Lattice Theory）領(lǐng)域。然而，晶格其實(shí)一直是他渴望去研究的對象。

就是在證明了布爾甘的切片猜想之后，他意識到：“我已經(jīng)47歲了，我一生都想研究格，如果我現(xiàn)在還不去做，那就永遠(yuǎn)不會去做！”

隨后克拉塔格開始了自己的“圓夢之旅”。在今年4月，他以局外人未受到既有研究局限的視角，憑借對凸幾何的理解與隨機(jī)過程的掌握，在離散幾何領(lǐng)域又迅速得到了一個里程碑式的成果。不過，那就是另一個故事了。

參考文獻(xiàn)

[1]Rupert property of Archimedean solids. The American Mathematical Monthly, 125(6), 497–504.

[2]The n-Cube is Rupert.The American Mathematical Monthly, 125(6), 505–512.

[3]The truncated tetrahedron is Rupert. The American Mathematical Monthly, 126(10), 929–932.

[4]Affirmative resolution of Bourgain's slicing problem using Guan's bound. arXiv preprint arXiv:2412.15044.

[5]A note on Bourgain’s slicing problem. arXiv preprint arXiv:2412.09075.

[6]Bourgain’s slicing problem and KLS isoperimetry up to polylog. arXiv preprint arXiv:2203.15551.

[7]Qingyang Guan, Joseph Lehec and Bo’az Klartag Solved The Slice Conjecture! | Combinatorics and more

[8]EricaKlarreich, Statistics Postdoc Tames Decades-Old Geometry Problem

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