在數(shù)碼攝影和視頻拍攝中，你可能遇到過這樣一個(gè)令人抓狂的問題：拍攝條紋襯衫或者電腦屏幕時(shí)，畫面會(huì)出現(xiàn)奇怪的波浪紋或彩色條紋。這個(gè)“鬼影”，叫做莫爾紋 (Moire fringe)，如圖 1(a-b) 所示。當(dāng)周期性圖案 (如網(wǎng)格、條紋、點(diǎn)陣等) 以一定的角度或位置差異重疊時(shí)，視覺上會(huì)產(chǎn)生更大周期的調(diào)制現(xiàn)象，通常呈現(xiàn)波紋或條紋狀的干涉圖案。前面提及的拍攝莫爾紋，則是拍攝對(duì)象的紋理與相機(jī)傳感器的周期性陣列發(fā)生周期調(diào)制后產(chǎn)生的干涉條紋。對(duì)攝影師來說，這是一個(gè)不受歡迎的副產(chǎn)品，雖然看起來因?yàn)樯衿娑烂睢?/p>

圖 1. (a) 用相機(jī)拍攝電視或電腦顯示屏幕得到的莫爾圖案。(b) 兩層一維條紋轉(zhuǎn)角重疊后所產(chǎn)生的莫爾紋。

這樣的效應(yīng)其實(shí)在凝聚態(tài)物理和材料學(xué)科中亦比比皆是。在范德瓦爾斯 (van der Waals, vdW) 二維材料研究中，這個(gè)“鬼影”卻成了寶貴資源。人們刻意去制造莫爾紋：把兩片原子級(jí)厚度的薄膜疊加在一起、并相互轉(zhuǎn)動(dòng)一點(diǎn)點(diǎn)，則一個(gè)更大周期的超晶格 (莫爾超晶格) 就出現(xiàn)了。這種通過原子級(jí)厚度薄膜扭轉(zhuǎn)而實(shí)現(xiàn)的周期性調(diào)制，為人工調(diào)控材料性質(zhì)提供了全新的自由度。更大的實(shí)空間周期，意味著其布里淵區(qū)被折疊得更小，因此原本一個(gè)寬的能帶 (大帶寬) 就可能被切割成一條條的碎帶。而每一個(gè)小碎帶的能帶寬度就可能變得非常窄。帶寬很窄，就是平帶的意思 (flat band)。平帶物理，隨之就是諸如魔角超導(dǎo)、拓?fù)鋺B(tài)等奇妙的物理。

比起那些躲在倒空間能帶里、需要算符和積分才能捉摸的電子性質(zhì)，實(shí)空間里的磁、電紋理與莫爾結(jié)構(gòu)的關(guān)系更像一張簡(jiǎn)單拼圖。如圖 2(a) 所示。扭轉(zhuǎn)形成的莫爾超晶格，可以看作由許多滑移后的雙層結(jié)構(gòu)小塊“拼接”而成。對(duì)應(yīng)的磁、電性質(zhì)可以直接從滑移雙層直接映射。這樣的局部映射，也是物理人普遍接受的近似。

值得指出，有一部分 vdW 材料的物理性質(zhì)對(duì)堆疊模式極為敏感。層間滑移，能對(duì)物理性質(zhì)進(jìn)行有效調(diào)控。例如，雙層氮化硼 (BN) 能夠通過滑移翻轉(zhuǎn)鐵電極化，啟動(dòng)了所謂“滑移鐵電”和隨之而來的更為廣泛的“滑移物理”探索。在轉(zhuǎn)角超晶格中，堆疊模式受莫爾周期調(diào)制。人們自然能夠預(yù)期，莫爾調(diào)制會(huì)形成交替排列、極化相反、規(guī)則的 AB / BA 模式堆疊鐵電疇陣列，如圖 2(b) 所示。

再比如，CrI3 的層間磁耦合，能夠從菱方堆疊下的鐵磁耦合切換到單斜堆疊下的反鐵磁耦合。于是，在轉(zhuǎn)角 CrI3 雙層中，人們自然就能預(yù)料會(huì)形成規(guī)則的鐵磁 - 反鐵交替排列的磁疇陣列，如圖 2(c) 所示。作為簡(jiǎn)化描述，以最常用、也最省事的“剛性模型”為出發(fā)點(diǎn)：對(duì)整個(gè)莫爾超晶格，假定兩層只是整體相對(duì)扭轉(zhuǎn)一下，各層內(nèi)原子并不發(fā)生任何畸變或面內(nèi)面外位移。在這種理想圖景下，堆疊模式平滑過渡，磁、電性質(zhì)也隨之連續(xù)變化。換句話說，人們只需查清每種堆疊對(duì)應(yīng)的性質(zhì)，再按莫爾周期“拼接”起來，就能得到一幅“理想版”的磁、電紋理草圖。

這里特別定義指明，所謂的“轉(zhuǎn)角 (n + n) CrI3”(n 是 CrI3 單胞層數(shù)目) 所表示的，是兩組剛性 CrI3 結(jié)構(gòu)單元于面內(nèi)相對(duì)旋轉(zhuǎn)角度 θtwist 后堆疊在一起，構(gòu)成轉(zhuǎn)角結(jié)構(gòu)。每一組剛性結(jié)構(gòu)單元，由 n 層 CrI3 單胞層堆疊構(gòu)成，而單元內(nèi)的這些單胞層之間被假定沒有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)，只發(fā)生在這兩組剛性的、各由 n 層單胞層構(gòu)成的結(jié)構(gòu)單元之間。這一模型很顯然是一種近似，因?yàn)楹茈y相信剛性單元之間有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)而剛性單元內(nèi)部卻沒有任何畸變。不過，對(duì)于 vdW 材料，這種近似足夠好，因此模型具有較好的普適意義。

圖 2. (a) 轉(zhuǎn)角晶體中的局域堆疊模式，其中不同位置的局域結(jié)構(gòu)單元可以近似表示為幾種結(jié)構(gòu)，如放大圖所示。(b) 轉(zhuǎn)角 BN 中交替堆疊新車的鐵電疇 [from Science 372, 1458 (2021)]。(c) 轉(zhuǎn)角 (3 + 3) CrI3 結(jié)構(gòu)中的自旋紋理，其中 M 和 R 對(duì)應(yīng)單斜和菱方堆疊 [from Science 374, 1140 (2021)]。

圖 3. 剛性 (左) 和結(jié)構(gòu)弛豫后 (右) 的轉(zhuǎn)角 BN 局域堆疊分布 [from Science 372, 1462 (2021)]。

然而，真實(shí)材料會(huì)完全遵循這份草圖嗎？

答案是：不會(huì)。這個(gè)答案，對(duì)凝聚態(tài)物理人而言是有經(jīng)驗(yàn)可循的！眾所周知，對(duì)于外延薄膜，結(jié)構(gòu)弛豫是一個(gè)經(jīng)典的問題。這樣的過程在莫爾超晶格中也必然發(fā)生，因?yàn)閺哪芰孔畹驮沓霭l(fā)，能量更低的堆疊模式會(huì)“擴(kuò)張領(lǐng)地”以降低系統(tǒng)總能量。實(shí)際上，這種現(xiàn)象已在若干實(shí)驗(yàn)中被觀察到。

莫爾超晶格的結(jié)構(gòu)弛豫過程，可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的模型來理解：局域的堆疊能量 (層內(nèi)) 形成一張“勢(shì)能地形圖”。原子沿著梯度滑移或畸變，即結(jié)構(gòu)弛豫，以降低堆疊能。而這種滑移引起的形變，又產(chǎn)生了彈性能量 (層內(nèi))。這兩種能量相互拉扯，最終達(dá)到一個(gè)微妙平衡，決定了超晶格最終的堆疊形貌。如圖 3 所示，轉(zhuǎn)角 BN 雙層結(jié)構(gòu)，在弛豫前后有著顯著區(qū)別：弛豫前堆疊模式的平滑連續(xù)過渡，在弛豫后變得具有清晰邊界 (大塊的 AB、BA 模式堆疊疇和窄窄的疇壁)，這與圖 2(b) 實(shí)驗(yàn)鐵電疇形貌高度吻合。

正因如此，對(duì)那些具有鐵性 (磁性與鐵電性) 的莫爾體系，原本鎖定在特定堆疊模式上的磁耦合與鐵電極化的空間分布，也將被重新繪制。

存在這種效應(yīng)，不意味著就一定值得大肆渲染，要看看效應(yīng)有多大！為看清這個(gè)效應(yīng)到底對(duì)真實(shí)的材料體系有多大影響，筆者選了轉(zhuǎn)角 CrI3 做詳盡的案例分析。CrI3 是最早被實(shí)驗(yàn)證實(shí)的本征二維鐵磁體，其層間磁耦合和滑移鐵電極化都強(qiáng)烈依賴于堆疊模式，是研究弛豫效應(yīng)對(duì)莫爾鐵性影響的理想材料。

基于對(duì)稱性考量而進(jìn)行簡(jiǎn)化，只需要研究扭轉(zhuǎn)角 θtwist 在 0° ~ 60° 的少層 CrI3，就能涵括所有的轉(zhuǎn)角情況。首先看小轉(zhuǎn)角 (θtwist ~ 0°) 的轉(zhuǎn)角 (1 + 1) CrI3，如圖 4(a) 所示：剛性模型預(yù)測(cè)，反鐵磁耦合的 AC / CA 堆疊模式區(qū)域，會(huì)形成圓形的反鐵磁疇 (即磁泡)。微磁模擬也印證了這種預(yù)期，如圖 4(c) 所示。結(jié)構(gòu)弛豫后 [圖 4(b)]，高堆疊能的 CA 堆疊模式區(qū)域大幅收縮，低堆疊能的 AB / BA 堆疊模式區(qū)域擴(kuò)張 (關(guān)于 A / B / C / A' / B' / C' 等，見圖題說明)。磁泡原本寬闊的“領(lǐng)地”被擠壓成狹窄的“夾縫” (半寬 d = 23 ?)，遠(yuǎn)小于形成穩(wěn)定磁泡所需的最小空間 (~ 31 ?)。最終，預(yù)期的磁泡徹底消失，體系變成純鐵磁序，如圖 4(d) 所示。也就是說，轉(zhuǎn)角 (1 + 1) CrI3 配置，在任何轉(zhuǎn)角下都無法提供足夠的空間來容納磁泡，如圖 5(a) 所示。這也解釋了對(duì)轉(zhuǎn)角 (1 + 1) CrI3，先前的剛性模型工作所預(yù)測(cè)磁泡陣列為何在實(shí)驗(yàn)上未被發(fā)現(xiàn)。

圖 4. 0.99° 轉(zhuǎn)角 (1 + 1) CrI3 的層間磁耦合和磁結(jié)構(gòu)。 (a) 剛性模型和 (b) 結(jié)構(gòu)弛豫后的層間磁性耦合分布。(c) & (d) 對(duì)應(yīng)的微磁模擬得到的自旋紋理。層間磁性耦合的正值和負(fù)值分別是反鐵磁和鐵磁的層間耦合。紫色虛線：層間磁性耦合為 0 的邊界。一些高對(duì)稱堆疊模式：AA ：上下層 CrI3 無相對(duì)滑移；AB / BA：上下層相對(duì)滑移 (1/3, 2/3) / (2/3, 1/3)；AC / CA：上下層相對(duì)滑移 (1/3, 0) / (2/3, 0)，相對(duì)滑移以分?jǐn)?shù)坐標(biāo)量化。

圖 5. (a) 不同厚度、轉(zhuǎn)角 (θtwist) 下的 CrI3 中層間磁性耦合大于 0 區(qū)域的半寬度 d 與轉(zhuǎn)角 θtwist 的依賴關(guān)系。(b) θtwist = 0.99° 時(shí)，轉(zhuǎn)角 (2 + 2) CrI3 和轉(zhuǎn)角 (3 + 3) CrI3 體系中層間磁性耦合大于 0 區(qū)域。(c) & (d) 對(duì)應(yīng)的微磁模擬得到的自旋紋理。紫色虛線：層間磁性耦合為 0 的邊界。

那是否可以讓消失的磁泡再現(xiàn)呢？用轉(zhuǎn)角 (2 + 2) CrI3 作為研究對(duì)象，對(duì)轉(zhuǎn)角 (3 + 3) CrI3 等也可做類似分析。在轉(zhuǎn)角 (2 + 2) CrI3 和轉(zhuǎn)角 (3 + 3) CrI3 的實(shí)驗(yàn)中，確實(shí)觀察到了磁泡 [參見 Nat. Commun. 15, 4982 (2024); Science 374, 1140 (2021)]。在這些多層結(jié)構(gòu)中，層間的堆疊能基本不變，但層內(nèi)的彈性模量則顯著、成倍地增加，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)更難因堆疊能的起伏而變形。這種物理機(jī)制天然抑制了弛豫過程，令晶體結(jié)構(gòu)更接近剛性模型假設(shè)下的狀態(tài)。因此，留給磁泡的空間足夠大，磁泡就會(huì)再次活過來，如圖 5(c) & 5(d) 所示。有趣的是，由于轉(zhuǎn)角界面之外的層間磁耦合太弱，磁泡只可以形成在轉(zhuǎn)角界面的任意一層。調(diào)控磁泡的位置，可以作為一個(gè)比特單位來使用。隨著轉(zhuǎn)角增大，超晶格周期反而越小，所以如果想在單位面積內(nèi)獲得最大的磁泡密度，轉(zhuǎn)角理應(yīng)盡量接近閾值角度。

隨著轉(zhuǎn)角增大到接近 60° 時(shí)，滑移鐵電就變成了討論物理的主角。60° 轉(zhuǎn)角堆疊稱為 AA' 堆疊，也相當(dāng)于 180° 轉(zhuǎn)角，因此 AA' 及其層間滑移后所產(chǎn)生的堆疊模式也稱為反向堆疊。AA' 堆疊是非極性、非中心對(duì)稱的晶體結(jié)構(gòu)，層間滑移可以產(chǎn)生鐵電極化，而 0° 的 AA 堆疊是中心對(duì)稱的堆疊模式，無法通過滑移破壞中心對(duì)稱性。極性堆疊 (AC'、CA') 擁有最低的堆疊能，在結(jié)構(gòu)弛豫后這些鐵電疇面積得到擴(kuò)大。并且極化以 AA'、AB'、BA' 堆疊為中心成了拓?fù)淅@數(shù)明確的渦旋與反渦旋結(jié)構(gòu)，如圖 6(b) & 6(c) 所示。與“玻璃心”的磁泡不同，得益于拓?fù)洳蛔冃?，這些鐵電渦旋在不同轉(zhuǎn)角、結(jié)構(gòu)弛豫甚至電場(chǎng)作用下，整體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)依然保持完整，顯示出其極強(qiáng)的魯棒性。即使在轉(zhuǎn)角 (2 + 2) CrI3 或轉(zhuǎn)角 (3 + 3) CrI3 多層結(jié)構(gòu)中，雖然結(jié)構(gòu)弛豫效應(yīng)被抑制，外加體積增大，導(dǎo)致極化強(qiáng)度有所降低，但鐵電渦旋的拓?fù)涮卣骰静蛔儭?/p>

圖 6. (a) AA' 堆疊的轉(zhuǎn)角 (1 + 1) CrI3 中的部分對(duì)稱元素。任意的層間滑移會(huì)部分或完全破壞這些對(duì)稱性而誘導(dǎo)出滑移鐵電。(b) 剛性和 (c) 結(jié)構(gòu)弛豫后 59.01° 轉(zhuǎn)角下的轉(zhuǎn)角 (1 + 1) CrI3。 (d) 結(jié)構(gòu)弛豫后，59.01° 轉(zhuǎn)角 (1 + 1) CrI3 的能量分布圖及部分對(duì)稱元素。AA'、AB' 和 BA' 堆疊處存在三重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，其周圍的鐵電極化圍繞這些中心“打圈”而呈現(xiàn)渦旋紋理。逆時(shí)針方向觀察 AB' 和 BA' 堆疊周圍一圈，鐵電極化是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了一圈的，因此這些渦旋繞數(shù)為 1。同理，AA' 周圍的鐵電極化逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了兩圈，其渦旋繞數(shù)為 -2。

圖 7. 轉(zhuǎn)角 CrI3 的磁、電相圖。圖中展示了不同轉(zhuǎn)角和堆疊厚度下 (a) 磁泡密度、(b) 極化率 (χ) 的形態(tài)和分布。θtwist 是轉(zhuǎn)角，(n + n) 表示轉(zhuǎn)角 (n + n) CrI3 結(jié)構(gòu)。

作為總結(jié)，筆者將轉(zhuǎn)角 CrI3 的磁、電相圖總結(jié)于圖 7 中。相圖清晰地描繪了磁泡的生存區(qū)間 (受轉(zhuǎn)角與厚度影響) 和鐵電渦旋在接近 60° 時(shí)的穩(wěn)定性。盡管筆者在這個(gè)研究中聚焦于 CrI3，但研究的動(dòng)機(jī)更多是為了拋磚引玉：莫爾超晶格從來都不只是“疊一疊、扭一扭”就好了，結(jié)構(gòu)弛豫是普遍存在的。堆疊能的分布決定了弛豫后哪些性質(zhì)會(huì)凸顯、哪些會(huì)被抑制。理解并掌控弛豫過程，才能真正看到莫爾超晶格的“真面目”，并精準(zhǔn)調(diào)控和利用其中新奇物性。

最后指出，本文描述可能多有不周之處，敬請(qǐng)讀者諒解。這一工作，剛剛發(fā)表在《Physical Review Letters》上。對(duì)詳細(xì)內(nèi)容感興趣的讀者，可點(diǎn)擊文尾的“閱讀原文”而御覽一二。

Magnetic and ferroelectric phase diagram of twisted CrI3 layers

Haoshen Ye (葉浩燊) & Shuai Dong (董帥)

Physical Review Letters 135, 066701 (2025)

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/bwwv-f247

浪淘沙令·豫詩弛畫

塵世若云沙

疏淡桑麻

當(dāng)空潑墨任涂鴉

大雁小橋皆入景，不見凡花

一曲向天涯

高韻人家

撫琴朝夕笛吹霞

山水旅程風(fēng)雨客，如唱琵琶

(1) 筆者葉浩燊、董帥，均來自東南大學(xué)物理學(xué)院。董帥教授團(tuán)隊(duì)主頁：https://physics.seu.edu.cn/sdong/。

(2) 小文標(biāo)題“生存與毀滅：鐵性莫爾紋”乃宣傳式的言辭，不是物理上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f法。這里只是展示二維磁性和鐵電材料中，莫爾超晶格堆疊結(jié)構(gòu)的弛豫將會(huì)很顯著地、甚至是致命地改變體系的物理效應(yīng)。

(3) 文底圖片和小詞由編輯 Ising 配置。圖片拍攝自深圳鹽田海濱 (20250515)，是水墨詩畫弛豫的意象。小詞 (20250727) 原本是寫《水墨蘭亭》的氣象，這里被用來描述二維莫爾超晶格條紋中的弛豫物理，竟然亦很受用。小詞標(biāo)題亦由“陶詩瓷畫”改成“豫詩弛畫”。

(4) 封面圖片來自筆者研究成果，展示了轉(zhuǎn)角雙層 CrI3 在剛性模型和結(jié)構(gòu)弛豫后的磁、電紋理。

本文轉(zhuǎn)載自《量子材料QuantumMaterials》微信公眾號(hào)

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