拓撲物理學(xué)的興起，徹底改變了凝聚態(tài)物理的面貌。與傳統(tǒng)的相變不同，拓撲物相并非由局部序參量定義，而是由系統(tǒng)量子態(tài)的全局、魯棒的性質(zhì)決定，這些性質(zhì)通常與被稱為拓撲不變量的整數(shù)相關(guān)聯(lián)。這些系統(tǒng)的標(biāo)志性特征是體邊對應(yīng)，這一深刻原理表明，非平凡的體拓撲不變量必然導(dǎo)致系統(tǒng)邊界處存在受保護的無能隙態(tài)。一個經(jīng)典的例子是整數(shù)量子霍爾效應(yīng)，其中量子化的霍爾電導(dǎo)率與拓撲不變量——陳數(shù)直接成正比。

連接系統(tǒng)體態(tài)拓撲不變量與其可測量響應(yīng)的理論，正是由St?eda 公式優(yōu)雅地呈現(xiàn)出來。該公式最初是為處于磁場中的靜態(tài)系統(tǒng)推導(dǎo)的，它建立了陳數(shù)與系統(tǒng)軌道磁化密度之間的深刻關(guān)系。它提供了一個強大的理論工具，將一個抽象的數(shù)學(xué)量（陳數(shù)）與一個具體的物理測量（霍爾電導(dǎo)率）聯(lián)系起來。

然而，對量子系統(tǒng)的控制和操縱的快速發(fā)展，開啟了一個全新的前沿領(lǐng)域：Floquet 系統(tǒng)。這些系統(tǒng)由外部場進行周期性驅(qū)動。雖然它們無法達到真正的熱力學(xué)平衡，但可以穩(wěn)定在一種獨特的穩(wěn)態(tài)，其特征是一系列Floquet 態(tài)和準(zhǔn)能量。這種周期性驅(qū)動可以誘導(dǎo)出全新的拓撲物相，即Floquet 拓撲物相，它們在靜態(tài)系統(tǒng)中沒有對應(yīng)物。這些系統(tǒng)的拓撲分類涉及到一種新的不變量——Floquet 纏繞數(shù)。因此，如何將強大的 St?eda 公式框架推廣到這些非平衡的、周期性驅(qū)動的系統(tǒng)中，就成了一個巨大的挑戰(zhàn)。

發(fā)表在PRX上名為《Floquet系統(tǒng)的St?eda公式：來自Cesàro求和的拓撲不變量與量子化反?，F(xiàn)象》的論文，正是為了解決這個挑戰(zhàn)而誕生的。其核心貢獻在于推導(dǎo)出了一個適用于Floquet系統(tǒng)的廣義St?eda公式，為它們的 Floquet 纏繞數(shù)和可實驗測量的物理量之間架起了一座橋梁。

克服非平衡態(tài)的挑戰(zhàn)

將 St?eda 公式推廣到 Floquet 系統(tǒng)絕非易事。在靜態(tài)系統(tǒng)中，對外部微擾（如磁場）的響應(yīng)是明確且量子化的。然而，對于 Floquet 系統(tǒng)，恒定的化學(xué)勢或穩(wěn)定的基態(tài)概念已不復(fù)存在。系統(tǒng)對施加的磁場的響應(yīng)在數(shù)學(xué)上可能是發(fā)散的，這使得直接應(yīng)用原始的 St?eda 公式成為不可能。

為了規(guī)避這個問題，論文作者引入了一種新穎的數(shù)學(xué)技術(shù)：Cesàro求和。Cesàro求和是一種為序列的無窮和賦值的方法。在這篇論文的背景下，它被用來對Floquet系統(tǒng)對磁場發(fā)散的響應(yīng)進行正則化。通過應(yīng)用Cesàro求和，作者表明可以在Floquet準(zhǔn)能量譜的帶隙中獲得一個定義良好、量子化的響應(yīng)。這一巧妙的數(shù)學(xué)操作為廣義St?eda公式賦予了必要的物理意義。

揭示新物理：量子化反?，F(xiàn)象

廣義的Floquet St?eda公式揭示了系統(tǒng)響應(yīng)中兩種截然不同的物理貢獻，每一種都實現(xiàn)了量子化。第一種貢獻是量子化的電荷流，它從系統(tǒng)的體態(tài)流向邊界，并與Floquet纏繞數(shù)直接相關(guān)。這與傳統(tǒng)的體邊對應(yīng)關(guān)系類似，即拓撲不變量決定了受保護的邊界態(tài)的存在。這個項可以被解釋為傳統(tǒng)St?eda公式在 Floquet系統(tǒng)中的直接對應(yīng)物，為拓撲不變量和量子化電流之間提供了可測量的聯(lián)系。

第二種，也是更耐人尋味的貢獻，是系統(tǒng)與外部周期性驅(qū)動場之間量子化的反常能量流。這個項是周期性驅(qū)動系統(tǒng)的一個獨特特征，在靜態(tài)拓撲物質(zhì)中沒有直接的對應(yīng)物。它產(chǎn)生于磁場微擾和周期性驅(qū)動場之間復(fù)雜的相互作用。這種“量子化反?！睘?Floquet 拓撲物相的性質(zhì)提供了深刻的新見解。它表明，這些系統(tǒng)的邊界不僅包含傳統(tǒng)的拓撲邊界態(tài)，還包含一種新的、直接與周期性驅(qū)動相關(guān)的反常邊界態(tài)。

更廣泛的啟示與未來方向

這項工作的意義深遠。通過提供一個將抽象的拓撲不變量與具體、可測量量聯(lián)系起來的理論框架，該論文為 Floquet 拓撲物相的實驗探測和表征開辟了新途徑。廣義的 St?eda 公式可用于設(shè)計實驗，探測 Floquet 系統(tǒng)的軌道磁化，并從這些測量中直接確定它們的拓撲纏繞數(shù)。

此外，量子化反常能量流的發(fā)現(xiàn)加深了我們對非平衡系統(tǒng)的物理理解。它表明，體邊對應(yīng)的概念需要擴展，不僅包括電荷等守恒量，還應(yīng)包括能量等其他流，這些流本身就與周期性驅(qū)動緊密相連。這可能導(dǎo)致在廣闊而未知的非平衡量子物質(zhì)領(lǐng)域中，發(fā)現(xiàn)全新的拓撲現(xiàn)象。

總而言之，《Floquet 系統(tǒng)的 St?eda 公式：來自 Cesàro 求和的拓撲不變量與量子化反?，F(xiàn)象》是一篇里程碑式的論文，它將拓撲物理學(xué)最基本的原理之一擴展到了一個新穎而令人興奮的領(lǐng)域。通過巧妙地應(yīng)用 Cesàro 求和來正則化非平衡響應(yīng)，作者不僅為實驗物理學(xué)家提供了一個強大的工具，還揭示了體邊對應(yīng)關(guān)系中一種獨特的“反?！狈矫?，這是周期性驅(qū)動系統(tǒng)所特有的。這項工作為更深入地探索非平衡量子物質(zhì)廣闊而未知的領(lǐng)域中的拓撲現(xiàn)象鋪平了道路。