第一章：對(duì)稱性和最小作用量原理

我在知乎上，看到過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題：力和能量哪一個(gè)更為本質(zhì)？

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，你會(huì)怎么思考？就是這個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)我進(jìn)行了一些思考，然后就有了后面的論述。

知乎上的朋友怎么回答的，我摘錄一個(gè)大家看看【會(huì)有改動(dòng)】：力和能量，其實(shí)都不是最根本的。在牛頓力學(xué)里面，力是一個(gè)最直觀的概念，但一旦進(jìn)入場(chǎng)論，力就只是相互作用的一種“表象”。比如電磁力，它本質(zhì)上就只是帶電粒子和電磁場(chǎng)的相互作用。

能量看起來(lái)比力要更為根本，但從數(shù)學(xué)上講，能量只是“時(shí)間平移對(duì)稱性”的產(chǎn)物。能量守恒之所以成立，是因?yàn)樽匀唤缭跁r(shí)間上具有均勻性，而不是因?yàn)槟芰勘旧硎悄撤N根本的存在。

“時(shí)間平移對(duì)稱性”我們后面還會(huì)提到，有必要給做一個(gè)通俗的解釋。“時(shí)間平移對(duì)稱性”這個(gè)概念，可以分為兩個(gè)層面來(lái)理解：一是其直觀含義，二是其深刻的物理意義。

一、時(shí)間平移對(duì)稱性是什么？

1. 直觀定義： 時(shí)間平移對(duì)稱性，顧名思義，指的是物理定律在時(shí)間上的平移（即時(shí)間的流逝）下保持不變。

換句話說(shuō)，無(wú)論你今天、明天還是一年后做同一個(gè)實(shí)驗(yàn)，只要初始條件完全相同，你得到的結(jié)果也會(huì)完全相同。物理規(guī)律不會(huì)因?yàn)闀r(shí)間是“2023年9月5日”還是“2024年9月5日”而改變。

例子1： 萬(wàn)有引力定律。蘋果從樹上落下，無(wú)論是在牛頓時(shí)代還是在今天，它都遵循F＝GMm/r2 的規(guī)律下落。引力常數(shù)G不會(huì)隨著時(shí)間改變。

例子2：真空中光速不變。光在真空中的速度始終是 c≈3×108 m/s，這個(gè)值不隨時(shí)間變化。

如果物理定律不具備時(shí)間平移對(duì)稱性，那么科學(xué)實(shí)驗(yàn)將無(wú)法重復(fù)驗(yàn)證，整個(gè)科學(xué)體系也會(huì)崩塌，因?yàn)槲覀儫o(wú)法根據(jù)過(guò)去的實(shí)驗(yàn)預(yù)測(cè)未來(lái)的結(jié)果。

2. 深刻的物理意義（諾特定理）：這是這個(gè)概念最精彩的部分。時(shí)間平移對(duì)稱性不僅僅是一個(gè)哲學(xué)觀念，它直接導(dǎo)致了物理學(xué)中一條極其重要的守恒定律。

諾特定理指出：每一種連續(xù)對(duì)稱性都對(duì)應(yīng)著一個(gè)物理量的守恒定律。

· 空間平移對(duì)稱性（物理定律在空間各處相同）對(duì)應(yīng)動(dòng)量守恒。

· 空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性（物理定律在空間各個(gè)方向相同）對(duì)應(yīng) 角動(dòng)量守恒。

· 時(shí)間平移對(duì)稱性（物理定律不隨時(shí)間改變）對(duì)應(yīng) 能量守恒。

因此，時(shí)間平移對(duì)稱性之所以如此重要，是因?yàn)樗悄芰渴睾愣傻母?。宇宙的基本?guī)律不隨時(shí)間流逝而改變，這一事實(shí)保證了能量既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式。

1. 誰(shuí)提出了“時(shí)間平移對(duì)稱性”這一思想？這個(gè)思想其實(shí)非常古老，隱含在早期科學(xué)家的思考中。艾薩克·牛頓（Isaac Newton）的絕對(duì)時(shí)空觀就為這種對(duì)稱性提供了舞臺(tái)。在他的經(jīng)典力學(xué)體系中，時(shí)間是一個(gè)均勻、不斷流逝的背景參數(shù)，物理定律在這個(gè)背景下成立。所以，可以說(shuō)是牛頓力學(xué)體系本身就蘊(yùn)含了時(shí)間平移對(duì)稱性的思想。

2. 誰(shuí)發(fā)現(xiàn)了其與能量守恒的深刻聯(lián)系（即理論化）？ 這位科學(xué)家是埃米·諾特（Emmy Noether），一位德國(guó)的杰出數(shù)學(xué)家。

1915年，諾特受邀來(lái)到哥廷根大學(xué)，在數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert） 和費(fèi)利克斯·克萊因（Felix Klein） 的邀請(qǐng)下，幫助解決愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論中的能量守恒問(wèn)題。

1918年，她發(fā)表了她里程碑式的論文，提出了現(xiàn)在被稱為 “諾特定理”（Noether‘s Theorem） 的偉大發(fā)現(xiàn)。這個(gè)定理精確地證明了時(shí)間平移對(duì)稱性必然導(dǎo)致能量守恒。

因此，時(shí)間平移對(duì)稱性作為一個(gè)基本事實(shí)，其思想早已存在（如牛頓力學(xué)）。但是，是數(shù)學(xué)家埃米·諾特在1918年以其著名的“諾特定理”，首次深刻揭示并證明了“時(shí)間平移對(duì)稱性”與“能量守恒定律”之間的必然因果關(guān)系。

在現(xiàn)代物理學(xué)中，“對(duì)稱性”和“作用量原理”才是最本質(zhì)的。對(duì)稱性決定了守恒量，比如能量、動(dòng)量、電荷等等的守恒。作用量的最小化原則又決定了運(yùn)動(dòng)方程。力是從作用量推導(dǎo)出來(lái)的一個(gè)次級(jí)概念，能量也是從對(duì)稱性和作用量中推導(dǎo)出來(lái)的概念。換句話說(shuō)就是，力和能量都不是最根本的，它們只是深層規(guī)律的一個(gè)衍生品。

那什么是“作用量原理”？作用量原理，也稱為最小作用量原理或穩(wěn)定作用量原理，是物理學(xué)中一個(gè)描述系統(tǒng)隨時(shí)間演化的普遍法則。

1. 核心思想：大自然在演化時(shí)，似乎總是選擇一個(gè)“最經(jīng)濟(jì)”或“最有效率”的路徑。這個(gè)“效率”不是由能量或速度決定的，而是由一個(gè)叫做“作用量（Action）” 的物理量決定的。

該原理可以表述為：一個(gè)物理系統(tǒng)在所有可能發(fā)生的真實(shí)運(yùn)動(dòng)路徑中，其作用量取極值（通常是最小值，但有時(shí)是最大值或駐值）。

2. 關(guān)鍵概念：

作用量(Action, S)： 這是一個(gè)標(biāo)量（一個(gè)數(shù)字），其大小取決于系統(tǒng)整個(gè)路徑的形態(tài)。它不是一個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)，而是整個(gè)路徑的函數(shù)之函數(shù)（泛函）。對(duì)于經(jīng)典力學(xué)，作用量通常定義為拉格朗日函數(shù)L 對(duì)時(shí)間的積分：S = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) dt

其中，L = T - V，即動(dòng)能減去勢(shì)能。q 是廣義坐標(biāo)，描述系統(tǒng)的位置。

變分法(Calculus of Variations)：這是數(shù)學(xué)上尋找泛函極值的方法。我們可以把它想象成“為整個(gè)路徑求導(dǎo)”。應(yīng)用變分法來(lái)尋找使作用量 S 取極值的路徑，就可以推導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。

3. 一個(gè)直觀的類比：想象光從空氣進(jìn)入水中發(fā)生折射。

它為什么不走直線？因?yàn)樗兴俣嚷?，直線路徑雖然距離短，但“花費(fèi)”的時(shí)間并不是最少的。

它為什么不垂直下落？雖然在水里待的時(shí)間最短，但總路徑又太長(zhǎng)。

光實(shí)際上選擇了一條“折中”的路徑，使得總的旅行時(shí)間最短（這本身就是一種作用量原理，費(fèi)馬原理）。

作用量原理就像這個(gè)故事的升級(jí)版：系統(tǒng)不是在最小化時(shí)間，而是在最小化一個(gè)更抽象的“作用量”。

4. 為什么它如此強(qiáng)大和優(yōu)美？

統(tǒng)一性：它用一個(gè)簡(jiǎn)單的公式δS = 0（作用量的變分為零）就可以推導(dǎo)出整個(gè)系統(tǒng)的所有運(yùn)動(dòng)方程（如牛頓第二定律、麥克斯韋方程、愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程等）。

普適性：從經(jīng)典力學(xué)到電磁學(xué)，從量子力學(xué)到相對(duì)論，幾乎所有的物理基本定律都可以從作用量原理中導(dǎo)出。它是現(xiàn)代物理理論的標(biāo)準(zhǔn)表述方式。

深刻性：它暗示自然似乎有一種“目的性”或“經(jīng)濟(jì)性”，并且為理解對(duì)稱性和守恒律（通過(guò)諾特定理）提供了最自然的基礎(chǔ)。

作用量原理的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展是一個(gè)跨越幾個(gè)世紀(jì)的漫長(zhǎng)過(guò)程，并非一人之功。以下是其中的關(guān)鍵人物：

1. 皮埃爾·德·費(fèi)馬 (Pierre de Fermat) - 1662年

提出了費(fèi)馬原理，指出光在兩個(gè)點(diǎn)之間傳播的路徑是所需時(shí)間最短的路徑。這可以說(shuō)是作用量原理的最早雛形，但僅限于幾何光學(xué)。

2. 皮埃爾·路易·莫佩爾蒂 (Pierre-Louis Maupertuis) - 1744年

首次提出了一個(gè)更一般的“最小作用量原理”。他認(rèn)為自然界的運(yùn)動(dòng)發(fā)生時(shí)，一個(gè)叫做“作用量”（他定義為動(dòng)量×距離）的量應(yīng)取最小值。他的動(dòng)機(jī)帶有哲學(xué)和神學(xué)色彩（證明上帝設(shè)計(jì)的宇宙是“最經(jīng)濟(jì)的”）。雖然他的數(shù)學(xué)表述不完全正確，但他命名并推廣了這一思想。

3. 萊昂哈德·歐拉 (Leonhard Euler) - 1744年

與莫佩爾蒂同期，歐拉獨(dú)立地發(fā)展了變分法，并為處理這類極值問(wèn)題提供了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)工具。

4. 約瑟夫-路易·拉格朗日 (Joseph-Louis Lagrange) - 約 1760年

他是真正將作用量原理數(shù)學(xué)化和完善化的關(guān)鍵人物。他明確了作用量S 是拉格朗日函數(shù) L 對(duì)時(shí)間的積分，并表明通過(guò)變分法 δS = 0 可以系統(tǒng)地推導(dǎo)出所有力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程（即歐拉-拉格朗日方程）。他的著作《分析力學(xué)》完全基于這個(gè)原理，無(wú)需借助牛頓的幾何矢量分析。

5. 威廉·羅文·哈密頓 (William Rowan Hamilton) - 1830s

他進(jìn)一步抽象和推廣了拉格朗日的工作，提出了哈密頓原理，這是現(xiàn)代形式的作用量原理的最終表述。他還發(fā)展了哈密頓力學(xué)，將能量（哈密頓量H）置于中心地位，這為后續(xù)的統(tǒng)計(jì)力學(xué)和量子力學(xué)的發(fā)展鋪平了道路。

因此，作用量原理由莫佩爾蒂提出核心思想，經(jīng)歐拉和拉格朗日之手?jǐn)?shù)學(xué)化并完善，最終由哈密頓完成其現(xiàn)代表述。其中，拉格朗日的貢獻(xiàn)被視為最關(guān)鍵的一步。

最早人們對(duì)運(yùn)動(dòng)的理解非常樸素，你推一個(gè)東西，就能感受到力，牛頓就是在這樣的直覺(jué)基礎(chǔ)上建立的經(jīng)典力學(xué)。但后來(lái)發(fā)現(xiàn)，用能量描述問(wèn)題，往往會(huì)比力更簡(jiǎn)潔、更普遍。

比如在熱力學(xué)領(lǐng)域，根本不好去談“力”究竟是什么，反而是“能量”這樣概念貫穿始終。再比如說(shuō)，在電磁學(xué)領(lǐng)域，電場(chǎng)力、磁場(chǎng)力其實(shí)都有能量表達(dá)式，整個(gè)體系用能量來(lái)處理，比用“力”更加自然。

當(dāng)物理學(xué)進(jìn)入拉格朗日力學(xué)、哈密頓力學(xué)的時(shí)候，“力”幾乎被完全地邊緣化了。你根本不需要先定義一個(gè)力，如上文所述，只需要寫出能量函數(shù)就可以推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)方程。

所以物理學(xué)家們意識(shí)到，能量比力更接近本質(zhì)。無(wú)論是在相對(duì)論還是在量子力學(xué)里面，能量守恒都是最基本的規(guī)律。但數(shù)學(xué)家諾特告訴我們，能量守恒之所以存在，是因?yàn)樽匀唤绲囊?guī)律在時(shí)間上是不變的，也就是所謂的時(shí)間平移對(duì)稱性。通俗的說(shuō)，如果今天的自然規(guī)律和明天的自然規(guī)律完全一樣，那么能量就一定是守恒的。

能量看起來(lái)更本質(zhì)，其實(shí)它只是“對(duì)稱性”這個(gè)深層規(guī)律的結(jié)果。所以現(xiàn)在的物理學(xué)家們普遍認(rèn)為，力不是最根本的，能量也不是最根本的，他們都來(lái)自一個(gè)更深的層次，那就是對(duì)稱性和作用量原理。

對(duì)稱性是大自然最深層的秩序，它決定了哪些東西必須守恒。比如時(shí)間的對(duì)稱性就決定了能量守恒，空間的對(duì)稱性決定了動(dòng)量守恒，旋轉(zhuǎn)的對(duì)稱性決定了角動(dòng)量守恒。作用量原理就像是宇宙的規(guī)則，它規(guī)定所有物理系統(tǒng)的演化都會(huì)沿著使得作用量最小的道路進(jìn)行。這個(gè)規(guī)則一旦確定，力和能量都能從里面推導(dǎo)出來(lái)。力和能量都是我們理解世界的工具，但它們并不是宇宙最根本的原理，對(duì)稱性和作用量才是。

為了照顧更多的讀者，我來(lái)詳細(xì)解讀一下。

1. 力和能量在物理學(xué)中的角色

力：在牛頓力學(xué)中，力是描述物體運(yùn)動(dòng)變化的原因（如 ( F = ma )），它是一個(gè)直觀的概念。但當(dāng)物理學(xué)發(fā)展到場(chǎng)論（如電磁場(chǎng)、廣義相對(duì)論）時(shí)，力不再是最基本的。例如，電磁力被理解為帶電粒子與電磁場(chǎng)的相互作用，而場(chǎng)本身由更一般的方程（如麥克斯韋方程）描述，這些方程可以從作用量原理導(dǎo)出。

能量：能量是一個(gè)守恒量，但它的守恒性源于更深層的原理。根據(jù)諾特定理，每一個(gè)連續(xù)對(duì)稱性都對(duì)應(yīng)一個(gè)守恒定律。能量守恒源于時(shí)間平移對(duì)稱性（即物理定律在時(shí)間上均勻）。因此，能量是對(duì)稱性的產(chǎn)物，而不是原始實(shí)體。

2. 對(duì)稱性和作用量原理的本質(zhì)性

對(duì)稱性：現(xiàn)代物理學(xué)（如量子場(chǎng)論、廣義相對(duì)論）強(qiáng)調(diào)對(duì)稱性的核心地位。對(duì)稱性決定了所有基本守恒定律，如能量、動(dòng)量、角動(dòng)量、電荷等。例如，標(biāo)準(zhǔn)模型中的規(guī)范對(duì)稱性定義了基本相互作用。

作用量原理：物理系統(tǒng)的行為通常由作用量（action）極值原理（如哈密頓原理）決定。作用量是拉格朗日量對(duì)時(shí)間的積分，運(yùn)動(dòng)方程（如歐拉-拉格朗日方程）可以從其導(dǎo)出。力往往作為勢(shì)能的梯度出現(xiàn)，而能量是哈密頓量或拉格朗日量的組成部分。

3. 物理學(xué)發(fā)展的視角

牛頓力學(xué)：力是核心，但它無(wú)法解釋所有現(xiàn)象（如電磁現(xiàn)象）。

分析力學(xué)（拉格朗日、哈密頓形式）：強(qiáng)調(diào)能量和作用量，力成為派生概念。

場(chǎng)論和現(xiàn)代物理：對(duì)稱性和作用量成為理論基礎(chǔ)。例如，在廣義相對(duì)論中，引力不是力，而是時(shí)空彎曲的幾何效應(yīng)；在量子場(chǎng)論中，粒子通過(guò)場(chǎng)相互作用，作用量包含所有動(dòng)力學(xué)信息。

現(xiàn)代物理學(xué)的共識(shí)：力和能量都是次級(jí)概念，而對(duì)稱性和作用量原理更為根本。這并不意味著力和能量不重要——它們?cè)趯?shí)用計(jì)算和直觀理解中極其有用——但它們的根源在于更深層的物理原理。

摘自獨(dú)立學(xué)者，作家靈遁者科普書籍《信息與關(guān)系》

作者簡(jiǎn)介：靈遁者，中國(guó)獨(dú)立學(xué)者。原名王銀，陜西綏德縣人。1988年出生，現(xiàn)居西安。哲學(xué)家，藝術(shù)家，作家。代表作品《觸摸世界》《行者乾坤》《探索生命》《變化》《相觀天下》《手診面診色診大全》《筆有千鈞》《非線性波動(dòng)》《見(jiàn)微知著》《探索宇宙》《偉大的秘密》《自卑之旅》《云淡風(fēng)清》《我的世界》《牙牙學(xué)語(yǔ)》等。其作品樸實(shí)大膽，富有新意。

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