文章來源：機(jī)器之心。

說起對 AI 的使用，著名數(shù)學(xué)家陶哲軒可謂是最具代表性的一位。

這位菲爾茲獎得主，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域不斷拓展邊界，如今也積極嘗試與 AI 協(xié)作，探索人工智能在數(shù)學(xué)研究中的真正潛力。

他最近使用 ChatGPT-5 Pro 挑戰(zhàn)一個(gè)自己并不熟悉的開放問題，曲率有界的球面（Sphere with bounded curvature），并在過程中詳細(xì)記錄了 AI 在不同層面上帶來的幫助與局限。

雖然問題本身依然沒有解決，但陶哲軒表示自己使用 AI 工具的感悟已經(jīng)比以前深入得多：要評估一個(gè)工具的價(jià)值，必須從多個(gè)層面來衡量。

簡單來說：

• 在小尺度上（例如具體推導(dǎo)、計(jì)算等任務(wù)），AI 非常有用；

• 在中尺度上（例如策略選擇、方向判斷），AI 幫助有限，甚至有時(shí)會產(chǎn)生干擾；

• 而在宏觀尺度上（例如對整體問題結(jié)構(gòu)和關(guān)鍵困難的把握），AI 又重新展現(xiàn)了價(jià)值。

接下來，我們看陶哲軒的研究過程。

「Sphere with bounded curvature」涉及這樣一個(gè)問題：

在三維歐幾里得空間 R^3 中，若一個(gè)光滑沉浸球面的兩個(gè)主曲率的絕對值都不超過 1，那么它所包圍的體積是否至少不小于單位圓球的體積？

在陶哲軒看來，這更像是一個(gè)變分問題，于是他將這個(gè)問題分成兩個(gè)部分來研究：

• 微擾區(qū)（perturbative regime）：浸入球面與標(biāo)準(zhǔn)圓球非常接近；

• 非微擾區(qū)（non-perturbative regime）：浸入球面與圓球相差很大。

陶哲軒表示由于自己對這個(gè)問題缺乏足夠的幾何直覺，加上手頭大多數(shù)分析工具主要適用于微擾情形，他推測問題的關(guān)鍵或許正隱藏在這一部分，于是決定將主要精力集中在微擾區(qū)的研究上。

此前，有評論指出該問題的凸面情形過于簡單，缺乏研究意義。于是，陶哲軒決定將注意力轉(zhuǎn)向一個(gè)更具一般性的類別星形（star-shaped）對象。

他當(dāng)時(shí)猜想，也許可以將問題的假設(shè)與結(jié)論都用曲面上的積分形式來表達(dá)，然后借助一些積分不等式來推進(jìn)證明。然而，由于自己在微分幾何方面的知識已較為生疏，他便請 AI 代為進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。

令他頗感意外的是，AI 不僅準(zhǔn)確計(jì)算出了所有所需量，甚至還給出了星形情形下的完整證明。它利用多種積分恒等式和不等式對問題進(jìn)行了推導(dǎo)，其中有一些陶哲軒十分熟悉，例如斯托克斯定理（Stokes’ theorem）、Willmore 不等式 / Gauss–Bonnet 定理；但也引入了他此前從未接觸過的工具，如 Minkowski 第一積分公式（Minkowski’s first integral formula）。

在綜合這些不等式后，AI 給出的星形情形證明竟然只需一行推導(dǎo)即可完成。

這一結(jié)果讓陶哲軒感到十分震撼，但他依然選擇親自驗(yàn)證 AI 給出的證明步驟。經(jīng)過查閱資料，他發(fā)現(xiàn)網(wǎng)上雖然有不少關(guān)于 Minkowski 公式的重述，卻鮮有完整的證明過程。于是，他再次向 AI 求助。AI 隨即提供了兩個(gè)獨(dú)立且令人信服的證明版本：一個(gè)基于陶哲軒原本設(shè)想的散度定理（divergence theorem） 方法，另一個(gè)則采用了他此前未曾考慮過的流方法（flow method）。

驗(yàn)證完成后，陶哲軒發(fā)現(xiàn)該推理進(jìn)一步揭示了一個(gè)有趣的結(jié)論：標(biāo)準(zhǔn)圓球是唯一的極小化解，并且當(dāng)曲面偏離圓球形狀時(shí)，其所包圍的體積反而增大。這個(gè)發(fā)現(xiàn)令他深受鼓舞。隨后，他決定讓 AI 進(jìn)一步分析「almost round」的情形，即平均曲率接近 1 的狀況。他計(jì)劃將此問題視為一個(gè)微擾型橢圓偏微分方程（elliptic PDE）問題來研究，借助橢圓正則性與強(qiáng)制性估計(jì)等工具，嘗試完善對這一特例的證明。

AI 在這一階段的表現(xiàn)同樣出色。它準(zhǔn)確地推導(dǎo)出：如果平均曲率足夠接近 1，那么通過一個(gè)橢圓型強(qiáng)制性估計(jì)，確實(shí)可以證明該定理成立。更令人驚訝的是，AI 還主動指出，這一結(jié)論其實(shí)并非新的發(fā)現(xiàn)，因?yàn)槠骄式咏?1 這一假設(shè)本身就隱含了星形性（star-shapedness）的條件！

當(dāng)然，AI 在處理中也并非完美。它在估計(jì)一個(gè)微擾非線性項(xiàng)時(shí)出現(xiàn)了輕微誤差，不過這種錯(cuò)誤并不嚴(yán)重，大致相當(dāng)于一位非線性偏微分方程（nonlinear PDE）專家在初步推導(dǎo)時(shí)可能犯下的常見失誤。

在陶哲軒看來，這一結(jié)果更像是 PDE 理論中的一個(gè)小數(shù)據(jù)（small data）情形，即問題在小范圍內(nèi)可控，但大數(shù)據(jù)（large data）情形仍未解決。結(jié)合問題的橢圓特性與曲率有界性，他推測整體上可能具有足夠的緊致性，從而可以將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限但龐大的數(shù)值 PDE 計(jì)算問題。

他將這一想法告訴 AI，AI 也表示認(rèn)可，并提供了一個(gè)可行的數(shù)值方案輪廓。然而，這種方法本質(zhì)上是一種暴力搜索，需要對所有可能的曲面形狀進(jìn)行窮盡式計(jì)算，既繁瑣又缺乏理論啟發(fā)性。

在小尺度上，也就是完成具體計(jì)算、推導(dǎo)和驗(yàn)證等任務(wù)時(shí)，AI 的表現(xiàn)依然十分出色。除了極少數(shù)小錯(cuò)誤外，它提供了若干實(shí)用且文獻(xiàn)中確有記載的證明。

不過，隨著研究的推進(jìn)，陶哲軒意識到，若要進(jìn)一步取得實(shí)質(zhì)性突破，就需要真正的微分幾何專家介入，以避免陷入冗長乏味的暴力枚舉計(jì)算。于是，他決定先將當(dāng)前得到的關(guān)鍵推理與結(jié)果整理成文章，并將其發(fā)布在 MathOverflow 上，以便吸引更多專家的討論。

發(fā)布之后，他注意到在原問題的評論區(qū)中，有人指出該問題的二維版本其實(shí)早已被解決，這正是著名的 Pestov–Ionin 定理，甚至在維基百科上就有獨(dú)立的條目。當(dāng)陶哲軒點(diǎn)開頁面并看到附圖時(shí)，他才驚訝地發(fā)現(xiàn)，自己的直覺其實(shí)相當(dāng)有偏差。

他原本假設(shè)值得關(guān)注的主要是那些 nearly round 的集合；然而圖中的例子卻展示了另一類極端情形：一些形狀相對圓潤的部分，被細(xì)長的管狀結(jié)構(gòu)相互連接，形成整體上遠(yuǎn)離圓球但仍滿足條件的曲面。這一發(fā)現(xiàn)讓他意識到，問題的難點(diǎn)并不在微小偏差的分析上，而在于如何理解那些極端非圓的幾何形態(tài)。

在對比新的直覺與自己此前采用的研究策略時(shí)，陶哲軒意識到，自己曾犯下一個(gè)關(guān)鍵性假設(shè)錯(cuò)誤，他默認(rèn)沉浸球面的內(nèi)徑是有界的，并在強(qiáng)制性分析中隱含使用了這一前提。事實(shí)上，他原本設(shè)想的數(shù)值方法，也許能在給定直徑范圍內(nèi)的情形下于有限時(shí)間內(nèi)求解問題，但對于一般情形則無能為力。

值得注意的是，AI 在這一階段并未指出這一漏洞，反而表現(xiàn)出典型的過度認(rèn)同式行為，幾乎贊同陶哲軒提出的所有思路。因此，在中尺度層面，即整體策略制定方面，AI 的幫助并不大。它在無意中強(qiáng)化了陶哲軒對問題的錯(cuò)誤直覺，而非挑戰(zhàn)或糾正。

不過，這次反思讓陶哲軒對問題的核心難點(diǎn)有了更清晰的認(rèn)識，真正需要應(yīng)對的難題，是那些極度偏離圓形的曲面。這些曲面往往包含非常細(xì)長的圓柱、薄片或其他瘦長結(jié)構(gòu)，它們在體積上貢獻(xiàn)甚微，卻能顯著拉伸幾何結(jié)構(gòu)。由此，他意識到自己原先依賴的那些方法在這里并不適用。

進(jìn)一步的閱讀使他了解到，星形情形實(shí)際上是問題中最容易的一種特殊情形。該部分的二維版本曾在 Pankrashkin 的論文中出現(xiàn)，而三維的替代性處理方式則出現(xiàn)在 Qiu 的最新論文中。

最終，陶哲軒總結(jié)認(rèn)為，這個(gè)問題超出了他現(xiàn)有數(shù)學(xué)工具箱的能力范圍，目前依然是一個(gè)開放問題。不過，從大尺度的角度來看，也就是在加深對問題結(jié)構(gòu)和難點(diǎn)的理解層面上，AI 的使用仍然是有益的。雖然這種幫助主要是間接的，但它讓他能更快速地探索、驗(yàn)證并舍棄那些不合適的思路；同時(shí)，他也因此學(xué)到了若干此前并不了解的微分幾何知識。

陶哲軒還將這次經(jīng)歷與自己早前的另一場實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了比較。在那次實(shí)驗(yàn)中，他對問題的結(jié)果已有較強(qiáng)直覺，因此更容易判斷 AI 的正確性。而在這次研究中，AI 的表現(xiàn)則更具創(chuàng)造性，提出了他此前未曾想到的思路，但也讓人更難以信任和引導(dǎo)其朝有效方向推進(jìn)。

他最后總結(jié)道：在自己專業(yè)領(lǐng)域之外與 AI 協(xié)作，確實(shí)有探索價(jià)值，但必須保持謹(jǐn)慎與情境意識，否則很容易被似是而非的直覺所誤導(dǎo)。

參考鏈接：https://mathstodon.xyz/@tao