摘要

有時多層網絡為復雜系統(tǒng)建模提供了一種強有力的框架，它能夠在多個層面上捕捉同一實體之間的不同類型交互。核心—邊緣（core-periphery）檢測的目標，是將網絡節(jié)點劃分為核心節(jié)點與邊緣節(jié)點：核心節(jié)點在整個網絡中高度連接，而邊緣節(jié)點與核心緊密連接，但彼此之間聯(lián)系稀疏。本文提出了一種新的多層網絡核心—邊緣結構模型，并設計了一種非線性譜方法（nonlinear spectral method），能夠在加權、有向的多層網絡中，同時識別節(jié)點與層的核心與邊緣結構。該方法在三個實證多層網絡中展現(xiàn)出新的結構性洞見，分別是科學引文網絡、歐洲航空運輸網絡與世界貿易網絡。

關鍵詞：多層網絡（multilayer networks）；核心—邊緣結構（core-periphery structure）；非線性譜方法（nonlinear spectral method）；復雜系統(tǒng)（complex systems）；網絡科學（network science）

彭晨丨作者

論文題目：Core-Periphery Detection in Multilayer Networks 論文鏈接：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/yr23-71yc 發(fā)表時間：2025年8月22日 論文來源：Physical Review Letters

引言：從單層到多層的跨越

在復雜系統(tǒng)研究的諸多分支中，網絡科學已經成為一門核心工具。從20世紀末“無標度網絡”（scale-free networks）和“小世界網絡”（small-world networks）的發(fā)現(xiàn)，到今天多層網絡（multilayer networks）的快速發(fā)展，研究者不斷嘗試以更精細的結構刻畫真實世界的交互過程。單層網絡只能展現(xiàn)某一維度的關系，而多層網絡則能在不同層同時呈現(xiàn)交互關系，例如同一群體的人既可能在社交媒體上互動，也可能通過科研合作建立聯(lián)系。

在網絡分析中，核心—邊緣結構（core-periphery structure）是一個經典問題。它試圖回答：在一個龐大的系統(tǒng)中，哪些節(jié)點構成了緊密的核心，哪些節(jié)點則處于外圍依附位置？在單層網絡中，已有多種成熟的方法可以檢測這種結構，例如與理想L型矩陣擬合，塊模型優(yōu)化，矩陣分解和譜方法等[1-5]。然而，當我們進入多層網絡的世界，情況卻變得更加復雜：一個節(jié)點可能在某一層是核心，在另一層卻淪為邊緣。這種交織關系，正是本文試圖破解的難題 。

新模型的提出：多層核心—邊緣的定義

要在多層網絡中捕捉核心與邊緣，首要挑戰(zhàn)是如何在數(shù)學上定義這一概念。研究者提出了一種新的建模方式：不僅為每個節(jié)點賦予一個“核心度”（coreness score），同時也為每一層分配一個核心度。這意味著，研究者不再局限于識別網絡中哪些節(jié)點重要，還能判斷哪些層在整體結構中占據核心地位。

這種建模方法通過引入一個四階鄰接張量（adjacency tensor）來實現(xiàn)。它不僅描述了節(jié)點之間的連接關系，還精確記錄了這些關系發(fā)生在哪一層與哪一層之間。該四階張量A編碼從第k層節(jié)點i到第l層節(jié)點j的可能加權和有向邊。

研究者設計了一種優(yōu)化目標函數(shù)，將節(jié)點的核心度（x）和所屬層的核心度（c）同時納入其中，從而能夠在全局范圍內尋找最優(yōu)的核心—邊緣劃分。優(yōu)化目標的核函數(shù)選擇的是兩個平滑最大核的積，其核心思想是：一條邊的權重越大，越要求連接它的節(jié)點與所在層至少有一方屬于核心。這樣，核心節(jié)點與核心層就會在優(yōu)化過程中自然浮現(xiàn)。其中標量參數(shù)α和β用于控制核函數(shù)的平滑度。為防止目標函數(shù)崩潰，將目標函數(shù)除以了范數(shù)約束||x||p,||c||q。

非線性譜方法：算法與全局收斂性

傳統(tǒng)的核心—邊緣檢測往往依賴于組合優(yōu)化，而這類問題在中大型網絡上計算代價極高。為此，研究者提出了一種非線性譜方法，將問題轉化為迭代求解的形式。具體來說，該方法通過固定點迭代的方式，不斷朝著相對x和c的梯度為0的方向更新核心度向量（見下式），直至收斂。其中J為p范數(shù)的梯度，p*為p的 H?lder 共軛。

與經典的線性譜方法（如特征向量中心性）不同，這里引入了非線性核函數(shù)（kernel function），能夠更靈活地捕捉多層網絡的異質性結構。研究者進一步利用非線性 Perron-Frobenius 理論，證明了算法在一定條件下（α, β, p, q > 1）可收斂至全局最優(yōu)解，不僅保證了方法的數(shù)學嚴謹性，也提升了其在實際應用中的可靠性。

確定核心規(guī)模：從單層L形到雙層L形

在識別出核心度之后，另一個關鍵問題是如何確定核心的邊界，即哪些節(jié)點最終被歸為核心，哪些留在邊緣。傳統(tǒng)的單層網絡方法是通過與理想化的“L形模型”對比：核心區(qū)域對應鄰接矩陣的左上角密集區(qū)，而邊緣則位于右下角稀疏區(qū)。

本文將這一思路擴展到多層場景，通過“超鄰接矩陣”（supra-adjacency matrix）的構造，將多層網絡展開為分塊矩陣，再進行兩級排序：先按照層的核心度重新排列，再在每一層內部按照節(jié)點核心度排列。最終形成一個“雙層L形”結構，即不僅在整體層面呈現(xiàn)核心—邊緣分布，每一層內部也同時展現(xiàn)這種結構。這一方法能夠清晰地揭示多層網絡的層間與層內核心關系 。

圖 1. 2023年復雜網絡科學家加權OpenAlex多層引文網絡的超鄰接矩陣圖。深色格網表示較大的邊重。圖(b)和(d)中的綠線表示層核心規(guī)模為2，圖(c)和(e)中的紅線分別表示每個塊中的節(jié)點核心的規(guī)模為4058和2566。(a)原始超鄰接。(b) 完全置換的超鄰接，p = q = 22。(c)左上角5 × 5塊置換的超鄰接，p = q = 22。(d) 完全置換的超鄰接，p = q = 2。(e)左上角5 × 5塊置換的超鄰接，p = q = 2。

實證一：科學引文網絡的多層核心

研究者首先將方法應用于復雜網絡科學領域的引文網絡。他們基于 OpenAlex 數(shù)據庫，收集了截至2023年以前的3萬余篇相關論文，構建了一個包含5萬多名作者、19個學科層的多層網絡。

結果顯示，計算機科學與數(shù)學成為學科層面的核心，而在作者層面，不同參數(shù)設定下檢測到約2500到4000名核心作者。更有趣的是，作者追蹤了2000至2023年的動態(tài)演化，發(fā)現(xiàn)早期由于標志性論文的發(fā)表，核心作者排名經歷了劇烈變化，但自2006年起，前五名核心作者幾乎保持穩(wěn)定。這一發(fā)現(xiàn)不僅印證了學科內部的權力集中性，也揭示了核心科學家的長期影響力 。

圖 2. 2000年至2023年加權OpenAlex引用多層網絡中按節(jié)點核心度得分排名前10位的作者，p = q = 22。

實證二：歐洲航空運輸網絡

第二個案例是2012年的歐洲航空公司航線網絡，包含417個機場與37家航空公司。算法結果顯示，約57個機場處于核心地位，而在航空公司層面，漢莎、易捷、瑞安航空與柏林航空被識別為核心層。

一個有趣的現(xiàn)象是：瑞安航空在某些參數(shù)下排名很高，但在另一組參數(shù)下卻跌至第18位。這反映了其“外圍型”運營模式——雖然航線眾多，但更多服務于邊緣機場。這一發(fā)現(xiàn)為理解航空網絡的層次結構提供了新視角，也提示我們在解讀網絡中心性時需要結合不同方法與參數(shù)設定。

圖 3.歐洲航空公司網絡總圖。核心機場用紅色標記，邊緣機場用黑色標記。只記錄聚合層內邊權值大于1的邊，深色表示較大的邊重。

實證三：世界貿易網絡

最后，研究者將方法應用于2000—2014年的世界投入產出數(shù)據庫（WIOD），構建了一個包含56個產業(yè)、43個國家的多層貿易網絡。

結果揭示：在國家層面，核心始終保持約7個國家，但排名發(fā)生顯著變化，中國在2000年代中后期逐漸上升并最終居于首位。在產業(yè)層面，核心規(guī)模在9至16之間波動，2008年全球金融危機導致核心產業(yè)數(shù)量驟降，特別是金融服務業(yè)的核心地位明顯下降，而基礎金屬制造業(yè)的核心度不斷上升。這些趨勢生動地反映了國際經濟格局的動態(tài)演化 。

結論：邁向多層網絡的系統(tǒng)理解

本文的貢獻在于提出了一種全新的多層核心—邊緣檢測框架，不僅能夠識別節(jié)點的重要性，還能刻畫不同層之間的核心性。這種雙重視角使得研究者能夠更全面地理解復雜系統(tǒng)中的權力結構與功能分工。通過引文、航空與貿易三大網絡的實證檢驗，研究展示了方法的普適性與解釋力。

未來，這一框架有望擴展至更多領域，例如腦連接組學中的多模態(tài)數(shù)據、城市交通中的多種運輸方式、甚至社交媒體平臺的跨平臺互動。隨著多層網絡科學的不斷發(fā)展，我們或許能夠更深入地回答一個核心問題：在多重關系交織的世界中，真正的核心在哪里？

參考文獻

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[2] M. P. Rombach, M. A. Porter, J. H. Fowler, and P. J. Mucha, Core-periphery structure in networks, SIAM J. Appl. Math. 74, 167 (2014).

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[4] J. P. Boyd, W. J. Fitzgerald, M. C. Mahutga, and D. A. Smith, Computing continuous core/periphery structures for social relations data with MINRES/SVD, Soc. Networks 32, 125 (2010).

[5] R. J. Mondragón, Network partition via a bound of the spectral radius, J. Complex Netw. 5, 513 (2017).

復雜網絡瓦解讀書會

從復雜網絡的構建到智能優(yōu)化的演化，理解網絡的魯棒性與瓦解機制始終是一個深刻的挑戰(zhàn)。更值得深思的是，網絡的結構和算法設計如何決定了網絡在遭遇局部攻擊時的脆弱性，及其整體瓦解的速度與范圍。動態(tài)演化過程中的節(jié)點和邊的變化，也會影響系統(tǒng)如何在瓦解中保持部分功能，或如何適應新的結構。因此，網絡瓦解研究聚焦于一個核心問題：在不同類型的網絡結構（如高階網絡、空間網絡、時序網絡）中，局部的破壞如何引發(fā)整體功能的喪失？在面對網絡的異質性和約束條件下，不同的優(yōu)化算法如何有效識別并摧毀關鍵節(jié)點與連接，從而最大化網絡的瓦解效應，進而影響系統(tǒng)的整體穩(wěn)定性與韌性？

集智俱樂部聯(lián)合北京師范大學教授吳俊、國防科技大學副研究員譚索怡、北京化工大學副教授谷偉偉、中國科學技術大學博士后范天龍、國防科技大學在讀博士卿楓共同發(fā)起，跨越網絡結構、算法模型與應用場景的視角，探索復雜網絡瓦解的前沿進展。重點探討不同算法與優(yōu)化框架如何幫助我們認識網絡的脆弱性，并在現(xiàn)實約束下推動網絡系統(tǒng)的智能演化與應用發(fā)展。

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報名讀書會：「非線性動力學與混沌」

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