度量圖上的對數(shù)高斯 Cox 過程

Log-Gaussian Cox Processes on General Metric Graphs

https://arxiv.org/pdf/2501.18558

摘要
空間點過程的建模已取得顯著進展，但將其推廣至非歐幾里得域（如道路網(wǎng)絡）仍是一個具有挑戰(zhàn)性的問題。我們提出了一種新穎的框架，用于在一般緊致度量圖上構(gòu)建對數(shù)高斯考克斯過程（log-Gaussian Cox processes），該框架基于高斯Whittle–Matérn隨機場——即定義在度量圖上的分數(shù)階隨機微分方程的解。為實現(xiàn)計算高效的基于似然的推斷，我們引入了一種對似然函數(shù)的數(shù)值近似方法，該方法無需對高斯過程本身進行近似。結(jié)合對整數(shù)光滑度Whittle–Matérn隨機場有限維分布的精確計算，該方法兼顧了可擴展性與理論嚴謹性，并導出了后驗分布的收斂速率。該框架已集成于開源的MetricGraph R軟件包中，可與R-INLA無縫銜接，支持完全貝葉斯推斷。我們通過分析沙特阿拉伯哈薩地區(qū)包含超過15萬條道路線段的道路事故數(shù)據(jù)，展示了該方法的適用性與可擴展性。通過使用超閾值概率和激發(fā)集（excursion sets）識別高風險道路線段，本框架能夠提供事故熱點的局部化洞察，為在復雜網(wǎng)絡上直接建?？臻g點過程提供了有力工具。

關(guān)鍵詞：高斯隨機場；線性網(wǎng)絡；對數(shù)高斯考克斯過程；度量圖；空間點過程；隨機偏微分方程。

1 引言

空間點過程對于分析從流行病學到城市安全規(guī)劃等不同領域的事件模式至關(guān)重要 [19]。其中，對數(shù)高斯考克斯過程 [25] 已成為建?？臻g變化強度的廣泛采用框架，它利用潛在高斯場靈活地納入空間協(xié)變量 [20]。形式上，定義在空間域 D 上的對數(shù)高斯考克斯過程 X 是一個強度函數(shù)為 Λ(s) = exp(u(s))，s ∈ D 的考克斯過程（式1），其中 u 為高斯過程。也就是說，對于任意博雷爾集 B ∈ ?(D)，在給定強度函數(shù) λ 的實現(xiàn)條件下，集合 X ∩ B 的基數(shù)服從強度為 ∫_B λ(s)ds 的泊松分布。

盡管對數(shù)高斯考克斯過程在歐氏域中已得到充分研究 [23]，但將其擴展到受網(wǎng)絡約束的幾何結(jié)構(gòu)（如道路網(wǎng)絡）在理論上和計算上仍具挑戰(zhàn)性。傳統(tǒng)模型通常依賴歐氏距離，這會錯誤表征網(wǎng)絡中事件被限制在路徑上的連通性與空間依賴性 [1, 3]。近期關(guān)于線性網(wǎng)絡點過程的研究通過采用基于網(wǎng)絡的距離（如最短路徑或電阻距離）、處理非平穩(wěn)性以及開發(fā)針對非齊次過程的定制化匯總統(tǒng)計量，解決了這些局限性 [17, 26]。一項由 Anderes 等人 [1] 提出的重要進展是在線性網(wǎng)絡上引入各向同性協(xié)方差函數(shù)，用以替代歐氏距離，從而更好地匹配網(wǎng)絡連通性。在此基礎上，M?ller 和 Rasmussen [24] 基于這些各向同性協(xié)方差函數(shù)開發(fā)了適用于線性網(wǎng)絡的考克斯過程。這些模型可輕易推廣至具有歐氏邊的度量圖——這是比線性網(wǎng)絡更廣的一類度量圖；然而，要求邊必須為歐氏結(jié)構(gòu)這一限制在實際應用中往往難以滿足。

對于像本文后續(xù)將分析的大型圖而言，這種限制尤為明顯。此外，正如 Baddeley 等人 [4] 所指出，各向同性未必是理想特性，因為它可能無法捕捉真實世界道路網(wǎng)絡固有的各向異性依賴關(guān)系，凸顯了對更靈活模型的需求 [26]。

其他方法將網(wǎng)絡嵌入歐氏平面 [13]，在 ?2 中近似空間過程。然而，此類嵌入會導致顯著誤差，因為這些模型無法捕捉網(wǎng)絡幾何結(jié)構(gòu)施加的約束——例如事件僅沿道路發(fā)生而不在周邊空間發(fā)生——從而導致不可控的邊界效應。此外，大規(guī)模應用（如全市范圍的事故建模）還會引發(fā)額外的計算瓶頸。雖然 spatstat.linnet 軟件包 [2] 為線性網(wǎng)絡提供了探索性分析工具，但它僅支持泊松過程，缺乏對對數(shù)高斯考克斯過程的推斷能力。coxin 包 [24] 專為基于網(wǎng)絡的考克斯過程設計，實現(xiàn)了基于各向同性協(xié)方差函數(shù)的對數(shù)高斯考克斯過程，因此其應用局限于具有歐氏邊的度量圖。此外，根據(jù)我們的測試，coxin 在大型圖上計算效率不高，且對空間協(xié)變量的支持有限——而這些協(xié)變量在現(xiàn)實應用中往往至關(guān)重要。

在本文中，在第2節(jié)，我們首次提出一類在任意緊致度量圖上均有良好定義的對數(shù)高斯考克斯過程。這些過程不僅在直線網(wǎng)絡和具有歐氏邊的度量圖上有明確定義，而且可應用于能容納實際應用中常見復雜幾何結(jié)構(gòu)的任意緊致度量圖。該模型類基于最近提出的度量圖上的高斯Whittle–Matérn場 [7, 9]，可視為流行的隨機偏微分方程方法在度量圖上的延伸 [9, 22]。除在一般度量圖上具有良好定義外，這些過程的另一優(yōu)勢在于它們可以被微分，從而允許強度平滑變化——即使圖本身具有歐氏邊，這一點也遠非基于各向同性場的方法所能實現(xiàn)。

在方法論上，在第3節(jié)，我們提出了 Simpson 等人 [33] 提出的一種計算高效、基于似然的推斷算法的版本，并將其適配至度量圖設定，該算法依賴于似然函數(shù)中積分的求積近似。然而，與 Simpson 等人 [33] 不同的是，我們的方法不依賴于對高斯過程本身的任何近似。除更精確外，這也使我們能夠通過推導后驗分布的收斂速率，對方法給出完整的理論論證。最后，我們將此近似與Whittle–Matérn場在整數(shù)光滑度參數(shù)下具備馬爾可夫性質(zhì)的事實 [10] 相結(jié)合，從而獲得一種理論上有依據(jù)、計算上高效且適用于大型數(shù)據(jù)集和網(wǎng)絡的應用方法。

我們在第4節(jié)通過分析沙特阿拉伯哈薩省的交通事故數(shù)據(jù)，展示了本框架的實用性。利用包含178,801個路段的高分辨率路網(wǎng)數(shù)據(jù)，我們在第5節(jié)生成強度圖并通過估計潛在高斯過程的激發(fā)集來識別高風險區(qū)域。開源的 MetricGraph R 軟件包 [8] 實現(xiàn)了我們的方法，為 R-INLA 軟件提供了一個可擴展的接口，可在完全貝葉斯框架內(nèi)擬合對數(shù)高斯考克斯過程 [22, 32]。文章最后在第6節(jié)進行討論。

2 度量圖上的Whittle–Matérn對數(shù)高斯考克斯過程

2.1 高斯Whittle–Matérn場

考慮一個緊致、無向的度量圖Γ，由有限頂點集 = {v?} 和有限邊集? = {e?} 構(gòu)成，每條邊 e 是連接兩個頂點、長度 ?? ∈ (0, ∞) 的曲線。每條邊 e 由一對頂點 (ē, e) = (v?, v?) 定義。對于每個頂點 v ∈ ，記與之相連的邊集為 ??，其度數(shù) deg(v) = |??|。點 s ∈ Γ 位于某條邊 e 上，表示為 s = (e, t)，其中 t ∈ [0, ??]。由于邊長 ?? 有限，該圖為緊致圖。我們假設圖是連通的，確保任意兩點間存在路徑，并賦予其測地距離 d(·, ·)，用以度量圖中任意兩點間的最短路徑長度。這種緊致且連通的結(jié)構(gòu)便于直接在圖邊上定義統(tǒng)計模型，使空間過程可自然擴展至受網(wǎng)絡約束的域，超越傳統(tǒng)的組合圖。具體而言，Γ 上的實值函數(shù) f 是一族實值函數(shù) {f?}?∈? 的集合，其中對每個 e ∈ ?，f?: [0, ??] → ?。

Whittle–Matérn 場 u 定義為以下分數(shù)階微分方程在 Γ 上的解：

其中 k, τ > 0 控制實際相關(guān)長度和 u 的邊際方差，α = ν + 1/2 > 0 決定光滑性， 是概率空間 (Ω, ?, ?) 上的高斯白噪聲，ΔΓ 為基爾霍夫-拉普拉斯算子。

具體而言，ΔΓ 在每條邊上作用為二階導數(shù)，其定義域 (ΔΓ) = H?2(Γ) ∩ C(Γ) ∩ K(Γ)。此處，H??(Γ) = ??∈? H?(e) 是所有在邊上弱可微 k 次的函數(shù)構(gòu)成的空間，其中 H?(e) 表示邊 e 上標準的 k 階索博列夫空間。此外，C(Γ) = {f ∈ L?(Γ): f 連續(xù)} 是 Γ 上連續(xù)函數(shù)的集合，L?(Γ) = ??∈? L?(e) 是 Γ 上平方可積函數(shù)的空間，配備范數(shù) ‖f‖2_L?(Γ) = Σ?∈? ‖f?‖2_L?(e)。最后，

是滿足所謂“基爾霍夫頂點條件”的函數(shù)空間，即連續(xù)函數(shù)滿足頂點處的求和為零約束 Σ?∈?? ??f(v) = 0，其中 ?? 表示遠離頂點的方向?qū)?shù)。這意味著在度數(shù)為 2 的頂點處導數(shù)連續(xù)。

式 (2) 中的分數(shù)冪按譜意義定義，L?(Γ) 上的高斯白噪聲 可通過涉及 ΔΓ 特征函數(shù) {φ?}?∈? 的譜分解表示為：

可以證明，當 α > 1/2 時，(2) 在此設定下有唯一解 [9]，這是一個中心化的高斯過程 u ∈ L?(Γ)（?-幾乎必然），被稱為 Whittle–Matérn 場。詳見 Bolin 等人 [9]。

Whittle–Matérn 場的一個顯著特點是參數(shù) α 直接控制樣本路徑的正則性。具體而言，若 α > 1/2，則存在 u 的修正版本，其樣本路徑關(guān)于任意 0 < γ < min{α ? 1/2, 1/2} 是 γ-赫爾德連續(xù)的。此外，若 α > 3/2，則 u ∈ H1(Γ) = H?1(Γ) ∩ C(Γ)（?-幾乎必然）[9]。

2.2 基于White-Matérn場的對數(shù)高斯Cox過程

3 統(tǒng)計推理
對數(shù)高斯考克斯過程的基于似然的推斷具有挑戰(zhàn)性，因為數(shù)據(jù)在給定強度函數(shù)條件下的似然為：

第一項表示強度函數(shù)在整個圖上的積分，用于刻畫定義域中事件點的期望數(shù)量；第二項則在觀測到的點位置處對強度函數(shù)求值。
由于強度函數(shù)的復雜性，該積分通常難以解析計算，必須通過數(shù)值方法進行近似。在歐氏域中，一種常見的似然近似方法是將定義域劃分為網(wǎng)格，并將似然轉(zhuǎn)化為標準的泊松回歸似然 [21]。另一種由 Simpson 等人 [33] 針對基于隨機偏微分方程（SPDE）模型提出的方法，則是將高斯過程的有限元近似與積分的數(shù)值近似相結(jié)合。

在度量圖設定下，我們提出第三種方案：使用中點法則（mid-point rule）對積分進行近似，而不對隨機場本身進行任何近似。之所以如此，是因為正如我們將在下文所見，這樣我們便能夠為潛在高斯過程對應后驗分布的完整近似提供理論保證。這一思路導出了如下形式的對數(shù)似然近似：

該定理的證明以及更嚴格和精確的陳述推遲至附錄 C。此外，在附錄 C 中，我們還證明了對于更廣泛的一類函數(shù) 的收斂性，這類函數(shù)可能對刻畫通過空間變化的 所體現(xiàn)的非平穩(wěn)特征的模型具有意義。為簡化起見，證明假設 = 0，因為在后驗測度中最重要的對象是潛在隨機場。

4 道路事故數(shù)據(jù)的應用
4.1 引言
在本節(jié)中，我們通過沙特阿拉伯東部省最大行政區(qū)——哈薩（Al-Ahsa）的交通事故數(shù)據(jù)，展示 Whittle–Matérn 對數(shù)高斯考克斯過程的實際應用。哈薩地區(qū)人口超過一百萬。所有分析均使用 R [29] 軟件完成，建模采用 MetricGraph 和 R-INLA 軟件包 [8, 32]，而可視化和超閾值概率計算則借助 ggplot2、sf 和 excursions 軟件包 [36, 28, 6] 實現(xiàn)。

4.2 數(shù)據(jù)描述
數(shù)據(jù)來源于達曼市交通警察部門，此前曾由 Rahman 等人 [30] 進行分析。該數(shù)據(jù)集覆蓋 2014 年 10 月至 2017 年 8 月，最初包含 3994 條事故記錄。經(jīng)數(shù)據(jù)清洗后，剩余 3563 條記錄，包含八個關(guān)鍵變量，并涵蓋整個區(qū)域及通往主要城市的高速公路連接。事故按 46 種原因、19 種類型和四種嚴重程度分類，但本子集中僅包含兩種最嚴重的類別。數(shù)據(jù)還包括精確的地理位置、日期以及傷亡信息，詳見 Rahman 等人 [30]。在本研究中，我們排除了與事故類型、嚴重程度或原因相關(guān)的變量，僅專注于空間建模。

路網(wǎng)數(shù)據(jù)源自 TomTom Traffic Stats 產(chǎn)品 [35]，提供限速、道路長度和功能道路等級等附加信息。功能道路等級按重要性排序，從 0（主干高速）到 7（次要道路）。本研究中，由于 0 類和 1 類道路限速相近且 0 類道路在研究區(qū)域內(nèi)數(shù)量極少，我們將這兩類合并。為捕捉交通動態(tài)的完整復雜性并展示模型在處理大規(guī)模路網(wǎng)時的可擴展性，我們保留了所有道路等級；盡管類似研究可能出于實用性考慮僅關(guān)注部分等級（如 1–6 類）。

由于村莊邊界不明確，我們手動劃定了研究區(qū)域，在確保足夠觀測數(shù)量的同時控制計算復雜度。因此，我們從原始數(shù)據(jù)集中篩選出三年研究期內(nèi)哈薩中部地區(qū)的 2482 起事故。最終研究區(qū)域與路網(wǎng)結(jié)構(gòu)見圖 2。

4.3 空間模型構(gòu)建
我們擬合了兩個對數(shù)高斯考克斯過程模型，以分析交通事故的空間分布。第一個模型作為基線模型，僅包含截距項和用于對數(shù)強度的空間隨機效應：

其中，X?(s) 表示位置 s 處的空間協(xié)變量集合，β? 是其對應的系數(shù)。

表 1 描述了本研究中使用的所有協(xié)變量。這些協(xié)變量的數(shù)據(jù)來源于 osmdata R 軟件包 [27]。我們計算了從每個網(wǎng)格節(jié)點到最近設施的歐氏距離。盡管測地距離可能提高精度，但考慮到圖中節(jié)點數(shù)量龐大，其計算需求不切實際。

對于空間隨機效應 u(s)，我們采用了 MetricGraph 軟件包為 Whittle–Matérn 場設定的默認先驗。設 DΓ 為包含 Γ（視為平面對象）的邊界框?qū)蔷€長度。超參數(shù) κ 和 τ 均被賦予對數(shù)高斯先驗：log(κ) 以 log(κ?) 為中心、精度為 10，其中 κ? 根據(jù)空間圖尺寸確定為 2/DΓ，并作為優(yōu)化中 κ 的起始值；log(1/τ) 以 log(2) ? log(κ?) 為中心，精度同樣設為 10。這些默認設置在允許數(shù)據(jù)影響空間依賴結(jié)構(gòu)的同時，穩(wěn)定了推斷過程。

為確保協(xié)變量間的可比性，所有變量均采用最小-最大縮放法進行標準化。分類變量（如道路等級）采用獨熱編碼處理。相關(guān)矩陣用于檢測多重共線性；在高度相關(guān)的情況下，排除部分變量以增強模型穩(wěn)健性。為強調(diào)鄰近特征更強的影響，我們對到設施的距離應用了負指數(shù)變換，確保更近的設施對模型產(chǎn)生更大影響。該變換在所有協(xié)變量上保持一致應用。交通強度按 Chaudhuri 等人 [14] 的方法計算為：交通強度 = (限速 / 道路類型) × log(道路長度)。

該圖基于 TomTom Traffic Stats 提供的道路段構(gòu)建，最終形成一個包含 81,438 個頂點和 178,801 條邊的度量圖，全面覆蓋了研究區(qū)域的路網(wǎng)（見圖 2）。鑒于數(shù)據(jù)精度較高，我們在 MetricGraph 軟件包中通過設置 merge_close_vertices = FALSE 優(yōu)化了建圖過程，在配備 Apple M1 Max 芯片和 32 GB 內(nèi)存的機器上，建圖時間不到 1.5 分鐘。進一步優(yōu)化通過修剪度數(shù)為 2 的頂點實現(xiàn)，利用此類頂點移除后不影響模型結(jié)構(gòu)的特性 [9]。此步驟將度數(shù)為 2 的頂點數(shù)量從 20,502 減少至 6,960。最終用于模型擬合的圖包含 67,896 個頂點和 165,259 條邊。

為對似然函數(shù) (6) 中的積分進行數(shù)值近似，我們采用間距為 100 米的網(wǎng)格，得到 146,237 個網(wǎng)格節(jié)點，以確保足夠的空間分辨率。

4.4 結(jié)果

兩個模型均使用 R-INLA 進行估計，模型 1 耗時 55 秒，模型 2 耗時 73 秒。表 2 展示了兩個模型估計的場參數(shù)和截距項。表 3 匯總了模型 2 的協(xié)變量參數(shù)估計結(jié)果，對每個協(xié)變量均給出了估計系數(shù)及其 95% 可信區(qū)間。例如，交通強度的系數(shù)為正，這是合理的，表明交通繁忙的道路事故風險更高。

圖 3 顯示了兩個模型對數(shù)強度的后驗均值，突出了模型識別出的高風險區(qū)域?？梢钥闯?，這兩個后驗表面非常相似。圖 4 展示了模型 2 中高斯場 的后驗均值，反映了協(xié)變量未能捕捉到的空間變異?？梢宰⒁獾剑瑓f(xié)變量未能充分反映研究區(qū)域中部及若干主干道上更高的事故風險。

5 激發(fā)集分析與風險定位

對數(shù)高斯考克斯過程模型的傳統(tǒng)應用通常以潛在場的后驗均值 E( | ) 和方差作為結(jié)論，從而提供潛在場的點估計。然而，在許多實際應用中，目標是識別高風險區(qū)域，即所謂的“熱點”。這些區(qū)域可通過計算潛在過程的激發(fā)集（excursion sets）來估計。本節(jié)將該方法引入度量圖模型，并應用于交通事故分析。

在交通應用中，識別此類區(qū)域?qū)τ谥笇д咧贫ㄕ吆蛷臉I(yè)者制定針對性干預措施、降低交通事故率并提升交通安全至關(guān)重要。

Bolin 和 Lindgren [5] 提出了一種定義潛在高斯模型的同時可信帶（simultaneous credible bands）的方法，并已在 excursions R 軟件包 [6] 中實現(xiàn)。由于對數(shù)高斯考克斯過程模型屬于潛在高斯模型族，我們可以應用該方法在路網(wǎng)中識別高風險區(qū)域。該方法與 INLA 模型對象的集成確保了計算效率，這對于像我們這樣的大規(guī)模應用是一個顯著優(yōu)勢。

我們的目標是在圖 Γ 上識別一個區(qū)域 ，使得過程 ()（見式 (2)）在所有 ∈ ? Γ 處超過閾值 的概率為 1 ? 。這個所謂的正激發(fā)集（positive excursion set）指示了協(xié)變量未能捕捉的高風險區(qū)域，可能需要在此類區(qū)域采取額外的安全措施。若 () = () 是一個已知函數(shù)，則可直接計算正激發(fā)集為 ?t() = { ∈ Γ : () > }。然而，由于 () 是一個潛在隨機過程，我們關(guān)注的是以高概率超過閾值的區(qū)域。具體而言，概率為 的正激發(fā)集 ?{t,}() 定義為：

方程 (10) 的含義是：它代表了在該集合內(nèi)所有位置上，過程以概率 1?α 超過閾值水平 t 的最大區(qū)域。

在實踐中，可通過參數(shù)化邊緣激發(fā)概率的激發(fā)集，并計算激發(fā)函數(shù) F?(s) = sup{1?α: s ∈ E?{t,α}} 來高效地計算多個 α 值對應的激發(fā)集（詳見 Bolin 和 Lindgren [5]）。激發(fā)函數(shù)取值于 [0,1] 區(qū)間，對于特定的 α 值，其對應的激發(fā)集可表示為 A?{1?α}(F?)。

為計算激發(fā)集，我們必須選定所使用的閾值 t。在本應用中針對模型 2，我們設定 t = 0，并計算潛在過程 u 的激發(fā)函數(shù)。因此，這識別出高斯過程對增加事故風險具有顯著貢獻的區(qū)域。

結(jié)果如圖 6 所示，從中可以注意到，有少數(shù)道路被突出顯示為在考慮協(xié)變量后仍“意外危險”。圖 5 展示了針對模型 2 計算得到的邊緣激發(fā)概率。

6 討論與未來工作

我們提出了首類適用于任意度量圖的對數(shù)高斯考克斯過程，并展示了如何對這類模型進行計算高效的基于似然的推斷。該模型基于近期提出的高斯 Whittle–Matérn 隨機場，其高效推斷的關(guān)鍵在于：這些隨機場的有限維分布可被精確計算，且對應于高斯圖模型 [12]。此外，我們還針對 Hellinger 距離下近似后驗分布收斂到真實后驗分布的速率提供了嚴格的理論結(jié)果。據(jù)我們所知，這是首次在高斯過程由隨機偏微分方程（SPDE）驅(qū)動的對數(shù)高斯考克斯過程中完整證明此類收斂性。

為展示模型的實際應用價值，我們將該方法應用于大規(guī)模路網(wǎng)上的交通事故數(shù)據(jù)，通過結(jié)合對數(shù)高斯考克斯過程與超閾值概率進行熱點定位，從而識別高風險道路線段。如圖 6 所示，該方法能夠精確識別高風險區(qū)域。

該應用還證明了在單一框架內(nèi)對涵蓋整個城市或區(qū)域動態(tài)的大型圖實現(xiàn)此類模型的可行性。盡管從技術(shù)上講，M?ller 和 Rasmussen [24] 提出的模型也可應用于本數(shù)據(jù)集，但需將圖 2 所示的圖結(jié)構(gòu)線性化，這將帶來計算挑戰(zhàn)。例如，我們模型中的度量圖包含 165,259 條邊，而若進行線性化，則需 532,122 條線段才能保持等效的網(wǎng)絡幾何結(jié)構(gòu)。此外，由于各向同性模型在一般圖（如本文所用）上不具備馬爾可夫性 [10]，所得對數(shù)高斯考克斯過程將不具有稀疏性，無法降低計算成本，從而使其在標準臺式計算機上無法擬合。這一對比凸顯了我們方法的計算效率。

最后，盡管激發(fā)集（excursion sets）已在環(huán)境研究中被廣泛應用（例如空間背景下的降水或溫度預測 [16]），但其在對數(shù)高斯考克斯過程模型中的應用仍相對未被探索。據(jù)我們所知，這是首次在交通事故分析的對數(shù)高斯考克斯過程框架中使用激發(fā)集。

未來工作的一個自然問題是：如何將模型推廣至任意 值的情形。一個自然的思路是采用 Bolin 等人 [11] 的方法，即結(jié)合過程的有限元近似與分數(shù)冪的有理近似。通過該方法，還可允許參數(shù) 和 作為空間變化的函數(shù)，以刻畫非平穩(wěn)特征。然而，這將要求我們將現(xiàn)有理論結(jié)果擴展至涵蓋對高斯隨機場的額外近似。另一未來研究方向是考察式 (3) 中定義的頂點處基爾霍夫條件是否恰當——這些條件可能與交通動力學不完全吻合，因為從小路匯入主干道時總流量通常不為零。一種可能的解決方案是采用“加權(quán)基爾霍夫”方法，根據(jù)道路重要性賦予不同權(quán)重。未來研究還將探索該模型的時空擴展形式，以及用于多類型點模式的多元擴展。

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