相符合。因此，研究發(fā)現(xiàn)的這一折疊機制應(yīng)用廣泛，不僅在均勻光滑的材料，而且在表面結(jié)構(gòu)材料中也同樣適用，將在柔性器件、可展開結(jié)構(gòu)、軟體機器人等領(lǐng)域發(fā)揮作用。

在我們的日常經(jīng)驗中，想讓一張紙或薄膜折起來，往往需要“壓”：用手壓、工具擠、或者在表面劃出折痕；想通過屈曲使板殼發(fā)生面外變形，在絕大多數(shù)情況下，對其施加的載荷都是壓縮力，比如用手在兩端按壓一張紙牌。

而在一項近日發(fā)表于《美國國家科學(xué)院院刊》（PNAS）的最新研究，卻顛覆了這一直覺：拉伸一張紙(薄板)，同樣可以使之出現(xiàn)屈曲和折疊變形。這一反直覺的變形行為，被研究人員命名為“TUG Folding”——局部拉伸誘導(dǎo)的顯著折疊（Localized Tension-induced Giant Folding），取意為拉伸(tugging)造成的變形行為。5月12日，PNAS在線刊發(fā)了這篇研究論文，題為“Localized tension–induced giant folding in unstructured elastic sheets”。

研究靈感和實驗

這項研究的靈感，來自一個有趣的發(fā)現(xiàn)，我們邀請讀者也親自動手試驗一下：把一張白紙任意團成一團后展開，用兩手分別捏住短軸邊緣的兩個中點（圖1A）。只須輕輕一拉，就能讓這張紙折起來（圖1B）。

圖1一張通過局部拉伸被整體折疊的紙。(A)拉伸前的平面狀態(tài)；(B)拉伸后的折疊狀態(tài)。

這里包含兩個值得注意的點：(i)施加的是局部載荷，卻使這張紙出現(xiàn)了顯著的全局變形；(ii)長軸方向的拉伸，使一張紙沿短軸方向出現(xiàn)了折疊。為了理解這些現(xiàn)象，研究人員設(shè)計了一組更為簡單且全面的實驗。在實驗中，研究人員使用激光切割出尺寸規(guī)則的光滑PVC柔性薄膜（圖2A），沒有任何預(yù)制褶皺、缺口或花紋。他們在薄膜短邊的中間夾持一小塊局部區(qū)域，并施加縱向拉力。僅僅幾毫米的拉伸變形之后，薄膜中央?yún)^(qū)域突然垂直方向隆起，形成一道清晰的折疊。整個過程無需外部壓縮，也沒有結(jié)構(gòu)誘導(dǎo)，是材料在拉伸下自發(fā)產(chǎn)生的幾何折疊（圖2A）。研究人員將其命名為TUG Folding，表達(dá)出局部的拉力能誘發(fā)巨大的折疊行為。同時，折疊角度α與拉伸應(yīng)變ε之間呈冪律關(guān)系：α∝ε3??（圖2B），體現(xiàn)出典型的幾何放大效應(yīng)。

圖2 TUG Folding實驗演示與變形角度測量。(A)實驗裝置中對柔性薄膜短邊中部施加縱向拉力，導(dǎo)致膜體中央?yún)^(qū)域發(fā)生顯著折疊；(B)折疊角度α與局部拉伸應(yīng)變ε之間呈冪律關(guān)系α∝ε3??，揭示幾何放大效應(yīng)。

力學(xué)模擬和理論分析

傳統(tǒng)力學(xué)中，折疊通常來源于壓縮。但在TUG Folding中，材料整體是在受拉，為什么還會折疊呢？答案隱藏在應(yīng)力的幾何分布中（圖3）：由于拉力僅在局部施加，對兩側(cè)區(qū)域產(chǎn)生了類似扭矩的作用效果發(fā)生旋轉(zhuǎn)，縱向被拉伸的同時，夾持垂直方向上出現(xiàn)了壓縮；壓應(yīng)力觸發(fā)了類似屈曲的不穩(wěn)定，從而觸面外折疊（圖3A,B）。這是一種幾何誘導(dǎo)的非線性響應(yīng)。與之相對應(yīng)的是邊緣全局受拉，也就是人們所熟知的誘發(fā)褶皺（wrinkling）形成的情況，邊界使材料內(nèi)部為零扭矩，不會因為旋轉(zhuǎn)而受壓，因此垂直方向上的壓應(yīng)力是材料的泊松比效應(yīng)誘發(fā)的，只有在泊松比較大時才會產(chǎn)生，且壓應(yīng)力的值較?。▋蓚€數(shù)量級），需要的臨界拉伸變形較大，但產(chǎn)生的變形有限（圖3C,D）。因此，研究人員發(fā)現(xiàn)的局部拉伸下的折疊機制與較為熟知的褶皺誘發(fā)機理顯著不同，不受泊松比的限制。

圖3幾何誘導(dǎo)應(yīng)力重分布與折疊機制。(A)示意圖說明局部拉伸引起邊界收縮、進(jìn)而誘發(fā)垂直方向的折疊；(B)數(shù)值模擬顯示，局部拉力在遠(yuǎn)離夾持的區(qū)域誘發(fā)橫向壓應(yīng)力（藍(lán)色區(qū)域），成為折疊的力源；(C)示意圖說明全局拉伸誘發(fā)褶皺的情況；(D)這種現(xiàn)象為材料的泊松比效應(yīng)誘發(fā)，與此文章發(fā)現(xiàn)的機制在應(yīng)力分布上有較大不同。

為了驗證這一機制的普適性與可控性，研究團隊進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，基于薄板的非線性幾何方程，理論建模推導(dǎo)應(yīng)變與折角之間的關(guān)系；并通過有限元模擬，數(shù)值仿真重建折疊形態(tài)，確認(rèn)力分布與變形過程（圖4A）。結(jié)果表明，TUG Folding在多種邊界條件下均能穩(wěn)定發(fā)生，且折疊角度α與應(yīng)變ε呈冪律關(guān)系（圖4B），展現(xiàn)出高度一致性。進(jìn)一步的理論分析表明，所有實驗和模擬的數(shù)據(jù)（不同厚度/寬度比例(t/W)、不同泊松比(n)、不同長寬比(L/W)）在歸一化處理后可以統(tǒng)一到一條主趨勢線，展示出幾何放大α∝ε3??的本質(zhì)規(guī)律（圖4C）。這一發(fā)現(xiàn)說明，這不是偶然現(xiàn)象，而是一種可預(yù)測、可調(diào)控、可設(shè)計的變形機制。

圖4薄膜折疊形態(tài)與變形規(guī)律。(A)有限元模擬顯示中部隆起折疊區(qū)域的形貌；(B)折疊角度(a)隨應(yīng)變(e)的演化呈冪律趨勢，在不同尺寸比下均表現(xiàn)出高度一致性；(C)歸一化變量下的折疊響應(yīng)統(tǒng)一曲線。

回到最初那張揉皺的紙（Crumpled Paper）的實驗——其實一張普通的A4紙也可以通過同樣的拉伸產(chǎn)生折疊，不過需要較大的力才能產(chǎn)生明顯的變形——通過引入折痕（Creases），降低了材料的有效模量Y，并提高了材料的有效彎曲剛度B，使得人可以輕易控制折疊的產(chǎn)生。這與研究人員發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，即在相同的應(yīng)變(e/ec)下

新加坡南洋理工大學(xué)Kexin Guo(郭可心)博士和英國牛津大學(xué)Marc Su?é博士為本文共同第一作者，南洋理工大學(xué)K. Jimmy Hsia (夏焜)教授、伯明翰大學(xué)Mingchao Liu (劉明超)教授和牛津大學(xué)Dominic Vella教授為本文共同通訊作者，南洋理工大學(xué)本科生Ming Li Kwok也參與了該研究。

https://doi.org/10.1073/pnas.2423439122

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