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諾獎得主都沒找到的證明方法，現(xiàn)在被兩位華人學者突破了。

凝聚態(tài)物理奠基人菲利普·安德森（Philip Warren Anderson）提出的Anderson模型，因解釋了半導體材料中電子為何突然不再流動而聞名。

這一成果也助力他獲得諾獎。但是他當時求教各路學者，也沒能解決這一模型的數(shù)學證明。這一問題也困擾了學界數(shù)十年，雖然陸續(xù)有研究提出，但是進展都不夠重大。

終于，兩位華人學者聯(lián)手攻堅16年，實現(xiàn)這一突破。

其中，尹駿還是中科大少年班校友。

Anderson模型：電子在走“迷宮”

20世紀50年代，貝爾實驗室里一位名叫喬治·費赫爾（George Feher）的物理學家正在往硅里注入少量其他元素，比如磷或砷。

他發(fā)現(xiàn)，少量加入時，電子可以在材料中自由移動；隨著加入量增多，材料結(jié)構(gòu)會發(fā)生變化，到達某一個臨界點后，電子會突然被困住，材料將不導電。這個轉(zhuǎn)變點就像水在零度時會開始結(jié)冰。

這是半導體材料最明顯的一個特點，也是它能成為芯片材料的關(guān)鍵點：既能導電、又能絕緣，而且這種開關(guān)狀態(tài)可控。

這個現(xiàn)象很快吸引了當時同在貝爾實驗室的菲利普·安德森（Philip W. Anderson）。他想要解釋為什么材料會表現(xiàn)出這種特點。

1958年，他提出了一個量子力學模型——Anderson模型來解釋這種變化。

他想證明，當材料的結(jié)構(gòu)足夠隨機時，電子就會從能夠自由移動（離域化）轉(zhuǎn)變?yōu)橥耆焕Вň钟蚧?/p>

我們可以把Anderson模型看成對電子在材料里運動的描述。

簡單來說，電子在材料里的運動就像在走迷宮，材料里的原子排列就像迷宮里的墻壁和通道。

Anderson模型想解釋的是：電子啥時候能在迷宮里自由跑動（材料導電），啥時候會困在某個角落動彈不得（材料不導電）。

如果原子排列有序，那么迷宮就會比較規(guī)整，比如只含單一元素的材料。通道清晰，電子就能順著通道跑很遠，這時電子是離域的，材料是導電的。

但如果材料里摻雜了太多其他原子，打破了原本的排列，迷宮就會變得特別亂，到處都是死胡同，電子跑幾步就被擋住，最后被困在一小塊地方，這就是電子局域化，這時材料就不導電了。

Anderson模型的核心就是：當材料的混亂程度超過某個臨界點時，電子就會從跑很遠變成跑不動。

雖然模型給出了材料從導電變成不導電的解釋，卻沒有嚴格的證明。

1977年，菲利普獲得諾貝爾物理學獎，他在演講中還提到，當時他為了證明這一模型，請教騷擾了很多人，但是仍舊未果。

后來這一證明也困擾學界很久，不少研究人員都發(fā)布了一些成果，但是最重要的進展還是這一次。

帶矩陣帶寬越寬，電子越活躍

要理解電子的整體行為，可以使用矩陣來計算一系列的值，這些值就是本征函數(shù)。

由于Anderson模型里的矩陣太復雜，計算本征函數(shù)十分困難，科學家們就找了個簡化版工具來描述——帶矩陣。通過帶矩陣來計算特征值。

特征函數(shù)可以理解為電子在材料中各個位置出現(xiàn)的概率分布。函數(shù)值越大，說明電子在那個位置出現(xiàn)的概率越高；函數(shù)值在大范圍區(qū)域內(nèi)都不為零，說明電子能跑到很多地方（離域）；如果只在某個小區(qū)域有值，其他地方幾乎為零，說明電子被困住了（局域）。

這種矩陣像條帶子，中間對角線有數(shù)字，帶寬是指矩陣中非零元素分布的范圍，也就是從主對角線向兩側(cè)延伸的寬度。

可以抽象地認為，帶寬越寬，電子可移動的范圍就越大，帶寬越窄，電子可移動范圍就小，甚至困在某一區(qū)域。

但是，該怎么用數(shù)學證明這個帶寬臨界點呢？

數(shù)學家們從最簡單的一維情況下開始研究，也就是把帶矩陣想象成一根細繩。

這些數(shù)學家中就有姚鴻澤和尹駿。

2008年，尹駿在完成普林斯頓大學博士學業(yè)后加入姚鴻澤的團隊，他們證明了當帶寬非常寬時，大多數(shù)特征函數(shù)很小，也就是說電子都是離域的，但這個寬度離物理學家們預測的寬度還有很大距離。

后來他們試了各種方法來進行帶寬很窄情況下的分析，甚至研究過七維的復雜情況，但十年來都沒有太大的進展。

直到2024年春天，姚鴻澤和尹駿意識到之前被他們摒棄的一種方法或許仍然有用——隨機矩陣理論中調(diào)整矩陣的方法。

也就是把復雜的帶矩陣稍微改一改，變成容易研究的新矩陣，再證明改動對結(jié)果沒影響。

在這個過程中需要解決兩個問題：第一，調(diào)整矩陣的過程中不會影響特征函數(shù)；第二，必須證明新矩陣的特征函數(shù)很小，也就是說電子是離域的。

用這種方法求解方程的過程中，他們被一堆復雜的方程繞暈了，陷入了噩夢般的循環(huán)：求解并沒有得到一個簡單整潔的答案，反而出現(xiàn)了更復雜的新方程。

尹駿回憶稱：

計算越來越復雜，Really？

在后來數(shù)月的時間里，他們畫了200多張圖才理清楚思路，找到了簡化方程的方法，把原本纏繞的循環(huán)方程拆成了可逐步求解的線性鏈條。

他們證明了：在一維帶矩陣中，帶寬的寬度如果略寬于預測的閾值，特征函數(shù)必須很小，不會在某個局部區(qū)域集中出現(xiàn)大值，也就說明了此時電子沒有被困住，處于離域狀態(tài)。

這是Anderson模型提出以來，進展最大的一次數(shù)學證明。

后來，他們把成果拓展到二維，并且在今年7月，三維問題也取得了重大進展。

尹駿回憶2008年問及同伴在冬天結(jié)束之前是否能完成帶矩陣的研究時，同伴開玩笑反問“哪個冬天？”

在完成這項研究后，尹駿表示：

我沒有想到最終完成這項工作需要16個冬天。

兩代華人學者16年攻堅

這項成果由兩位華人數(shù)學家?guī)恚阂櫇珊蚃un Yin。

姚鴻澤（Horng-Tzer Yau）是普林斯頓博士，本科畢業(yè)于臺灣大學，曾是斯坦福大學數(shù)學系教授，2005年起至今擔任哈佛大學數(shù)學教授。

當時哈佛大學藝術(shù)及科學院院長柯偉林評價他是數(shù)學領(lǐng)域的先鋒人物，對幾率、隨機過程、非平衡態(tài)、統(tǒng)計物理及量子力學有重大貢獻，提供重大的研究觀念及方法。

姚鴻澤最初接觸高等數(shù)學是高中時開始自學，高一高二一天至少花10個小時學數(shù)學，主要原因是“高中太無聊了，學校的課程并不吸引人，又必須坐在那里，所以只能讀自己的書”。

自學的第一本高數(shù)教科書甚至是隨便買的，然后看這本書的參考目錄有什么，他就順著去找書讀。

高中時期對他幫助最大的Tom M.Apostol的《數(shù)學分析》，他做完了所有的習題。而會讀這本書的理由也很特別：因為我的高中數(shù)學老師提過這是他們以前的課本，全班都掛科，我很好奇，就買來看。

基本上，我高中自學大學教材沒什么困難，但是大學時自學研究生階段的課程就有些困難。

不過他本科時期的考試成績并不是特別好，“大學時我是在浪費時間”，覺得幾何、拓撲沒什么意思，這導致他到大三時都不太想讀數(shù)學了。

主要原因可能還是他覺得課程沒什么意思。姚鴻澤覺得，數(shù)學不需要那么嚴格，不需要每樣都在大學里教，比如微積分這類可以教得嚴格一點。但嚴格也是相對的，如果用圖能一目了然證明，那畫個圖就好了，學生也能很快學會。

以我的觀點來看，寧可讓學生很快學到最直覺的觀點，看到定理的應(yīng)用，而不是用最嚴格的方法去證明。

后面姚鴻澤赴普林斯頓大學讀博士，當時“學數(shù)學已經(jīng)學得很煩，所以想去學物理”。到普林斯頓的第一年，他都在上物理系的課，數(shù)學系的課一點兒沒管，最后也是為了考試突擊。

他當時想去物理系找指導老師，但是進展不順利，有一位做天文方向的老師給了他一篇paper去讀，他讀得也很吃力。后面兜兜轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)找到了數(shù)學系的查爾斯·費弗曼（1978年獲菲爾茲獎），因為他當時有在做一些物理相關(guān)的內(nèi)容。

這也決定了他之后的研究方向，主要是從數(shù)學維度去解釋物理現(xiàn)象，幫助大家更好理解物理問題。

他表示，自己職業(yè)生涯的大部分時間都在研究Anderson模型這一問題。

這是我第一次感覺，我們將帶來重大影響。

另一位作者是尹駿，他是中國科學技術(shù)大學少年班1998級校友，2008年獲得普林斯頓大學物理系博士學位。先后在哈佛大學、威斯康星大學擔任教職，目前是加利福尼亞大學洛杉磯分校教授。

他于2013-2014年獲得普林斯頓高等研究院馮·諾依曼研究獎，2014年獲斯隆獎（“諾獎風向標”，主要表彰物理學、數(shù)學、計算機等領(lǐng)域在職業(yè)生涯早期取得成就的杰出年輕學者）。

尹俊個人經(jīng)歷里還提到了結(jié)婚和生娃hhh One More Thing

值得一提的是，這兩年大模型領(lǐng)域常說的“涌現(xiàn)”這一概念，由Anderson模型的提出者菲利普·安德森進一步明確。

1972年他在Science發(fā)表了一篇名為《多即不同》（More is Different）的文章，提出“物理系統(tǒng)在每一個復雜度上都會出現(xiàn)全新的性質(zhì)”。

這篇文章的核心思想就是“涌現(xiàn)”，同時也是凝聚態(tài)物理學的獨立宣言。

菲利普也被譽為凝聚態(tài)物理奠基人，他的研究領(lǐng)域跨越物理、材料學甚至信息科學，還曾嘗試解釋高溫超導等問題。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2501.01718

參考鏈接：
[1]https://www.quantamagazine.org/new-physics-inspired-proof-probes-the-borders-of-disorder-20250815/
[2]https://people.math.harvard.edu/~htyau/
[3]https://www.math.sinica.edu.tw/media/pdf/d273/27302.pdf
[4]https://sites.google.com/view/jun-yin/home

本文轉(zhuǎn)載自《量子位》微信公眾號

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