在每個(gè)人的成長(zhǎng)過程中，數(shù)學(xué)始終伴隨我們左右。從最初的牙牙學(xué)語，到后來的學(xué)校教育，我們都在與數(shù)學(xué)這個(gè)學(xué)科緊密接觸。

起始階段，家長(zhǎng)們常常向我們灌輸?shù)氖?、2、3、4這些基礎(chǔ)數(shù)字。隨著我們步入幼兒園，簡(jiǎn)單的加減運(yùn)算開始融入我們的生活。

如果從歷史長(zhǎng)河的角度來看，數(shù)學(xué)的演進(jìn)似乎也經(jīng)歷了類似的過程。最先萌芽的，是計(jì)數(shù)的概念，如古人用結(jié)繩記事來記錄數(shù)量，都是從自然數(shù)開始的。

在早期人類的思想里，自然數(shù)仿佛是最純凈的數(shù)字體系，它們與自然界的種種現(xiàn)象有著最直接的聯(lián)系。

然而，隨著對(duì)世界的認(rèn)知加深，人們意識(shí)到自然數(shù)已經(jīng)不足以描繪我們周遭的世界。比方說，若要將一個(gè)蘋果平分給兩個(gè)人，每人得到半個(gè)蘋果，那半個(gè)蘋果該如何用數(shù)字表示呢？

于是，分?jǐn)?shù)或小數(shù)的概念應(yīng)運(yùn)而生，人們對(duì)數(shù)學(xué)的理解又推進(jìn)了一步。

在數(shù)學(xué)研究的深入過程中，人們察覺到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔和優(yōu)美，相信它能闡釋自然界的任何現(xiàn)象。

但是，一個(gè)突如其來的發(fā)現(xiàn)，徹底顛覆了人們之前的認(rèn)知。

當(dāng)研究到等腰直角三角形時(shí)，人們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)不尋常的情形：當(dāng)兩個(gè)直角邊長(zhǎng)均為1時(shí)，斜邊的長(zhǎng)度——根號(hào)2——是個(gè)無限不循環(huán)的小數(shù)。無論用何種方式計(jì)算，它都似乎永無止境。

更加讓數(shù)學(xué)家們焦慮不安的是，根號(hào)2不僅是無限的，它還毫無規(guī)律可言。它不像1/3那樣雖長(zhǎng)，但至少可以通過分?jǐn)?shù)清晰地表示。

這是第一次，人們對(duì)于自然數(shù)的簡(jiǎn)潔性提出了質(zhì)疑。而且，人們還發(fā)現(xiàn)，像根號(hào)2這樣的無理數(shù)在數(shù)學(xué)世界中并不罕見，它們似乎比有理數(shù)還要多。

人們開始認(rèn)真探究無理數(shù)背后的秘密，覺得其中一定隱藏著更多深?yuàn)W的數(shù)學(xué)真理。

而在此過程中，數(shù)學(xué)領(lǐng)域迎來了首次危機(jī)，最典型的例子便是芝諾的悖論。

簡(jiǎn)明扼要地講，這個(gè)悖論是關(guān)于你和一只烏龜賽跑的故事。烏龜在你前方100米處起跑，而你的速度是烏龜?shù)氖?。你跑?00米時(shí)（烏龜起始位置），烏龜已經(jīng)跑了10米。當(dāng)你跑完這10米時(shí)，烏龜又前進(jìn)了1米。以此類推，你永遠(yuǎn)在烏龜?shù)那懊嬉欢尉嚯x。由此推斷，你永遠(yuǎn)無法追上烏龜。

但現(xiàn)實(shí)情況是，你很快就可以趕上烏龜，只要你速度比它快，不管一開始烏龜領(lǐng)先多少，你總能追上并超過它。

這引發(fā)了人們對(duì)無窮的思考。人們意識(shí)到，盡管空間可以無限劃分，但你擁有的時(shí)間是有限的，你無法在有限的時(shí)間內(nèi)完成無限多的事情，因此不會(huì)陷入芝諾悖論的困境。

就如1+1/2+1/4+1/8……這個(gè)無窮級(jí)數(shù)，其和并不會(huì)無限大，而是一個(gè)有限的數(shù)。

對(duì)無窮的正確理解，使得人們成功地化解了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，用通俗的話來講，就是0.999……和1是否相等的問題。早期人們普遍認(rèn)為，0.999……始終小于1，因?yàn)樗难h(huán)小數(shù)永遠(yuǎn)無法觸及到1。

然而后來，人們意識(shí)到0.999……實(shí)際上等于1，它們代表的是同一個(gè)數(shù)。

實(shí)際上，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的核心還是關(guān)于微積分的理解問題。

直到今天，仍有很多人沒有學(xué)過微積分，未能掌握微積分的實(shí)質(zhì)，依舊認(rèn)為0.999……小于1。

第三次數(shù)學(xué)危機(jī)則被稱為集合論悖論，最為人知的例子是“羅素悖論”。假設(shè)有一個(gè)理發(fā)師，他的店門口掛著“能為所有不能給自己理發(fā)的人理發(fā)”的招牌。那么問題來了：這位理發(fā)師能否給自己理發(fā)？

如果他能，則招牌上所言不實(shí)。如果他不能，招牌同樣存在問題：因?yàn)槔戆l(fā)師無法給自己理發(fā)，但招牌上卻稱“能為所有不能給自己理發(fā)的人理發(fā)”。

有人認(rèn)為“羅素悖論”其實(shí)是邏輯上的詭辯，是集合定義上的混亂。無論如何，沒人能對(duì)它做出完美的解釋。

還有一種通俗解釋：上帝是否能創(chuàng)造出一塊他自己搬不動(dòng)的石頭？無論答案是能或不能，都存在邏輯上的矛盾。

從概念上講，與其說羅素悖論是集合上的悖論，不如說它是哲學(xué)上的一個(gè)概念，一種本體論。

這個(gè)悖論總是試圖將自身置身事外，結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)它自己也處在某個(gè)事物的范疇之內(nèi)。所以最核心的問題是：是否真的有“處于事物之中”這個(gè)概念？

這其實(shí)也是唯心主義的一種體現(xiàn)。如果整個(gè)世界只是你主觀幻想的假象，那么“你”本身是否也是一種假象？

如果答案是肯定的，那么，你對(duì)“世界是假象”的質(zhì)疑是否也是一種假象？

如此循環(huán)下去，就會(huì)陷入思維的死胡同，無法自拔！