引言

鎖相放大器技術(shù)于20世紀(jì)30年代問世[1，2，3]，并于20世紀(jì)中葉投入商業(yè)應(yīng)用[4]。這種電子儀器能夠在噪聲極強(qiáng)的環(huán)境中提取出信號的幅值和相位信息（見圖1）。鎖相放大器采用零差檢測方法和低通濾波技術(shù)，通過對照一個周期性的參考信號來測量待測信號的幅值和相位。鎖相測量方法能夠提取出以參考頻率為中心的特定頻段內(nèi)的信號，有效濾除所有其他頻率分量。如今，市面上性能最優(yōu)的鎖相放大器具有高達(dá)120 dB的動態(tài)儲備[5]，可以在噪聲幅值高達(dá)待測信號幅值百萬倍的情況下實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)測量。

圖 1. 鎖相放大器可對照一個固定的參考信號，測量出待測信號的幅值和相位，即使該信號已經(jīng)完全被噪聲掩蓋。

幾十年來，隨著這項(xiàng)技術(shù)的不斷發(fā)展，研究人員已經(jīng)將鎖相放大器應(yīng)用于諸多不同領(lǐng)域。其中最為重要的用途是作為精密交流電壓表和交流相位計、噪聲測量裝置、阻抗譜儀、網(wǎng)絡(luò)分析儀、頻譜分析儀以及鎖相環(huán)中的鑒相器。相關(guān)的科研領(lǐng)域幾乎包括了所有空間尺度和溫度條件，例如在全日光條件下觀測日冕[6]、測量分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)[7]，或者對分子中各個原子間的鍵合特性進(jìn)行直接成像[8]。鎖相放大器的應(yīng)用范圍極為廣泛。它與頻譜分析儀和示波器一樣，是物理、工程和生命科學(xué)領(lǐng)域的各種實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中一件極為常用、必不可少的工具。與大多數(shù)功能強(qiáng)大的工具一樣，要想充分發(fā)揮鎖相放大器的價值并成功設(shè)計各種實(shí)驗(yàn)，用戶必須充分了解其工作原理及特性。

本文將簡要說明鎖相放大技術(shù)的工作原理和最為重要的測量設(shè)置，相關(guān)說明將同時從時域和頻域角度展開。此外，本文還將詳細(xì)說明如何利用信號調(diào)制，實(shí)現(xiàn)在保持較短采集時間的同時提高信噪比(SNR)。最后，我們還將討論最近在鎖相檢測技術(shù)領(lǐng)域中出現(xiàn)的創(chuàng)新成果及該技術(shù)的最新發(fā)展水平。

鎖相放大器的工作原理

鎖相放大器利用信號的時間相關(guān)性將信號從嘈雜背景中提取出來。首先，鎖相放大器會將輸入信號與參考信號相乘（這一過程有時又稱下混頻或外差/零差檢測），然后通過一個可調(diào)低通濾波器對相乘后的結(jié)果進(jìn)行濾波。這種方法稱為解調(diào)或相敏檢測，可以將目標(biāo)頻率的信號分離出來，并濾掉所有其他頻率分量。參考信號可由鎖相放大器自身生成，也可由外部信號源提供給鎖相放大器和實(shí)驗(yàn)設(shè)備。參考信號通常為正弦波，但也可以采用其他波形。如果采用純正弦波進(jìn)行解調(diào)，就可以有選擇性地在基頻或其任意諧波的頻率處進(jìn)行測量。有些儀器使用方波[9]作為參考信號，但這會同時捕捉到信號的所有奇次諧波，因而可能引入系統(tǒng)性的測量誤差。

為了幫助大家更好地理解鎖相檢測技術(shù)，下文將分別從時域和頻域兩個角度來介紹混頻和濾波過程。

雙相解調(diào)

如圖2所示，在典型試驗(yàn)中，通常使用正弦信號來激勵被測設(shè)備。鎖相放大器將利用設(shè)備響應(yīng)信號Vs(t)和參考信號Vr(t)來確定幅值R和相位θ。這一過程是通過圖2(b)中所示的雙相解調(diào)電路實(shí)現(xiàn)的。輸入信號將被拆分成兩路，并分別與參考信號及其90度相移信號相乘?；祛l器的輸出信號經(jīng)可調(diào)低通濾波器濾波，得到X和Y兩個輸出，分別稱為同相分量和正交分量。通過下式將笛卡爾坐標(biāo)X和Y轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)，即可輕松得到幅值R和相位θ。

請注意，為了使相位角的輸出范圍覆蓋全部四個象限，即(?π, π]，我們使用了atan2函數(shù)，而不是atan函數(shù)。

圖 2. (a) 典型鎖相測量過程的示意圖。使用正弦信號來驅(qū)動被測設(shè)備(DUT)，并將其作為參考信號用于后續(xù)測量。鎖相放大器將對被測設(shè)備的響應(yīng)進(jìn)行分析，并對照參考信號，輸出目標(biāo)信號的幅值和相位。(b) 鎖相放大過程的示意圖：輸入信號分別與參考信號及其90度相移信號相乘?；祛l器輸出經(jīng)低通濾波后，將濾除噪聲和2ω分量，并最終轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)。

如圖2(b)所示，為了使用兩個不同的相位對輸入信號進(jìn)行解調(diào)，鎖相放大器必須將輸入信號拆分。與模擬儀器相比，利用數(shù)字技術(shù)拆分信號可以避免SNR下降和通道不匹配的問題。

信號混頻在時域上的表現(xiàn)

我們可以運(yùn)用復(fù)數(shù)，以一種簡潔的數(shù)學(xué)形式表達(dá)解調(diào)過程中的計算。利用基本三角函數(shù)定律

我們可以將輸入信號Vs(t)重新表示為復(fù)平面上兩個矢量之和，這兩個矢量的長度均為R/√2，以相同角速度ωs旋轉(zhuǎn)，但一個順時針旋轉(zhuǎn)，另一個逆時針旋轉(zhuǎn)：

從圖3(a)和(b)可以看出，兩個矢量在x軸上的投影之和（實(shí)部）正好是Vs(t)，而矢量之和在y軸上的投影（虛部）始終為零。

圖 3. 在復(fù)平面中表示的解調(diào)過程。(a) 輸入信號Vs(t)可表示為兩個旋轉(zhuǎn)方向相反的矢量之和。(b) 矢量在實(shí)軸x軸上的投影彼此疊加，而在虛軸y軸上的投影則相互抵消。(c) 在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，逆時針方向的矢量保持靜止，順時針方向的矢量以觀察者角速度的兩倍旋轉(zhuǎn)。請注意，依照慣例，如果逆時針旋轉(zhuǎn)的矢量在參考信號之前，則θ為正值。

雙相下混頻過程在數(shù)學(xué)上可以表示為輸入信號與復(fù)參考信號相乘：

混頻后的復(fù)信號如下式所示：

(5)

得出的信號帶有兩個分量，分別位于信號頻率與參考頻率之和與兩者之差處。如圖3(c)所示，復(fù)混頻相當(dāng)于有一位身處原點(diǎn)，并以頻率ωr沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)的觀察者。

在這位觀察者看來，有兩個箭頭正分別以ωs-ωr 和ωs+ωr 這兩個不同的角速度旋轉(zhuǎn)，并且如果信號頻率接近于參考頻率，角速度為ωs+ωr的箭頭會旋轉(zhuǎn)得快得多。

隨后的濾波過程在數(shù)學(xué)上可表示為求出這兩個時變矢量在一段時間內(nèi)的平均值，并用尖角括號?…?來表示。在濾波過程中，通過設(shè)置?exp[-i(ωs+ωr)t+iθ]?=0，將|ωs+ωr|處的快速旋轉(zhuǎn)項(xiàng)濾除。解調(diào)后的信號平均值變?yōu)椋?/p>

(6)

如果信號同頻ωs=ωr，則該式可進(jìn)一步簡化為：

(7)

式7代表解調(diào)后的信號，也就是鎖相放大器的主要輸出，其中，絕對值|Z|=R表示信號的均方根幅值，輻角arg(Z)=θ表示輸入信號相對于參考信號的相位。

解調(diào)信號Z(t)的實(shí)部和虛部分別為同相分量X和正交分量Y。這兩個分量可通過歐拉公式exp(iωst)≡cos(ωst)+i sin(ωst)計算得出：

(8)

如圖所示，ωs=ωr意味著逆時針旋轉(zhuǎn)的箭頭看起來靜止不動。而另一個箭頭則以兩倍于頻率的速度(-2ωs)順時針旋轉(zhuǎn)，這通常稱為2ω分量。低通濾波器通常會將2ω分量完全濾除。

圖 4. (a)最大幅值為0.5 V的輸入信號Vs（紅色）與同頻參考信號Vr（藍(lán)色）相乘。(b)得出的信號帶有一個直流偏移量和兩倍于Vs和Vr頻率的頻率分量。直流偏移量的值為0.17 V，即輸入信號的同相分量X。(c)輸入信號Vs與不同頻率的參考信號Vr相乘。(d)得出的信號帶有兩個頻率分量fs-fr和fs+fr。信號的平均值始終為零。

圖4為信號在混頻和濾波前后通過示波器顯示出的不同狀態(tài)。圖4(a)所示為示例正弦信號Vs和Vr隨時間變化的情況，兩個信號頻率相同，分別為ωs和ωr。圖4(b)中的藍(lán)線表示混頻后的信號，主要為2ω分量。綠線表示濾波后的信號，僅留下直流分量，其值等于Vs的同相幅值X。如圖4(c)所示，如果信號頻率與參考頻率不同，則混頻后的信號將不再是簡單的正弦波，并且濾波后的平均值為零，如圖4(d)所示。這是一個典型的同步檢測示例，它僅提取出與參考頻率相干的信號，并濾除所有其他信號。

信號混頻在頻域上的表現(xiàn)

我們將利用傅里葉變換[10]，把視角從時域轉(zhuǎn)向頻域。傅里葉變換是線性變換，可將時域中頻率為f0的正弦函數(shù)轉(zhuǎn)換為頻域中的狄拉克δ函數(shù)δ(f-f0)，即在頻譜中頻率f0點(diǎn)處的單個峰值。由于任何周期性信號均可表示為正弦信號與余弦信號的疊加[11]，因此對于由少量頻譜分量組成的信號，我們通常可以非常直觀地理解其變換過程。

圖 5. 解調(diào)前后信號時域圖與頻域圖之間的關(guān)系。(a) 疊加了噪聲的正弦輸入信號與時間的關(guān)系。(b) (a)中的信號在頻域中的表示。(c) 與參考信號混頻（藍(lán)線）并經(jīng)過低通濾波（紅線）后，fBW內(nèi)的信號頻譜得以保留。(d) 在頻域中，混頻過程將頻率分量平移-fr。隨后，濾波器以零點(diǎn)為中心提取寬度為fBW的窄帶。請注意頻率-fr處的分量，它是由輸入信號中存在的偏移量和1/f噪聲產(chǎn)生的。要獲得準(zhǔn)確的測量值，必須通過適當(dāng)?shù)臑V波來抑制此分量。

圖5(a)是一個有噪正弦信號在時域中的表示，圖5(b)是該信號經(jīng)過傅里葉變換后在頻域中的表示。該正弦信號在頻譜中的+fs和-fs頻率處都出現(xiàn)峰值。零頻率處較小的峰值是由輸入信號中的直流偏移量導(dǎo)致。圖5(c)中的藍(lán)線表示混頻后的時域信號。其相關(guān)頻譜如圖5(d)所示，該圖與圖(b)基本一致，但向低頻方向平移了相當(dāng)于參考頻率fr的距離。

圖(d)中用紅色虛線表示的低通濾波過程將只允許頻率低于特定濾波器帶寬fBW的信號通過。(c)中的紅線代表輸出信號，包含(d)中所示頻譜的直流分量與濾波器帶寬|f| BW 內(nèi)的噪聲。從圖中可以明顯看出，濾波器帶寬必須遠(yuǎn)小于信號頻率f s ，才能有效抑制輸入信號中的偏移量。在下面幾節(jié)中，我們將進(jìn)一步討論如何根據(jù)具體的實(shí)驗(yàn)條件選擇合適的濾波器特性。

低通濾波在頻域上的表現(xiàn)

對于低通濾波，我們優(yōu)先考慮的是它在頻域上的表現(xiàn)，因?yàn)榇蠖鄶?shù)濾波器的輸入信號Qin(ω)與濾波后的信號Qout(ω)之間存在如下的簡單關(guān)系：

(9)

H(ω)表示濾波器的傳遞函數(shù)。Qin(ω)與Qout(ω)分別是時域中輸入信號Qin(t)和輸出信號Qout(t)的傅里葉變換。

圖 6. (a) 一階RC濾波器及其傳遞函數(shù)。(b) 通過疊加多個RC濾波器，可以隨著頻率的增加表現(xiàn)出更陡峭的滾降特性。最終的傳遞函數(shù)由各濾波器的傳遞函數(shù)相乘得出。

為了完全濾除頻譜中不需要的部分，我們可能會想要找到一種理想的濾波器，它能夠允許所有低于fBW的頻率通過（即通帶），并徹底濾除任何其他頻率（即阻帶）。然而遺憾的是，這樣理想的“矩形濾波器”根本不可能實(shí)現(xiàn)，因?yàn)檫@種濾波器的脈沖響應(yīng)在時間上從-∞延伸到了+∞，違背了因果性。我們只能達(dá)到與之基本類似的效果，為此我們采用如圖6所示的RC濾波器。這種類型的濾波器在模擬域和數(shù)字域都很容易實(shí)現(xiàn)。模擬RC濾波器的傳遞函數(shù)可以用下式近似表示：

(10)

其中，τ=RC稱為濾波器的時間常數(shù)，R為電阻，C為電容。圖7(a)和(b)中的藍(lán)線是此傳遞函數(shù)的波特圖，表示 20log|H(2πf)| 和 arg[H(2πf)] 與 log(f) 之間的函數(shù)關(guān)系。

從圖7(a)中的藍(lán)線可以推斷出，當(dāng)頻率高于f?3dB時，頻率每增加十倍，衰減就會增長十倍。這相當(dāng)于6 dB/倍頻程（20 dB/十倍頻程），表示頻率每增加一倍，幅值就會減少一半。截止頻率f?3dB是指信號功率衰減?3 dB，即降低一半時的頻率。幅值與功率的平方根成正比，在f-3dB處減小1/√2=0.707。

圖7. (a) 和 (b) 中的藍(lán)線是RC濾波器傳遞函數(shù)H(ω)的波特圖。圖上還繪出了具有相同濾波器時間常數(shù)τ 的高階濾波器（n=2，4，8）的傳遞函數(shù)，顯然，高階濾波器的信號帶寬f?3dB要低得多。(c) 為時域中對應(yīng)的階躍響應(yīng)函數(shù)。將多個濾波器級聯(lián)會導(dǎo)致達(dá)到相同精度水平所需的穩(wěn)定時間顯著增加。這與相位延遲的增大（可以根據(jù) (b) 推斷得出）有關(guān)。級聯(lián)RC濾波器或積分濾波器的另一個優(yōu)點(diǎn)是在時域中不會出現(xiàn)過沖，而這是巴特沃斯濾波器等類型的濾波器存在的問題。

式10所述濾波器的截止頻率為f?3dB=1/(2πτ)。從圖7(b)可以看出，低通濾波器還會引入與頻率相關(guān)的相位延遲，其值等于arg[H(ω)]。

相比理想化的矩形濾波器，一階濾波器的滾降特性相對較差。為了改善滾降特性，通常會將多個濾波器級聯(lián)。每增加一個濾波器，濾波器階數(shù)會增加1階。前一個濾波器的輸出將作為下一個濾波器的輸入，因此我們只需將濾波器的傳遞函數(shù)相乘即可。根據(jù)式9，我們可以得到n階濾波器的傳遞函數(shù)如下：

(11)

其衰減能力是一階濾波器n倍，總滾降率為n×20 dB/十倍頻程。圖7(a)和(b)所示為一階、二階、四階和八階RC濾波器的頻率響應(yīng)。濾波器階數(shù)越高，其幅值傳遞函數(shù)就越接近于理想矩形濾波器的特性。與此同時，相位延遲也會隨階數(shù)的增加而增加。對于那些利用相位信息對系統(tǒng)進(jìn)行反饋控制的應(yīng)用（例如鎖相環(huán)），相位延遲增加可能會影響控制環(huán)路的穩(wěn)定性和帶寬。

圖8(a)和(b)顯示了帶寬同為f?3dB，但時間常數(shù)不同的各階濾波器的波特圖。表1給出了相應(yīng)濾波器屬性之間的數(shù)值關(guān)系。

圖8. 與圖7相同的一組圖表，但圖8中所有濾波器的截止頻率f?3dB相同，時間常數(shù)τ不同，分別為0.16、0.10、0.069、0.048。(a) 高階濾波器可以隨頻率的增加表現(xiàn)出更陡峭的滾降特性。(b) 高階濾波器的相位延遲較大，這可能不利于反饋應(yīng)用。(c) 階躍響應(yīng)與時間之間的函數(shù)關(guān)系（以一階濾波器的時間常數(shù)τ1為單位）。盡管低階濾波器在開始時對輸入信號變化的響應(yīng)更為迅速，但這個優(yōu)勢會隨時間的推移而逐漸減弱，在某一時間點(diǎn)，高階濾波器甚至?xí)降碗A濾波器，如圖所示。

表 1. 具有相同時間常數(shù)的n階RC濾波器的濾波特性。動態(tài)應(yīng)用通常關(guān)注f?3dB和穩(wěn)定時間，而在噪聲測量中，確保fNEP正確則是獲得準(zhǔn)確結(jié)果的關(guān)鍵。通過上文給出的關(guān)系式，可以輕松計算出具有相同帶寬但階數(shù)不同的濾波器的濾波時間常數(shù)。

在噪聲測量應(yīng)用中，濾波器的噪聲等效功率帶寬fNEP通常比它的3 dB帶寬f?3dB更為重要。噪聲等效功率帶寬是指與目標(biāo)濾波器傳遞的白噪聲量相等的理想矩形濾波器的截止頻率。表1列出了級聯(lián)RC濾波器的fNEP與f?3dB之間的轉(zhuǎn)換因子。

將輸入信號Vs(t)與參考信號√2 exp (?iωrt)混頻后，輸入信號的頻譜平移了相當(dāng)于解調(diào)頻率ωr的距離，變?yōu)閂s(ω?ωr)。低通濾波過程將此信號乘以濾波器傳遞函數(shù)Hn(ω)，對頻譜進(jìn)行進(jìn)一步轉(zhuǎn)換。解調(diào)信號Z(t)包含了以參考頻率為中心的所有頻率分量，并且這些分量根據(jù)濾波器響應(yīng)進(jìn)行加權(quán)，如下式所示：

(12)

從該式不難看出，解調(diào)的作用類似于帶通濾波器，它會提取出頻譜內(nèi)以fr為中心并在兩側(cè)各擴(kuò)展f?3dB的部分。此外該式還表明，將解調(diào)信號經(jīng)傅里葉變換后再除以濾波器傳遞函數(shù)，即可恢復(fù)輸入信號在解調(diào)頻率fr附近的頻譜。這種頻譜分析方式經(jīng)常可以在FFT頻譜分析儀中看到，有時我們將它稱為zoomFFT[12]。

低通濾波在時域上的表現(xiàn)

如圖7(c)和圖8(c)所示，階躍響應(yīng)能最直觀地體現(xiàn)出濾波器的時域特性。這兩幅圖展示了濾波器輸入發(fā)生從0到1的階躍式變化時出現(xiàn)的情況。濾波器輸出需要經(jīng)過一定的時間才能穩(wěn)定在新值。要準(zhǔn)確測量通過濾波器的信號，實(shí)驗(yàn)人員就必須等待足夠長的時間，待輸出穩(wěn)定后再進(jìn)行測量。

表1列出了階數(shù)不同但時間常數(shù)τ相同的濾波器達(dá)到最終值的63.2%、90%、99%和99.9%所需的時間。假設(shè)有一個1 MHz的信號，并且我們要使用以1 MHz為中心、帶寬為1 kHz的四階濾波器。根據(jù)表1中的數(shù)值，可以推導(dǎo)出時間常數(shù)為69 μs，并且達(dá)到1%誤差所需的穩(wěn)定時間為0.7 ms。

信號動態(tài)特性和解調(diào)帶寬

設(shè)置解調(diào)帶寬時，往往需要在時間分辨率與信噪比(SNR)之間做出權(quán)衡。我們以圖9所示的調(diào)幅(AM)輸入信號為例，看看如何滿足不同實(shí)驗(yàn)問題的需求。該信號的載波頻率為fc=ωc/2π，表達(dá)式如下：

(13)

圖 9. 調(diào)幅信號：綠線表示載波輸入信號（為便于說明，圖中以較低頻率顯示）。藍(lán)線表示信號幅值，即輸入信號的包絡(luò)。

按調(diào)制頻率fm=ωm/2π，將信號幅值R(t)=1+h cos(ωmt)（圖9中的藍(lán)線）在平均值1上下進(jìn)行調(diào)制，其中調(diào)制指數(shù)h表示調(diào)制強(qiáng)度。在此示例中，載波頻率和調(diào)制頻率分別設(shè)為fc=2 kHz和fm=100 Hz。

圖10(a)使用了圖3給出的復(fù)數(shù)表示法，展示了混頻后的調(diào)幅信號。信號的模|1+h cos(ωmt)|隨時間變化，但其角度φc固定不變。cos(ωmt)項(xiàng)是旋轉(zhuǎn)方向相反的兩個矢量exp(iωmt)與exp(-iωmt)之和。這兩個矢量代表調(diào)幅信號頻譜的上邊帶和下邊帶，如圖10(d)所示。圖10(b)和(c)分別顯示了正交分量和同相分量。

圖 10. (a) 在旋轉(zhuǎn)參考系中，調(diào)幅信號是一個長度隨時間變化的矢量。藍(lán)色粗箭頭表示瞬時信號；細(xì)箭頭表示調(diào)幅信號的兩個邊帶。(b) 和 (c) 顯示了解調(diào)輸入信號的正交分量和同相分量：藍(lán)線為未濾波信號，黑色虛線、紅色和青色線分別是f?3dB=500 Hz、100 Hz和20 Hz的已濾波信號。(d) 顯示了三種不同帶寬濾波后的解調(diào)信號頻譜（黑色、紅色和青色曲線）。

大多數(shù)應(yīng)用需要測量以下量中的一種：

1. 幅值隨時間的變化關(guān)系R(t)=1+h cos(ωmt)

2. 幅值的平均值?R(t)?

3. 調(diào)制指數(shù)h

對于第一種情況，我們希望解調(diào)信號能以fm的頻率反映原先的幅值變化。這就要求濾波器帶寬明顯大于fm。例如，可以使用帶寬f?3dB=500 Hz的四階濾波器。這時根據(jù)式11和表1可以計算出，fm=100 Hz（即與載波fc相距100 Hz）處的傳輸率約為98.5%，相位延遲約為20°。換言之，濾波器對調(diào)制信號的影響微乎其微。解調(diào)信號如圖10(b)和(c)中的黑色虛線所示。除所需的邊帶抑制/通過特性和相位延遲外，測量結(jié)果中的噪聲量也是選擇濾波器的一個重要標(biāo)準(zhǔn)。我們將對照圖11(a)所示的，在解調(diào)后具有較強(qiáng)噪聲的調(diào)幅信號說明這一點(diǎn)。圖(b)為采用截止頻率等于調(diào)制頻率的濾波器對同一信號進(jìn)行濾波后的結(jié)果。雖然此濾波器消除了大部分噪聲，但在幅值與相位上引入了系統(tǒng)性變化，需要對此進(jìn)行校正才能獲得準(zhǔn)確結(jié)果。

圖 11. (a) 輸入信號帶噪聲時，生成的解調(diào)信號也將帶有噪聲（藍(lán)線）。黑色虛線表示的是去除噪聲后的底層信號。(b) 使用帶寬f?3dB=fm=100 Hz的濾波器可以濾除大部分噪聲，但會影響檢測到的信號。(c) 同(b)，但使用的是帶寬f?3dB=fm/5=20 Hz的濾波器。

對于上面提到的第二類需求，可以將濾波器帶寬降低到低于fm的值，來濾除與邊帶對應(yīng)的頻率分量。f?3dB為20 Hz的四階濾波器能夠?qū)⑦厧У姆狄种频皆鹊?.03，即降低30 dB，如圖10(d)中的青色虛線所示。圖11(c)展示了這種高強(qiáng)度濾波對測量的影響。

對于第三種情況，我們想知道的是調(diào)制指數(shù)h，但不需要解析完整的信號動態(tài)特性。例如在開爾文探針力顯微鏡中，h衡量的是在頻率為fm的交流電壓作用下，于測量探針與樣品之間產(chǎn)生的靜電力大小。由于調(diào)制指數(shù)與邊帶幅值成正比，因此測量時可以在fc?fm和fc+fm處的邊帶周圍應(yīng)用窄帶濾波器。這可以通過兩種方法實(shí)現(xiàn)：串聯(lián)解調(diào)或直接邊帶解調(diào)。

串聯(lián)解調(diào)指的是首先在中心頻率附近進(jìn)行寬頻帶解調(diào)。這一般可以得到與圖11(a)所示相似的信號，隨后該信號再次在fm處解調(diào)。要使用這種方法，所選擇的調(diào)制頻率就不能超過第一個鎖相單元的最大解調(diào)帶寬。直接邊帶解調(diào)指的是信號在fc±fm處一步完成解調(diào)，該方法下可選擇的調(diào)制頻率僅受鎖相放大器頻率范圍的限制。此外，直接邊帶解調(diào)僅需使用一個鎖相放大器而不是兩個，因此通常是首選解調(diào)方法。

實(shí)現(xiàn)高信噪比

降低濾波器帶寬通?？梢蕴岣咝旁氡龋珪?dǎo)致時間分辨率下降。還有哪些其他方法可以提高信噪比？

如果無法提高信號強(qiáng)度，則應(yīng)盡可能減少或避免噪聲。然而，任何模擬信號都難以避免地會帶有來自各種來源的噪聲。一些來自固有來源，例如約翰遜噪聲（熱噪聲）、散粒噪聲和閃爍噪聲，還有一些來自技術(shù)性來源，例如接地環(huán)路、干擾、串?dāng)_、50–60 Hz噪聲或電磁拾取。隨機(jī)電壓噪聲Vnoise(t)的幅度通過其標(biāo)準(zhǔn)差表示。而在頻域中，噪聲通過其功率譜密度|vn(ω)|2表征（單位：V2/Hz），或由|vn(ω)|表征（單位：V/√Hz）。

圖 12. 典型實(shí)驗(yàn)的噪聲頻譜定性分析。測量頻率應(yīng)從背景噪聲較小的區(qū)域中選擇，避開由技術(shù)性噪聲源引入的離散峰值。在本例中，如果濾波器帶寬相同，則f2將產(chǎn)生比f1更好的結(jié)果，因?yàn)樗挥诘皖l率處1/f噪聲上方的無干擾白噪聲區(qū)域。

從圖12的定性頻譜可以看出，不同噪聲源具有不同的頻率依賴性：約翰遜噪聲在所有具實(shí)用價值的頻率范圍內(nèi)都呈現(xiàn)平坦的頻譜，構(gòu)成了“白噪聲”，而閃爍噪聲則具有1/f的頻率相關(guān)性（“粉紅噪聲”）。如果在調(diào)制頻率的選擇上有一定的自由度，則可以重點(diǎn)關(guān)注頻譜中噪聲水平最低的部分。通常，頻譜中表現(xiàn)出白噪聲特性的較高頻率區(qū)域效果最理想。圖12展示了這種思路：在頻率較低的1/f噪聲區(qū)域，濾波器內(nèi)的噪聲（由藍(lán)色和灰色區(qū)域表示）更大。因此，在濾波器帶寬相同時，f2處的信噪比要高于f1處的信噪比，原因在于前者的噪聲密度更低（前提是避開了無線電和無線傳輸?shù)绕渌肼曉矗?/p>

為了更定量化地進(jìn)行說明，我們假設(shè)要測量一個幅值為1μV的正弦信號，該信號通過一個1MΩ電阻，信噪比大于10。這樣的電阻R會產(chǎn)生熱噪聲，功率譜密度=4kBTR，在室溫 T=300 K時，該值約為
=0.127√R nV/√Hz=127 nV/√Hz。在本例中，熱噪聲是主要噪聲源。它明顯大于鎖相輸入噪聲（后者通常小于10 nV/√Hz）。因此，可按照下式計算信噪比：

(14)

解方程求出fNEP，可以得知，要獲得等于10的信噪比，就需要選擇NEP帶寬小于或等于620 mHz的濾波器。我們選擇一個四階濾波器。通過表1，可以計算出相應(yīng)的截止頻率f?3dB=549 mHz，時間常數(shù)τ=126 ms，達(dá)到1%誤差的穩(wěn)定時間為1.26 s。

由于噪聲幅值與帶寬的平方根成正比，所以要將SNR再提高10倍，就需要將濾波器帶寬減小到原來的百分之一。此時達(dá)到1%誤差的穩(wěn)定時間將增加到2分鐘以上。鎖相方法能夠支持這類長時間測量，原因在于它對輸入信號中直流偏移量的漂移不敏感。但是，其他原因（如被測設(shè)備電阻或放大器增益發(fā)生變化等）引起的漂移可能會對長時間測量產(chǎn)生影響。因此，保持工作條件穩(wěn)定，特別是保持溫度恒定是至關(guān)重要的。

技術(shù)發(fā)展現(xiàn)狀

自20世紀(jì)30年代初問世以來，鎖相放大器已經(jīng)取得了長足的發(fā)展。早期的儀器采用的是真空管，而如今它已經(jīng)完全進(jìn)入了數(shù)字域。數(shù)字鎖相放大器使用模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)將輸入信號轉(zhuǎn)換到數(shù)字域，并且所有后續(xù)步驟都通過數(shù)字信號處理(DSP)以數(shù)字方式執(zhí)行，如圖13(b)所示。相比之下，模擬鎖相放大器則使用壓控振蕩器、混頻器和簡單的RC濾波器等模擬元件進(jìn)行信號處理。此外還有如圖13(a)所示的混合版本[9]，它在濾波之前或之后進(jìn)行模擬混頻，然后才將信號數(shù)字化。

圖 13. (a) 模擬鎖相放大器：信號被拆分成兩路，與參考信號混頻，經(jīng)濾波后轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號。(b) 數(shù)字鎖相放大器：信號經(jīng)數(shù)字化后與參考信號相乘并進(jìn)行濾波。

市面上的模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)和數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)在速度、分辨率和線性度方面的不斷提升，進(jìn)一步推動了鎖相檢測技術(shù)從模擬域向數(shù)字域的轉(zhuǎn)變。這種轉(zhuǎn)變可以幫助我們在頻率范圍、輸入噪聲和動態(tài)儲備等方面突破極限。此外，數(shù)字信號處理更不易受到信號通道不匹配導(dǎo)致的誤差，以及串?dāng)_和溫度變化等原因引起的漂移等情況的影響。在頻率較高的情況下，這一特性尤為重要。數(shù)字處理方式的最大優(yōu)點(diǎn)是，我們能夠在信噪比保持穩(wěn)定的情況下，同時以多種手段對信號進(jìn)行分析。如前文所述，這不僅有助于提高雙相解調(diào)性能，還能夠?qū)崿F(xiàn)對信號的多個頻率分量進(jìn)行直接分析，而無需級聯(lián)多臺儀器，這就避免了可能隨之而來的所有不利影響。

從模擬域轉(zhuǎn)向數(shù)字域后，市場上又出現(xiàn)了運(yùn)算能力強(qiáng)、內(nèi)存充足且速度高的現(xiàn)場可編程門陣列(FPGA)技術(shù)，推動創(chuàng)新再向前邁出了一大步。FPGA被很多人稱為數(shù)字時代的鐘表裝置，人們可以靈活地對其進(jìn)行編程，用它實(shí)時執(zhí)行幾乎任何信號處理任務(wù)。在鎖相放大器上，使用此技術(shù)實(shí)現(xiàn)的一項(xiàng)自然的功能延伸是在解調(diào)前后增加時域與頻域分析功能，這樣就不再需要單獨(dú)使用示波器和頻譜分析儀來完成這些分析。此外，在同一臺儀器內(nèi)，我們還可以加入用于對低占空比信號進(jìn)行分析的Boxcar平均器、用于反饋回路的PID和PLL控制器，以及用于實(shí)時處理測量數(shù)據(jù)的運(yùn)算單元。所得測量信號可以隨后傳輸至計算機(jī)進(jìn)行進(jìn)一步分析。如果需要通過模擬接口來連接另一臺儀器，可以使用高分辨率數(shù)模轉(zhuǎn)換器將來自不同功能單元的測量數(shù)據(jù)輕松轉(zhuǎn)換回模擬域。

圖 14. 瑞士蘇黎世儀器的鎖相放大器是鎖相技術(shù)領(lǐng)域最前沿技術(shù)的代表。這些設(shè)備支持不同的頻率范圍，可以很好地應(yīng)用于從材料表征到光子學(xué)和量子技術(shù)的各類應(yīng)用。GHFLI和SHFLI鎖相放大器可分別測量從直流到1.8 GHz和8.5 GHz頻率范圍的信號，開創(chuàng)了微波頻率鎖相檢測的先河。如圖16所示，這些儀器都集成了大量功能，并搭載了先進(jìn)的儀器控制軟件LabOne?（參見圖15）。

圖 15. 瑞士蘇黎世儀器鎖相放大器的LabOne?用戶界面采用最新的Web瀏覽器技術(shù)，用戶能夠通過計算機(jī)或平板電腦等不同設(shè)備上的多個瀏覽器會話同時控制儀器。每個信號分析和控制工具都有專門的選項(xiàng)卡。部分功能以框圖形式直觀顯示。

瑞士蘇黎世儀器的鎖相放大器在速度與集成度方面居行業(yè)最先進(jìn)水平。圖14按輸入帶寬的高低，依次列出了該公司的所有鎖相放大器。憑借卓越的模擬性能和功能全面的時域及頻域分析工具，MFLI是低頻測量領(lǐng)域尖端技術(shù)的代表[5]。2022年，瑞士蘇黎世儀器推出了GHFLI和SHFLI，率先將鎖相放大技術(shù)應(yīng)用到微波頻率領(lǐng)域。這兩款儀器的工作頻率很高，但輸入噪聲僅為3.5 nV/√Hz，動態(tài)儲備高達(dá)100 dB[13]。圖16展示了UHFLI的主要功能組件和它們之間的連接，也代表了各型儀器的高集成度[14]。過去需要一整個機(jī)架的儀器才能實(shí)現(xiàn)的功能，現(xiàn)在都集成在一臺儀器中。

圖 16. 瑞士蘇黎世儀器UHFLI的主要功能實(shí)體和它們之間的信號流。數(shù)字信號處理可以在儀器的FPGA內(nèi)快速執(zhí)行，也可以通過USB或1GbE接口，在運(yùn)行儀器控制軟件LabOne?的計算機(jī)上執(zhí)行。儀器的主要功能組件包括8個雙相解調(diào)器、1個帶數(shù)字轉(zhuǎn)換器(DIG)和FFT功能的示波器、1個具有PLL功能的PID模塊、1個運(yùn)算單元(AU)、1個帶周期波形分析儀(PWA)的Boxcar平均器和1個脈沖計數(shù)器模塊(CNT)。在信號生成方面，儀器提供正弦信號發(fā)生器(OSC)以及用于生成復(fù)雜信號形狀的任意波形發(fā)生器(AWG)。標(biāo)準(zhǔn)配置以藍(lán)色顯示，而升級選件則以橙色顯示。此外，在計算機(jī)上運(yùn)行的LabOne控制軟件還額外提供參數(shù)掃描儀、頻譜分析儀、數(shù)值參數(shù)顯示器、繪圖儀、用于時域分析的數(shù)據(jù)采集模塊和諧波分析儀。

顯然，圖16中展示的豐富功能是無法通過前面板上的幾個旋鈕和按鈕進(jìn)行使用和控制的。因此，瑞士蘇黎世儀器的所有鎖相放大器均完全由計算機(jī)上運(yùn)行的LabOne?軟件來控制，該軟件提供了如圖15所示的圖形用戶界面，可以在任何安裝了Web瀏覽器的設(shè)備上運(yùn)行。參數(shù)掃描儀、數(shù)據(jù)采集模塊(DAQ)和PID參數(shù)智能設(shè)定等高級工具都可以充分利用主機(jī)的處理能力，提高工作流程的效率。此外，LabOne還提供了針對Python、C、MATLAB?、LabVIEW? 和 .NET的編程接口，用戶可以輕松將測量儀器集成到現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)控制環(huán)境中。

參考文獻(xiàn)

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