最近一則小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)引發(fā)熱議，其中新教材下3×8≠8×3的情況違反我們的直覺。

這樣的現(xiàn)象出現(xiàn)其實(shí)源于對(duì)乘數(shù)和被乘數(shù)的定義，在小學(xué)數(shù)學(xué)的語境中，3×8其實(shí)對(duì)應(yīng)著“一個(gè)人有3個(gè)蘋果，現(xiàn)在一共有8個(gè)人”，而8×3則對(duì)應(yīng)“一個(gè)人有8個(gè)蘋果，現(xiàn)在一共有3個(gè)人”。

圖文無關(guān)....

在數(shù)學(xué)的廣闊天地中，運(yùn)算的順序有時(shí)無關(guān)緊要，有時(shí)卻決定一切。我們從小就熟知 3 + 5 等于 5 + 3，這種運(yùn)算順序的可交換性看似理所當(dāng)然，但它實(shí)際上是通往兩類深刻數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)——阿貝爾群與非阿貝爾群——的分水嶺。

用更數(shù)學(xué)的角度來考慮，其實(shí)乘法交換律是否成立更根本的本質(zhì)，是該運(yùn)算下群是否構(gòu)成的阿貝爾群。而其實(shí)很多的數(shù)學(xué)理論中的乘法運(yùn)算是不滿足交換律的，接下來就跟著小編一起去看看走近非阿貝爾群的世界！

從小學(xué)乘法開始

小學(xué)學(xué)到的乘法交換律是定義在自然數(shù)的數(shù)域內(nèi)。對(duì)于自然數(shù)，我們要想嚴(yán)格得乘法交換律的證明是，我們要從皮亞諾公理開始。

皮亞諾公理給出了自然數(shù)形式化的定義。如果感興趣的朋友不難發(fā)現(xiàn)，皮亞諾公理的定義有著歸納遞推的思想，沿著這個(gè)思想可以得到加法和乘法的定義：

1. 對(duì)于任何正整數(shù)a，定義a×1 =a。

2. 對(duì)于任何正整數(shù)a和b，定義a×（b+1）= a×b+a。

在此定義下我們分別可以推導(dǎo)得到乘法分配律和乘法交換律，感興趣的同學(xué)可以看看下圖給出的推導(dǎo)思路。

原圖：

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/34/Inductive_proofs_of_properties_of_add%2C_mult_from_recursive_definitions_svg.svg

從小學(xué)到高中我們都沿著乘法交換律的路學(xué)習(xí)著數(shù)學(xué)知識(shí)，教科書上的數(shù)學(xué)內(nèi)容也都是在交換律成立的范圍內(nèi)，直到遇到了高中物理所學(xué)到的帶電粒子在磁場(chǎng)中的受力公式：

這里用到的就是向量運(yùn)算中的叉乘，這類運(yùn)算是不符合乘法交換律的。

而向量的叉乘運(yùn)算為， ,向量大小滿足： ，向量叉乘的積仍為向量，其方向根據(jù)右手螺旋定則確定。

雖然在教科書中沒有詳細(xì)敘述叉乘，但是依然讓當(dāng)年的小編萌生不少疑問。

而進(jìn)一步大學(xué)教授的矩陣運(yùn)算更是違犯交換律最好的例子，這也揭開了非阿貝爾群的面紗。

進(jìn)入群的世界

在深入探討差異之前，我們首先需要理解它們共同的身份：群。在抽象代數(shù)中，一個(gè)群是一個(gè)集合及其上定義的一種運(yùn)算的組合，這個(gè)組合必須滿足四個(gè)基本規(guī)則，以確保其結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定和自洽的：

封閉性：集合中任意兩個(gè)元素通過該運(yùn)算得到的結(jié)果，仍然是這個(gè)集合的成員。

結(jié)合律：(a × b) × c 的結(jié)果與 a × (b × c) 相同，運(yùn)算的組合順序不影響最終結(jié)果。

單位元：集合中存在一個(gè)單位元，任何元素與它運(yùn)算都保持不變（例如，加法中的0 或乘法中的 1）。

逆元：對(duì)于集合中的每一個(gè)元素，都存在一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的“抵消”元素，兩者運(yùn)算后會(huì)得到單位元（例如，a 的逆元是 -a，因?yàn)?a + (-a) = 0 ）。

同時(shí)滿足這四條公理的系統(tǒng)，就是一個(gè)“群”。它為數(shù)學(xué)家提供了一個(gè)研究對(duì)稱性和變換的強(qiáng)大框架。

當(dāng)一個(gè)群的運(yùn)算不僅滿足以上四條規(guī)則，還滿足交換律(a * b = b * a) 時(shí)，它就被稱為阿貝爾群（或交換群），以紀(jì)念挪威數(shù)學(xué)家尼爾斯·阿貝爾。

阿貝爾和橢圓函數(shù)理論

阿貝爾群在數(shù)學(xué)中無處不在，例如：

整數(shù)加法群 (?, +)：所有整數(shù)在加法下構(gòu)成一個(gè)完美的阿貝爾群。

非零實(shí)數(shù)乘法群 (?*, *)：所有非零的實(shí)數(shù)在乘法下同樣構(gòu)成阿貝爾群。

當(dāng)交換律被打破，即群中至少存在一對(duì)元素使得 a * b ≠ b * a，我們就進(jìn)入了非阿貝爾群的領(lǐng)域。這些群描述了更加復(fù)雜、順序至關(guān)重要的現(xiàn)象。

最直觀的例子來自于矩陣和幾何變換：

• 一般線性群 GL(n, ?)：所有 n×n 可逆實(shí)數(shù)矩陣在矩陣乘法下構(gòu)成的群。當(dāng) n≥2 時(shí)，這是一個(gè)經(jīng)典的非阿貝爾群，因?yàn)榫仃嚦朔ㄍǔ２粷M足交換律。

• 三維旋轉(zhuǎn)群 SO(3)：我們生活的三維空間中，所有繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)操作構(gòu)成一個(gè)非阿貝爾群。將一個(gè)物體先繞 X 軸旋轉(zhuǎn)90度再繞 Y 軸旋轉(zhuǎn)90度，與先繞 Y 軸再繞 X 軸旋轉(zhuǎn)，物體的最終朝向是截然不同的。

在實(shí)際各個(gè)領(lǐng)域非阿貝爾群也有非常重要的作用。

在粒子物理學(xué)中，描述基本力的標(biāo)準(zhǔn)模型完全建立在非阿貝爾的規(guī)范群之上。例如，傳遞強(qiáng)相互作用（將夸克綁定在一起）的 SU(3) 群和傳遞弱相互作用（引起放射性衰變）的 SU(2) 群都是非阿貝爾的。它們的非交換性直接導(dǎo)致了傳遞力的粒子（如膠子和W/Z玻色子）之間會(huì)相互作用，這是構(gòu)成我們物質(zhì)世界的關(guān)鍵特性。

圖源：百度百科

在機(jī)器人學(xué)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，SO(3) 群被用來精確計(jì)算和描述三維空間中物體的姿態(tài)和運(yùn)動(dòng)軌跡，其非交換性是處理復(fù)雜運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和避免“萬向節(jié)死鎖”等問題的核心。

再看看生活

其實(shí)運(yùn)算非交換在生活中非常常見。想象一下，你正在執(zhí)行一個(gè)任務(wù)清單，上面有兩件事：吃早餐和刷牙。你先吃早餐再刷牙，和你先刷牙再吃早餐，最終的結(jié)果顯然是不同的。

沒有魔方可以對(duì)著這個(gè)想象...

如果手邊有一個(gè)魔方可以嘗試最直觀的非阿貝爾群變換。分別對(duì)魔方進(jìn)行兩個(gè)不同方向的操作A和B，分別執(zhí)行先A后B和先B后A，你會(huì)驚訝地發(fā)現(xiàn)，兩種順序執(zhí)行完，魔方呈現(xiàn)的顏色狀態(tài)是完全不同的，魔方的所有可能操作，就構(gòu)成了一個(gè)龐大而復(fù)雜的非阿貝爾群，進(jìn)而可以想象一下三維空間的旋轉(zhuǎn)操作也是非阿貝爾的。

所以說下次說到乘法分配律不成立也不要驚訝，先問問運(yùn)算定義是什么，再問問乘法作用在什么樣的數(shù)域上。

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參考文獻(xiàn)：

[1]Gallian, J. A. (2020). Contemporary Abstract Algebra (10th ed.). Cengage Learning.

[2]李新征. 群論及其在凝聚態(tài)物理中的應(yīng)用[M]. 北京大學(xué)出版社, 2019.

[4]https://cameroncounts.wordpress.com/2011/09/21/the-commutative-law/

[5]https://www.zhihu.com/question/285971671

編輯：十一