圖源：Pixabay

撰文 | 丁玖

最近在《知識(shí)分子》上讀到一篇特寫(xiě)《數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭(zhēng)警示錄：我們需要什么樣的數(shù)學(xué)教育？》，頗有感觸。在這俄烏戰(zhàn)爭(zhēng)已持續(xù)三年有余、中東沖突也不時(shí)陰云密布的不安全世界中，文章標(biāo)題前半部中的“戰(zhàn)爭(zhēng)”一詞，確實(shí)容易觸動(dòng)讀者那敏感的厭戰(zhàn)神經(jīng)，盡管它比喻的是由于美國(guó)教育家和數(shù)學(xué)家關(guān)于“數(shù)學(xué)教育”長(zhǎng)期論戰(zhàn)累積而成的彌漫在北美上空的“戰(zhàn)爭(zhēng)煙火”。這一場(chǎng)曠日持久的“數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭(zhēng)”的直接遭殃者是美國(guó)的一代代學(xué)生。標(biāo)題下半部的問(wèn)話(huà)——“我們需要什么樣的數(shù)學(xué)教育？”，倒是一個(gè)好問(wèn)題，因?yàn)樗鼘?duì)中美兩國(guó)師生都是至關(guān)重要的大問(wèn)題。

可是，這又是一個(gè)極難回答的問(wèn)題。如果數(shù)學(xué)教育家、職業(yè)數(shù)學(xué)家、中小學(xué)數(shù)學(xué)老師、修數(shù)學(xué)課的青少年學(xué)生和學(xué)生家長(zhǎng)各任命幾位代表組成“評(píng)分委員會(huì)”的話(huà)，那么他們對(duì)此的討論將會(huì)異常激烈。

無(wú)論在美國(guó)還是在中國(guó)，這幾類(lèi)人對(duì)“數(shù)學(xué)教育”的釋義、理解及觀念可能彼此大相徑庭，提出的求解思路甚至可能南轅北轍。然而，集思廣益、暢所欲言，先觀察、后思索、想出路、提方案，總是解決棘手問(wèn)題的一個(gè)良策。所以我們作為《知識(shí)分子》的忠實(shí)讀者，應(yīng)該積極應(yīng)對(duì)，想方設(shè)法，從他國(guó)的正反實(shí)踐中吸取教訓(xùn)，共同努力提高我國(guó)數(shù)學(xué)教育的水平和效率。

今年六月一日，我從教了整整三十五年書(shū)的一所美國(guó)研究型公立大學(xué)正式退休，積累了對(duì)這個(gè)國(guó)家從初等到高等數(shù)學(xué)教育方方面面的若干觀察。在這篇文章里，我試圖描述我所看到乃至親身體驗(yàn)的美國(guó)數(shù)學(xué)教育，并提出自己的點(diǎn)滴感想，以?huà)伌u引玉。

14-5等于11？

我于1986年元旦赴美，去了密歇根州立大學(xué)數(shù)學(xué)系讀博士學(xué)位。為了獲得工作報(bào)酬支付讀書(shū)及生活開(kāi)銷(xiāo)，我同時(shí)也在系里擔(dān)任教學(xué)助理，先當(dāng)習(xí)題課老師，后主講小班初等微積分。1990年獲得學(xué)位后，我應(yīng)聘擔(dān)任另一所州立大學(xué)的正式助理教授而開(kāi)始全職教書(shū)，直至退休。

之前，我在國(guó)內(nèi)也教過(guò)數(shù)學(xué)，最早的實(shí)踐是在14周歲那年，剛高中畢業(yè)不久的我當(dāng)了一個(gè)月的代課老師，教了一個(gè)初中班的數(shù)學(xué)，第一節(jié)課講的是怎樣計(jì)算球冠的體積。1984年在本科母校南京大學(xué)數(shù)學(xué)系拿到碩士學(xué)位后，我留系任教，第一個(gè)學(xué)年教了物理系和天文系新生的基礎(chǔ)課“甲類(lèi)高等數(shù)學(xué)”，第二個(gè)學(xué)年的秋季學(xué)期教了本系大四學(xué)生的專(zhuān)業(yè)課“最優(yōu)化理論和方法”，然后我就出國(guó)留學(xué)去了。在過(guò)去的幾十年間，利用回國(guó)訪問(wèn)的機(jī)會(huì)，我也曾在多地多次講授過(guò)大學(xué)數(shù)學(xué)課程。這樣說(shuō)來(lái)，我在中美兩國(guó)都教過(guò)書(shū)，對(duì)兩國(guó)的教育尤其是數(shù)學(xué)教育有進(jìn)行一些比較的基礎(chǔ)。

我對(duì)美國(guó)數(shù)學(xué)教育的初步印象產(chǎn)生在我到達(dá)留學(xué)目的地密歇根州立大學(xué)后的第一個(gè)學(xué)季中，2016年，商務(wù)印書(shū)館出版了我的書(shū)《親歷美國(guó)教育：三十年的體驗(yàn)與思考》，書(shū)中第三章專(zhuān)門(mén)回憶了我這個(gè)新來(lái)乍到的外國(guó)研究生“新的發(fā)現(xiàn)”，包括對(duì)美國(guó)理工科大學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)現(xiàn)狀的發(fā)現(xiàn)：

“來(lái)到占地面積可以覆蓋五十個(gè)南大鼓樓老校區(qū)的密歇根州立大學(xué)，第一次給美國(guó)大學(xué)生教室答疑前，我想，班上是全世界最發(fā)達(dá)國(guó)家的學(xué)生，他們的腦子也一定是最靈光的，知識(shí)也一定是最豐富的，一定要使出渾身解數(shù)教，不能讓他們小看自己。沒(méi)想到，一個(gè)小時(shí)下來(lái)，學(xué)生問(wèn)的問(wèn)題十分簡(jiǎn)單，都是我想都不要想就能完全回答的。比如像多項(xiàng)式這樣的最簡(jiǎn)單初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，或一元二次方程的求根公式。我驚訝地發(fā)現(xiàn)，大部分人都背不出我們從小就記得滾瓜爛熟的最基本代數(shù)恒等式，像平方差公式之類(lèi)的。我甚至都懷疑他們是否讀過(guò)高中，因?yàn)檫@些初等代數(shù)的知識(shí)對(duì)于中國(guó)的大部分初中生，都已掌握得透熟。這樣的學(xué)生畢業(yè)后，真的能成為美國(guó)各行各業(yè)到處都有的杰出科學(xué)家和工程師嗎？剛剛進(jìn)入美國(guó)高等教育體系的我，真是百思不得其解?！?/p>

我當(dāng)時(shí)的日記中還記下了另一件事。那天是1986年10月9日，我因監(jiān)考所教習(xí)題課班級(jí)的期中考試而在教室內(nèi)來(lái)回走動(dòng)，無(wú)意中瞟見(jiàn)一名女生在答卷上將14-5的答案寫(xiě)成等于11，目睹此等中國(guó)小學(xué)一年級(jí)水平的算術(shù)錯(cuò)誤，我心生憐憫之心，便用手指了一指這個(gè)“等式”暗示她再好好地算一下，但她卻堅(jiān)持回答我：“Yes, it’s eleven（對(duì)，就是11）”。我于是無(wú)計(jì)可施，舉手投降。

剛到美國(guó)不久的我，由于在教學(xué)中常碰到這類(lèi)例子，開(kāi)始尋找“為何是這樣？”的答案。我曾經(jīng)猜測(cè)，原因或許是這個(gè)有四萬(wàn)五千名學(xué)生的大學(xué)規(guī)模太大，或者是由于基礎(chǔ)課大班超過(guò)百人的聽(tīng)課學(xué)生人數(shù)太多，從而使得講課教授的教學(xué)效果不彰。其實(shí)不然，十年后我的一位朋友告訴我，他所任教的美國(guó)一所著名的私立人文學(xué)院，雖然全校只有區(qū)區(qū)兩千多名學(xué)生，而且從全國(guó)各地考進(jìn)去的基本上都是高中母校的優(yōu)秀畢業(yè)生，但班上的大學(xué)生，絕大多數(shù)根本沒(méi)背過(guò)解一元二次方程的求根公式。然而，這個(gè)學(xué)校的畢業(yè)生中卻出了無(wú)數(shù)個(gè)杰出人才，包括了宋美齡、謝冰心、希拉里·克林頓(Hillary R. Clinton) 和瑪?shù)铝铡W爾布賴(lài)特(Madeleine Albright)等中國(guó)人耳熟能詳?shù)亩ΧΥ竺?。又過(guò)了十來(lái)年，我的教授朋友請(qǐng)我去給他班上的學(xué)生講點(diǎn)“函數(shù)迭代”的基本思想，在我準(zhǔn)備講稿時(shí)他關(guān)照我“講淺點(diǎn)，講淺點(diǎn)”。

我就讀的密歇根州立大學(xué)是一所很不錯(cuò)的公立大學(xué)，它是美國(guó)第一家“政府授地”大學(xué)，也是第一家農(nóng)學(xué)院，理工科各系都有成就斐然的學(xué)者，有不少專(zhuān)業(yè)在全美享有盛名，包括排名第一的核物理。照理說(shuō)，新生們?cè)诟咧须A段應(yīng)該學(xué)得很好，尤其是進(jìn)理工院系深造的那些，應(yīng)該已經(jīng)將高中數(shù)學(xué)——代數(shù)、幾何、三角——透徹地掌握了。然而現(xiàn)實(shí)卻打破我的想象，我決定要在接下來(lái)的日子里繼續(xù)觀察。

02

數(shù)學(xué)教育家和數(shù)學(xué)家之戰(zhàn)

我發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)根源是美國(guó)那群“數(shù)學(xué)教育家”，這些數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的專(zhuān)家或行政官員，他們中一般從事教育方法的教學(xué)和研究，但對(duì)教育的學(xué)科內(nèi)容卻關(guān)注不夠，甚至缺乏有足夠深度的理解。他們中的大部分在教育學(xué)院任教。他們的教育理念經(jīng)過(guò)幾代人的繼承和推進(jìn)已經(jīng)根深蒂固，連那些深諳教育之道并且熱愛(ài)學(xué)生的著名創(chuàng)造型數(shù)學(xué)家也難以撼動(dòng)。

這種理念在美國(guó)大概發(fā)端于百年前實(shí)用主義哲學(xué)家杜威的現(xiàn)代教育學(xué)說(shuō)，更早的源頭可在十九世紀(jì)法國(guó)啟蒙主義思想家的部分著作中找到?？墒?，正如列寧說(shuō)過(guò)的一句告誡之語(yǔ)“真理哪怕是向前邁出一小步就會(huì)變成謬誤”，正是那些不懂教育真諦卻能決定教育方式的那些人，誤將啟蒙主義的思潮用于自身具有特殊規(guī)律的教育領(lǐng)域而導(dǎo)致了美國(guó)數(shù)學(xué)教育的大潰敗。

幾十年間，美國(guó)推崇“進(jìn)步主義(progressivism)”哲學(xué)與持傳統(tǒng)教學(xué)觀念的兩派數(shù)學(xué)工作者，彼此之間因觀念沖突而持續(xù)較量，結(jié)果是廣大民眾對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育不斷下降的水平日趨不滿(mǎn)。在此大背景下，已打下進(jìn)步主義烙印的國(guó)家數(shù)學(xué)教師委員會(huì)于1980年提出了一個(gè)標(biāo)題為“行動(dòng)的規(guī)則”(An Agenda for Action)的報(bào)告，其中稱(chēng)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育要“立足于解決問(wèn)題”，而不能“先完全掌握解題技能”，主張甚至小學(xué)生也應(yīng)被允許用計(jì)算器而不是用手算。報(bào)告強(qiáng)調(diào)學(xué)生“探索式發(fā)現(xiàn)”以解決真實(shí)世界的問(wèn)題。這樣一來(lái)，高中傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程可以不分代數(shù)幾何三角分門(mén)別類(lèi)講授，而是一鍋端，形成十年后的“綜合數(shù)學(xué)”大雜燴課本，甚至日后微積分的重要性也被弱化。

到了1989年，國(guó)家數(shù)學(xué)教師委員會(huì)進(jìn)一步提出了“學(xué)校數(shù)學(xué)課程和測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)”，它的24名制定者除了兩位是中小學(xué)教師外，其余大都是教育學(xué)院的教授，數(shù)學(xué)家的數(shù)目為零。然而，這種數(shù)學(xué)內(nèi)容不夠的“標(biāo)準(zhǔn)”為何能在全美大行其道呢？一個(gè)原因是進(jìn)步主義教育專(zhuān)家們善于玩弄概念游戲來(lái)蠱惑人心，比如誤導(dǎo)性采用“認(rèn)知心理學(xué)”中的建構(gòu)主義(constructivism)來(lái)宣傳他們所提倡的教育理念。

一些在學(xué)術(shù)研究之外愿意花時(shí)間的數(shù)學(xué)家特此撰文批駁?！睹绹?guó)數(shù)學(xué)會(huì)通告》也刊登過(guò)一些著名數(shù)學(xué)家的文章，重鋪數(shù)學(xué)教育的“正確之道”。二十年前，我在美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)的一次地區(qū)性會(huì)議的數(shù)學(xué)教育分會(huì)場(chǎng)，親眼目睹華裔數(shù)學(xué)家伍鴻熙教授舌戰(zhàn)一群數(shù)學(xué)教育家，批評(píng)他們撰寫(xiě)的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材“不合邏輯”。正因?yàn)闊o(wú)意中發(fā)現(xiàn)加州公立學(xué)校的數(shù)學(xué)教育狀況令人憂(yōu)慮，這位幾何學(xué)家挺身而出，為全美數(shù)學(xué)教育走向正?；瘖^斗到正式退休為止。

到了九十年代初，我已經(jīng)成了一名助理教授，美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金會(huì)也加入了“進(jìn)步主義”的行列，除了大力打造中小學(xué)數(shù)學(xué)教材，也對(duì)大學(xué)的微積分教科書(shū)開(kāi)始“改革”，其中最著名的當(dāng)數(shù)所謂的“哈佛微積分”。這本教材的掛帥編者是哈佛一名教育學(xué)院的教師，編寫(xiě)組人員為其他參與大學(xué)和中學(xué)的幾位老師，包括我系的一對(duì)夫婦，丈夫是早已不做數(shù)學(xué)研究的資深副教授，太太是只有碩士學(xué)位的講師。由于他們進(jìn)入了寫(xiě)作班子，作品出爐后我系必須用它作為微積分教本。這不僅令任課教師苦惱，更讓修課學(xué)生糊涂，因?yàn)榇藭?shū)到處都是計(jì)算器的影子，學(xué)生只能盲目跟著它們?nèi)ァ疤剿靼l(fā)現(xiàn)”微積分的奧秘。對(duì)等地，通常對(duì)微積分的先修課程高中代數(shù)的要求降到了最低。

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作為一個(gè)例子，我們看看這本書(shū)是怎樣講授函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的。這是微積分里學(xué)完連續(xù)函數(shù)后的第一個(gè)關(guān)鍵概念，是積分思想的前奏曲。然而，本書(shū)讓首次學(xué)到這個(gè)新概念的大一新生如同在修一門(mén)計(jì)算數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課：用差商代替導(dǎo)數(shù)！這就是進(jìn)步主義者奉若神明的“探索性學(xué)習(xí)法”，什么極限過(guò)程，什么“ε-δ”語(yǔ)言，統(tǒng)統(tǒng)滾蛋!這本教材似乎要讓學(xué)生相信：導(dǎo)數(shù)就是差商，只要對(duì)自變量取非?？拷膬蓚€(gè)數(shù)，求出它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，然后做兩個(gè)減法，在將它們相除一下，導(dǎo)數(shù)就現(xiàn)身而出。

在國(guó)家數(shù)學(xué)教師委員會(huì)那個(gè)臭名昭著1980年報(bào)告問(wèn)世三年后，幸好里根總統(tǒng)政府教育部任命的一個(gè)特設(shè)委員會(huì)提出了一個(gè)觀點(diǎn)針?shù)h相對(duì)、目標(biāo)截然不同的報(bào)告《危險(xiǎn)中的國(guó)家》(A Nation at Risk)。它并非聳人聽(tīng)聞地指出：“我們國(guó)家的教育基礎(chǔ)正被平庸所侵蝕，威脅著我們國(guó)家和民族的未來(lái)”。它悲哀地發(fā)現(xiàn)，未來(lái)充實(shí)數(shù)學(xué)教師隊(duì)伍的大學(xué)新生，許多人基礎(chǔ)薄弱，在高中成績(jī)位于中下到墊底不等。這樣的人未來(lái)手執(zhí)教鞭，豈不誤人子弟？然而，重病在身的美國(guó)數(shù)學(xué)教育，四十年來(lái)卻未能恢復(fù)元?dú)?，至今仍未康?fù)。

美國(guó)普通數(shù)學(xué)教育失敗在哪里

跨入新世紀(jì)，我也在大學(xué)全職教了十年書(shū)，講授了多門(mén)或淺或深從本科到博士不等的數(shù)學(xué)課，從高中生學(xué)過(guò)的初等代數(shù)到博士生基礎(chǔ)課泛函分析我都教過(guò)。盡管我的教學(xué)受到學(xué)生們普遍的贊揚(yáng)，連我的教授同事也說(shuō)我“是個(gè)天生的教師”，然而在教書(shū)這一點(diǎn)上，我內(nèi)心一直感到悲哀：班上絕大多數(shù)學(xué)生包括研究生的數(shù)學(xué)認(rèn)知程度是差之又差的，他們無(wú)法與我教過(guò)一年半的南京大學(xué)的學(xué)生比。當(dāng)然，這在美國(guó)幾乎所有的公立大學(xué)都是一般性的存在。

既然國(guó)家層面早就認(rèn)識(shí)到提升中小學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的戰(zhàn)略重要性，為什么美國(guó)普通大學(xué)生的數(shù)學(xué)水平幾十年來(lái)難以提高？冰凍三尺非一日之寒。這一方面來(lái)自上節(jié)所述的關(guān)于教育措施的兩派觀念之爭(zhēng)，另一方面，這也與長(zhǎng)期以來(lái)美國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的素質(zhì)有關(guān)。

我曾經(jīng)多次教過(guò)本系夏季學(xué)期研究生課程，班上的學(xué)生除了碩士生或博士生外，還有部分是只能在暑假前來(lái)注冊(cè)修課的高中數(shù)學(xué)老師，有的甚至來(lái)自外州，他們?cè)诼毠プx數(shù)學(xué)教育碩士或博士學(xué)位。十余年前，為了讓這些中學(xué)數(shù)學(xué)老師學(xué)到一點(diǎn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支離散動(dòng)力系統(tǒng)的概念和方法，我開(kāi)了一門(mén)名叫“動(dòng)力幾何”的課，意在通過(guò)迭代三角形，讓學(xué)過(guò)甚至教過(guò)歐幾里得平面幾何的他們開(kāi)啟從有序到混沌的幾何之旅。

當(dāng)講到“垂足三角形”迭代并構(gòu)造其對(duì)應(yīng)的一類(lèi)我曾參與研究并發(fā)表過(guò)幾篇學(xué)術(shù)論文的分形時(shí)，我先在黑板上畫(huà)上一個(gè)銳角三角形，然后從它的每一個(gè)頂點(diǎn)作其對(duì)邊的垂線(xiàn)，得到的三個(gè)垂足構(gòu)成原先三角形的垂足三角形，將這個(gè)三角形拿走（三條邊保留下來(lái)），那么原先的大三角形內(nèi)剩下三個(gè)小三角形，這完成了制造對(duì)應(yīng)分形的無(wú)窮次迭代的第一次迭代，之后對(duì)每一個(gè)剩下的更小三角形如法炮制，直至無(wú)窮。為了獲得最終形成的那個(gè)稱(chēng)之為“謝爾賓斯基垂足三角形(Sierpiński pedal triangle)”分形的維數(shù)性質(zhì)，需要證明這三個(gè)小三角形都與初始選定的大三角形相似。見(jiàn)下圖所示：

要證明這大小四個(gè)三角形兩兩相似，即證明它們的對(duì)應(yīng)角相等，只需用到三垂線(xiàn)交于一點(diǎn)的事實(shí)和四點(diǎn)共圓及圓周角的性質(zhì)，這些都是初等幾何的基本內(nèi)容。我相信中國(guó)讀過(guò)中學(xué)數(shù)學(xué)的人都應(yīng)該會(huì)做，考上大學(xué)的更不在話(huà)下了。既然聽(tīng)我課的都是研究生和中學(xué)數(shù)學(xué)教師，我想請(qǐng)他們來(lái)證明，順便摸摸他們的數(shù)學(xué)根底，于是我就問(wèn)誰(shuí)愿意上黑板展示一下。我等了很久，卻沒(méi)有一個(gè)人舉手上講臺(tái)。

這就是美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)老師自我畫(huà)出的一幅數(shù)學(xué)圖景。他們?cè)诒緡?guó)接受了全部的教育，在小學(xué)階段基本上是不被要求熟記“小九九乘法口訣表”的，因?yàn)樗麄兊睦蠋熀图议L(zhǎng)也沒(méi)有背過(guò)，然而他們很早就學(xué)會(huì)使用電子計(jì)算器，因?yàn)橛杏绊懥Φ慕逃龑?zhuān)家們鼓勵(lì)他們只管用，而計(jì)算器制造商則依賴(lài)有天賦和創(chuàng)造力的工程師不斷革新產(chǎn)品，不停增強(qiáng)計(jì)算畫(huà)圖功能，讓這幫孩子用得方方便便，愛(ài)不釋手，答案手到擒來(lái)。

在中學(xué)階段，他們的老師解一元一次方程時(shí)在黑板上分五步做，比方說(shuō)解3x + 2 = 5。第一步，兩邊加上-2：3x + 2 + (-2) = 5 + (-2)；第二步，改寫(xiě)：3x + 0 = 3；第三步，化簡(jiǎn)：3x = 3；第四步，兩邊除以3：3x/3 = 3/3；第五步，化簡(jiǎn)得到解：x = 1。老師這樣教是因?yàn)樗麄儾恢馈耙祈?xiàng)換符號(hào)”的便利，也沒(méi)有人曾讓他們像中國(guó)初中生那樣可以一步到位快速完成這些簡(jiǎn)單運(yùn)算并一口清地報(bào)告答案。更不用說(shuō)在初中代數(shù)課堂上，老師會(huì)命令學(xué)生背誦平方差公式等最基本的代數(shù)恒等式。

到了高中學(xué)平面幾何，看上去厚厚的教材印刷精美，圖形五彩繽紛，文字引人入勝。然而卻少了中國(guó)幾何教本中的最重要內(nèi)涵：推理證明。在“探索法學(xué)習(xí)”的大旗指引下，學(xué)生捧在手中的幾何讀本，功能幾乎等同于“直觀理解”，似乎在“看圖識(shí)字”，而拋棄了歐幾里得幾何的精髓。這個(gè)精髓就是：通過(guò)寥寥幾條公理和公設(shè)，推演出平面幾何的所有命題，如三角形的內(nèi)角和必定是180度。這個(gè)精髓引領(lǐng)了近代科學(xué)，把人類(lèi)從愚昧中解救了出來(lái)。

這就能解釋為何我講授《高等微積分》學(xué)年課程第一學(xué)期的期中考試第一題，絕大多數(shù)修課的數(shù)學(xué)系本科生和研究生都做不出來(lái)，因?yàn)樗麄冊(cè)诟咧袥](méi)有受過(guò)幾何證明的洗禮。而這些答不出試卷本科生中的相當(dāng)一部分人將來(lái)的職業(yè)是中學(xué)數(shù)學(xué)老師。這道題是關(guān)于一個(gè)數(shù)集的上確界和下確界，該簡(jiǎn)單數(shù)集由所有分?jǐn)?shù)1/n - 1/m組成，其中n和m取所有的自然數(shù)。盡管我早已清楚現(xiàn)實(shí)的殘酷，講授確界概念時(shí)花了遠(yuǎn)超教學(xué)大綱中計(jì)劃的時(shí)間，翻來(lái)覆去地舉例解釋上確界的定義，闡述其意思：它是給定數(shù)集的一個(gè)上界，且在該數(shù)集的所有上界中，它最小，即它是數(shù)集的“最小上界”。我也用ε-語(yǔ)言刻畫(huà)了上確界：數(shù)s為數(shù)集A的上確界，當(dāng)且僅當(dāng)s大于或等于A中的所有數(shù)，且對(duì)任意正數(shù)ε，存在A中的數(shù)a使得a > s - ε。這個(gè)不等式給出“比上確界更小的數(shù)不是上界”的數(shù)學(xué)表達(dá)。

自然，精確理解這些等價(jià)語(yǔ)言，必須具有邏輯推理的足夠武功，而這套武功的最初練武場(chǎng)就是中學(xué)平面幾何命題證明的課堂——這個(gè)練武場(chǎng)在美國(guó)的普通高中不知蹤影。

截然不同的精英教育

但是，上述事例并不能得出美國(guó)的數(shù)學(xué)教育一塌糊涂的結(jié)論，更不能用來(lái)否定美國(guó)各地對(duì)資優(yōu)教育的極端重視。美國(guó)的教育方式和它的意識(shí)形態(tài)具有相當(dāng)?shù)囊恢滦裕篌w上是“崇尚自由”。在學(xué)校，教師對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是除了必修課外，“任君取舍”，但對(duì)母語(yǔ)的訓(xùn)練不遺余力，因而進(jìn)入大學(xué)的學(xué)生，數(shù)學(xué)可以將1/2 + 1/3算成2/5，但幾乎個(gè)個(gè)能說(shuō)會(huì)道，絕不害羞。另一方面，每所普通高中都有小部分高天賦學(xué)生，他們也有鴻鵠之志，對(duì)這樣的好學(xué)生，學(xué)校給他們開(kāi)小灶，或修大學(xué)先行課程如“AP微積分”，或送到附近的大學(xué)修課。因此美國(guó)青少年中的前百分之幾的聰明好學(xué)者，最終成長(zhǎng)為改變美國(guó)甚至改變世界的領(lǐng)路人。

多年的觀察讓我早就看到，雖然美國(guó)普通理工科大學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，和中國(guó)的同類(lèi)大學(xué)生比起來(lái)弱得多，但是在諸如斯坦福大學(xué)就讀的精英大學(xué)生中，許多人的數(shù)學(xué)本領(lǐng)強(qiáng)于中國(guó)名牌大學(xué)的數(shù)學(xué)尖子。但在本文，我們不討論資優(yōu)教育，僅僅著眼于從美國(guó)對(duì)普通學(xué)子數(shù)學(xué)教育的“失算”歷史回顧中吸取怎樣的教訓(xùn)。

我們需要什么樣的數(shù)學(xué)教育

如上對(duì)美國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育所走彎路以及對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)教育造成危害的簡(jiǎn)要描述，實(shí)際上給我們回答《知識(shí)分子》的提問(wèn)“我們需要什么樣的數(shù)學(xué)教育？”提供了一點(diǎn)線(xiàn)索，那就是：好的數(shù)學(xué)教育應(yīng)該是好的老師有效傳授給學(xué)生對(duì)未來(lái)的發(fā)展行之有效的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力和舉一反三應(yīng)用所學(xué)的功夫。

更具體地說(shuō)：人類(lèi)千百年間發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是前人留下的寶貴財(cái)產(chǎn)，是后人能夠創(chuàng)新的雄厚資本。青少年階段應(yīng)該像海綿般地沉浸于此，為未來(lái)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。熟練操作的基本技能是牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)以便將來(lái)能熟練應(yīng)用所學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵，容不得有半點(diǎn)的虛假和討巧。只有在全面吸收基礎(chǔ)知識(shí)以及對(duì)基本技能運(yùn)用自如后，人們才有能力和潛質(zhì)進(jìn)一步從事“探索式的學(xué)習(xí)”，進(jìn)入更高層次的學(xué)習(xí)，乃至走向創(chuàng)造新知識(shí)、發(fā)明新技術(shù)之路，而不是過(guò)程相反，在缺乏基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的情形下，就能輕而易舉地發(fā)現(xiàn)新知識(shí)。這就是數(shù)學(xué)教育的邏輯所在和基本規(guī)律。那種打著“探索性自主式學(xué)習(xí)”旗號(hào)的“進(jìn)步主義教學(xué)法”

，教出的學(xué)生只能是知識(shí)結(jié)構(gòu)殘缺不全卻容易好高騖遠(yuǎn)，因?yàn)樗麄儽緛?lái)就空空的腦袋不可能容易無(wú)中生有地探索出未曾學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)。