“對(duì)稱性支配相互作用” 原理的歷史脈絡(luò)是：愛因斯坦—外爾—楊振

導(dǎo) 讀
2025年10月18日，著名物理學(xué)家、諾貝爾獎(jiǎng)獲得者楊振寧逝世，享年103歲。
《知識(shí)分子》將陸續(xù)推送紀(jì)念文章，本期推送物理學(xué)家施郁教授特別撰文，按時(shí)間順序介紹楊振寧先生的32項(xiàng)科學(xué)貢獻(xiàn)，楊-米爾斯理論和“對(duì)稱性支配相互作用”原理大大深化了對(duì)于自然定律美與真的關(guān)系的認(rèn)識(shí)。
正如諾貝爾獎(jiǎng)得主丁肇中所說，“中國人在國際科學(xué)上建立不朽之功勛者，乃自楊振寧開始”。
本文較早版本收入清華大學(xué)的《楊振寧先生百歲華誕文集》。

撰文 | 施郁

01 引言

2002年在巴黎舉行的國際理論物理大會(huì)的最后一個(gè)報(bào)告中，楊振寧指出， 二十世紀(jì)理論物理的主旋律是量子化、對(duì)稱性和相位因子[1]。

楊振寧對(duì)三個(gè)主旋律都有重要貢獻(xiàn)。而對(duì)稱性更是楊振寧本人物理生涯的主旋律，對(duì)于物理學(xué)之美的追尋貫穿了楊振寧的科學(xué)生涯。

1928年， 6歲的楊振寧在海灘撿貝殼，與眾不同地挑選極小卻精致的[2]。異于常人的獨(dú)特的觀察力、品味和風(fēng)格在他成年后的物理學(xué)生涯中不斷表現(xiàn)出來，成就了一位當(dāng)代最卓越的理論物理學(xué)風(fēng)格大師和物理學(xué)基本理論結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)師[1,2,3]，正如弗里曼·戴森（Freeman Dyson）1999年所說[4]：“楊教授是繼愛因斯坦和狄拉克之后，20世紀(jì)物理學(xué)的卓越風(fēng)格大師……向費(fèi)米學(xué)到了最多的物理……他是保守的革命者?！?/p>

對(duì)此，戴森于2015年解讀[5]：“我強(qiáng)調(diào)了楊振寧的3個(gè)杰出品質(zhì)，這些品質(zhì)通常很難結(jié)合在一起。第一，奇特的數(shù)學(xué)技巧，這使得他能夠解決技術(shù)問題。第二，對(duì)自然的深刻理解，這使他問重要的問題。第三，社會(huì)精神，這使他在中華文明的復(fù)興中扮演了重要角色。這三個(gè)品質(zhì)共同將他塑造成他，一位繼往開來的保守革命者?！?/p>

楊振寧很重視物理上的風(fēng)格和品味[1,2,3]。對(duì)于二十世紀(jì)的幾位理論物理大師，他用 “深廣” 形容愛因斯坦；用 “笛卡爾式的純粹”（Cartesian purity）形容狄拉克, 稱其工作是 “神來之筆” “秋水文章不染塵”，還用高適的詩 “性靈出萬象，風(fēng)格超常倫” 描寫狄拉克方程和反粒子理論；又用 “厚實(shí)” 和 “穩(wěn)健有力（Solidity, Strength）” 形容費(fèi)米；用 “深刻的洞察力”（Deep insight）形容海森堡；用 “威力”（Power）形容泡利。

楊振寧回憶：“我物理上的品味很大程度上形成于1938年到1944年在西南聯(lián)大學(xué)習(xí)的時(shí)期。這些年里，我開始欣賞愛因斯坦、狄拉克和費(fèi)米的工作。他們當(dāng)然有不同的風(fēng)格。然而他們都有一種能力，能夠從物理概念、理論結(jié)構(gòu)或者物理現(xiàn)象提煉出基本，然后集中于本質(zhì)……我不能與海森堡的風(fēng)格共振。但是這不是說我不能領(lǐng)會(huì)到他是一位偉大的物理學(xué)家。我一直能領(lǐng)會(huì)到?！盵4]

楊振寧本人的風(fēng)格受到愛因斯坦、狄拉克和費(fèi)米三種風(fēng)格的影響，也具有 “提煉出基本，集中于本質(zhì)” 的能力。

我嘗試用4個(gè)詞來描繪楊振寧的風(fēng)格：原創(chuàng)、優(yōu)雅、功力、物理。

1983年楊振寧出版了《論文選集及評(píng)論（Selected Papers with Commentaries）》[3]。2013年，楊振寧又出版了續(xù)集《論文選集及評(píng)論II（Selected Papers II With Commentaries）》[1]。在1983年文集的序言中，楊振寧引用了唐代詩人杜甫（712-770）的名句：

“文章千古事，得失寸心知?！?/strong>

這句詩總結(jié)了杜甫的創(chuàng)作心態(tài)，深得楊振寧喜愛，曾經(jīng)在自己的詩《贊陳氏級(jí)》中化用此句：“造化愛幾何，四力纖維能。千古寸心事，歐高黎嘉陳。”[2]陳省身發(fā)現(xiàn)纖維叢理論中的陳氏級(jí)（Chern Class），貢獻(xiàn)極大，十年后楊振寧和米爾斯提出非阿貝爾規(guī)范場理論，再二十年后楊振寧和吳大峻意識(shí)到規(guī)范場和纖維叢的對(duì)應(yīng)。

杜甫的這個(gè)詩句也用來反映了楊振寧自己的研究心態(tài)。正如他在該書2005年再版序言中所說，這本論文選集是一個(gè)人在物理學(xué)一個(gè)很激動(dòng)人心的時(shí)代中的旅程的記錄。事實(shí)上，這同時(shí)也是20世紀(jì)下半葉理論物理被一位關(guān)鍵參與者記下的發(fā)展史。

戴森評(píng)論[4]：“所選的文章有的重要，有的不重要。有的是專業(yè)的，有的是通俗的。每篇文章都是珍品。弗蘭克（楊振寧的非正式英文名字）沒有試圖將盡量多的硬科學(xué)塞進(jìn)這五百頁。他試圖在五百頁中向我們展示一位偉大科學(xué)家的精神。他輝煌地成功了?！?/p>

“文章千古事，得失寸心知” 也刻于一個(gè)黑色立方體的上平面，那是楊振寧90歲時(shí)收到的一件生日禮物。立方體的四個(gè)垂直平面則分別刻了他對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)、凝聚態(tài)物理、粒子物理、場論等物理學(xué)四個(gè)領(lǐng)域的共13項(xiàng)重要貢獻(xiàn)：

（A） 統(tǒng)計(jì)力學(xué)

A1.1952 Phase Transition（相變理論）。論文序號(hào)：[52a]， [52b]， [52c]。

A2.1957 Bosons（玻色子多體問題）。論文序號(hào)：[57a]，[57b]，[57h]， [57i]， [57q]。

A3.1967 Yang-Baxter Equation（楊-巴克斯特方程）。論文序號(hào)：[67e]。

A4.1969 Finite Temperature（1維δ函數(shù)排斥勢中的玻色子在有限溫度的嚴(yán)格解）。論文序號(hào)：[69a]。

（B） 凝聚態(tài)物理

B1.1961 Flux Quantization（超導(dǎo)體磁通量子化的理論解釋）。論文序號(hào)：[61c]。

B2.1962 ODLRO（非對(duì)角長程序）。論文序號(hào)：[62j]。

（C） 粒子物理

C1.1956 Parity Nonconservation （弱相互作用中宇稱不守恒）。論文序號(hào)：[56h]。

C2.1957 T，C and P （時(shí)間反演、電荷共軛和宇稱三種分立對(duì)稱性）。論文序號(hào)：[57e]。

C3.1960 Neutrino Experiment （高能中微子實(shí)驗(yàn)的理論探討）。論文序號(hào)：[60d]。

C4.1964 CP Nonconservation （CP不守恒的唯象框架）。論文序號(hào): [64f]。

（D）場論

D1.1954 Gauge Theory（楊-米爾斯規(guī)范理論）。論文序號(hào)：[54b]， [54c]。

D2.1974 Integral Formalism（規(guī)范場的積分形式）。論文序號(hào)：[74c]。

D3.1975 Fibre Bundle（規(guī)范場與纖維叢的對(duì)應(yīng)）。論文序號(hào): [75c]。

論文序號(hào)是楊振寧給自己所有文章編的序號(hào)（出版年加上排序字母）。統(tǒng)計(jì)力學(xué)與凝聚態(tài)物理密切相關(guān)，場論與粒子物理密切相關(guān)，區(qū)分有一定的任意性，只是統(tǒng)計(jì)力學(xué)和場論的理論性和普遍性更強(qiáng)點(diǎn)，而凝聚態(tài)物理和粒子物理更針對(duì)具體現(xiàn)象。

參照代表朗道10項(xiàng)重要貢獻(xiàn)的 “朗道十誡”，楊振寧的13項(xiàng)重要貢獻(xiàn)或可稱為 “楊振寧13誡”[6]。

我們再按時(shí)間順序列出楊振寧的19項(xiàng)其他貢獻(xiàn)：

E1.1947 Quantized Spacetime（量子時(shí)空）。論文序號(hào)：[47a]。

E2.1948 Angular Distribution（角分布）。論文序號(hào)：[48a]。

E3.1949 Weak Interactions（弱相互作用普適性）。論文序號(hào)：[49a]。

E4.1949 Fermi-Yang Model（費(fèi)米-楊模型）。論文序號(hào)：[49b]。

E5.1950 Selection Rule（π0選擇定則）。論文序號(hào)：[50a]。

E6.1950 Phase Factors of the Parity Operator（宇稱算符相位因子）。論文序號(hào)：[50c]。

E7.1956 G Parity（G宇稱）。論文序號(hào)：[56d]。

E8.1957 Two-Component Theory of Neutrino（中微子二分量理論）。論文序號(hào)：[57f]。

E9.1957 Hyperon（超子衰變）。論文序號(hào)：[57o]。

E10.1960 Intermediate Boson（中間玻色子）。論文序號(hào)：[60e]。

E11.1962ξlimit（ξ極限）。論文序號(hào)：[62i]。

E12.1967 Nonabelian Wu-Yang Monopole（非阿貝爾吳-楊磁單極）。論文序號(hào)：[67d]。

E13.1968 High Energy Scattering（高能散射幾何模型）。論文序號(hào)：[68b]，[68c]，[68d]。

E14.1970 Charge Quantization（電荷量子化）。論文序號(hào)：[70a]。

E15.1976 Monopole Without Strings（無弦磁單極）。論文序號(hào)：[76c]，[76d]。

E16.1977 Self-dual Gauge Fields（自對(duì)偶規(guī)范場）。論文序號(hào)：[77g]。

E17.1978 SU(2) Monopole in 4D Spherical Space（4維球空間上的SU(2)磁單極）。論文序號(hào)：[78a]，[78g]。

E18.1989 η pairing（η配對(duì)）。論文序號(hào)：[89d]。

E19.1990 SO(4) in Hubbard Model（哈伯德模型的SO(4)對(duì)稱性）。論文序號(hào)：[90b]。

下面按時(shí)間順序，對(duì)這32項(xiàng)貢獻(xiàn)簡要評(píng)述，其間穿插對(duì)楊振寧科學(xué)歷程的回顧。然后分析這些工作的影響，并作進(jìn)一步討論。我們以前對(duì)13項(xiàng)重要科學(xué)貢獻(xiàn)作過評(píng)述[6]，為完整起見，這里融入部分內(nèi)容。

02 分項(xiàng)評(píng)述

1947 年的量子時(shí)空（E1）

1945年楊振寧去美國留學(xué)，希望跟隨費(fèi)米做實(shí)驗(yàn)論文，或者以量子對(duì)稱性開創(chuàng)者維格納（Eugene Wigner）為師，因此進(jìn)入了費(fèi)米所在的芝加哥大學(xué)。當(dāng)時(shí)費(fèi)米的實(shí)驗(yàn)室不能接受外國人，因此將楊振寧推薦給理論家特勒（Edward Teller）和實(shí)驗(yàn)家艾立遜（Sam Allison）。

關(guān)于芝加哥時(shí)期，楊振寧的老同學(xué)、1988年諾貝爾獎(jiǎng)得主斯坦伯格（Jack Steinberger）曾經(jīng)回憶：“最令人印象深刻的是楊振寧，戰(zhàn)后，24歲的他從中國來，雖然戰(zhàn)時(shí)中國條件有限，他來芝加哥讀研究生時(shí)，熟悉所有的現(xiàn)代物理”[7]。又說 “基本上知道我們所有課程的內(nèi)容”[8,9]。

1947年年初，楊振寧給黃昆寫信，說有點(diǎn)幻滅（disillusioned）[1]。然而就在這一年，他寫了E1這篇短文，在Snyder剛發(fā)表的理論中，討論了通過時(shí)空彎曲實(shí)現(xiàn)時(shí)空量子化的平移不變性。這也可歸類為對(duì)稱性方面的工作，是他在美國的第一篇文章。

在美國，楊振寧逐步走到物理學(xué)前沿，特別是，二十世紀(jì)下半葉是粒子物理蓬勃發(fā)展的時(shí)代，楊振寧和他的同事與粒子物理一同成長。

1948年的角分布（E2）

如果在楊振寧所有的論文和演講中找出一個(gè)主導(dǎo)性基調(diào)，那就是對(duì)稱性。對(duì)稱性是物理學(xué)之美的一個(gè)重要體現(xiàn)，也在粒子物理中扮演重要角色。維格納指出，基本粒子就是龐加萊群（由洛倫茲變換和時(shí)空平移組成）的不可約表示。二戰(zhàn)后，物理學(xué)家回到基礎(chǔ)研究，粒子物理大發(fā)展。對(duì)稱性分析是關(guān)鍵，而這正是楊振寧所擅長，他逐步成長為理論粒子物理的締造者之一。

楊振寧對(duì)粒子物理諸多具體問題的貢獻(xiàn)表現(xiàn)出他對(duì)對(duì)稱性分析的擅長。他往往能準(zhǔn)確利用對(duì)稱性，用優(yōu)雅的方法很快得到結(jié)果，并且突出本質(zhì)和巧妙之處。

群論是關(guān)于對(duì)稱性的數(shù)學(xué)。1942年，楊振寧在西南聯(lián)大請吳大猷指導(dǎo)學(xué)士論文。吳大猷給了他一篇關(guān)于群論在分子光譜學(xué)的應(yīng)用的綜述文章[3]。楊振寧的父親介紹他從狄克森（Leonard Eugene Dickson）的書《現(xiàn)代代數(shù)理論》（Modern Algebraic Theory）中學(xué)習(xí)群論。在芝加哥大學(xué)，特勒就是群論用于原子、分子和核物理的專家，楊振寧向他學(xué)到很多物理，包括群論的應(yīng)用。

1947年楊振寧還鉆研了四個(gè)課題，其中之一是核物理和粒子物理中的各種角分布[1]。角分布（E2）論文與之密切相關(guān)。這是楊振寧的博士論文工作，基于對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱和空間反演對(duì)稱的分析，得到核反應(yīng)和核衰變產(chǎn)物的角分布[3]。其中β衰變的相對(duì)論性情形是特勒建議處理的。在特勒建議下，楊振寧以此為博士論文，以特勒為導(dǎo)師，放棄了做實(shí)驗(yàn)的嘗試。1948年，楊振寧獲博士學(xué)位，并留校做了一年教員。

1949年的弱相互作用的普適性（E3）

1948年，楊振寧與李政道和羅森布魯斯（M. Rosenbluth）注意到，繆子衰變、繆子被原子核俘獲與β衰變都有相同數(shù)量級(jí)的作用強(qiáng)度，猜想由同樣的中間場（即后來的中間玻色子）傳遞。這篇半頁紙的文章與其他幾個(gè)組的文章一道，將弱相互作用確定為一種基本相互作用[3]。

這篇文章是李政道和楊振寧的第一篇合作論文。李政道1946年從西南聯(lián)大來到芝加哥大學(xué)讀博士，導(dǎo)師是費(fèi)米。

1949年的費(fèi)米-楊模型（E4）

當(dāng)時(shí)普遍認(rèn)為介子是基本粒子。但是1949年費(fèi)米和楊振寧問 “介子是基本粒子嗎”，探討了核子和反核子組成π介子的假設(shè)。這具有很重要的歷史意義，相當(dāng)于發(fā)現(xiàn)原子時(shí)問原子是否可分。

楊振寧后來評(píng)論：“我們并沒有幻想我們的建議與實(shí)際一致。事實(shí)上，我傾向于將這個(gè)工作完全埋藏在筆記本里，不發(fā)表。但是費(fèi)米說，學(xué)生解決問題，研究人員提出問題；他覺得我們提出的問題值得發(fā)表。我們提出的問題今天（1963年）還沒有解決?！盵3]這是戴森2015年所說的楊振寧問重要問題之一例。

斯坦伯格說：“如果將核子換成夸克，現(xiàn)在還是這個(gè)圖像?！盵8,9]這說明基本物理思想是最重要的。因漸近自由而獲得2004年諾貝爾獎(jiǎng)的維爾切克（Frank Wilczek）做過跟斯坦伯格精神一致但更詳細(xì)的評(píng)論，指出費(fèi)米和楊振寧提出的問題富有成果[9]：

首先，這個(gè)模型堅(jiān)實(shí)地以相對(duì)論量子場論為框架（那時(shí)量子場論還沒有被普遍接受為粒子物理的框架）。第二，借助于結(jié)合能，由重得多的粒子組成輕的粒子是個(gè)解放性概念，夸克和膠子組成介子和核子正是沿著這條思路。第三，費(fèi)米-楊模型對(duì)強(qiáng)作用采用與弱作用費(fèi)米理論類似的形式，期待了強(qiáng)和弱作用機(jī)制的深刻類似，這是標(biāo)準(zhǔn)模型的中心特征，而標(biāo)準(zhǔn)模型正巧建立在楊振寧本人的楊-米爾斯理論基礎(chǔ)上。

1950的π0選擇定則（E5）

1949年芝加哥大學(xué)的一次討論會(huì)上，有人提出π0介子可以衰變?yōu)閮蓚€(gè)光子。第二天，楊振寧便研究出選擇定則[3]。

這一年，楊振寧加入普林斯頓高等研究院，將在這里工作17年。

1950的宇稱算符相位因子（E6）

這是楊振寧在普林斯頓的第一個(gè)工作，和蒂歐姆諾（J. Tiomno）探討了β衰變等過程中，自旋1/2粒子的宇稱算符的相位因子。次年，在芝加哥的一個(gè)會(huì)議上，費(fèi)米專門安排了一段時(shí)間來討論這篇文章[3]。

角分布（E2）、π0（E5）和宇稱算符（E6）這三篇文章初步確立楊振寧在粒子物理對(duì)稱性分析上的領(lǐng)先。其中π0文章（E5）最為著名。

1952年的相變理論（A1）

統(tǒng)計(jì)力學(xué)也是楊振寧的主要研究方向之一，而相變是統(tǒng)計(jì)力學(xué)的一個(gè)中心問題。楊振寧的統(tǒng)計(jì)力學(xué)旅程始于1942年至1944年在西南聯(lián)合大學(xué)的碩士論文，導(dǎo)師是清華大學(xué)的王竹溪。

在芝加哥，當(dāng)時(shí)沒有教授對(duì)相變感興趣，包括相變理論的先驅(qū)梅耶（Joseph Mayor）。楊振寧在主攻粒子物理之余，保持對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)的興趣。他1947年鉆研的四個(gè)課題之二是昂薩格（Lars Onsager）的二維伊辛模型嚴(yán)格解，但楊振寧當(dāng)時(shí)沒能理解它的整體思想。伊辛模型是統(tǒng)計(jì)力學(xué)里最基本卻極重要的模型，但是它在理論物理中的重要性到1960年代才被廣泛認(rèn)識(shí)，這里就有楊振寧的貢獻(xiàn)。

在普林斯頓，1949年11月，楊振寧從同事路丁格（Joaquin Luttinger）處了解到，考夫曼（Bruria Kaufman）簡化了昂薩格的方法。楊振寧開始研究這個(gè)問題。1951年1月，他發(fā)現(xiàn)可以計(jì)算出自發(fā)磁化強(qiáng)度[3]。

1951年秋，李政道也來到這里，后來去了哥倫比亞大學(xué)。兩人總共合作了三十多篇文章，包括楊振寧13項(xiàng)重要貢獻(xiàn)中的4.5項(xiàng)。

1952年，楊振寧單獨(dú)以及與李政道合作，共發(fā)表了三篇有關(guān)相變的重要論文。第一篇就是前一年獨(dú)自完成的2維伊辛模型自發(fā)磁化強(qiáng)度論文，得到了1/8這一臨界指數(shù)。這是楊振寧做過的最長的計(jì)算，是一個(gè)絕對(duì)的壯舉。戴森稱其為 “雅可比橢圓函數(shù)理論的大師式練習(xí)”[10]。在楊振寧建議下，張承修計(jì)算了長方形格點(diǎn)，與楊振寧計(jì)算的正方形格點(diǎn)的臨界指數(shù)都是1/8。這是臨界指數(shù)普適性的最早跡象[3]。

1952年，楊振寧還和李政道合作完成并發(fā)表了兩篇關(guān)于相變的系列論文，將伊辛模型的研究擴(kuò)展到格氣模型，并嚴(yán)格計(jì)算出相圖。兩篇文章同時(shí)投稿和發(fā)表，發(fā)表后引起愛因斯坦的興趣。論文通過解析延拓到逸度的復(fù)平面上，巧妙地研究了巨配分函數(shù)的解析性質(zhì)，它的零點(diǎn)的分布決定了狀態(tài)方程和相變性質(zhì)等熱力學(xué)性質(zhì)。熱力學(xué)極限下，零點(diǎn)趨向正實(shí)軸，代表相變。這兩篇論文澄清了相變本質(zhì)，消除了梅耶1937年文章之后一直爭論不斷、對(duì)于同一相互作用下可存在不同熱力學(xué)相的疑惑，即：“氣體分子如何‘知道’它們何時(shí)聚集成液體還是固體”[6]。

這兩篇系列論文的高潮是第二篇論文中的單位圓定理，它指出，對(duì)于伊辛模型或者與之等效的吸引相互作用的格氣模型，巨配分函數(shù)的零點(diǎn)分布于復(fù)平面的單位圓上。在統(tǒng)計(jì)力學(xué)和場論中，這個(gè)理論精品就像一個(gè)小而精致的貝殼，至今魅力不減。楊振寧本人稱其為 “一個(gè)小珍品”。數(shù)學(xué)物理學(xué)家呂埃勒（David Ruelle）以此作為杰出典范，解釋數(shù)學(xué)定理是如何被猜測和證明的[11]。

1954年的楊-米爾斯規(guī)范理論（D1）

楊振寧1947年在芝加哥大學(xué)鉆研的四個(gè)課題之三是，泡利的綜述文章中介紹的電磁規(guī)范理論。楊振寧對(duì)于通過規(guī)范（指相位）不變性得到電荷守恒印象深刻，后來才知道這個(gè)理論是外爾（Hermann Weyl）創(chuàng)立的。1947年楊振寧曾試圖將它推廣到非阿貝爾規(guī)范理論，以便描述粒子間的相互作用，但是沒有成功[1,3]。當(dāng)時(shí)也有實(shí)驗(yàn)背景。1947 年，π+介子在宇宙線中被發(fā)現(xiàn)。所以楊振寧試圖與介子掛鉤。

不變性就是對(duì)稱性。諾特（Emmy Noether）定理指出，對(duì)稱性對(duì)應(yīng)于守恒量。因此 “對(duì)稱” 和 “守恒” 這兩個(gè)詞?？梢曰Q。規(guī)范不變性是說，在波函數(shù)或量子場的相位變換下，物理定律保持不變。相位變換的意思是乘以一個(gè)相位因子，這是一個(gè)模為1的復(fù)數(shù)。而且外爾考慮的是局域相位變換，也就是說，相位因子依賴于時(shí)空坐標(biāo)。兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，如果順序顛倒，乘積不變，這叫阿貝爾。非阿貝爾規(guī)范理論將單個(gè)的復(fù)數(shù)推廣為矩陣。兩個(gè)矩陣相乘，如果順序顛倒，乘積可能改變，因此叫做非阿貝爾。規(guī)范對(duì)稱性與通常的對(duì)稱性有一點(diǎn)不同，它是指對(duì)于同一個(gè)物理狀態(tài)有不同描述，是一種冗余，而通常的對(duì)稱性是指不同狀態(tài)之間的關(guān)系。

1953年至1954年，楊振寧在布魯克海文實(shí)驗(yàn)室訪問，與米爾斯（Robert Mills）在同一辦公室。楊振寧向米爾斯介紹了推廣規(guī)范理論的嘗試。當(dāng)時(shí)，越來越多的粒子被發(fā)現(xiàn)。人們考慮各種形式的相互作用。楊振寧覺得，顯然需要一個(gè)原理，來寫下相互作用[1,3]。用戴森2015年的話說，楊振寧問了非常重要的問題：如何用規(guī)范原理確定相互作用？

1954年，楊-米爾斯規(guī)范理論（即非阿貝爾規(guī)范理論）發(fā)表。在兩篇短文中，楊振寧和米爾斯將外爾的阿貝爾規(guī)范理論推廣到非阿貝爾規(guī)范理論。這兩篇短文是：

●C. N. Yang, R. Mills, 同位旋守恒與廣義規(guī)范不變, Phys. Rev. 95, 631 (1954)；

●C. N. Yang, R. Mills, 同位旋守恒與同位規(guī)范不變, Phys. Rev. 96, 191 (1954)。

這個(gè)當(dāng)時(shí)沒有被物理學(xué)界看重的理論，通過后來許多學(xué)者于1960到1970年代引入的自發(fā)對(duì)稱破缺與漸進(jìn)自由的觀念，發(fā)展成今天的標(biāo)準(zhǔn)模型。其中，電弱統(tǒng)一理論是U(1)XSU(2)楊-米爾斯理論，量子色動(dòng)力學(xué)是SU(3)楊-米爾斯理論。這被普遍認(rèn)為是20世紀(jì)后半葉粒子物理學(xué)和量子場論的總成就，主導(dǎo)了長期以來粒子物理學(xué)和量子場論的研究。

楊振寧和米爾斯進(jìn)行這個(gè)推廣的第一個(gè)動(dòng)機(jī)清晰表達(dá)于他們1954年的第一篇短文[3]。那是楊振寧在當(dāng)年在華盛頓召開的美國物理學(xué)會(huì)四月會(huì)議M會(huì)場（主持人是戴森）所作報(bào)告的摘要，大概在4月1日之前投稿。標(biāo)題是 “同位旋守恒與廣義規(guī)范不變”，摘要寫道：“電荷是電磁場的源。這里的一個(gè)重要概念是規(guī)范不變性，它緊密相關(guān)于(1)電磁場的運(yùn)動(dòng)方程，(2)流密度的存在，(3)可能存在的帶電的場與電磁場的相互作用。我們嘗試將這一規(guī)范不變性的概念推廣，以用于同位旋守恒。”

因此，楊振寧和米爾斯所做的是將同位旋守恒類比于電荷守恒：既然電荷守恒是阿貝爾規(guī)范不變性的后果，那么同位旋守恒也是一種規(guī)范不變性的后果，因此將電磁相互作用與阿貝爾規(guī)范場之間的緊密關(guān)系推廣到一種新的相互作用與非阿貝爾規(guī)范場之間的緊密關(guān)系。電磁相互作用定律和同位旋守恒都是有實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)的。

另一個(gè)動(dòng)機(jī)，正如第二篇短文（論文）的標(biāo)題和摘要強(qiáng)調(diào)的，是將同位旋對(duì)稱從與時(shí)空無關(guān)的整體對(duì)稱性推廣到依賴于時(shí)空的局域?qū)ΨQ性，從而確定相互作用的形式[3]。標(biāo)題是 “同位旋守恒與同位規(guī)范不變”，摘要寫道：“……探討了在局域同位旋轉(zhuǎn)動(dòng)下的不變性。這導(dǎo)致建立同位旋規(guī)范不變性原理，以及b場的存在，它和同位旋的關(guān)系同于電磁場與電荷的關(guān)系。b場滿足非線性微分方程。b場的量子是自旋1、同位旋1、電荷±e或零的粒子?！?/p>

所以楊振寧和米爾斯的思路如下。與局域相位變換聯(lián)系的阿貝爾規(guī)范不變性表現(xiàn)為電荷守恒，并導(dǎo)致電磁相互作用。外爾發(fā)現(xiàn)了這個(gè)理論結(jié)構(gòu)，雖然當(dāng)時(shí)電磁相互作用已經(jīng)是已知的。楊-米爾斯理論將它推廣為與局域同位旋變換聯(lián)系的非阿貝爾規(guī)范不變性，由此決定新的、待確定的相互作用。

從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)講，這是從描述電磁學(xué)的阿貝爾規(guī)范理論到非阿貝爾規(guī)范理論的推廣。而從物理觀點(diǎn)講，是用此種推廣發(fā)展出新的相互作用的基礎(chǔ)規(guī)則。也就是說，他們敲開了后來?xiàng)钫駥幩f的 “對(duì)稱支配力量”（或者說 “對(duì)稱性支配相互作用”）這一原理的大門。這是劃時(shí)代的，革命性的。

今天知道，在主宰世界的4種基本相互作用中，引力由愛因斯坦的廣義相對(duì)論描述，電磁和弱相互作用統(tǒng)一成電弱相互作用，它和強(qiáng)相互作用都分別由楊-米爾斯理論描述，而描述引力的愛因斯坦的廣義相對(duì)論也與楊-米爾斯理論有類似之處。楊振寧稱此為 “對(duì)稱支配力量”（或 “對(duì)稱性支配相互作用”）[3]。這是最初由愛因斯坦在創(chuàng)立廣義相對(duì)論時(shí)開啟的原理。楊-米爾斯理論是二十世紀(jì)后半葉偉大的物理成就，楊-米爾斯方程與麥克斯韋方程和愛因斯坦方程共同具有極其重要的歷史地位。

楊-米爾斯理論的成功是物理學(xué)史上的一場革命。但是楊振寧的出發(fā)點(diǎn)并不是要搞革命，而是要在復(fù)雜的物理現(xiàn)象背后尋找一個(gè)原理，建立一個(gè)秩序。這種秩序的建立是楊振寧追求物理美的一個(gè)主要表現(xiàn)。作為保守的革命者，他引起的革命是不得已而為之，是建設(shè)性的，而非破壞性的。但當(dāng)革命性的思想確實(shí)需要時(shí)，他又果斷地采納。雖然最初得到楊-米爾斯規(guī)范理論時(shí)，楊-米爾斯規(guī)范粒子的質(zhì)量問題不能解決，但物理直覺、理論的美以及對(duì)規(guī)范對(duì)稱性的重視使得楊振寧相信這個(gè)理論一定是正確的一步。

1956年的G宇稱（E7）

1955年，反質(zhì)子發(fā)現(xiàn)后，楊振寧和李政道提出G 宇稱的概念，聯(lián)合電荷共軛對(duì)稱和同位旋對(duì)稱，由此確定了強(qiáng)相互作用過程的一些選擇定則[3]。

1956年的弱相互作用中宇稱不守恒（C1）

1956年，θ-τ之謎是物理學(xué)中最重要的難題。θ和τ這兩個(gè)粒子在弱相互作用主宰下，分別衰變成2個(gè)和3個(gè)π介子，而π介子的宇稱是-1，因此θ和τ的宇稱分別是+1和-1。但是θ和τ的質(zhì)量和壽命完全一樣。當(dāng)時(shí)普遍討論，在θ和τ的衰變中，由于某種特殊原因，宇稱是否可以不守恒。如果宇稱守恒，那么θ和τ就是兩個(gè)不一樣的粒子，大自然就需要將它們的質(zhì)量和壽命微調(diào)成完全一樣。這是很奇怪的，很不自然，不美。

楊振寧和李政道從θ-τ之謎這個(gè)具體的物理問題走到一個(gè)更普遍的問題，將這個(gè)難題擴(kuò)展為弱相互作用的普遍問題，又提出 “宇稱在強(qiáng)相互作用與電磁相互作用中守恒，但在弱相互作用中也許不守恒” 的可能，將弱相互作用主宰的衰變過程獨(dú)立出來，然后經(jīng)具體計(jì)算，發(fā)現(xiàn)，原來以前并沒有實(shí)驗(yàn)證明在弱相互作用中宇稱是否守恒，他們還指出了好幾類弱相互作用關(guān)鍵性實(shí)驗(yàn)，以測試弱相互作用中宇稱是否守恒。

β衰變實(shí)驗(yàn)家吳健雄于1956年夏，決定做他們指出的幾類實(shí)驗(yàn)中的一項(xiàng)關(guān)于極化鈷60原子核（60Co）β衰變的實(shí)驗(yàn)（楊振寧后來評(píng)論她 “獨(dú)具慧眼”）。吳健雄邀請低溫物理學(xué)家安布勒（E. Ambler）、海沃德（R. W. Hayward）、霍布斯（D. D. Hoppes）和胡德森（R. P. Hudson）進(jìn)行合作。次年1月初，她領(lǐng)導(dǎo)的實(shí)驗(yàn)表明，在弱相互作用中，宇稱確實(shí)不守恒，引起整個(gè)物理學(xué)界的巨大震蕩。因?yàn)?“對(duì)于宇稱定律的透徹分析，導(dǎo)致關(guān)于基本粒子的重要發(fā)現(xiàn)”（諾貝爾獎(jiǎng)?lì)C獎(jiǎng)詞），楊振寧和李政道獲得1957年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

回顧歷史，從經(jīng)典物理以及晶體結(jié)構(gòu)，到量子力學(xué)與粒子物理，對(duì)稱性分析是物理學(xué)中的有力工具。而量子力學(xué)的興起使得對(duì)稱性在物理學(xué)中占據(jù)前所未有的重要地位。它將原子光譜中的量子數(shù)l和m解釋為轉(zhuǎn)動(dòng)算符的本征值。到了1950年代，所有的量子數(shù)與對(duì)稱操作聯(lián)系在一起。宇稱與空間反演或鏡面反射相聯(lián)系。因此，宇稱守恒有著直覺上的吸引力，被當(dāng)作自然的、神圣的，而且在實(shí)驗(yàn)上非常有用，特別是在核物理的實(shí)驗(yàn)分析方面。所以不難理解，在這樣的氣氛下，1956年楊振寧和李政道建議檢驗(yàn)弱相互作用中宇稱是否守恒的文章受到普遍的異議乃至嘲弄。同樣也不難理解，1957年初實(shí)驗(yàn)結(jié)果宣布后，楊振寧和李政道的這一工作當(dāng)年即被嘉以諾貝爾獎(jiǎng)。這個(gè)得獎(jiǎng)速度創(chuàng)造了諾貝爾獎(jiǎng)?wù)麄€(gè)歷史上的記錄，至今未被打破，前無古人，后無來者。

溫伯格（Steven Weinberg）說過：“李政道和楊振寧扭轉(zhuǎn)了從愛因斯坦開始的物理學(xué)家的一個(gè)傾向，即對(duì)稱性是不言而喻的原理。每個(gè)人都感到這一突破帶來的激動(dòng)。”[12]

1957年的時(shí)間反演、電荷共軛和宇稱三種分立對(duì)稱性（C2）

質(zhì)疑弱相互作用中宇稱是否守恒的論文預(yù)印本引起歐米（Reinhard Oehme）于1956年8月致信楊振寧，提出弱相互作用中宇稱（P）、電荷共軛（C）、時(shí)間反演（T）三個(gè)分立對(duì)稱性之間的關(guān)系的問題。這導(dǎo)致楊振寧、李政道和歐米討論P(yáng)、C、T各自不守恒之間的關(guān)系[3]。他們1956年接近年底時(shí)寫好論文，宇稱不守恒實(shí)驗(yàn)上確定后， 1957年1月7日投稿。此文對(duì)1964年所有的關(guān)于CP不守恒的理論分析有決定性的影響。

物理定律在某個(gè)層面的不對(duì)稱在實(shí)驗(yàn)揭示出來后，可以用更全面的對(duì)稱來 “挽救”。所以當(dāng)時(shí)人們期待C和P的聯(lián)合操作CP下的對(duì)稱性。楊振寧1983年評(píng)述[3]：“為什么我們沒有預(yù)料到CP違反？原因又是，每個(gè)人自然偏向于更多的對(duì)稱性。在這個(gè)情形下，事實(shí)上，也沒有疑難驅(qū)使我們考慮CP違反。1964年以前的所有的工作都是將電荷共軛包括進(jìn)來，重新定義反射操作。” 現(xiàn)在依然認(rèn)為CPT聯(lián)合操作是守恒的。

1957年的中微子二分量理論（E8）

3天以后，1月10日，楊振寧和李政道又將中微子二分量理論投稿。宇稱不守恒意味著，可以用手征性區(qū)分中微子和反中微子（自旋總是沿著或逆著運(yùn)動(dòng)方向），各自的波函數(shù)只有兩個(gè)分量。文章詳盡討論了實(shí)驗(yàn)相關(guān)問題，簡潔地指出中微子探測的截面應(yīng)該是原來理論結(jié)果的雙倍[3]。在有實(shí)驗(yàn)證據(jù)之前不隨便猜測，而有實(shí)驗(yàn)證據(jù)后透徹討論，這種研究風(fēng)格有費(fèi)米之風(fēng)。

1960年，中微子發(fā)現(xiàn)者雷納斯（Frederick Reines）和科萬（Clyde Cowan）宣布，截面確實(shí)應(yīng)該比他們最初（1956年）公布的增加一倍[13]。1979年雷納斯解釋：“當(dāng)初對(duì)于探測器效率估計(jì)過大”[14]，在2002年諾貝爾演講中，雷納斯再次重申 “正如我們幾年后從李政道和楊振寧處了解到的，截面應(yīng)該擴(kuò)大到兩倍，因?yàn)橛罘Q不守恒及中微子手征性。

1957年的玻色子多體問題（A2）

起源于對(duì)液氦超流的興趣，楊振寧在1957年左右與合作者完成了一系列關(guān)于稀薄硬球玻色子多體系統(tǒng)的論文。這是物理上受液氦超流驅(qū)動(dòng)、數(shù)學(xué)上定義完善的模型。

1955年開始，楊振寧和黃克孫、路丁格合作，將贗勢法（最初由費(fèi)米等人在核物理中發(fā)展出來）用到玻色子多體問題。由于一個(gè)發(fā)散問題，這個(gè)工作的兩篇論文遲至1956年10月才投稿[3]。

1956年4至6月，楊振寧和李政道集中研究θ-τ之謎。在寫好相關(guān)論文、等待宇稱實(shí)驗(yàn)結(jié)果的那段時(shí)間，楊振寧和李政道研究玻色子多體問題，用二元碰撞方法，得到了與贗勢法一致的結(jié)果，而且通過將最發(fā)散的項(xiàng)求和，首先得到了正確的基態(tài)能量修正。隨后，又和黃克孫用贗勢法得到同樣的結(jié)果以及低激發(fā)譜。他們得到的能量修正中最令人驚訝的是著名的平方根修正項(xiàng)，被稱為 “李-黃-楊修正”。但當(dāng)時(shí)無法得到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

由于粒子物理方面的工作壓力，他們寫了二元碰撞計(jì)算的簡單總結(jié)，12月投稿。1957年1月，在多體理論會(huì)議上，楊振寧對(duì)這兩個(gè)方法作了綜述。3月19日，他們將贗勢法的結(jié)果投稿。

在獲得諾貝爾獎(jiǎng)之后，楊振寧和李政道有時(shí)間回到玻色氣體問題。他們先是將李-黃-楊贗勢法擴(kuò)展到有限溫度，寫了兩篇文章，然后又寫了5篇文章，通過巨正則系綜和變分方法討論了各種性質(zhì)[3]。1960年，在多粒子問題會(huì)議上，楊振寧對(duì)這些工作做了綜述，其中有一些討論與兩年后的非對(duì)角長程序論文相關(guān)。

出乎他們的預(yù)料，近年來，他們的理論結(jié)果，特別是 “李-黃-楊修正”，隨著冷原子物理學(xué)的發(fā)展而得到了實(shí)驗(yàn)證實(shí)。1992年，楊振寧被問到，如何 “選擇10到20年后變得重要的問題”，他回答：“必須尋找與物理現(xiàn)象或者與物理學(xué)基本結(jié)構(gòu)直接相關(guān)的課題?！盵2]玻色子問題就是他這一方法論的一個(gè)很好的例子，而且是40-50年后特別重要。

1957年的超子衰變（E9）

宇稱不守恒確立后，人們紛紛研究其他弱衰變實(shí)驗(yàn)，包括超子衰變?yōu)棣薪樽雍秃俗?。楊振寧和李政道?duì)此作了分析。他們定義的幾個(gè)關(guān)鍵參數(shù)成為這個(gè)領(lǐng)域的標(biāo)準(zhǔn)語言。

1960年的高能中微子實(shí)驗(yàn)的理論探討（C3）

1960年，實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家施瓦茲（Melvin Schwartz）指出如何通過中微子束得到更多弱相互作用的實(shí)驗(yàn)信息。李政道和楊振寧在理論上探討了高能中微子實(shí)驗(yàn)的重要性[3]。這是關(guān)于中微子實(shí)驗(yàn)的第一個(gè)理論分析，引導(dǎo)出后來許多重要研究工作。

斯坦伯格與萊德曼（Leon Lederman）及施瓦茲因?yàn)橹形⒆邮椒ê挺讨形⒆拥陌l(fā)現(xiàn)而共同獲得1988年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。斯坦伯格指出：“這種實(shí)驗(yàn)的物理意義在李政道和楊振寧的論文中被列表討論，這個(gè)文章被證明是預(yù)知未來的……當(dāng)中微子束和探測器越來越有力后,這些過程成為多年深入實(shí)驗(yàn)的課題?！盵9]

在這篇文章中，楊振寧和李政道也討論了傳遞弱相互作用的中間玻色子，并命名為后來被廣泛采用的W±。

1960年的中間玻色子（E10）

1957年4月的羅切斯特會(huì)議上，楊振寧曾經(jīng)評(píng)論[3]：“如果β衰變相互作用是矢量相互作用而不是標(biāo)量相互作用，人們應(yīng)問一個(gè)問題，這是否與一些矢量場有關(guān)。而這些矢量場產(chǎn)生于局域守恒定律的概念?！边@是歷史上第一次提出弱相互作用的中間矢量場可能是規(guī)范場。后來有更多人這么猜測。

但是楊振寧和李政道并不喜歡猜測性的工作，而是采取更踏實(shí)的策略，集中于中間玻色子的唯象和邏輯分析[3]。他們考慮實(shí)驗(yàn)事實(shí)的限制，對(duì)中間玻色子場作了若干理論探討。他們另外還與合作者馬克斯坦（P. Markstein）作了中微子束產(chǎn)生W粒子的截面計(jì)算。

1961年的超導(dǎo)體磁通量子化的理論解釋（B1）

1961年夏，楊振寧訪問斯坦福大學(xué)[3]。在那里，費(fèi)爾班克（William Fairbank）和戴佛（Bascom Deaver）在實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)超導(dǎo)環(huán)中磁通量以hc/2e為單位的量子化。費(fèi)爾班克疑惑，這是不是因?yàn)殡姶艌鲇谐禁溈怂鬼f理論的新規(guī)律。楊振寧和伯厄斯（Nina Byers）給出了這一現(xiàn)象的理論解釋，證明電子配對(duì)即可導(dǎo)致觀測到的現(xiàn)象，而無需引入新的關(guān)于電磁場的基本原理，并糾正了倫敦（Fritz London）和昂薩格的推理錯(cuò)誤。證明過程中，他們將規(guī)范變換技巧運(yùn)用于凝聚態(tài)系統(tǒng)中。這也是楊振寧與實(shí)驗(yàn)家互動(dòng)的一個(gè)例子。

1962年的ξ極限（E11）

這篇文章也是楊振寧和李政道關(guān)于W粒子的唯象和邏輯研究，是關(guān)于它們與電磁場的相互作用。為了處理一個(gè)發(fā)散問題，楊振寧發(fā)明了叫做ξ極限的方法[3]。這個(gè)方法后來也被用在規(guī)范理論中。

這篇文章是兩人最后一篇合作論文。1999年諾貝爾獎(jiǎng)得主韋爾特曼（Martinus Veltman）說[15]：“他們剛開始系統(tǒng)研究矢量玻色子（弱相互作用的W和Z），無法知道他們在發(fā)展標(biāo)準(zhǔn)模型上可以走多遠(yuǎn)。”

1962年的非對(duì)角長程序（B2）

楊振寧的玻色氣工作引導(dǎo)他考慮密度矩陣的結(jié)構(gòu)，磁通量子化工作引導(dǎo)他考慮超導(dǎo)理論的涵義，這些問題最終統(tǒng)一起來。1962年，楊振寧提出非對(duì)角長程序的概念，統(tǒng)一刻畫超流和超導(dǎo)（或稱量子凝聚）的本質(zhì)，同時(shí)也深入探討了磁通量子化的根源。這是當(dāng)代凝聚態(tài)物理的一個(gè)關(guān)鍵概念。楊振寧后來指出，此文是 “我一直所喜愛的文章，雖然意猶未盡?！盵3]

2006年，因?yàn)楹?超流的理論工作而分享2003年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的萊格特（Anthony Leggett）出版了一本關(guān)于各種量子凝聚的專著，該書的序言包含以下說明：“我從一開始就采納由楊振寧首先闡明的觀點(diǎn)，即應(yīng)該簡單地考慮在對(duì)所有粒子的行為平均之下單粒子或者粒子對(duì)的行為，用術(shù)語說，就是單粒子或兩粒子密度矩陣。”[16]

1964年的CP不守恒的唯象框架（C4）

1964年，克里斯滕森（James Christenson）、克羅寧（James Cronin）、菲奇（Val Fitch）和特萊（René Turlay）的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了弱相互作用中CP不守恒。后來克羅寧和菲奇因此獲得1980年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

1957年宇稱（P）不守恒發(fā)現(xiàn)后，人們猜測CP守恒，沒有想到CP也不守恒。1964年CP不守恒的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)引發(fā)了很多理論文章。其中有眾多亂猜其根源的理論文章。楊振寧和吳大峻沒有理會(huì)那些脫離實(shí)際的理論猜測，而作了CP不守恒的唯象分析，集中于未來實(shí)驗(yàn)的仔細(xì)分析，建立了后來分析此類現(xiàn)象的唯象框架。這反映了楊振寧腳踏實(shí)地的作風(fēng)，顯示出費(fèi)米的影響。

克羅寧1993年指出：“在1964年的所有這些理論文章中，只有兩篇今天還被引用。其中之一是吳大峻和楊振寧的題為‘K介子衰變的CP守恒的破壞的唯象分析’的文章……在過去的29年中是實(shí)驗(yàn)的指導(dǎo)?！盵10]

與三種分立對(duì)稱性（C2）論文一道，此文定義了使用至今的理論框架和術(shù)語。斯坦伯格回憶，正是吳-楊文章啟發(fā)他去測量中性K介子衰變的主要參數(shù)[9]。

1967年的非阿貝爾吳-楊磁單極（E12）

楊振寧認(rèn)為不應(yīng)當(dāng)馬虎地將規(guī)范場變成唯象的東西，因?yàn)闋繌?qiáng)嘗試破壞了規(guī)范不變性[3]。因此1955年到1967年之間，雖然楊振寧時(shí)不時(shí)回到規(guī)范場問題，但是沒有就此發(fā)表任何論文。

1960年代后期，楊振寧重返規(guī)范場。本文是他1955年之后的第一篇規(guī)范場論文，是和吳大峻獲得的經(jīng)典純楊-米爾斯理論的第一個(gè)解。他們的策略是先尋找無奇點(diǎn)的解，再通過微擾尋找激發(fā)。這個(gè)方案與對(duì)稱破缺的思想有類似[3]。

1967年的楊-巴克斯特方程（A3）

1947年在芝加哥大學(xué)，楊振寧鉆研的四個(gè)課題之四是貝特（Hans Bethe）1931年關(guān)于1維鐵磁體的波函數(shù)的一個(gè)假定，關(guān)鍵是自旋波沒有衍射。1951年，楊振寧研究2維伊辛模型時(shí)，又仔細(xì)鉆研了貝特的方法。

1962年，楊振寧完成非對(duì)角長程序工作之后，尋找具有這種長程序的模型。這個(gè)尋找將他引導(dǎo)到量子統(tǒng)計(jì)模型的嚴(yán)格解，并重燃他對(duì)貝特假定的興趣。他研讀了利布（E. H. Lieb）和林內(nèi)格（W. Liniger）用貝特假定研究1維δ函數(shù)排斥勢中玻色子的工作。

1964年至1966年，他和楊振平研究格氣模型里的相變及其量子推廣。然后研究與之等效的各向異性海森堡鏈，用了貝特假定，并如此命名，就此發(fā)表了一系列論文[3]。在此期間，楊振寧離開普林斯頓，加入紐約州立大學(xué)石溪分校，創(chuàng)辦了一所理論物理研究所。

1967年，楊振寧發(fā)現(xiàn)1維δ函數(shù)排斥勢中的費(fèi)米子量子多體問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)矩陣方程。這個(gè)方程后來被稱為楊-巴克斯特方程，因?yàn)?972年巴克斯特（Rodney Baxter）在另一個(gè)問題中也發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程。同一年，楊振寧還寫了一篇于次年發(fā)表的文章，進(jìn)一步探討了此問題的S矩陣。后來人們研究了很多可解模型的S矩陣。

后來人們發(fā)現(xiàn)楊-巴克斯特方程在數(shù)學(xué)和物理中都是極重要的方程，與扭結(jié)理論、辮子群、霍普夫代數(shù)乃至弦理論都有密切的關(guān)系，因而它成為一個(gè)重要領(lǐng)域。

另一方面，楊振寧當(dāng)年討論的1維費(fèi)米子問題近年來在冷原子的實(shí)驗(yàn)研究中顯得非常重要，提供了分析許多1維實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)。而他在文中發(fā)明的嵌套貝特假設(shè)方法次年被利布和伍法岳用來解出了1維哈伯德（Hubbard）模型。

1968年的高能散射幾何模型（E13）

1965年開始，楊振寧與合作者（吳大峻、伯厄斯、鄒祖德、Benecke、閻愛德等）對(duì)高能強(qiáng)子碰撞作了一系列研究，將強(qiáng)子看成一個(gè)延展物，發(fā)展了一個(gè)唯象幾何模型，解釋了很多現(xiàn)象，提出許多被普遍使用的概念[3]。我們選擇1968年與鄒祖德合作的這篇文章作為代表。

1969年的一維δ函數(shù)排斥勢中的玻色子在有限溫度的嚴(yán)格解（A4）

1969年，楊振寧和楊振平將1維δ函數(shù)排斥勢中的玻色子問題推進(jìn)到有限溫度。這是歷史上首次得到的有相互作用的量子統(tǒng)計(jì)模型在有限溫度（T>0）的嚴(yán)格解。近年來，這個(gè)模型及其結(jié)果也在冷原子系統(tǒng)中得到實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)和驗(yàn)證。

1970年的電荷量子化（E14）

楊振寧1970年寫過一篇1頁的文章，證明了規(guī)范群的緊致導(dǎo)致了所有的電荷必須是某個(gè)基本單位的整數(shù)倍。這篇文章很特別，短而深刻。因?yàn)橥負(fù)湎嘧兒屯負(fù)湮镔|(zhì)相而獲得2016年諾貝爾獎(jiǎng)的索利斯（David Thouless）在他的《非相對(duì)論物理中的拓?fù)淞孔訑?shù)》（Topological Quantum Numbers in Nonrelativistic Physics）一書中介紹了楊振寧的這個(gè)論證。

楊振寧沒有研究過生物物理，不過問過一個(gè)重要問題。1971年楊振寧給著名的20卷叢書《相變與臨界現(xiàn)象》（Domb和Green編，1971-2001）的第一卷寫序，最后一段提到統(tǒng)計(jì)力學(xué)與腦功能的關(guān)系[3]： “今后幾十年的一個(gè)重大智力挑戰(zhàn)是腦組織的問題。記憶存儲(chǔ)的基本機(jī)制是什么？什么過程實(shí)現(xiàn)體內(nèi)基本上化學(xué)的過程與大腦的很特定、非統(tǒng)計(jì)的操作之間的聯(lián)系？最重要的，人腦如何實(shí)現(xiàn)概念的形成？我疑惑，是不是這些研究中的物理學(xué)精神與感動(dòng)‘熱力學(xué)的合理基礎(chǔ)’奠基者的并不相似?！?/p>

在這個(gè)方向上，Little的文章發(fā)表于1974年，Hopfield的文章發(fā)表于1982年。

1974年的規(guī)范場積分形式（D2）

楊-米爾斯理論還把物理與數(shù)學(xué)的關(guān)系推進(jìn)到一個(gè)新的水準(zhǔn)。1967到1968年，楊振寧注意到規(guī)范場場強(qiáng)與黎曼幾何中的黎曼張量之間的類似，意識(shí)到規(guī)范場有深刻的幾何意義[3]。于是他致力于研究規(guī)范場的積分形式，發(fā)現(xiàn)了不可積相位因子的重要性，1974年成文發(fā)表。

此文在1954年推廣規(guī)范理論的兩個(gè)動(dòng)機(jī)之后，給出了第三個(gè)動(dòng)機(jī)或者方法：將不可積相位因子推廣為不可積李群元素。

1975年的規(guī)范場—纖維叢對(duì)應(yīng)（D3）

1970年代早期，楊振寧認(rèn)識(shí)到規(guī)范場的幾何意義，也意識(shí)到規(guī)范場的積分形式實(shí)際上是一個(gè)幾何的發(fā)展。因此他向賽蒙斯（James Simons）學(xué)習(xí)纖維叢理論[3]。

1975年，楊振寧和吳大峻最終意識(shí)到物理學(xué)家所謂的規(guī)范對(duì)應(yīng)于數(shù)學(xué)家所謂的主坐標(biāo)叢，而物理學(xué)家所謂的勢對(duì)應(yīng)于數(shù)學(xué)家所謂的主纖維叢上的聯(lián)絡(luò)，規(guī)范場具有整體的幾何涵義，可以自然地用纖維叢概念表述。

他們發(fā)表了論文《不可積相位因子的概念與規(guī)范場的整體形式》（D3），用不可積相位因子的概念給出了電磁學(xué)以及楊-米爾斯理論的整體描述，討論了阿哈羅諾夫-玻姆（Aharonov-Bohm，簡稱AB）效應(yīng)和磁單極問題，揭示了規(guī)范場在幾何上對(duì)應(yīng)于纖維叢上的聯(lián)絡(luò)。

這篇文章里面有一個(gè) “字典”，把物理學(xué)中規(guī)范場論的基本概念準(zhǔn)確地 “翻譯” 成數(shù)學(xué)中纖維叢理論的基本概念，包括一個(gè)與規(guī)范場論中的源相對(duì)應(yīng)的問號(hào)，代表當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)上還沒研究。這個(gè)字典引起數(shù)學(xué)界的廣泛興趣，大大促進(jìn)了數(shù)學(xué)與物理學(xué)以后幾十年的成功合作。

這篇文章還包含了用不可積相位因子的概念重新研究狄拉克磁單極。用兩個(gè)有重疊的區(qū)域組成磁單極外的空間，每個(gè)區(qū)域有矢量勢，在重疊區(qū)域，兩個(gè)矢量勢只能相差一個(gè)梯度，因?yàn)榇艌鰪?qiáng)度是唯一確定的。由此得到兩個(gè)波函數(shù)之間的關(guān)系。而波函數(shù)的單值性就給出狄拉克量子化條件。這解決了有幾十年歷史的奇異弦困難，揭示了拓?fù)浜臀锢淼纳羁搪?lián)系。文獻(xiàn)中有時(shí)將其稱作阿貝爾吳-楊磁單極。

出于對(duì)AB效應(yīng)的濃厚興趣和深刻理解，楊振寧還建議外村彰用超導(dǎo)環(huán)驗(yàn)證AB效應(yīng)，實(shí)驗(yàn)1986年成功，通過電子全息術(shù)測量了AB相位[1]。

1976年的無弦磁單極（E15）

楊振寧和吳大峻進(jìn)一步用纖維叢的概念討論狄拉克磁單極問題，揭示狄拉克磁單極背后的非平庸叢的真正特性。楊振寧認(rèn)為這是他最優(yōu)雅的工作之一，發(fā)表了兩篇文章[3]。

第一篇文章指出，不可積相位因子文章里面提出的兩個(gè)有重疊的區(qū)域的波函數(shù)就是數(shù)學(xué)上的截面，這個(gè)方法消除了奇異弦。然后詳細(xì)計(jì)算分析了角動(dòng)量算符的本征截面，由磁單極球諧函數(shù)（比通常的球諧函數(shù)多一個(gè)刻畫截面的量子數(shù)）描寫。

第二篇文章給出一個(gè)多值的經(jīng)典拉格朗日量。不需要奇異弦，解釋了狄拉克關(guān)于經(jīng)典作用量的結(jié)論，即可以加減4πeg/c，導(dǎo)致狄拉克量子化條件。

1977年的自對(duì)偶楊-米爾斯場（E16）

對(duì)于無源規(guī)范場，楊振寧討論了SU(2)規(guī)范場（即楊-米爾斯場）的自對(duì)偶條件，得到一個(gè)類似拉普拉斯方程的方程。這后來被稱為楊方程，被證明是4維可積系統(tǒng)，并被發(fā)現(xiàn)與楊-巴克斯特方程有關(guān)。自對(duì)偶解，即瞬子解，于1975年由Belavin，Polyakov，Schwarz，Tyupkin（BPST）首先得到。

1978年的4維球空間上的SU(2)磁單極（E17）

1978年，楊振寧將狄拉克磁單極推廣到5維平直空間或者4維球空間的SU(2)規(guī)范場，它具有SO(5)對(duì)稱性。這是4維平直空間的BPST瞬子解在4維球空間的共形映射。同年他還進(jìn)一步計(jì)算了它的磁單極球諧函數(shù)[8,9]。

1989年的η配對(duì)（E18）

楊振寧1960年代就開始尋找本征態(tài)具有非對(duì)角長程序的費(fèi)米子模型。1986年高溫超導(dǎo)發(fā)現(xiàn)以后，2維哈伯德模型成為這個(gè)領(lǐng)域的一個(gè)重要模型。1989年，楊振寧終于通過η配對(duì)機(jī)制，在哈伯德模型里找到很多具有非對(duì)角長程序的本征態(tài)。η配對(duì)是總波數(shù)為π的電子之間配對(duì)（傳統(tǒng)配對(duì)的總波數(shù)為0）。

1990年的哈伯德模型的SO(4)對(duì)稱性（E19）

在η配對(duì)基礎(chǔ)上，楊振寧和張首晟很快發(fā)現(xiàn)了哈伯德模型的SO(4)對(duì)稱性，由與η配對(duì)相關(guān)的SU(2)對(duì)稱性以及自旋SU(2)對(duì)稱性構(gòu)成，因此與超導(dǎo)性和磁性都相關(guān)。在此基礎(chǔ)上，張首晟發(fā)現(xiàn)一個(gè)集體模，后來又發(fā)展出高溫超導(dǎo)的SO(5)理論，將超導(dǎo)性與磁性統(tǒng)一起來。張首晟稱之為 “對(duì)稱性支配相圖”[4]。

03 影響和引用情況

從影響力和引用情況上說，以上列出的32項(xiàng)工作主要可以分為八類。為有助于分析，我們參考 了Web of Science 數(shù)據(jù)庫（截至2021年8月12日。此數(shù)據(jù)庫范圍有限，也存在收錄遺漏，特別是早期數(shù)據(jù)。僅作參考）。

第一類是特殊型，屬于此類的是楊-米爾斯理論（D1）。 原文已發(fā)表多年，成為標(biāo)準(zhǔn)知識(shí)，絕大多數(shù)研究不再引用原文，反襯其重要性，就好比關(guān)于相對(duì)論的文章一般不引用愛因斯坦的原文。在Web of Science文章主題中搜索 “Yang Mills” 得到20931篇文章，是原文引用數(shù)的十幾倍，在標(biāo)題中搜索 “Yang Mills”，得到6016篇文章；在文章主題和標(biāo)題中搜索 “non abelian gauge”（非阿貝爾規(guī)范），分別得到7224篇和959篇文章；在文章主題和標(biāo)題中搜索 “nonabelian gauge”，分別得到5290篇和137篇文章。

很少有人知道第一篇短文（會(huì)議報(bào)告摘要）的存在。第二篇論文被1992篇文章引用（圖1）。在1979年的最高峰之前，每年引用呈增加趨勢，特別是1960年代初和1970年代中期有跳躍式增加，然后原文引用下降，1990年代以來又持續(xù)穩(wěn)定增加。

圖1 1954年楊-米爾斯理論論文的歷年施引文章數(shù)，總數(shù)為1992。

第二類是不斷上升型。屬于此類的是相變理論（A1）。其重要性沒有在剛發(fā)表時(shí)立即充分顯示，但是此后不斷彰顯，每年引用數(shù)基本保持上升趨勢，漲落很小，直到現(xiàn)在。圖2顯示，三篇文章被引情況非常類似，在1960年代有一個(gè)跳躍，然后一直保持增長。通常而言，論文發(fā)表若干年后，被引用數(shù)開始呈下降趨勢。這個(gè) “反?！?的共同形態(tài)反映了統(tǒng)計(jì)力學(xué)的發(fā)展情況和持續(xù)性，以及這三篇相變論文的重要地位。

圖21952年三篇相變論文（按發(fā)表順序排列）的歷年施引文章數(shù)，總數(shù)分別是875、1503和1535。

第三類是波浪上升型。屬于此類的有楊-巴克斯特方程（A3）和有限溫度（A4）（圖3）。A3被1775篇文章引用， 1980年代有一個(gè)峰，1990年代有一個(gè)更大的峰，2000年以來穩(wěn)定增長。A4被 1052篇文章引用， 在1970年代、1980年代、1990年代以及本世紀(jì)，都有越來越高的峰值。

與第二類相比，第三類的引用存在一些明顯的下降階段，但是不改變其向上的長期趨勢。這說明該領(lǐng)域在冷卻一些時(shí)段后有新發(fā)展，而且當(dāng)熱潮再次興起，其持續(xù)時(shí)間和高度都超過以往。

圖31967年楊-巴克斯特方程論文（A3）和1969年有限溫度下一維玻色子論文（A4）的歷年施引文章數(shù)，總引用數(shù)分別為1775和1052次。

第四類是衰減復(fù)興型。屬于此類的有：宇稱（C1），TCP（C2），玻色子（A2），磁通量子化（B1），非對(duì)角長程序（B2），角分布（E2），費(fèi)米-楊模型（E4），π0選擇定則（E5），超子衰變（E9）。這類工作發(fā)表后立即有其他研究者跟隨，體現(xiàn)于發(fā)表后緊隨的引用峰。然后有個(gè)衰減階段。但是后來因?yàn)樾碌陌l(fā)展，引用又開始增加。

獲諾貝爾獎(jiǎng)的C1很快為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，引用出現(xiàn)極高峰（圖4）。這是歷史里程碑式的工作，問題解決后，成為本領(lǐng)域的核心知識(shí)，原文的引用自然出現(xiàn)衰減。但是1990年代以來，引用又增加起來，C2亦類似，不過都沒有超過當(dāng)初的高峰。

圖4質(zhì)疑弱相互作用中宇稱是否守恒的論文（C1）的歷年施引文章數(shù)，總數(shù)為1640。

而A2、B1、B2復(fù)興后的影響和引用都遠(yuǎn)超當(dāng)初，因?yàn)楹髞淼南嚓P(guān)實(shí)驗(yàn)和理論工作遠(yuǎn)多于當(dāng)初，理論也越發(fā)顯得重要。例如，A2研究的玻色氣在當(dāng)初沒有完全對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)，后來冷原子新領(lǐng)域帶來大量后續(xù)研究。四篇文章都是這種類型，特別是李-黃-楊修正文章，近年來增長勢頭強(qiáng)勁，并不斷創(chuàng)造新高（圖5）。

圖5 李-黃-楊修正論文（A2）的歷年施引文章數(shù)，引用總數(shù)為897。

磁通量子化（B1）論文發(fā)表不久后有個(gè)被引高峰，而在1990年代有個(gè)大得多的峰，從此保持高原狀態(tài)，表明很多年后這個(gè)領(lǐng)域取得了很大進(jìn)展。

圖6伯厄斯與楊振寧1961年的超導(dǎo)體磁通量子化論文（B1）的歷年施引文章數(shù)，總數(shù)為817。

非對(duì)角長程序（B2）論文在1968年左右有一個(gè)引用峰值，1980年代后出現(xiàn)了高原（圖7），表明近年來關(guān)于量子凝聚現(xiàn)象的研究很多。

圖7非對(duì)角長程序（B2）論文的歷年施引文章數(shù)，總數(shù)為1106。

π0選擇定則（E5）的引用復(fù)興尤為突出（圖8）。在1950年代引用較多，這是很自然的。有趣的是，從1970年代開始，引用呈現(xiàn)遞增趨勢。本世紀(jì)以來，每年都有很多引用，甚至遠(yuǎn)超以前，出現(xiàn)了引用高原。

圖8π0介子衰變?yōu)閮蓚€(gè)光子的選擇定則文章的歷年施引文章數(shù)，總數(shù)為749。

第五類是恒強(qiáng)型。屬于此類的有：規(guī)范場—纖維叢對(duì)應(yīng)（D3），無弦磁單極（E15）。

D3和E15的第一篇文章發(fā)表后立即產(chǎn)生重大影響，引發(fā)熱潮。很多年來引用趨勢基本沒有衰減（圖8）。這是因?yàn)檫@些工作發(fā)現(xiàn)了豐富的礦藏，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家能從中不斷挖掘出新結(jié)果。

圖9楊振寧和吳大峻1975年規(guī)范場—纖維叢對(duì)應(yīng)論文（D3）以及1976年第一篇無弦磁單極論文（E15）的歷年施引文章數(shù)，總數(shù)分別為1128和683。

第六類是波浪型。屬于此類的有：η配對(duì)（E19）。隨著相關(guān)領(lǐng)域的情況變化，引用數(shù)有峰有谷。E19在1997年達(dá)到高峰（圖10），然后下降，目前正在攀登第二個(gè)峰。相對(duì)而言，此文發(fā)表時(shí)間距今還不長。

圖10楊振寧1990年關(guān)于哈伯德模型中η配對(duì)的文章的歷年施引文章數(shù)，總數(shù)為459。

第七類叫沉睡蘇醒型。屬于此類的有：量子化時(shí)空（E1），SU(2)磁單極（E17）。發(fā)表后一直引用極少，但是在多年后，年引用數(shù)開始逐年增加。從沉睡時(shí)間和蘇醒幅度來說，最突出的是E1。1990年代之前，引用很少。但是1990年代開始，特別是本世紀(jì)以來，因?yàn)榉菍?duì)易幾何的興起，引用大大增多（圖11）。

圖11楊振寧1947年量子化時(shí)空的短文（E1）的歷年施引文章數(shù)，總數(shù)為322。

第八類是衰減型。屬于此類的有：C3，C4，D2，E6，E7，E8，E10，E11，E13，E16。D2和E16屬于開辟新領(lǐng)域，其他則都是粒子物理唯象工作，與實(shí)驗(yàn)密切聯(lián)系，有很強(qiáng)的時(shí)效性。大多數(shù)工作已經(jīng)成為重要的標(biāo)準(zhǔn)知識(shí)，進(jìn)入教科書，很多人不再引用原文。

E3 和E14引用較少，因?yàn)橛懻摶締栴}，很快成為標(biāo)準(zhǔn)知識(shí)。E12發(fā)表在特勒60歲祝壽文集，很多人不引用原文，而E19發(fā)表于一個(gè)新雜志，作為支持。二者在Web of Science均沒有引用信息，但在Google Scholar分別有80和近千個(gè)引用。顯然哈伯德模型的SO(4)對(duì)稱性（E19）影響極大。

迄今為止，13項(xiàng)重要貢獻(xiàn)總共被14766篇文章引用17364次，19項(xiàng)其他貢獻(xiàn)中的17項(xiàng)（除E12和E19）被 5863篇文章引用 6356次，198篇文章（幾乎所有被Web of Science收錄的文章）總共被24539篇文章引用32103次。圖12顯示了歷年引用數(shù)?？梢钥吹?，13項(xiàng)重要貢獻(xiàn)和所有文章的總引用趨勢非常一致，說明確實(shí)是突出代表。更可以看到，楊振寧很多研究成果具有強(qiáng)大的生命力，說明他眼光非常深遠(yuǎn)。

圖12楊振寧的13項(xiàng)重要貢獻(xiàn)、17項(xiàng)其他貢獻(xiàn)以及198篇文章的歷年引用數(shù)。

04 眼光、堅(jiān)持、力量

楊振寧是二十世紀(jì)后半葉理論物理大師，具有極其鮮明獨(dú)特的研究風(fēng)格和品味。他曾經(jīng)總結(jié)自己工作的三個(gè)要素[2]：眼光（perception）、堅(jiān)持（persistence）、力量（power）。

楊振寧粒子物理唯象工作的特點(diǎn)可以小結(jié)如下。楊振寧和合作者腳踏實(shí)地，運(yùn)用對(duì)稱原理，立足實(shí)驗(yàn)分析，提出未來實(shí)驗(yàn)方向，而不隨便猜測，體現(xiàn)了費(fèi)米的影響。例如，和李政道提出中微子二分量理論時(shí)，在有實(shí)驗(yàn)證據(jù)之前不隨便猜測，而有了實(shí)驗(yàn)證據(jù)后透徹討論；和吳大峻分析CP不守恒時(shí)，沒有理會(huì)脫離實(shí)際的理論猜測，而作了CP不守恒的唯象分析，集中于未來實(shí)驗(yàn)的仔細(xì)分析，建立了分析此類現(xiàn)象的唯象框架。這些工作與實(shí)驗(yàn)密切聯(lián)系，引領(lǐng)了本領(lǐng)域發(fā)展，大多成為標(biāo)準(zhǔn)知識(shí)，進(jìn)入教科書，人們一般不引用原文了。因?yàn)榭蒲行掳l(fā)展，部分文章近年來引用又開始明顯增加。

楊振寧統(tǒng)計(jì)力學(xué)（含多體和凝聚態(tài)理論）工作的特點(diǎn)可以小結(jié)如下。楊振寧和合作者對(duì)扎根于物理現(xiàn)實(shí)的普遍模型嚴(yán)格求解與分析，從而漂亮地抓住問題的本質(zhì)和精髓。這方面工作與物理現(xiàn)象、場論和數(shù)學(xué)都有深刻聯(lián)系，對(duì)稱性也起了重要作用。大多數(shù)工作具有極長的生命力，原文引用不斷創(chuàng)新高。

無論是場論與粒子物理，還是統(tǒng)計(jì)力學(xué)與凝聚態(tài)物理，楊振寧的研究工作都體現(xiàn)了他對(duì)物理學(xué)理論的美的追尋，一方面與實(shí)驗(yàn)事實(shí)緊密相關(guān)，一方面又注重物理學(xué)的基本結(jié)構(gòu)和理論形式的優(yōu)美。這種追求和特征貫穿了他的整個(gè)研究生涯。從學(xué)生時(shí)代直到現(xiàn)在，楊振寧總是有獨(dú)立的思想、想法和直覺，做研究不趕時(shí)髦、不隨大流、不落俗套，而是獨(dú)立思考，從物理現(xiàn)象和從自己的物理思想出發(fā)，作出深刻的發(fā)現(xiàn)，展示物理之美。

楊振寧伴隨并深刻影響了二十世紀(jì)后半葉物理學(xué)的發(fā)展。他有些工作的重要性因?yàn)榈玫綄?shí)驗(yàn)支持很快被承認(rèn)，很多粒子物理唯象工作屬于這種情況，最著名的例子是關(guān)于弱相互作用中宇稱不守恒的工作；而有些工作的重要性經(jīng)過很多年以后才被其他物理學(xué)家接受，成為相關(guān)領(lǐng)域的奠基石，最著名的例子就是楊-米爾斯理論；也有些工作的重要性是越來越多地逐步顯示出來，統(tǒng)計(jì)力學(xué)中很多工作都是如此，包括相變理論和楊-巴克斯特方程。因?yàn)樽硇挠谧约旱淖非?，楊振寧?huì)把一時(shí)還不能完善或尚未顯示出重要性的想法放在一邊，等待時(shí)機(jī)成熟。他將論文選進(jìn)《選集》時(shí)，也不單純以物理重要性為標(biāo)準(zhǔn)。正所謂 “文章千古事，得失寸心知”。

1954年，楊振寧和米爾斯從物理結(jié)構(gòu)出發(fā)提出楊-米爾斯理論時(shí)，雖然知道這是一個(gè)極美的理論，但當(dāng)時(shí)并沒有意識(shí)到它如此重要，更不了解規(guī)范場的幾何意義。楊振寧是物理學(xué)家，不是數(shù)學(xué)家，是從物理現(xiàn)象歸納基本理論，而這些基本理論的結(jié)構(gòu)需要用數(shù)學(xué)表達(dá)。在追尋物理理論的美的過程中，他扎根于物理現(xiàn)實(shí)。但他又具有高超的數(shù)學(xué)能力，能夠欣賞數(shù)學(xué)之美。

在楊振寧的13項(xiàng)重要貢獻(xiàn)中，三分之二以上是關(guān)于物理現(xiàn)象與代數(shù)或幾何的對(duì)稱性之間的關(guān)系，包括楊-米爾斯理論。在另外列出的19項(xiàng)貢獻(xiàn)中，情況也是類似。統(tǒng)計(jì)力學(xué)很多工作中，對(duì)稱性也起了重要作用。這表明了在楊振寧的思考中，對(duì)稱性占據(jù)中心地位。1999年，在石溪的一次學(xué)術(shù)會(huì)議上，楊振寧被稱為 “對(duì)稱之王（Lord of Symmetry）”[6]。

楊振寧著重追尋 “物” 之 “理”，設(shè)計(jì)物理學(xué)的基本理論結(jié)構(gòu)，但他又深刻地認(rèn)識(shí)到實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象是物理學(xué)之根本，十分關(guān)注新的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，富有成效地同實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家互動(dòng)，對(duì)物理學(xué)各個(gè)領(lǐng)域保持興趣，包括一些看似較 “小” 但反映了物理學(xué)精神的問題，比如超導(dǎo)環(huán)磁通量子化和AB效應(yīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，從中提煉出美妙的物理，而對(duì)一些研究 “大” 問題但猜測性太強(qiáng)的領(lǐng)域不感興趣。這些特征顯然是受到費(fèi)米的影響。楊振寧從費(fèi)米那里學(xué)到，物理從近距離開始才能得到大的規(guī)律，抽象化應(yīng)在具體工作之后，應(yīng)該將大部分時(shí)間用于簡單的實(shí)際問題[2]。

1970年代后，凝聚態(tài)物理的實(shí)驗(yàn)新發(fā)現(xiàn)層出不窮，而高能物理的進(jìn)步則倚賴于加速器的發(fā)展，因此他對(duì)凝聚態(tài)物理和加速器物理這兩個(gè)領(lǐng)域特別關(guān)注，并鼓勵(lì)青年人進(jìn)入這些領(lǐng)域[2,4,16]。

楊振寧的風(fēng)格和品味中很多成分出自多年前埋下的 “小的種子”（seedling）[6]。他對(duì)對(duì)稱性的愛好與他天生的氣質(zhì)和幼時(shí)的經(jīng)歷不無關(guān)系，又與本科生階段的學(xué)習(xí)密切相關(guān)。而統(tǒng)計(jì)力學(xué)的研究則起源于碩士論文。在很多工作中表現(xiàn)出的數(shù)學(xué)能力和對(duì)數(shù)學(xué)美的欣賞，與少年時(shí)期對(duì)數(shù)學(xué)的接觸分不開。受費(fèi)米的影響，楊振寧又對(duì)很多領(lǐng)域保持興趣。

05 楊-米爾斯理論的后續(xù)發(fā)展

1954年楊-米爾斯理論的原始論文最后一段寫道：“在電動(dòng)力學(xué)中，人們認(rèn)為，電荷守恒要求光子質(zhì)量消失。對(duì)于b場（即楊-米爾斯規(guī)范場），沒有相應(yīng)的論證，雖然同位旋守恒成立。因此我們對(duì)于b量子（即楊-米爾斯規(guī)范粒子）不能做出任何結(jié)論?！盵3]

這段話頗有預(yù)見性。后來發(fā)現(xiàn)，楊-米爾斯規(guī)范粒子的質(zhì)量確實(shí)可能不為零，也可能為零。對(duì)稱性自發(fā)破缺在保持物理定律的對(duì)稱性前提下，允許現(xiàn)象的對(duì)稱破缺，這導(dǎo)致弱相互作用的規(guī)范粒子質(zhì)量。而描述強(qiáng)相互作用的量子色動(dòng)力學(xué)中，規(guī)范對(duì)稱沒有破缺，規(guī)范粒子膠子的質(zhì)量確實(shí)為零，但是夸克和膠子被禁閉著。

對(duì)于對(duì)稱性自發(fā)破缺機(jī)制，楊振寧曾經(jīng)評(píng)論道[2]：“自發(fā)破缺的觀念既解決了規(guī)范粒子的質(zhì)量問題，又沒有破壞對(duì)稱精神。”

標(biāo)準(zhǔn)模型的建立是多位理論物理學(xué)家努力的成果，他們因此獲得諾貝爾獎(jiǎng)。下面摘錄一些諾貝爾演講。

1979 年諾貝爾獎(jiǎng)是關(guān)于建立在楊-米爾斯理論基礎(chǔ)上的電弱統(tǒng)一理論。

格拉肖（Sheldon Glashow）說：“今天我們有個(gè)被稱作基本粒子物理學(xué)的‘標(biāo)準(zhǔn)理論’，其中強(qiáng)、弱和電磁相互作用都從局域?qū)ΨQ原理給出……這個(gè)概念在1954年被用到非阿貝爾局域?qū)ΨQ群。”

溫伯格說：“更復(fù)雜的群的推廣是1954年楊和米爾斯一篇重要文章中做出，他們展示了怎樣構(gòu)造一個(gè)強(qiáng)相互作用的SU(2)規(guī)范理論……我們目前關(guān)于基本粒子相互作用的細(xì)節(jié)性理論可以作為對(duì)稱原理和對(duì)付無窮大的可重正化原理的后果?！?/p>

1999年諾貝爾獎(jiǎng)是關(guān)于楊-米爾斯理論的可重正性。

韋爾特曼說：“楊-米爾斯理論大概是對(duì)于重正化來說最好的理論……從探究楊-米爾斯理論中的費(fèi)曼圖開始，我確定了很多發(fā)散的消失?！?/p>

特·胡夫特（Gerard ‘t Hooft）說：“我計(jì)算了場論的標(biāo)度性質(zhì)，我嘗試的第一個(gè)理論是楊-米爾斯理論……量子色動(dòng)力學(xué)是一種規(guī)范群SU(3)的楊-米爾斯理論。” 特·胡夫特也發(fā)現(xiàn)了漸近自由，但是沒有發(fā)表。

2004年諾貝爾獎(jiǎng)是關(guān)于楊-米爾斯理論的漸近自由。

格羅斯（David Gross）說：“特·胡夫特關(guān)于楊-米爾斯理論可重正性的杰出工作將非阿貝爾規(guī)范理論重新介紹到業(yè)內(nèi)……我們判斷可以計(jì)算楊-米爾斯理論的β函數(shù)……”

維爾切克說：“我們發(fā)現(xiàn)展示漸近自由的理論叫做非阿貝爾規(guī)范理論，或者楊-米爾斯理論（楊和米爾斯，1954）?！?/p>

戴森對(duì)楊-米爾斯理論作過很多評(píng)論[4,5]：

●“非阿貝爾規(guī)范場的發(fā)現(xiàn)打下新的知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)，這個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)的建造花費(fèi)了30年?，F(xiàn)代理論描述，又被現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)證實(shí)，物質(zhì)的狀態(tài)是非阿貝爾規(guī)范場的湯，這些規(guī)范場由楊振寧45年前發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)對(duì)稱性聚集在一起?！?/p>

●“楊振寧占據(jù)了外爾的位置，成為我這一代物理學(xué)家的領(lǐng)頭鳥……楊振寧還畫龍點(diǎn)睛地指出，愛因斯坦引力理論符合同一個(gè)框架……非阿貝爾規(guī)范場生成非平庸的李代數(shù)，場之間的相互作用形式被唯一地確定下來，因此對(duì)稱性支配相互作用。這個(gè)想法是楊振寧對(duì)物理學(xué)最大的貢獻(xiàn)?！?/p>

●“楊-米爾斯規(guī)范場是狄拉克方程之后，理論物理最重要的發(fā)現(xiàn)?！?/p>

楊-米爾斯理論也帶來一系列數(shù)學(xué)進(jìn)展：

●阿蒂亞（M. Atiyah）研究了瞬子解分類，與希欽（N. Hitchin）和辛格（I. Singer）計(jì)算了瞬子模空間的維數(shù)。

●烏倫貝克（K. Uhlenbeck）將楊-米爾斯方程表示成橢圓系統(tǒng)，導(dǎo)致一系列結(jié)果（ 2019 阿貝爾獎(jiǎng)成果一部分）。

●陶布思（C. Taubes）研究瞬子?？臻g邊界和自對(duì)偶4 維流形的粘結(jié)。

●唐納森（S. Donaldson）在前面三人工作基礎(chǔ)上，用瞬子?？臻g研究4維微分流形拓?fù)?，得到唐納森定理。結(jié)合Freedman定理，說明存在一種4維可微流形，與4維歐幾里得空間拓?fù)涞葍r(jià)卻不微分等價(jià)（1986菲爾茲獎(jiǎng)）。

●威騰（E. Witten）用超對(duì)稱楊-米爾斯理論研究低維拓?fù)涞葦?shù)學(xué)問題。

阿蒂亞說：“1977年以后我的興趣轉(zhuǎn)向規(guī)范理論以及幾何與物理的相互作用……辛格告訴我楊-米爾斯方程，通過楊振寧的影響，它正在向數(shù)學(xué)圈滲透。”[17]

烏倫貝克說：“楊-米爾斯方程正等著被發(fā)現(xiàn)。但是數(shù)學(xué)家不能自己創(chuàng)造它們。規(guī)范場論是個(gè)領(lǐng)養(yǎng)的孩子。物理學(xué)家楊和米爾斯于1954年寫下他們的方程?！盵18]

楊振寧開啟了物理與數(shù)學(xué)前沿兩個(gè)匯合點(diǎn)，大大促進(jìn)了數(shù)學(xué)與物理學(xué)以后的成功合作：

●楊-米爾斯理論

●楊-巴克斯特方程

有多位菲爾茲獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)工作與楊-巴克斯特方程或楊-米爾斯理論有密切的關(guān)系，這兩者之間的深刻聯(lián)系也越來越多地被揭示出來。

楊振寧感懷：“我的大多數(shù)物理同事對(duì)數(shù)學(xué)采取實(shí)用主義的態(tài)度。也許因?yàn)槲腋赣H的影響，我對(duì)數(shù)學(xué)有更多的欣賞。我欣賞數(shù)學(xué)家的價(jià)值判斷，我崇尚數(shù)學(xué)的美和力量：既有戰(zhàn)術(shù)操縱上的機(jī)智和復(fù)雜，也有戰(zhàn)略行動(dòng)上的激動(dòng)人心的掃蕩。而且，當(dāng)然，奇跡中的奇跡，數(shù)學(xué)中一些概念竟提供了主宰物理宇宙的基本結(jié)構(gòu)！”[3]

06 物理定律的定律

1979年，在紀(jì)念愛因斯坦百年壽辰的演講中，楊振寧總結(jié)了 “對(duì)稱支配力量”（或者 “對(duì)稱性支配相互作用”）總原理[3]。

楊振寧梳理，在愛因斯坦提出的狹義相對(duì)論基礎(chǔ)上，閔可夫斯基最早發(fā)現(xiàn)了對(duì)稱性原理：物理定律必須滿足在洛倫茲變換下的不變性。廣義相對(duì)論基于洛倫茲不變性到廣義坐標(biāo)不變性的推廣。

愛因斯坦從廣義坐標(biāo)不變性決定了引力場方程，確定了未知的引力定律。因此，愛因斯坦通過廣義相對(duì)論開啟了 “對(duì)稱性支配相互作用” 這個(gè)原理。

外爾最初試圖推廣廣義相對(duì)論，統(tǒng)一引力和電磁力。后來他將規(guī)范變換修改為量子力學(xué)中的相位變換，從阿貝爾規(guī)范不變性確定了電磁定律，雖然當(dāng)時(shí)電磁定律已經(jīng)是已知的。

楊-米爾斯理論提出時(shí)，是作為外爾的電磁規(guī)范理論的推廣，從非阿貝爾規(guī)范不變性確定未知的新的相互作用定律。

所以，4種基本相互作用都由對(duì)稱性決定。引力由廣義相對(duì)論描述，其它3種力直接主宰物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)，由楊-米爾斯理論描述。楊-米爾斯理論是二十世紀(jì)理論物理三個(gè)主旋律交融和變奏的高潮。

特·胡夫特說: “規(guī)范理論成為基本粒子理論的中樞概念，并被期待在更基本的理論構(gòu)造中扮演同樣必要的角色，以提供普適物理定律的包容一切的圖像?！盵19]

因此，今天可以清楚地看到：(1) “對(duì)稱性支配相互作用” 這個(gè)論斷簡潔地抓住了過去半個(gè)世紀(jì)理論物理主要的概念性進(jìn)展， (2) 這個(gè)論斷將繼續(xù)為理論物理的進(jìn)步提供一般性指導(dǎo)。

我稱之為物理定律的定律（Law of laws）。

“對(duì)稱性支配相互作用” 使得主宰世界的基本規(guī)律別無選擇，成為必然，可以被確定，消除了任意性。也就是說，在深層次的規(guī)律上，美就是真，真就是美，美支配真，通過美確定真。當(dāng)然，要通過實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。這是人類思想史上極其深刻的一筆?？芍^是大美至真！

格羅斯說：“對(duì)稱性支配相互作用而楊振寧支配對(duì)稱性。”[10]

楊振寧曾經(jīng)回顧1954年的價(jià)值判斷：“（A）規(guī)范不變性的美和力量，以及（B）規(guī)范玻色子的質(zhì)量問題。對(duì)于米爾斯和我來說，中心動(dòng)機(jī)來自（A），正如我們的短摘要所表明的。至于（B），米爾斯和我探討了各種可能性，在我們1954年的文章最后總結(jié)道：‘因此我們沒有得到關(guān)于b 量子的質(zhì)量的任何結(jié)論。’也就是說，我們將（B）當(dāng)作未來的問題?！?/p>

楊-米爾斯理論非常美，然而提出時(shí)，規(guī)范粒子質(zhì)量問題沒有解決，沒有直接的實(shí)驗(yàn)支持。但是從非阿貝爾規(guī)范不變性得到相互作用，是楊-米爾斯理論的核心思想，是美和力量，是正確的。規(guī)范粒子質(zhì)量問題后來得到了解決。粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型的成功證實(shí)了楊振寧基于美的眼光、判斷和勇氣。這是物理學(xué)歷史的幸運(yùn)。

談到歷史，我們可以從哥白尼的日心說得到教益。哥白尼日心說的核心思想是，所有行星繞日運(yùn)動(dòng)。由此自然地解釋了托勒密地心說中很多奇怪的規(guī)定。這是一個(gè)大美。

哥白尼日心說的優(yōu)點(diǎn)在于美，但是它并不比托勒密的地心說更符合觀測。它甚至也借用托勒密的方法，如偏心和本輪。日心說在對(duì)觀測符合上的優(yōu)勢，要等到伽利略基于望遠(yuǎn)鏡的發(fā)現(xiàn)。而基于正圓的理論缺陷，要等到開普勒的橢圓軌道來消除。

然而哥白尼日心說的核心思想是正確的，其他問題后來解決。我們還可以看到，圓對(duì)稱（甚至擴(kuò)大為球?qū)ΨQ）轉(zhuǎn)移到深層次的牛頓引力定律，而軌道形狀由于自發(fā)對(duì)稱破缺而成為橢圓。這在細(xì)節(jié)上也與楊-米爾斯理論有類似。

500年前的哥白尼日心說，今天依然重要，核心思想的重要性和正確性更清楚?？梢云诖?，楊-米爾斯理論500年后也將重要，核心思想的重要性和正確性也會(huì)更清楚。

“對(duì)稱性支配相互作用” 原理的歷史脈絡(luò)是：

愛因斯坦—外爾—楊振寧

這三位關(guān)鍵人物與戴森曾同時(shí)是普林斯頓高等研究院的同事，雖然楊振寧沒有與愛因斯坦和外爾討論過這個(gè)問題[1,2,3]。楊-米爾斯理論完美詮釋了研究院院徽（圖13）所表達(dá)的美與真的理念。那是研究院創(chuàng)辦者弗萊科斯納（Abraham Flexner）從濟(jì)慈（John Keats）的詩受到的影響：

美即是真，真即是美

（Beauty is truth, truth beauty）

圖13 普林斯頓高等研究院的院徽

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