A new census of the Universe’s entropy

宇宙熵的新普查

DOI:10.1088/1475-7516/2025/09/049

https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1475-7516/2025/09/049/pdf

摘要：

宇宙總熵是多少？它與德西特（de Sitter）空間的最大熵相比如何？其在宇宙各組成部分之間如何分布？這些問題具有重要意義，原因諸多。本文首先更新了對可觀測宇宙中各類組分熵的計(jì)算，包括：彌漫宇宙背景以及晚期伽馬射線與中微子背景中的熵；重子物質(zhì)中的熵——涵蓋彌散成分、恒星與恒星殘骸以及宇宙射線中的貢獻(xiàn)；尤為關(guān)鍵的是，我們更新了對恒星級黑洞與超大質(zhì)量黑洞熵的估算——得益于近期觀測對黑洞豐度與質(zhì)量函數(shù)日益精確的測定，以及引力波探測器所積累的黑洞–黑洞并合事件統(tǒng)計(jì)的快速增長。我們還給出了對若干新型熵貢獻(xiàn)的修正估算：隨機(jī)引力波背景、暗區(qū)輻射（dark sector radiations），以及多種暗物質(zhì)模型所對應(yīng)的潛在熵。最后，我們利用對假想原初黑洞（即非恒星起源黑洞）豐度的最新觀測約束，評估其可能貢獻(xiàn)的最大熵量。我們發(fā)現(xiàn)：若超大質(zhì)量原初黑洞確實(shí)存在，則在當(dāng)前對其豐度與質(zhì)量函數(shù)的觀測限制范圍內(nèi)，它們有可能主導(dǎo)宇宙的熵預(yù)算，其貢獻(xiàn)水平甚至可能接近德西特時空宇宙視界所對應(yīng)（理論預(yù)期）的熵值。類似結(jié)論也適用于某些具有大量暗自由度的暗區(qū)模型。

關(guān)鍵詞：粒子物理–宇宙學(xué)聯(lián)系；原初黑洞；暗物質(zhì)理論；宇宙射線理論

1 引言

熵的概念在宇宙學(xué)中扮演著基礎(chǔ)性角色，有助于我們理解宇宙的熱力學(xué)狀態(tài)及其演化軌跡。熵的增加驅(qū)動著一切不可逆過程——從生命所依賴的生物與化學(xué)反應(yīng)，到超新星爆發(fā)與霍金輻射——為理解宇宙在幾乎所有尺度上的行為提供了洞見，并暗示其可能的終極命運(yùn)。探究各類宇宙組分（如超大質(zhì)量黑洞、恒星級黑洞、宇宙微波背景、中微子、星際與星系際介質(zhì)（ISM 與 IGM）以及恒星等）所關(guān)聯(lián)的熵，可能為我們揭示宇宙的歷史、組成及終極命運(yùn)提供關(guān)鍵線索。此外，這些組分的熵常被與德西特（de Sitter）空間的最大熵及宇宙事件視界（Cosmic Event Horizon, CEH）的熵進(jìn)行比較，從而為宇宙學(xué)模型提供至關(guān)重要的上界約束。

由于熱力學(xué)第二定律，以及熵與時間箭頭之間雖定義模糊卻似乎真實(shí)存在的聯(lián)系，熵在試圖描述宇宙演化模型時同樣具有核心研究價(jià)值。以往的熵研究已利用這一事實(shí)，對宇宙的終態(tài)、文明與生命是否可能無限延續(xù)、引力熵理論、以及時間箭頭與熵本身之關(guān)系等議題做出預(yù)測［1–5］。進(jìn)一步開展宇宙熵研究，可完善上述結(jié)論，并為已知或尚未發(fā)現(xiàn)的宇宙組分參數(shù)施加新的限制——這正是本文的主要目標(biāo)。

然而，當(dāng)熵與宇宙學(xué)相關(guān)聯(lián)時，其本身是一個難以精確處理的物理量。熵最初是在熱力學(xué)框架下定義的，被視為一個狀態(tài)函數(shù)，與溫度結(jié)合可度量以熱形式耗散的能量；該定義側(cè)重于熵的變化而非其絕對值。隨后，玻爾茲曼提出了統(tǒng)計(jì)意義上的熵定義，給出與微觀狀態(tài)數(shù)（microstates）對數(shù)成正比的絕對熵；再后來，信息論又發(fā)展出將熵與概率相聯(lián)系的新定義［6］。盡管上述定義源于截然不同的領(lǐng)域，但在特定假設(shè)與極限下可彼此等價(jià)；然而，它們?nèi)詿o法普遍適用于所有宇宙組分——這些組分橫跨全部尺度，溫度與密度范圍從漸近零到理論極限，處于平直或彎曲時空，并具有不同乃至未知的粗?；╟oarse-graining）程度。為應(yīng)對這一困難，過往多數(shù)研究不得不依賴大量近似乃至一定程度的“經(jīng)驗(yàn)性推斷”（hand-waving）以得出結(jié)論。建立一個既精確又實(shí)用的普適熵定義仍是懸而未決的挑戰(zhàn)（關(guān)于構(gòu)建更精確理論的進(jìn)展，參見［7］）；但借助更新的數(shù)據(jù)（如黑洞觀測）與更精細(xì)的理論（尤其針對暗物質(zhì)與引力波等組分），我們?nèi)钥娠@著改進(jìn)以往的熵估算。

在一點(diǎn)上，絕大多數(shù)先前研究達(dá)成共識：超大質(zhì)量黑洞極有可能是當(dāng)前宇宙中熵的最大儲存庫，因其擁有巨大的事件視界。貝肯斯坦–霍金（Bekenstein–Hawking）熵關(guān)系——表明黑洞熵正比于其事件視界面積——為這類估算提供了核心的數(shù)學(xué)與概念基礎(chǔ)［8, 9］。恒星級黑洞雖尺度更小，其熵結(jié)構(gòu)與之相同，但對宇宙總熵預(yù)算的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)小于超大質(zhì)量黑洞［10, 11］。

宇宙微波背景（CMB）——來自宇宙早期的遺跡輻射——具有黑體譜特征，單位體積熵相對較低［11］。盡管其遍布整個可觀測宇宙，其總熵仍顯著小于黑洞的貢獻(xiàn)［12］。中微子在宇宙極早期即已退耦，對熵亦有貢獻(xiàn)，但同樣較為微弱［13］。既往相關(guān)研究［11］并未估算那些晚于CMB和中微子背景產(chǎn)生、頻率范圍更廣（從射電到X射線再到伽馬射線）的光子與中微子輻射背景對宇宙熵的附加貢獻(xiàn)。此外，本文強(qiáng)調(diào)：若干迄今尚未被探知的彌散背景（diffuse backgrounds），如隨機(jī)引力波背景［14］、暗輻射（即超出標(biāo)準(zhǔn)模型的“暗區(qū)”中一個或多個相對論性粒子物種）［15］，以及宇宙學(xué)暗物質(zhì)，也可能對宇宙熵預(yù)算產(chǎn)生顯著貢獻(xiàn)。

據(jù)先前研究［11］，星際與星系際介質(zhì)很可能是重子物質(zhì)對熵的最大貢獻(xiàn)者。盡管其總量遠(yuǎn)遜于黑洞與輻射，彌散重子物質(zhì)在理解宇宙熵分布方面仍具關(guān)鍵意義［10］。類似地，恒星通過核反應(yīng)與輻射過程貢獻(xiàn)熵，但其直接熵效應(yīng)小于更龐大的結(jié)構(gòu)組分［16, 17］。最后，重子亦以高能宇宙射線形式存在——據(jù)我們所知，其熵值此前從未被評估過。

尤為關(guān)鍵的是，宇宙事件視界的熵——在以宇宙學(xué)常數(shù)為主導(dǎo)的宇宙中即為德西特視界熵——可為宇宙熵含量提供一個上界［11, 18］。該熵值理應(yīng)遠(yuǎn)大于各內(nèi)部組分熵之和的當(dāng)前估計(jì)，因而成為理解熱力學(xué)極限與宇宙學(xué)模型的核心要素［19］。有研究指出，自宇宙學(xué)極早期起，事件視界熵已主導(dǎo)宇宙的熵預(yù)算［18］。

熵計(jì)算中一個重要的維度在于對各向同性與均勻性的假設(shè)——即宇宙學(xué)原理，它認(rèn)為宇宙在大尺度上均勻分布。這些假設(shè)對簡化模型與推導(dǎo)熵估算至關(guān)重要。然而，也有研究質(zhì)疑這些前提，探討擾動與結(jié)構(gòu)形成過程中存在的各向異性與非均勻性，可能引致局域熵估算的偏差［18, 20］。放寬各向同性與均勻性假設(shè)，將導(dǎo)向?qū)胤植几鼜?fù)雜且更精細(xì)的理解，或與宇宙弦、空洞等特征相關(guān)聯(lián)［20］。我們暫將此議題留待后續(xù)研究。

理解宇宙熵并非純粹的學(xué)術(shù)思辨；它對宇宙學(xué)模型具有深遠(yuǎn)影響。精確測定熵可為宇宙演化提供獨(dú)特視角，深化我們對塑造宇宙的不可逆過程、時間箭頭的理解，并對ΛCDM等模型施加約束。評估宇宙熵預(yù)算，有助于揭示迄今仍屬謎團(tuán)的宇宙能量組分（如暗物質(zhì)、暗能量、可能的暗區(qū)相對論性粒子、彌散引力波背景、以及宇宙加速膨脹的起源），并推動以熱力學(xué)為基礎(chǔ)的更深層宇宙學(xué)理論構(gòu)建［13, 21］。

本研究旨在更新并拓展以往對宇宙熵預(yù)算的評估，全文結(jié)構(gòu)如下：

• 第2節(jié)：基于最新宇宙學(xué)參數(shù)，重新審視與評估宇宙事件視界熵；

• 第3節(jié)：討論已知的彌散相對論性背景——包括早期（如CMB與宇宙中微子背景）與晚期產(chǎn)生的成分；并首次系統(tǒng)探討標(biāo)準(zhǔn)背景之外的新物理擴(kuò)展可能：如大輕子不對稱性、晚期結(jié)構(gòu)成團(tuán)效應(yīng)對中微子背景熵的影響等（此前研究均未涉及）；

• 第4節(jié)：估算重子結(jié)構(gòu)所關(guān)聯(lián)的熵，涵蓋ISM、IGM、恒星及其他束縛重子天體；并討論輕帶電輕子（如電子與正電子）的熵；此外，我們首次評估相對論性宇宙射線的熵——將局域測量外推至整個可觀測宇宙；

• 第5節(jié)：探索迄今尚未被發(fā)現(xiàn)、但潛在重要的“暗”相對論性背景，如暗輻射與隨機(jī)引力波；

• 第6節(jié)：概述粒子性暗物質(zhì)候選者的可能熵貢獻(xiàn)，包括接近普朗克尺度的穩(wěn)定微型黑洞的可能性；

• 第7與第8節(jié)：分別呈現(xiàn)恒星級（第7節(jié)）與非恒星起源（第8節(jié)，如原初黑洞）黑洞的宇宙熵結(jié)果；

• 第9節(jié)：討論與結(jié)論。

關(guān)于不確定性的說明：下文所有估算中，凡給出范圍者，均非嚴(yán)格置信區(qū)間。在多數(shù)情況下（下文將具體說明），準(zhǔn)確評估或區(qū)分系統(tǒng)誤差與統(tǒng)計(jì)誤差極為困難；所列范圍系通過對文獻(xiàn)的審慎調(diào)研綜合得出。少數(shù)例外（如CMB或中微子背景熵計(jì)算）可給出±形式的定量誤差。部分情形下，為簡潔起見，我們以10的冪次之?dāng)?shù)量級范圍表示不確定性。所有估算均詳列數(shù)據(jù)來源與參考文獻(xiàn)。

全文采用國際單位制（SI），或偶用天文單位，以確保表述清晰并便于跨學(xué)科比較；僅在為簡化表述時，臨時采用自然單位制

2 宇宙事件視界

與德西特（dS）和準(zhǔn)德西特（q-dS）時空相關(guān)的熵，是通過Gibbons與Hawking的奠基性工作確立的。他們證明，德西特時空具有一個正比于宇宙學(xué)視界面積的熵，并伴隨一個正比于哈勃參數(shù)的溫度［18］。這一熵值與黑洞熱力學(xué)中廣為人知的規(guī)律相類似，并被解釋為在德西特因果區(qū)域內(nèi)可訪問的量子態(tài)數(shù)量的度量［22–25］。

就本文目的而言，我們考慮一個空間平坦、具有正宇宙學(xué)常數(shù)的弗里德曼–勒梅特–羅伯遜–沃克（FLRW）宇宙學(xué)模型。在此背景下，宇宙事件視界（CEH）被定義為：從該邊界出發(fā)的光信號，在無限遠(yuǎn)的未來仍能到達(dá)某一給定觀測者的區(qū)域之邊界。我們到當(dāng)前宇宙學(xué)視界在某一恒定時間切片上的固有距離記為 R，對應(yīng)的視界面積為 ，其關(guān)聯(lián)的貝肯斯坦–霍金熵為 。

宇宙學(xué)視界的廣義熱力學(xué)第二定律（GSL）指出：宇宙事件視界的貝肯斯坦–霍金熵加上其內(nèi)部的粗?；刂偤筒粫p少。該GSL已在關(guān)于空德西特時空微擾的穩(wěn)健假設(shè)下得到證明［26］。盡管一個演化中的宇宙不僅僅是德西特時空的一個無窮小擾動，但視界面積背景性的增長意味著，只有極大量的粒子種類才可能使物質(zhì)熵的增長足以與視界熵的增長相競爭。

在接下來的章節(jié)中，我們將計(jì)算宇宙各組分的熵貢獻(xiàn)，并評估在對暗物質(zhì)性質(zhì)做出極端假設(shè)的前提下，總物質(zhì)熵是否可能達(dá)到足以挑戰(zhàn)GSL的水平。

此處，我們采用原始的Gibbons–Hawking形式
，并利用文獻(xiàn)［27］給出的最新宇宙學(xué)參數(shù)中心值，更新與宇宙事件視界相關(guān)聯(lián)的熵。采用文獻(xiàn)［11］的方法，并對宇宙學(xué)參數(shù)的不確定性進(jìn)行邊緣化處理后，我們得出：

需注意的是，本文通篇假設(shè)：當(dāng)前宇宙的加速膨脹由一個真實(shí)的宇宙學(xué)常數(shù)驅(qū)動，即對應(yīng)于一個恒定的真空能量密度，其狀態(tài)方程參數(shù)為 w=?1，且這一性質(zhì)將持續(xù)至遙遠(yuǎn)的未來而不發(fā)生變化。該假設(shè)意味著，宇宙將在漸近意義上演化至一個德西特（de Sitter）階段，從而形成一個有限的宇宙事件視界（cosmological event horizon, CEH），其半徑為并對應(yīng)一個吉本斯–霍金（Gibbons–Hawking）熵。

反之，若暗能量會發(fā)生衰變，或轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌麆恿W(xué)相態(tài)，則宇宙事件視界可能不復(fù)存在，或其尺度趨于無窮大，從而改變乃至完全消除其熵貢獻(xiàn)。因此，本文所計(jì)算的有限CEH熵值，在根本上依賴于宇宙學(xué)常數(shù)持久不變這一關(guān)鍵前提。

另一完全由宇宙學(xué)參數(shù)決定、且對本文分析至關(guān)重要的量，是可觀測宇宙的半徑及其對應(yīng)體積。依據(jù)最新宇宙學(xué)參數(shù)及其不確定性［28］，我們得出其值為：

3 光子與中微子彌散背景

光子與中微子宇宙背景是來自早期宇宙的關(guān)鍵遺跡，在理解其熱歷史與演化過程中扮演著至關(guān)重要的角色。作為宇宙微波背景（CMB）被觀測到的光子背景，以及宇宙中微子背景（CνB），為理解早期宇宙過程（如退耦、能量轉(zhuǎn)移和熵演化）提供了熱力學(xué)洞見。

現(xiàn)在轉(zhuǎn)向我們對宇宙光子與中微子背景相關(guān)熵的定量評估：宇宙微波背景（CMB）的熵密度即為溫度[28]下黑體輻射的熵密度。

其中，不確定性幾乎完全源于上一節(jié)所計(jì)算的可觀測宇宙體積 的不確定性。

除CMB外，河外背景光（extra-galactic background light, EBL）——即由恒星形成與恒星輻射過程（包括活動星系核的貢獻(xiàn)）累積產(chǎn)生的彌散輻射——同樣對宇宙中光子的熵有所貢獻(xiàn)。
對非CMB成分的EBL進(jìn)行積分（參見例如文獻(xiàn)［38］中的估算，本文即采用該數(shù)據(jù)；不同估算僅導(dǎo)致結(jié)果的微小變化），我們得到：

我們由此得出結(jié)論：EBL 對宇宙總熵的貢獻(xiàn)不足 CMB 熵的 1%。

更具體而言，我們發(fā)現(xiàn) EBL 熵中占絕對主導(dǎo)地位的成分是紅外輻射（IR），其主要源于星光被塵埃散射（或吸收-再輻射）后產(chǎn)生的次級輻射——上述 EBL 熵貢獻(xiàn)幾乎全部來自該部分；而光學(xué)波段（OP）以及紫外及以上頻率（HE, high-energy）的貢獻(xiàn)則分別為：

有趣的是，Bousso 及其合作者在文獻(xiàn)［39］中提出，確定晚期物質(zhì)熵產(chǎn)生（不包括視界熵）的最主要來源至關(guān)重要，因?yàn)楦哽禺a(chǎn)生可作為觀測者分析宇宙學(xué)常數(shù) ρΛ上人擇選擇效應(yīng)時的一個代理指標(biāo)。他們的論點(diǎn)是：盡管可能的 ρΛ值范圍廣闊，但只有較小的非零值才能創(chuàng)造允許眾多觀測者存在的條件。Weinberg 在文獻(xiàn)［40］中設(shè)定的條件是“觀測者需要星系”，后被進(jìn)一步強(qiáng)化為“觀測者需要至少與銀河系一樣大的星系”，從而將問題框定為：利用初始條件和能量演化來確定能夠孕育生命所需化學(xué)元素的大星系密度。Bousso 及其合作者發(fā)現(xiàn)，一種替代方法是測量退耦之后顯著的熵增，其依據(jù)是自由能是觀測所必需的，因此觀測規(guī)模會隨熵產(chǎn)生而縮放，這遵循熱力學(xué)第二定律［39］。該技術(shù)成功再現(xiàn)了觀測到的 ρΛ值，并確定絕大部分熵產(chǎn)生源于塵埃對星光再處理所產(chǎn)生的紅外光子——這一過程對應(yīng)著星系、恒星和重元素的存在（而這些正是生命所必需的）。我們的結(jié)果再次確認(rèn)：物質(zhì)在退耦后產(chǎn)生的最大熵源，來自于塵埃對星光的再處理。

現(xiàn)在轉(zhuǎn)向宇宙中微子背景（CνB）：與光子背景完全類比，CνB 所對應(yīng)的熵即為溫度為

在上述公式中， gν=6 對應(yīng)三個標(biāo)準(zhǔn)模型中微子的6個內(nèi)部自由度，而系數(shù) 7/8 來源于標(biāo)準(zhǔn)的費(fèi)米-狄拉克修正。與CMB類似，對應(yīng)于宇宙中微子溫度的誤差完全可忽略不計(jì)（十億分之一）。由此得到宇宙中的相應(yīng)熵為：

在足夠低的紅移以及足夠大的暈（halo）中，宇宙中微子若其質(zhì)量足夠大，便可在晚期有效地（或近似地）在暈內(nèi)達(dá)到維里化（virialize），從而獲得更高的平均速度。這一現(xiàn)象已在文獻(xiàn)［49］中通過半解析與數(shù)值模擬方法進(jìn)行了詳細(xì)研究，后續(xù)研究（如文獻(xiàn)［50］）也進(jìn)一步探討了該問題。

宇宙中微子背景在晚期宇宙中的平均速度可表示為紅移的函數(shù)［49］：

盡管在能夠產(chǎn)生大中微子不對稱性的機(jī)制范圍及其廣泛的宇宙學(xué)意義方面已達(dá)成共識［54–56］，但仍需進(jìn)一步工作來建立精確且堅(jiān)實(shí)的理論預(yù)測，以確定這些情景下熵貢獻(xiàn)的上限。我們將此項(xiàng)任務(wù)留待未來研究。

4 重子物質(zhì)：星系際介質(zhì)（IGM）、星際介質(zhì)（ISM）、宇宙射線、恒星及其他重子結(jié)構(gòu)

本節(jié)討論當(dāng)前宇宙中與重子結(jié)構(gòu)相關(guān)的熵，包括：

• 彌散、非束縛態(tài)重子（第4.1節(jié)）；

• 束縛于恒星及其他致密天體中的重子（第4.2節(jié)）；

• 相對論性宇宙射線（第4.3節(jié)）。

需注意的是，盡管此處我們使用“重子”一詞，但實(shí)際亦包含與電子相關(guān)的熵——尤其當(dāng)電子處于非簡并態(tài)時（若為簡并態(tài)，其熵貢獻(xiàn)將被極大壓低［4］）。我們還將在第4.3節(jié)中明確計(jì)算宇宙射線電子所對應(yīng)的熵。

4.1 彌散、非束縛態(tài)重子

晚期宇宙中重子的熱力學(xué)狀態(tài)與空間分布尚不明確，因此對其熵的估算具有相當(dāng)大的不確定性。對于未被束縛于結(jié)構(gòu)中的重子物質(zhì)（如電離態(tài)星系際介質(zhì)），若假設(shè)其具有溫度 T、數(shù)密度 n、有效平均粒子質(zhì)量 m以及內(nèi)部自由度數(shù)目 g，則可借助 Sackur–Tetrode 公式 相對直接地估算其熵密度：

我們在下文第6.1節(jié)討論暗物質(zhì)的聚團(tuán)增強(qiáng)效應(yīng)，其中子結(jié)構(gòu)存在于由暗物質(zhì)候選粒子微觀性質(zhì)決定的截止尺度之下，且暗物質(zhì)被設(shè)定或假設(shè)處于維里平衡狀態(tài)（其溫度因此由維里定理應(yīng)用于給定的（子）結(jié)構(gòu)質(zhì)量所確定）。對于重子物質(zhì)，正如上文所述，我們可以直接測量各種不同組分的溫度，從而有效地計(jì)入聚團(tuán)效應(yīng)。

4.2 束縛于恒星與致密天體中的重子

我們注意到，盡管白矮星和中子星已有堅(jiān)實(shí)的理論框架，但觀測偏差限制了我們確認(rèn)關(guān)鍵種群特征的能力，尤其是對于極端寒冷的殘骸或年輕的、熾熱的致密天體［78, 80］。未來需要更先進(jìn)的巡天技術(shù)與關(guān)于冷卻過程的理論研究，以完善這些外推結(jié)果。

我們對束縛態(tài)重子全局熵的計(jì)算遵循上述估算，并利用文獻(xiàn)［16］的結(jié)果評估不同質(zhì)量主序星、白矮星和中子星（后兩者處于兩個不同演化階段）的熵。

需注意的是，文獻(xiàn)［16］并未計(jì)算巨星支恒星的具體熵估算值，但可以合理推測，巨星支恒星對總恒星熵的貢獻(xiàn)微乎其微。文獻(xiàn)［16］所指示的演化趨勢是：單顆恒星物質(zhì)的比熵隨時間推移而降低，且由于恒星在巨星相位停留的時間相對于主序和殘骸相位而言極短，巨星支恒星種群本身也相對稀少，這進(jìn)一步削弱了其在熵估算中的重要性。因此，我們省略了這一種群，不期望會對我們的結(jié)果產(chǎn)生顯著影響。

4.3 相對論性宇宙射線

據(jù)我們所知，高能宇宙射線相關(guān)的熵從未被評估過。評估高能宇宙射線熵的核心問題在于，宇宙射線通量僅在地球處被直接測量，因此必須進(jìn)行兩次外推才能捕捉到整個宇宙的種群：

(1) 將局域測量外推至整個銀河系；以及 (2) 將針對銀河系推斷出的結(jié)果外推至整個宇宙。

具體而言，將局域觀測到的宇宙射線（CR）電子和質(zhì)子通量外推至銀河系乃至宇宙尺度，受到源分布、傳播機(jī)制以及星際介質(zhì)（ISM）屬性等方面顯著不確定性的制約。局域測量通量（例如使用AMS-02、Voyager、DAMPE探測器）受太陽調(diào)制影響，若不解決宇宙射線源位置、擴(kuò)散參數(shù)和能量損失等方面的不確定性，則無法直接代表銀河系尺度的宇宙射線分布。諸如文獻(xiàn)［87–89］和［90］中使用的模型揭示，源剖面的徑向和垂直變化，結(jié)合能量依賴的傳播效應(yīng)，會導(dǎo)致宇宙射線譜的空間差異。將宇宙射線源視為離散天體（如超新星遺跡）而非連續(xù)分布的隨機(jī)模型，表明存在顯著的局域通量變異性——當(dāng)對宇宙射線通量進(jìn)行尺度放大時，這一因素會傳遞到銀河系尺度的不確定性中（參見例如［91–94］）。

傳播模型（包括擴(kuò)散、對流和再加速機(jī)制）具有高度的簡并性，正如使用貝葉斯擬合與馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法的研究中所指出的那樣［95–97］。次級粒子與原初粒子宇宙射線比值（如B/C）提供了一些約束，但其有效性受限于核截面與太陽調(diào)制方面的不確定性。其他研究則強(qiáng)調(diào)了空間依賴的擴(kuò)散模型，以解釋銀河系內(nèi)宇宙射線與伽馬射線數(shù)據(jù)的空間變化，例如在高源密度區(qū)域附近的譜硬化現(xiàn)象［87, 89, 90］。此外，電子與質(zhì)子預(yù)測之間的差異依然存在，因?yàn)橥ㄟ^同步輻射和逆康普頓散射導(dǎo)致的電子快速能量損失會放大全局外推時的空間與譜不確定性［88, 90, 93］。

盡管彌散伽馬射線輻射與高能中微子觀測提供了對銀河系尺度宇宙射線分布的間接驗(yàn)證［87, 88, 90, 98］，但星際介質(zhì)屬性、氣體密度及磁場結(jié)構(gòu)的不確定性，阻礙了向星系際環(huán)境的穩(wěn)健外推。將銀河系尺度的宇宙射線通量外推至全宇宙尺度，還因受到約束不足的銀河系逃逸過程、星系際磁場以及宇宙學(xué)能量損失機(jī)制的影響而變得更加復(fù)雜［87, 90, 98］。雖然概率模型與多信使方法正在改善從局域到銀河系尺度的外推，但宇宙尺度的問題在很大程度上仍未解決，仍需進(jìn)一步的觀測與理論發(fā)展。

為了估算光譜類似于銀河系觀測結(jié)果的宇宙射線所占據(jù)的宇宙體積，需要考慮若干因素。這些因素包括：星系的空間分布、維持宇宙射線產(chǎn)生與傳播所需的條件，以及宇宙射線能否在銀河系磁場與結(jié)構(gòu)影響之外保持相似的光譜特性。

宇宙射線最有可能由超新星遺跡等天體物理源加速產(chǎn)生，也可能與脈沖星有關(guān)，而這些源與恒星形成區(qū)密切相關(guān)。因此，具有活躍恒星形成或大量過去恒星爆發(fā)種群的星系（如旋渦星系和星暴星系）是預(yù)計(jì)容納光譜類似銀河系宇宙射線的主要環(huán)境［87, 98］。需要注意的是，極高能宇宙射線的稀缺性意味著我們可以安全地忽略它們在此處的貢獻(xiàn)。

星系僅占據(jù)宇宙總體積的極小部分。宇宙學(xué)觀測表明，星系沿大尺度宇宙網(wǎng)的纖維狀結(jié)構(gòu)聚集，留下了廣袤的星系際空洞區(qū)域［90］。假設(shè)為恒星形成型或類似銀河系的星系，則由星系環(huán)境主導(dǎo)的宇宙總體積僅為總宇宙學(xué)體積的一小部分。

逃離星系的宇宙射線會因與宇宙微波背景的相互作用（例如，電子的逆康普頓散射和質(zhì)子在超高能下的π介子產(chǎn)生）而迅速損失能量。

我們采用與上述中微子計(jì)算相同的程序來計(jì)算宇宙射線相關(guān)的熵。對于宇宙射線電子，我們利用文獻(xiàn)［99］中測量并報(bào)告的低能組分通量，以及文獻(xiàn)［100］中針對高能組分的數(shù)據(jù)。我們發(fā)現(xiàn)，上述與下述的貢獻(xiàn)大致相當(dāng)，主要的不確定性在于將局域測量外推至整個宇宙時所涉及的體積問題——這一點(diǎn)已在上文討論過。具體而言，我們得到如下結(jié)果：

因此我們得出結(jié)論：質(zhì)子對熵的貢獻(xiàn)約為電子的100倍，其總量甚至可能接近恒星在宇宙總熵預(yù)算中的貢獻(xiàn)。

5 引力波與暗輻射彌散背景

文獻(xiàn)［11］正確指出：在普朗克能標(biāo)發(fā)生熱退耦的原初引力子（relic gravitons），其當(dāng)前溫度為

因此，我們得出結(jié)論： 暗輻射有可能成為宇宙總熵預(yù)算中一個非常重要的貢獻(xiàn)者 ，這與文獻(xiàn)中先前的斷言不同。需要注意的是，盡管我們的估算表明，在某些假設(shè)下，暗輻射組分的熵可能與已知輻射背景相當(dāng)甚至更大，但必須明確限定這種可能性的合理性。與完全推測性的奇異領(lǐng)域不同，暗輻射是許多動機(jī)充分的標(biāo)準(zhǔn)模型擴(kuò)展方案的一個特征，例如涉及惰性中微子、類軸子粒子或隱藏的U(1)規(guī)范場的模型。這些組分通過其在大爆炸核合成和復(fù)合時期對有效相對論性自由度數(shù) 的貢獻(xiàn)，正受到宇宙學(xué)觀測的積極約束。當(dāng)前的限制允許存在小但非零的 貢獻(xiàn)，使暗輻射成為一個雖屬適度推測但可觀測上可檢驗(yàn)的可能性。

6 宇宙學(xué)暗物質(zhì)

宇宙學(xué)暗物質(zhì)（DM）的粒子本質(zhì)在很大程度上仍未知且未受約束（關(guān)于暗物質(zhì)的持續(xù)更新綜述，參見文獻(xiàn)［28］第27章）。因此，我們將在此以一種相對模型無關(guān)的方式，考慮幾種候選粒子及可能的宇宙學(xué)框架。

6.1 晚期暈中聚團(tuán)效應(yīng)的影響

假設(shè)宇宙學(xué)意義上的、平滑分布的暗物質(zhì)組分具有源于溫度為 時退耦的熱分布，我們在此探討其在晚期暈中聚團(tuán)所產(chǎn)生的效應(yīng)。

基于前述暈質(zhì)量函數(shù)，我們計(jì)算

我們強(qiáng)調(diào)，與宇宙學(xué)暗物質(zhì)相關(guān)、可能達(dá)到甚至超過宇宙事件視界熵的巨大熵值，是在高度推測性且極端的假設(shè)下推導(dǎo)得出的——包括最大程度的聚團(tuán)增強(qiáng)效應(yīng)，以及隱藏暗區(qū)中存在高達(dá) 的相對論性自由度。這些構(gòu)型應(yīng)被理解為理論上的上限，而非現(xiàn)實(shí)可行的情景。

在這些極端假設(shè)下，若當(dāng)前物質(zhì)熵超過當(dāng)前宇宙事件視界（CEH）熵的10%，則物質(zhì)熵將超過漸近未來CEH熵與當(dāng)前CEH熵之間的差值。在此類情形下，隨著物質(zhì)溫度在遙遠(yuǎn)未來因宇宙膨脹而紅移至零，而CEH熵趨近其漸近值，總熵（物質(zhì)熵 + 視界熵）有可能發(fā)生減少。然而我們注意到，此類情景需要數(shù)量異常龐大的暗區(qū)粒子種類，這將通過引力常數(shù)的重整化從根本上改變引力理論本身。我們將其詳細(xì)研究留待未來工作。

就實(shí)際約束而言，若假定廣義熱力學(xué)第二定律（GSL）成立，且物質(zhì)熵不應(yīng)超過從當(dāng)前至漸近未來期間CEH熵的增長量，則可推導(dǎo)出對暗自由度數(shù)目的約束（假設(shè)無聚團(tuán)效應(yīng)）：

最后我們指出：冷暗物質(zhì)（CDM）的聚團(tuán)效率高于熱暗物質(zhì)（HDM）；我們所采用的極大熵增強(qiáng)因子（）代表適用于CDM的上限。對于HDM情形，結(jié)構(gòu)積分在大尺度上被截?cái)唷摻財(cái)喑叨扔砂滴镔|(zhì)的自由流長度決定——因而實(shí)際上聚團(tuán)增強(qiáng)效應(yīng)僅為量級為1。

6.2 拓?fù)淙毕?/strong>

文獻(xiàn)綜述表明，目前直接探討宇宙學(xué)拓?fù)淙毕?strong>熱力學(xué)熵的研究非常有限。最具代表性的貢獻(xiàn)來自Hattori等人［113］，他們分析了在下一最小超對稱標(biāo)準(zhǔn)模型（NMSSM）中疇壁衰變過程中的熵產(chǎn)生，并將其與解決宇宙學(xué)遺跡粒子過豐問題及早期宇宙再加熱機(jī)制相聯(lián)系。關(guān)于宇宙弦熵的研究則主要聚焦于弦環(huán)引起的擾動及引力輻射，并探討其對CMB各向異性與結(jié)構(gòu)形成的影響［114, 115］。然而，針對宇宙弦與磁單極子的明確熱力學(xué)熵框架仍十分稀缺；多數(shù)工作側(cè)重于其動力學(xué)行為、標(biāo)度律，以及通過引力波信號導(dǎo)出的觀測效應(yīng)［116–118］。

目前研究以引力波輻射為主導(dǎo)：多項(xiàng)工作考察疇壁與宇宙弦作為隨機(jī)引力波背景源的可能性［116, 119, 120］，并常借此間接限制缺陷的物理性質(zhì)。盡管已有研究通過暴脹情景將熵與早期宇宙條件聯(lián)系起來［113, 121］，但對于磁單極子及混合型缺陷（例如由宇宙弦所圍成的疇壁）的系統(tǒng)性熵研究仍嚴(yán)重不足，凸顯出當(dāng)前文獻(xiàn)中的一個顯著空白。

此外，拓?fù)淙毕菰谘芯?strong>早期宇宙中熱力學(xué)第二定律如何成立的問題上也至關(guān)重要?？梢院侠碚J(rèn)為，早期宇宙可能曾處于最大熱力學(xué)熵狀態(tài)，隨后演化為一種非平衡態(tài)。在此從平衡態(tài)向非平衡態(tài)的轉(zhuǎn)變過程中，高熵拓?fù)淙毕莸漠a(chǎn)生、增長與持續(xù)存在，可為此類演化提供物理解釋——這類似于彭羅斯（Penrose）的猜想：引力熵可能與物質(zhì)的“成團(tuán)性”（clumping）相關(guān)，且必須在早期極低，隨后隨結(jié)構(gòu)形成而增長，從而補(bǔ)償熱力學(xué)過程中熵的“表觀損失”。

6.3 低熵初態(tài)悖論

7 恒星起源黑洞與超大質(zhì)量黑洞

貝肯斯坦–霍金熵是黑洞熱力學(xué)的基石，它通過公式 S=A/4（在自然單位制下）將黑洞的熵 S與其事件視界表面積 A聯(lián)系起來。這種正比關(guān)系深刻地體現(xiàn)了引力、量子力學(xué)與熱力學(xué)之間的相互作用。熵對表面積而非體積的依賴性具有深遠(yuǎn)意義，強(qiáng)化了全息原理——即空間體積內(nèi)的自由度被編碼在其邊界上。

8 非恒星起源的黑洞

原初黑洞（Primordial Black Holes, PBHs）為探究貝肯斯坦–霍金熵提供了一個獨(dú)特的平臺。據(jù)推測，PBHs 可能形成于早期宇宙的密度漲落，或源于早期/晚期宇宙中的其他物理過程［144］；它們在黑洞熱力學(xué)與量子引力研究中占據(jù)了關(guān)鍵地位。其熵值在理解量子修正、蒸發(fā)動力學(xué)以及宇宙學(xué)效應(yīng)方面仍具有重要意義［134–136, 145］。

PBHs 對檢驗(yàn)宇宙學(xué)模型及早期宇宙物理至關(guān)重要：其形成機(jī)制可揭示密度擾動的性質(zhì)與原初宇宙的物理規(guī)律；而其對宇宙熵預(yù)算的貢獻(xiàn)，則可用于約束其豐度與壽命。此外，作為潛在的暗物質(zhì)候選者，PBHs 對熵產(chǎn)生模型構(gòu)成限制，尤其是在關(guān)聯(lián)引力波信號與遺跡輻射的背景下［131, 134, 135］。例如，已有研究提出：以霍金蒸發(fā)為主的PBHs在輻射過程中會向宇宙注入熵，從而影響關(guān)于暗物質(zhì)與背景輻射的宇宙學(xué)預(yù)言［135］。在圈世界（braneworld）等奇異場景中，修正的黑洞熱力學(xué)進(jìn)一步拓展了PBHs 作為量子引力現(xiàn)象探針的作用［134］。

貝肯斯坦–霍金熵的量子修正——盡管本研究暫未納入，但值得在此指出——對可能極小尺度的PBHs尤為顯著，此時經(jīng)典公式的偏差變得不可忽略。研究表明，存在對數(shù)階修正項(xiàng)，以及源于廣義不確定性原理（Generalized Uncertainty Principle, GUP）等理論的貢獻(xiàn)，這些修正會在接近普朗克尺度時改變熵公式［134, 137, 146］。此類修正對理解黑洞殘余（可能是蒸發(fā)過程的穩(wěn)定終點(diǎn)）以及探索與黑洞視界相關(guān)的時空微觀結(jié)構(gòu)均具深遠(yuǎn)意義［134, 137］。

8.1 對原初黑洞豐度的約束

諸多因素對原初黑洞（PBHs）的豐度構(gòu)成約束（詳細(xì)討論參見文獻(xiàn)［144, 147］）。需注意，這些約束對應(yīng)的是單色質(zhì)量函數(shù)（即所有PBH具有相同、單一的質(zhì)量）。不同的質(zhì)量函數(shù)會產(chǎn)生略微不同（且更弱）的約束［148］。

在最大質(zhì)量端，相關(guān)約束包括“難以置信極限”（下限）和CMB極限（上限）（關(guān)于PBH約束的詳細(xì)討論，參見文獻(xiàn)［144］）。CMB約束源于宇宙微波背景輻射的偶極特性——即使存在一個超大質(zhì)量PBH，也會破壞這一特性。而“難以置信極限”出現(xiàn)在我們圖表的右下角，它限制了在給定環(huán)境中（本例中為可觀測宇宙，但該體積也可對應(yīng)于一個暈或星系團(tuán)，意味著每暈/每團(tuán)僅存在一個PBH）可能存在的SMPBH數(shù)量。超過某一特定質(zhì)量后，在整個宇宙中不可能存在多個該質(zhì)量的PBH，因?yàn)檫@與宇宙物質(zhì)總豐度相矛盾，使得如此巨大黑洞的存在概率變得極其偶然和稀有，故被稱為“難以置信”［149］。

在較小質(zhì)量端，約束來源于潮汐瓦解與動力學(xué)摩擦——即通過引力相互作用損失動能的過程。這些效應(yīng)約束了較高質(zhì)量的PBH，因?yàn)槿魏挝挥阢y河系暈中的天體最終都會將動能傳遞給更輕的物體，從而擾動諸如球狀星團(tuán)、寬雙星系統(tǒng)及星系盤等穩(wěn)定結(jié)構(gòu)［150–152］。

在大質(zhì)量端，另一個重要約束源于PBH吸積過程中加速宇宙射線所導(dǎo)致的CMB溫度畸變。這種對CMB黑體譜的影響受到觀測數(shù)據(jù)的嚴(yán)格限制。

在小質(zhì)量端，主要約束來自微引力透鏡效應(yīng)；而在最小可能質(zhì)量處（此時早期宇宙形成的黑洞尚未完全蒸發(fā)），則源于霍金輻射產(chǎn)生的彌散伽馬射線與正負(fù)電子對。

具體而言，從圖中左下角開始順時針方向，陰影區(qū)域——其顏色約定與文獻(xiàn)［144］圖10一致——分別對應(yīng)：CMB譜畸變、X射線雙星系統(tǒng)擾動、Eridanus II的動力學(xué)約束、萊曼α森林約束、動力學(xué)摩擦、大尺度宇宙結(jié)構(gòu)、致密射電源、CMB偶極子以及“難以置信極限”。

8.2 對原初黑洞豐度的約束

超大質(zhì)量原初黑洞（SMPBHs）會通過兩種主要機(jī)制在CMB上留下溫度各向異性印記：

8.3 原初黑洞的最大熵

對原初黑洞（PBHs）豐度的約束依賴于所假設(shè)的質(zhì)量函數(shù)：“更寬”的質(zhì)量函數(shù)會涉及PBH豐度受到更強(qiáng)或更弱限制的區(qū)域?？傮w而言，文獻(xiàn)［148］已證明，來自（單色質(zhì)量函數(shù)的）線性組合的約束是可能達(dá)到的最強(qiáng)限制。

為便于參考和明確起見，我們在此考慮文獻(xiàn)［149］中詳細(xì)探討的四類質(zhì)量函數(shù)所對應(yīng)的約束。需注意，我們忽略了來自“飛秒透鏡”（femto-lensing）的錯誤約束（參見例如文獻(xiàn)［153］）。除單色（monochromatic）情形外，這四類質(zhì)量函數(shù)還包括一種對數(shù)正態(tài)分布（lognormal distribution，）

我們在圖1的右側(cè)面板中，根據(jù)文獻(xiàn)［149］圖10所示的約束（我們也在圖1的左側(cè)面板中重現(xiàn)了這些約束），計(jì)算了作為質(zhì)量函數(shù)的最大熵值。我們得到以下最大熵值：

8.4 超大質(zhì)量原初黑洞約束的外推

圖 2 和圖 3 中以黃色顯示的、位于普朗克吸積約束右側(cè)的約束，源自由大質(zhì)量原初黑洞吸積加速引起的宇宙微波背景輻射 (CMB) 擾動，由于原初黑洞在早期宇宙等離子體中運(yùn)動的影響，這些約束是極其推測性的。在先前的研究中（參考文獻(xiàn) [144] 總結(jié)），由于邦迪公式在更高質(zhì)量范圍內(nèi)失效（吸積時間尺度超過宇宙膨脹時間尺度），這些限制被截?cái)嘣?10? M☉。因此，我們只是通過外推 M ~ 103? 克以上或多或少保守的限制，來假設(shè)更高的質(zhì)量約束，而將超大質(zhì)量原初黑洞最大豐度限制的詳細(xì)計(jì)算留待未來工作。

具體而言，我們在圖 2 和圖 3 中假設(shè)了約束的形式為一個準(zhǔn)高斯函數(shù)，其一般形式為 f(M) ∝ exp((M/α)^β)，從普朗克吸積約束在 M ~ 103? 克處的右下邊緣開始。此處，α 決定曲線的寬度，β 決定凹凸性。通過改變 α 和 β，我們可以生成各種曲線。

如圖 2 和圖 3 所示，我們設(shè) α = 20 并按圖例所述變化 β。同樣，在圖 3 中，β = 1.5，α 如圖所示變化。

我們還考慮了出現(xiàn)在圖 2 和圖 3 中的另外三個約束。第一個是從普朗克約束右下邊緣延伸出的一個常數(shù)值。最后兩個假設(shè)形式為 f(M) ∝ exp(-√λ log(M))，其中 λ = 0.65 時曲線向下彎曲并在 f(M) ≈ 10?1? 處與不可信極限相交；λ = 50 時曲線彎曲得更低，并在 M ≈ 2 × 10?? 克處與不可信極限相交。隨著約束變得更加嚴(yán)格，例如“常數(shù)”擴(kuò)展，不僅每個給定質(zhì)量下的熵更低，而且超大質(zhì)量原初黑洞也因不可信極限而無法達(dá)到更高的質(zhì)量，從而雙重限制了可能的最大熵。在“常數(shù)”約束的情況下，它在與不可信極限相交前能達(dá)到的最高質(zhì)量約為 M = 6 × 10?? 克。這反映在圖 2 和圖 3 右側(cè)的圖中，紫色線在相同的 6 × 10?? 克質(zhì)量處突然終止。通常情況下（λ = 50 的情況除外），最大熵對應(yīng)于質(zhì)量分布峰值允許的最大值。

對于恒定約束，該最大熵對應(yīng)于 S ~ 101?? k_B。

圖 2 和圖 3 的右側(cè)面板展示了左側(cè)面板所假設(shè)約束下的最大熵，與宇宙事件視界熵（在面板頂部由黑線表示）進(jìn)行比較。當(dāng)線條到達(dá)相應(yīng)的最大質(zhì)量時（通常在不可信極限區(qū)域），它們會終止。我們假設(shè)用于熵計(jì)算的質(zhì)量函數(shù)為對數(shù)正態(tài)分布（見上文），且 σ = 0.1。該圖表明，如果沒有任何約束，直到 CMB 極限（左側(cè)面板右上角），質(zhì)量高達(dá) M_max ~ 6 × 10?? 克的超大質(zhì)量原初黑洞可以包含高達(dá) S_max ~ 1011? k_B 的熵。我們將在下一節(jié)詳細(xì)討論此上限，計(jì)入不同質(zhì)量函數(shù)的影響。

8.5 超大質(zhì)量原初黑洞的最大熵

為了直觀理解超大質(zhì)量原初黑洞 (SMPBH) 熵與宇宙事件視界熵的接近程度，我們在此提供一個簡化估算。

假設(shè)存在 N 個質(zhì)量為 M 的 SMPBH，它們貢獻(xiàn)了當(dāng)前總質(zhì)量密度的一個分?jǐn)?shù) f = NM/M_H?：

在宇宙中，此后為簡化起見，我們采用普朗克單位制 (G = ? = c = k_B = 1)。請注意，由于 ρ? = 3H?2/(8π)，我們有 M_H? = H??1/2。對于可比的暗物質(zhì)和暗能量密度，與 SMPBH 相關(guān)的熵 S_SMPBH = N·4πM2 = 4πfM_H?M，將是與 CEH 相關(guān)熵的一個量級為：

的分?jǐn)?shù)。圖 2 的左側(cè)面板表明，對于最大可能的 SMPBH，在“不可信極限”和 CMB 極限的交點(diǎn)處，M/M_H? ? 10?2 且 f ? 10?2，從而預(yù)測該比值 S_SMPBH/S_CEH ? 10??。我們的詳細(xì)分析非常接近這個數(shù)量級的估計(jì)。1 請注意，S_SMPBH/S_CEH ~ 10?? 對應(yīng)于 M/M_H? ? 10?2 且 f ? 10?2，意味著 N ~ 1 個 SMPBH。

一般來說，對于構(gòu)成暗物質(zhì)分?jǐn)?shù) f、質(zhì)量為 M 的單色黑洞，我們發(fā)現(xiàn)對應(yīng)的熵為

反過來，這意味著，例如，當(dāng)選擇一個“恒定”的 CMB 約束時，在不可信極限處對應(yīng)的最大質(zhì)量為 M = 6 × 10?? 克，且 f ≈ 3 × 10??，其熵約為 ~101?? k_B；在沒有 CMB 約束的情況下（圖 2-3 左側(cè)面板灰色區(qū)域的最右上角），SMPBH 的質(zhì)量可達(dá) 6 × 10?? 克，且 f ≈ 3 × 10?2，其所容納的熵可高達(dá) S ~ 1011? k_B。后一個數(shù)值與上文對 N ~ 1 個 SMPBH 的估算以及前一節(jié)中的數(shù)值結(jié)果一致。

圖 4 顯示了在給定質(zhì)量下，與當(dāng)前 PBH 豐度約束相容的最大熵，適用于各種對數(shù)正態(tài)質(zhì)量函數(shù)寬度 σ（見方程 (8.4)）。右側(cè)面板放大了非常大的質(zhì)量區(qū)域。雖然圖 4 假設(shè)在 CMB 擾動極限之后不存在任何約束，但圖 5 假設(shè)在 CMB 擾動極限之后約束是恒定的（即之前圖中的紫色線）。

這些圖表顯示了改變對數(shù)正態(tài)質(zhì)量分布的寬度 σ 如何顯著影響存儲在 PBH 中的最終熵：更寬的分布不僅受到峰值 M_c 附近位置的約束影響，還受到距離峰值約 σ 范圍內(nèi)約束的影響。這導(dǎo)致更寬分布的熵反映了約束的整體形狀，而不僅僅是 M = M_c 附近的約束。這種效應(yīng)在圖 4 中質(zhì)量范圍為 103? – 103? 克、受強(qiáng)普朗克約束限制的區(qū)域內(nèi)清晰可見。當(dāng)分布寬度為 δ 函數(shù)狀的 σ = 0.01 時，約束的形狀直接反映在最終熵的圖形中（由藍(lán)線表示）。然而，當(dāng)將質(zhì)量分布拓寬至 σ = 2.51 時，普朗克約束僅對最終熵造成輕微擾動（由黃線表示）。普朗克約束的陡峭性質(zhì)導(dǎo)致更大的 σ 值面臨更小的限制效應(yīng)，從而允許更高的熵值。隨著質(zhì)量譜的峰值進(jìn)入超大質(zhì)量范圍，更寬的分布開始產(chǎn)生相反的效果并限制最終熵。隨著 M_c 趨近于最大可能質(zhì)量，分布只能從等于或低于最高質(zhì)量的質(zhì)量中獲取。該最大質(zhì)量取決于在超大質(zhì)量區(qū)域所假設(shè)的約束（如圖 2 和圖 3 所示），但效果是相同的。因此，當(dāng) M_c 處于最高質(zhì)量時，分布主要由小于 M_c 的質(zhì)量組成。拓寬分布只會將譜進(jìn)一步延伸到更低的質(zhì)量。包含這些較低質(zhì)量會導(dǎo)致最終熵降低。因此，較窄寬度的譜最終會在它們返回的熵量上超過較寬的譜，其中 σ = 0.01 在最高質(zhì)量時給出最大的熵。

8.6 普朗克尺度遺跡

普朗克質(zhì)量黑洞遺跡被理論化為在原始黑洞（PBHs）通過霍金輻射蒸發(fā)后形成穩(wěn)定的遺跡，其蒸發(fā)由于量子引力效應(yīng)（如廣義不確定性原理（GUP）、環(huán)量子引力（LQG）或弦理論）而停止。這些遺跡的質(zhì)量大約為克，被認(rèn)為是由于其穩(wěn)定性、冷性和碰撞性質(zhì)而成為可行的暗物質(zhì)候選者，并有可能適應(yīng)Lambda-CDM宇宙學(xué)框架[154-158]。它們被假設(shè)為占觀測到的冷暗物質(zhì)密度的顯著或全部部分[155, 157, 159, 160]。它們的形成、宇宙學(xué)作用和觀測約束目前是研究的關(guān)鍵領(lǐng)域[155-159]。

普朗克質(zhì)量遺跡的形成在很大程度上依賴于早期宇宙過程，如膨脹、反彈或相變，這些過程產(chǎn)生隨后蒸發(fā)的PBHs，留下穩(wěn)定的遺跡。包括混合、溫暖或希格斯膨脹在內(nèi)的膨脹模型已被廣泛研究，作為產(chǎn)生所需PBHs種群的機(jī)制[154, 159-161]。遺跡豐度的理論預(yù)測依賴于PBHs質(zhì)量譜、蒸發(fā)動力學(xué)和早期宇宙條件，當(dāng)前模型表明遺跡與觀測到的暗物質(zhì)密度兼容[154, 157, 159, 160]。這些遺跡在對現(xiàn)今宇宙做出貢獻(xiàn)之前經(jīng)歷了蒸發(fā)時代，被認(rèn)為對成核或大尺度結(jié)構(gòu)沒有破壞性影響[157-159, 162]。

對普朗克質(zhì)量遺跡的觀測約束主要涉及間接探測，如早期PBH蒸發(fā)前注入宇宙微波背景輻射（CMB）的能量限制[157-159]、伽馬射線背景[157-159]和大爆炸核合成期間的熵約束[158, 159, 162]。引力波觀測，特別是與PBH形成和蒸發(fā)相關(guān)的隨機(jī)背景，正在成為探測遺跡生產(chǎn)時代的潛在途徑[163, 164]。直接探測方法，如對帶電遺跡的搜索，也在探索中，但挑戰(zhàn)仍然存在，因?yàn)橹行再|(zhì)遺跡的性質(zhì)難以捉摸且主要通過引力相互作用[165]。

普朗克質(zhì)量遺跡的穩(wěn)定性由量子引力的理論模型支撐，盡管這些模型仍然具有推測性且難以直接測試[156, 157, 166]。開放問題包括遺跡形成效率的不確定性、PBH初始質(zhì)量函數(shù)的未知以及缺乏遺跡的直接觀測證據(jù)[157-159]。未來的研究旨在通過膨脹模型細(xì)化遺跡豐度的預(yù)測，探索支撐遺跡穩(wěn)定性的量子引力機(jī)制，并通過引力波觀測站（例如，愛因斯坦望遠(yuǎn)鏡）或可能的遺跡探測實(shí)驗(yàn)測試觀測預(yù)測[158, 163-165]。

我們自然假設(shè)與質(zhì)量為 縮放，就像任何其他黑洞一樣。由于單個普朗克質(zhì)量黑洞的熵在自然單位中為1，整個暗物質(zhì)黑洞的熵密度與暗物質(zhì)的質(zhì)量成正比。

因此我們得出結(jié)論：如果暗物質(zhì)由普朗克尺度的遺跡構(gòu)成，則其關(guān)聯(lián)的熵極其微小，其量級與中子星等恒星殘骸所容納的熵相當(dāng)。需注意的是，若這些遺跡帶電，則其熵將更小，因?yàn)閷τ诮o定質(zhì)量，帶電黑洞的事件視界面積小于不帶電黑洞的事件視界面積。

9 討論與結(jié)論

統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)熵與貝肯斯坦–霍金熵之間的相互作用，已成為理解宇宙演化及其宇宙學(xué)現(xiàn)象的統(tǒng)合性框架。

• 統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)熵

  （區(qū)別于作為狀態(tài)函數(shù)的經(jīng)典熱力學(xué)熵）被定義為與給定宏觀態(tài)相容的微觀態(tài)數(shù)量所度量的無序性或隨機(jī)性，長期以來與物質(zhì)的宏觀性質(zhì)相關(guān)聯(lián)，包括宇宙微波背景輻射、其他輻射及物質(zhì)–能量場的能量分布；

• 貝肯斯坦熵

  則作為黑洞熵引入， 正比于事件視界在普朗克單位下的表面積 ，提供了一種全息視角：即時空現(xiàn)象由表面積約束（而非體積度量）所主導(dǎo)。

這兩個概念通過廣義熱力學(xué)第二定律（GSL）得以匯聚：該定律斷言，宇宙的總熵——包括物質(zhì)與輻射的熱力學(xué)熵以及各類視界熵——在任何物理過程中均不可能減少 [18, 167, 168]。

該領(lǐng)域的一項(xiàng)重大突破是認(rèn)識到：宇宙學(xué)視界（如具有宇宙學(xué)常數(shù)的膨脹宇宙中的德西特視界）也展現(xiàn)出類似于黑洞事件視界的熱力學(xué)性質(zhì)。具體而言，宇宙學(xué)事件視界的熵正比于其表面積，其關(guān)系類比于黑洞的貝肯斯坦–霍金熵 [18]。這種熱力學(xué)行為從局域系統(tǒng)（如黑洞）擴(kuò)展至整個宇宙，表明宇宙學(xué)視界編碼了關(guān)于時空不可達(dá)區(qū)域的信息，從而凸顯了引力系統(tǒng)的全息本質(zhì) [18, 167]。

觀測與理論均明確表明：黑洞是可觀測宇宙中熵的主導(dǎo)貢獻(xiàn)者，其貢獻(xiàn)遠(yuǎn)超宇宙微波背景（CMB）或恒星過程等其他來源。例如，人們預(yù)期（且本文已證實(shí)）：超大質(zhì)量黑洞——包括可能源于原初或奇異機(jī)制者——的熵比其他所有貢獻(xiàn)者高出數(shù)個數(shù)量級，展現(xiàn)出：在晚期宇宙的宇宙學(xué)尺度上，貝肯斯坦熵遠(yuǎn)超熱力學(xué)熵[11]。

熱力學(xué)熵與貝肯斯坦熵的關(guān)系，還通過它們在宇宙熵演化中扮演的各自角色而進(jìn)一步鞏固：

• 在宇宙早期，熵主要由輻射與粒子相互作用相關(guān)的熱力學(xué)過程主導(dǎo)；在暴脹階段，熵密度相對極低 [17]；

• 隨時間推移，結(jié)構(gòu)形成與引力坍縮催生并增長黑洞，使 貝肯斯坦熵的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)超熱力學(xué)過程 ；

• 與宇宙事件視界（包括類德西特時空的加速膨脹）相關(guān)的熵，最終成為主導(dǎo)的熵儲庫，符合廣義熱力學(xué)第二定律的預(yù)言 [11, 168, 169]；

• 此種視界熵的漸近增長，與宇宙演化至 晚期高熵、最大熵態(tài) 的圖景一致 [169]。

從暴脹到熱大爆炸階段的轉(zhuǎn)變——即再加熱（reheating）——代表了宇宙歷史上熵產(chǎn)生最劇烈的時期之一：

• 在暴脹期間，宇宙處于由暴脹子場 φ 勢能主導(dǎo)的 類德西特態(tài) ，具有近似恒定的哈勃參數(shù)；該態(tài)具有極低的熵密度，主要來自德西特視界熵，而物質(zhì)內(nèi)容僅為高度均勻的暴脹子場，熱熵可忽略；

• 暴脹結(jié)束時，暴脹子開始在其勢能極小值附近振蕩，觸發(fā)若干熵產(chǎn)生機(jī)制：

• • 微擾衰變

    （Perturbative decays）：暴脹子場 φ 以衰變率 Γ_φ 衰變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)模型粒子，逐步將能量轉(zhuǎn)移至輻射（），產(chǎn)生熵；

• 參數(shù)共振

  （Parametric resonance）：在許多暴脹模型中，早期振蕩階段通過 參數(shù)共振 （即所謂“預(yù)加熱”preheating）引發(fā)指數(shù)級粒子產(chǎn)生；這是一個非微擾過程，可在特定動量帶內(nèi)迅速將暴脹子能量轉(zhuǎn)化為非平衡態(tài)粒子；

• 熱化

  （Thermalization）：所產(chǎn)粒子隨后相互作用、散射，趨向熱平衡，在給定能量約束下實(shí)現(xiàn)粗?；氐淖畲蠡?。

定量化地，再加熱過程中熵密度約增加 倍，其中 N ≈ 50–60 為暴脹期間的 e-fold 數(shù)。

再加熱期間的巨大熵產(chǎn)生，為標(biāo)準(zhǔn)熱大爆炸階段奠定了初始條件：此時總熵主要由相對論性粒子攜帶。因此，再加熱所生成的巨大熵，奠定了宇宙后續(xù)所有熱力學(xué)演化的高熵背景，為日后通過引力坍縮涌現(xiàn)出復(fù)雜結(jié)構(gòu)提供了基礎(chǔ)。

盡管在聯(lián)結(jié)這兩類熵概念方面已取得顯著進(jìn)展，仍存在重要挑戰(zhàn)與未解問題：

• 貝肯斯坦熵的 微觀起源 尚無定論，前景路徑包括基于 量子糾纏與信息論 的詮釋 [170]；

• 諸如貝肯斯坦界等熵界、或其它量子引力約束，如何影響 動態(tài)及非靜態(tài)宇宙學(xué)視界 的熵，仍待深入探索 [171, 172]；

• 尤其在暴脹等早期宇宙階段，當(dāng)熵密度表面上極低卻可能受 量子視界效應(yīng) 調(diào)制時，熵的本質(zhì)仍存在不確定性 [17]。

這些挑戰(zhàn)共同凸顯了進(jìn)一步研究的必要性：亟需精細(xì)化現(xiàn)有框架，并將其拓展至量子領(lǐng)域及演化時空幾何中，尤其是在貫通貝肯斯坦熵、熱力學(xué)熵與量子引力原理的語境下。

熱力學(xué)、熵界與視界力學(xué)的持續(xù)融合，為解答宇宙結(jié)構(gòu)與演化中的根本問題提供了強(qiáng)大路徑。隨著廣義熱力學(xué)第二定律、全息原理與量子引力等理論框架的不斷精進(jìn)，熱力學(xué)熵與貝肯斯坦熵的互補(bǔ)性，為我們理解宇宙動力學(xué)、時間之箭以及宇宙終極命運(yùn)，提供了堅(jiān)實(shí)而深刻的透鏡 [11, 18, 167, 169]。

綜上所述，在本研究中，我們對當(dāng)前宇宙中熱力學(xué)熵與視界熵的分布進(jìn)行了全面且最新的評估。我們所呈現(xiàn)的關(guān)鍵新成果列表包括：

1. 除了標(biāo)準(zhǔn)的宇宙背景外，由晚期宇宙過程產(chǎn)生的彌散光子和中微子背景，在熵貢獻(xiàn)上主要處于次要地位，其貢獻(xiàn)比前述背景小 3 (EBL) 至 4-6 (熱核中微子) 個數(shù)量級；

2. 中微子在晚期的成團(tuán)效應(yīng)最多僅影響宇宙中微子背景熵的一個數(shù)量級；這與冷暗物質(zhì)截然不同，后者的暈成團(tuán)效應(yīng)可導(dǎo)致增強(qiáng)高達(dá)并超過六個數(shù)量級；

3. 星系際介質(zhì)是彌散重子物質(zhì)部門中的主導(dǎo)熵貢獻(xiàn)者，其貢獻(xiàn)比星際介質(zhì)和星系團(tuán)內(nèi)介質(zhì)高出一個數(shù)量級以上；

4. 在恒星天體及其殘骸這一類別中，絕大部分熵來自主序光、太陽質(zhì)量恒星；更重的主序星和白矮星貢獻(xiàn)的熵約小三個數(shù)量級，而中子星貢獻(xiàn)的熵約小八個數(shù)量級；

5. 我們首次計(jì)算了宇宙射線強(qiáng)子與輕子的熵貢獻(xiàn)；其中最大的不確定性在于將局部測量值外推至整個宇宙，據(jù)我們估計(jì)，該不確定性約為兩個數(shù)量級；我們發(fā)現(xiàn)宇宙射線質(zhì)子對熵的貢獻(xiàn)比電子多出兩個數(shù)量級，其對全球熵預(yù)算的貢獻(xiàn)可能高達(dá)束縛天體（如恒星）中重子熵的 10%；

6. 在標(biāo)準(zhǔn)情況下，引力波背景是對宇宙熵的重要但邊際貢獻(xiàn)者（小于 CMB 的 1%），但如果它是由非相對論性物種的晚期衰變等機(jī)制產(chǎn)生，則其熵貢獻(xiàn)可超過 CMB 和宇宙中微子背景的熵貢獻(xiàn)近一個數(shù)量級；

7. 本研究的一項(xiàng)重大創(chuàng)新是對宇宙學(xué)暗物質(zhì)部門中可能儲存的熵進(jìn)行的全面回顧。我們已表明，如果暗物質(zhì)部門較小，則與其相關(guān)的熵至多與 CMB 的熵相當(dāng)；然而，我們指出了兩個重要注意事項(xiàng)：第一，晚期成團(tuán)效應(yīng)可使暗物質(zhì)熵增強(qiáng)多達(dá)六個數(shù)量級；第二，一個巨大的暗物質(zhì)部門可能使其熵顯著大于宇宙中任何其他成分，并幾乎與宇宙事件視界熵相當(dāng)，這對宇宙熱力學(xué)及廣義熱力學(xué)第二定律具有深刻而戲劇性的潛在影響；

8. 我們在新的黑洞質(zhì)量函數(shù)結(jié)果基礎(chǔ)上，重新詳細(xì)評估了恒星質(zhì)量、中等質(zhì)量和超大質(zhì)量黑洞的貢獻(xiàn)。質(zhì)量范圍。正如先前所認(rèn)為的，與超大質(zhì)量黑洞相關(guān)的貝肯斯坦–霍金熵主導(dǎo)著宇宙（已知的）熵預(yù)算，其總熵我們估計(jì)超過了 101?? k_B；與中等質(zhì)量黑洞和恒星質(zhì)量黑洞相關(guān)的熵比超大質(zhì)量黑洞的熵約小 4 個數(shù)量級；

9. 我們首次計(jì)算了可能與原初黑洞（即非恒星起源的黑洞）相關(guān)聯(lián)的最大熵量。對于質(zhì)量高達(dá)數(shù)千太陽質(zhì)量的黑洞（在此范圍內(nèi)，對 PBH 豐度的約束是穩(wěn)健的），我們發(fā)現(xiàn)，取決于 PBH 質(zhì)量函數(shù)，PBH 的最大熵略低于 101?? k_B，因此可以與 SMBH 的熵相當(dāng)。然而，與超大質(zhì)量原初黑洞相關(guān)的熵量可能要大得多。我們發(fā)現(xiàn)，根據(jù)所假設(shè)的約束，超大質(zhì)量 PBH 可能關(guān)聯(lián)高達(dá) 1011? k_B 的熵，幾乎是普通 SMBH 熵的十億倍，僅比宇宙事件視界（CEH）的熵低幾個數(shù)量級；

10. 作為暗物質(zhì)組分的普朗克遺跡，對宇宙熵的貢獻(xiàn)將是一個異常微小的組分，至多在幾個 10?? k_B 的量級；

11. CEH 是宇宙中占主導(dǎo)地位的熵，盡管大多數(shù)宇宙組分可靠地承載著顯著更小的熵（若假設(shè) CEH 熵代表總宇宙熵的上限），但在某些最優(yōu)條件下（在 T_dec ? 1 keV 時解耦，g_?S 最大化，CDM 熵因晚期成團(tuán)而增強(qiáng)），宇宙學(xué)暗物質(zhì)的熵不僅可與 CEH 相當(dāng)，甚至可能在極端選擇的暗自由度和成團(tuán)增強(qiáng)下超出 CEH 達(dá)到約 6 個數(shù)量級。反過來，這在某些假設(shè)下可被視為一種新的潛在研究途徑，用于約束暗物質(zhì)性質(zhì)并預(yù)測宇宙動力學(xué)與演化。

我們在圖 6 的圖表中展示了我們在此調(diào)查的各種熵組分，以提供本研究主要定量發(fā)現(xiàn)的最終可視化總結(jié)。為補(bǔ)充圖 6 的圖形展示，我們在表 3 中提供了本研究所考慮所有組分的熵估計(jì)數(shù)值摘要，包括可用的相關(guān)不確定性。第四列和第五列并排比較了我們的更新數(shù)值與先前研究（主要是參考文獻(xiàn) [11]）報(bào)告的數(shù)值——突顯了更新的宇宙學(xué)參數(shù)、新的天文數(shù)據(jù)和方法改進(jìn)的影響。

除本研究之外的未來方向包括對非標(biāo)準(zhǔn)宇宙學(xué)的進(jìn)一步探索，包括納入與暗能量相關(guān)的熵、努力將理論預(yù)言與精煉的觀測數(shù)據(jù)相結(jié)合，以及深化對各向異性偏差與宇宙熱力學(xué)之間聯(lián)系的理解 [21, 173]。這些研究方向?qū)⒇S富宇宙演化中熵的上下文織錦，為宇宙的終極命運(yùn)和基本原理提供更豐富的視角。

總之，計(jì)算并理解宇宙各組分的熵（尤其是其與宇宙事件視界的關(guān)系）仍是宇宙學(xué)中的一個關(guān)鍵前沿領(lǐng)域。通過理論模型、對假設(shè)前提的審慎考量以及細(xì)致的觀測對比，這一領(lǐng)域有望揭示支配宇宙演化的復(fù)雜動力學(xué)機(jī)制。

原文鏈接：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1475-7516/2025/09/049/pdf