中國秦漢時期的數(shù)學(xué)

在秦以前，中國數(shù)學(xué)雖已有了豐富的內(nèi)容，但比較孤立，沒有建立起內(nèi)部聯(lián)系。到秦漢時期，隨著生產(chǎn)力的提高，數(shù)學(xué)也獲得了很大的發(fā)展，最早計算工具——算籌的普遍運用，最早的數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》(匯集西周以來的科研成果）的出現(xiàn)，以及第一部數(shù)學(xué)方面的專著《九章算術(shù)》的形成，都代表了當(dāng)時數(shù)學(xué)的最高成就，尤其是《九章算術(shù)》的出現(xiàn)，標(biāo)志著中國數(shù)學(xué)體系的初步形成，從此，中國數(shù)學(xué)便進(jìn)入了九章時代。

1.算籌的普遍運用

算籌是中國古代的主要計算工具之一，它具有簡單、形象、具體等長處，它是經(jīng)過長期演變而形成的。至遲在春秋末年，我國勞動人民就在生產(chǎn)實踐中創(chuàng)造出算籌，最初一般是用小竹棍做的，稱為籌、算子或策(另外，投壺、六博游戲等所用的竹棍也叫籌）。到了西漢時期已普遍使用，并形成了一定的規(guī)格。據(jù)《漢書.律歷志》記載，算籌用竹作成，長約20厘米(六寸），直徑約3毫米(1分），271枚為一組，稱為一握。用算籌進(jìn)行運算，有縱橫兩種籌式，分別表示1、2、3、4、5、6、7、8、9九個自然數(shù)。算籌的擺法是縱橫相間，個位為縱，十位為橫，若是零，便空一位。因此便可進(jìn)行加、減、乘、除、開方等運算。這是中國人民獨特的創(chuàng)造。

2.《周髀算經(jīng)》的出現(xiàn)

《周髀》是一部主張蓋天論的天文學(xué)著作，但在書中有相當(dāng)繁瑣的數(shù)字計算和勾股定理的引用，成為我國最早的數(shù)學(xué)著作，因此地位相當(dāng)重要。書中的數(shù)學(xué)內(nèi)容主要有：

a.記錄了分?jǐn)?shù)的乘除法、公分母的求法以及分?jǐn)?shù)的應(yīng)用。這些計算方法后來被廣泛運用。

b.討論了日影的測量，并列出一年中各個節(jié)氣的日影長度表。

c.出現(xiàn)了等差級數(shù)。

d.引用了勾股定理，并用到了開方的方法。并舉出勾三股四弦五的特例。

這一定理的發(fā)現(xiàn)要比古希臘早500多年，而且證明的方法也比歐氏幾何的方法容易明白、更直觀。

由于它是現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)著作，并且總結(jié)了古代天文學(xué)所應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識，有些為世界最早，因而對后代數(shù)學(xué)產(chǎn)生過一定的影響，因而在中國古代數(shù)學(xué)史上有不可替代的地位。

3.《九章算術(shù)》的形成

《九章》是中國最早的數(shù)學(xué)專著，是在西漢末年《許商算術(shù)》、《杜忠算術(shù)》等書的基礎(chǔ)上整理而成的。該書用問題集的形式編寫而成，全書共收有246個問題，按問題的性質(zhì)分為九章，各章的名稱和基本內(nèi)容如下：

方田(第一章）：主要是平面圖形面積的計算和分?jǐn)?shù)的各種計算方法。

粟米(第二章）：講各種比例問題，特別是關(guān)于各種糧谷間的比例交換問題。

衰分(第三章）：主要講解一些按比例分配的問題。

少廣(第四章）：講由已知面積和體積求邊的問題，其中涉及平方，立方的方法。

商功(第五章）：主要講立體體積的計算問題。

均輸(第六章）：主要講按均輸法合理安排各地區(qū)運輸賦粟和分派徭役等問題。

盈不足(第七章）：主要講盈虧問題的解法和比例問題。

方程(第八章）：講關(guān)于多元一次方程組的解法，還講解了正負(fù)數(shù)的概念及正負(fù)數(shù)加減法的法則。

勾股(第九章）：主要講勾股定理及其應(yīng)用，并提出了一般二次方程的解法問題。

《九章算術(shù)》成書后，一直是中國古代的數(shù)學(xué)教材，在民間也廣泛流傳，成為中國數(shù)學(xué)著作中影響最大的一部。另外，它對世界數(shù)學(xué)也產(chǎn)生了很大的影響，它曾經(jīng)流傳到朝鮮和日本，推動了朝鮮和日本的古代數(shù)學(xué)的發(fā)展。蘇聯(lián)、日本、德國、英國等國都有它的原文譯本，受到各國學(xué)者、專家的重視，在世界數(shù)學(xué)史上成為與《幾何原本》相提并論的重要著作。

它的偉大，在于它總結(jié)了中國古代從西周一直到東漢的數(shù)學(xué)成果，并初步地形成了中國的數(shù)學(xué)體系，這可以從它的內(nèi)容中反映出來：在算術(shù)上，它的成就是比較完整地講解了分?jǐn)?shù)計算方法，包括四則運算、通分、約分、化代分?jǐn)?shù)為假分?jǐn)?shù)等；各種比例問題的解決；"盈不足"問題的出現(xiàn)及解決；以及解釋一些數(shù)學(xué)難題等。該書中所用的步驟和方法大體與現(xiàn)代的一致，這是世界上第一次系統(tǒng)的敘述分?jǐn)?shù)運算，比西方要早得多。

書中在解比例問題時出現(xiàn)了單比例公式：所求數(shù)=所有數(shù)×所求率/所有率。另外還有復(fù)比例和連比例等方面的內(nèi)容，已包括了現(xiàn)代算術(shù)中的全部比例的內(nèi)容，形成了一個完整的系統(tǒng)。到6世紀(jì)時古印度才出現(xiàn)類似的"三率法"，而歐洲更晚。

書中還出現(xiàn)了盈不足問題以及統(tǒng)一的計算公式：X=(a2b1-a1b2)/(a1-a2)。這也是中國古代數(shù)學(xué)上的一個創(chuàng)造，在世界數(shù)學(xué)史上占有一定的地位。用"盈不足"算法可解決一些比較復(fù)雜的問題，只要人們進(jìn)行兩次假設(shè)，并且知道這兩項假設(shè)結(jié)果的話，就可按上述公式推算出所需的答案。這比印度早二三百年、比西方早了近千年。

在幾何上，《九章》的主要成就是：得出各種面積和體積的計算公式，以及勾股定理的應(yīng)用(這些問題集中在《方田》、《商功》、《勾股》章中）。書中給出正方形、長方形、三角形、梯形、圓、弧形的面積公式，立方體、長方體、楔形平截體、圓柱、正方臺、圓臺、四角錐、圓錐、長方體斜截體(漸堵）、鱉臑、羨除等的體積公式，奠定了中國幾何學(xué)的基礎(chǔ)。書中還講了勾股定理及其變形、應(yīng)用，這是對勾股定理的發(fā)展。

在代數(shù)方面，《九章》的成就主要是：多元一次方程組的出現(xiàn)及其解法，正負(fù)數(shù)及其加減法則的引入，平方、立方計算，以及一般二次方程的解法等。這些都是世界數(shù)學(xué)史上的創(chuàng)建，占有極重要的位置。

把《九章算術(shù)》與《幾何原本》相比較，我們發(fā)現(xiàn)：《幾何原本》是以形式邏輯的方法貫穿全書，以幾何內(nèi)容為主，略有一點算術(shù)內(nèi)容，沒有應(yīng)用問題。而《九章算術(shù)》則以問題的性質(zhì)來進(jìn)行分類編排，包含了算術(shù)、代數(shù)、幾何等中國古代數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容，并以應(yīng)用為主。這兩本書代表了東西方數(shù)學(xué)的不同風(fēng)格，在數(shù)學(xué)發(fā)展史中占有著同等的地位。