提到數(shù)學(xué)，嚴(yán)謹、標(biāo)準(zhǔn)答案、不容置疑，是很多人對數(shù)學(xué)的第一反應(yīng)。但很少有人知道，三次足以撼動根基的大地震，這門看似完美的學(xué)科在歷史上曾經(jīng)歷過，每一次都讓數(shù)學(xué)家們懷疑人生，甚至重新搭建整個數(shù)學(xué)體系。
公元前5世紀(jì)一個叛逆的發(fā)現(xiàn)，催生了第一次危機的爆發(fā)。世間一切都能拆成整數(shù)或整數(shù)之比，是畢達哥拉斯學(xué)派堅信的真理，這在當(dāng)時是不可動搖的信條。可學(xué)派里的希帕索斯偏偏較真，直角邊和斜邊的比值，希帕索斯在研究等腰直角三角形時發(fā)現(xiàn)根本沒法用整數(shù)表示。這個發(fā)現(xiàn)像一顆炸彈，直接炸碎了學(xué)派的核心信仰，如果連最基礎(chǔ)的幾何關(guān)系都不符合萬物皆數(shù)，整個數(shù)學(xué)體系豈不是要崩塌，這個疑問在當(dāng)時困擾著所有古希臘數(shù)學(xué)家。

這場危機讓古希臘數(shù)學(xué)家們陷入了長久的迷茫，數(shù)的本質(zhì)到底是什么，是那場危機中數(shù)學(xué)家們不得不重新思考的問題。很多時候，科學(xué)的進步恰恰是打破自己深信不疑的常識。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)雖然讓他遭到排擠，但卻逼著人們跳出有理數(shù)的局限，無理數(shù)這個新伙伴，在希帕索斯的發(fā)現(xiàn)后被人們逐漸接納。直到1872年，一個嚴(yán)謹?shù)纳矸?，德國?shù)學(xué)家戴德金在1872年通過戴德金分割理論賦予了無理數(shù)，讓它正式加入數(shù)學(xué)大家庭，第一次危機才算塵埃落定。
時間來到17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茨聯(lián)手搞出的微積分，這門學(xué)問簡直是科學(xué)界的神助攻，無數(shù)之前搞不定的物理和數(shù)學(xué)難題，被微積分輕松解決了。但熱鬧的背景下卻有大問題：微積分里的無窮小量根本說不清楚。它有時候像零，另一些時候可能又不是零，消失的量的幽靈，是貝克萊主教對微積分中無窮小量的辛辣吐槽，連核心概念都模糊不清，這數(shù)學(xué)能靠譜嗎？

這場質(zhì)疑引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機，數(shù)學(xué)的底線在第二次危機中被數(shù)學(xué)家們重新明確為嚴(yán)謹，也讓數(shù)學(xué)家們清醒過來：創(chuàng)新不能只圖好用。前進的跳板，往往是創(chuàng)新初期的不完美，微積分的實用價值擺在那里，沒人愿意放棄這個強大的工具，只能回頭補基礎(chǔ)。19世紀(jì)，一個精準(zhǔn)定義，柯西、魏爾施特拉斯等數(shù)學(xué)家在19世紀(jì)用極限理論給了無窮小量，把微積分從模糊的好用變成嚴(yán)謹?shù)目煽?，這場持續(xù)百年的危機才終于化解。
前兩次危機都有明確的解決方案，可第三次危機卻至今讓人頭疼。19世紀(jì)末，數(shù)學(xué)的萬能地基是19世紀(jì)末康托爾創(chuàng)立的集合論，大家覺得終于找到所有數(shù)學(xué)分支的統(tǒng)一基礎(chǔ)了。沒想到1902年，集合論的漏洞，被羅素在1902年用一個看似簡單的問題直接戳穿。村里所有不給自己刮臉的人，是那位理發(fā)師宣稱只愿服務(wù)的對象，那他自己要不要給自己刮臉？給自個兒刮，就違背了只給不給自己刮臉的人刮，不給自個兒刮，又符合條件該給自己刮，怎么說都矛盾。

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的內(nèi)在矛盾，被理發(fā)師困境這一羅素悖論揭發(fā)，如果數(shù)學(xué)的地基都有裂縫，那上面的所有建筑不都有坍塌的風(fēng)險？為了補這個漏洞，數(shù)學(xué)家們想了各種辦法，羅素搞了類型論，給集合分等級避免自相矛盾，策梅洛、弗倫克爾建立了ZFC公理體系，用規(guī)則規(guī)范集合的構(gòu)造，希爾伯特主張把數(shù)學(xué)形式化，靠公理系統(tǒng)的一致性來保證可靠。
可1931年，哥德爾的不完備性定理給所有努力澆了一盆冷水：任何包含算術(shù)的公理系統(tǒng)，只要是一致的，就一定有解決不了的問題。簡單說，數(shù)學(xué)自己證明不了自己的完美，它的基礎(chǔ)沒法做到完全自給自足。要是當(dāng)時有辯論賽，貝克萊和數(shù)學(xué)家們的對決肯定比現(xiàn)在的熱門話題還熱鬧，而哥德爾的定理大概就是那場辯論里最讓人啞口無言的結(jié)論。

第三次危機和前兩次完全不同，它沒有被徹底解決?，F(xiàn)在的數(shù)學(xué)家們只能用公理化集合論暫時穩(wěn)住局面，但數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的局限性已經(jīng)被擺到了臺面上。有人繼續(xù)研究大基數(shù)公理，想給ZFC系統(tǒng)升級，更完善的集合宇宙，是鉆研內(nèi)模型理論的學(xué)者們試圖構(gòu)造的目標(biāo)，也有人從哲學(xué)角度思考，數(shù)學(xué)到底是人類發(fā)明的符號游戲，還是客觀存在的真理。
數(shù)學(xué)這門學(xué)科最有趣的地方，可能就是它從不回避矛盾。三次危機沒有打垮數(shù)學(xué)，反而讓它變得更強大、更深刻。第一次危機讓數(shù)的家族變得更龐大，第二次讓微積分站穩(wěn)了腳跟，第三次則讓我們看清了數(shù)學(xué)的邊界。