模形式是數(shù)學(xué)中最美麗、最神秘的對象之一。它們是什么？

本文所有復(fù)變函數(shù)圖源：Samuel Jinglian Li

https://samuelj.li/complex-function-plotter/

作者：Jordana Cepelewicz（量子雜志數(shù)學(xué)編輯）2023-9-21

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-1-24

“數(shù)學(xué)中有五種基本運算，”據(jù)德國數(shù)學(xué)家馬丁·艾希勒（Martin Eichler，1912 - 1992）曾經(jīng)說過?！凹臃?、減法、乘法、除法和模形式?！?/p>

當(dāng)然，構(gòu)成這個冷笑話的原因是，其中一種運算與其他運算有所不同。模形式（modular form）是更加復(fù)雜和神秘的函數(shù)，學(xué)生們通常直到研究生階段才會遇到它們。但“可能沒有哪個數(shù)學(xué)領(lǐng)域比其應(yīng)用更少，”德國波恩馬克斯·普朗克數(shù)學(xué)研究所的數(shù)學(xué)家Don Zagier（唐·扎吉爾，1951 -）說。每周都有新的論文將它們的應(yīng)用范圍擴展到數(shù)論、幾何、組合學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、密碼學(xué)以及甚至弦理論。

它們通常被描述為滿足如此引人注目且復(fù)雜的對稱性以至于似乎不可能存在的函數(shù)。與這些對稱性相關(guān)的性質(zhì)使模形式具有巨大的力量。這就是它們在1994年費馬大定理里程碑式證明中成為關(guān)鍵角色的原因。這也是它們在最近關(guān)于球體堆積的研究中占據(jù)核心地位的原因?，F(xiàn)在，它們對于被稱為朗蘭茲綱領(lǐng)的“數(shù)學(xué)大統(tǒng)一理論”（參閱 ）的持續(xù)發(fā)展至關(guān)重要。

但什么是模形式呢？

無限對稱性

為了理解模形式，首先思考更熟悉的對稱性是有幫助的。

一般來說，當(dāng)一個形狀經(jīng)過某種變換后保持不變時，我們稱它具有對稱性。

例如：反射（reflection）、旋轉(zhuǎn)（rotation）、平移（translation）

圖源：Merrill Sherman|Quanta

一個函數(shù)也可以表現(xiàn)出對稱性?？紤]由方程 f(x)=x2 定義的拋物線。它滿足一種對稱性：可以沿y軸反射。例如，f(3)=f(?3)=9 。更一般地，如果你將任何輸入x 改成 ?x ，那么函數(shù)x2輸出的值相同。

無窮多個函數(shù)滿足這種對稱性。這里只列出了幾個：

f(x)=x2

f(x)=|x|

f(x)=cos x

圖源：Merrill Sherman|Quanta

最后這個例子是三角函數(shù)中的余弦函數(shù)。它具有反射對稱性，但還有其他對稱性。如果你將x以2π的整數(shù)倍進行平移，函數(shù)總是返回相同的值——這意味著有無限多種變換可以使函數(shù)保持不變。

圖源：Merrill Sherman|Quanta

這種額外的對稱性使得像余弦（cosine）這樣的函數(shù)變得極其有用?！盎A(chǔ)物理學(xué)的很大一部分都是從理解三角函數(shù)的全面影響開始的，”弗吉尼亞大學(xué)的數(shù)學(xué)家Ken Ono說。

“模形式有點像三角函數(shù)，但更有力更極端，”他補充道。它們滿足無限多個“隱藏”的對稱性。

復(fù)數(shù)宇宙

函數(shù)在以實數(shù)（real number，可以表示為傳統(tǒng)十進制小數(shù)的數(shù)值）定義時所能做到的很有限。因此，數(shù)學(xué)家們經(jīng)常轉(zhuǎn)向復(fù)數(shù)（complex number，可以將其視為一些實數(shù)對）。任何復(fù)數(shù)都可以用兩個值來描述——一個“實”（real）部分和一個“虛”（imaginary）部分，后者是實數(shù)乘以-1 的平方根（數(shù)學(xué)家將其寫作i）。

任何復(fù)數(shù)都可以表示為二維平面上的一個點。

它們可被視為一些實數(shù)對，通常用兩種方式來表示：笛卡爾平面坐標(biāo)（Cartesian）、極坐標(biāo)（polar）。

圖源：Merrill Sherman|Quanta

復(fù)（變）函數(shù)的可視化很困難，因此數(shù)學(xué)家們經(jīng)常借用顏色。例如，你可以將復(fù)平面著色，使其看起來像彩虹輪。每個點的顏色對應(yīng)于其在極坐標(biāo)中的角度。正中心直接向右的點（即角度為0度），呈現(xiàn)紅色。在90度的點（即直向上），被著色為明亮的綠色。以此類推。最后，等高線標(biāo)記大小或幅度的變化，就像地形圖上一樣。

復(fù)變函數(shù) f(z)=z 被描繪成彩虹輪的彩色

它可以作為參考來展示其他函數(shù)

你現(xiàn)在可以用這個作為參考圖來表示復(fù)變函數(shù)。平面上一個點的位置代表輸入，你根據(jù)參考圖為該點分配顏色。例如，考慮函數(shù) f(z)=z2。當(dāng)z=1+i時，f(z)=2i ，因為(1+i)2=2i。由于2i在參考圖上被涂成亮綠色，在你的新圖上，你將把點1+i涂成亮綠色。

這個復(fù)函數(shù) f(z)=z2 的圖像通過使用參考圖像 f(z) = z 選擇的顏色來顯示輸出

該圖用完顏色兩次，因為復(fù)數(shù)平方會加倍其角度。它還有更多的等高線，因為輸出的增長速度更快。

更普遍地，當(dāng)你將任何點沿中心（或原點）翻轉(zhuǎn)時，圖形看起來是相同的。

這是復(fù)值函數(shù)的一種對稱性。模形式展現(xiàn)出令人眼花繚亂的這種對稱性。但理解那些顏色和等高線所代表的實際函數(shù)可能很困難。

基本域

為了做到這一點，嘗試簡化我們看待這些復(fù)變函數(shù)的方式很有幫助。

由于模形式對稱性，你只需基于位于稱為基本域（fundamental domain）的平面區(qū)域的一小部分輸入即可計算整個函數(shù)。這個區(qū)域看起來像是從水平軸向上延伸的一條帶狀區(qū)域，其底部被切去一個半圓形孔。

如果你知道函數(shù)在那里有怎樣的行為，你將知道它在其他地方會怎么樣。

怎樣做：

特殊變換將復(fù)平面上的一小部分，稱為基本域，復(fù)制到無限多個其他區(qū)域。由于模形式是用這些變換定義的，如果你知道它在基本域中的行為，你就可以輕松地推斷出它在其他任何地方的行為。

兩種變換將基本域復(fù)制到左右兩側(cè)，以及沿水平軸的一系列不斷縮小的半圓。這些復(fù)制填充了整個復(fù)平面的上半部分。

模形式以一種非常特殊的方式將副本相互關(guān)聯(lián)。這就是它的對稱性進入圖景所在。

如果你可以通過第一種變換（通過向左或向右移動一個單位）從一個副本中的一個點移動到另一個副本中的點，那么模形式會給這兩個點賦相同的值。就像余弦函數(shù)的值以2π的區(qū)間重復(fù)一樣，模形式以一個單位的區(qū)間為周期。

同時，你可以通過第二種變換類型從一份副本中的一個點移到另一份中的一個點——通過在以原點為中心、半徑為1的圓的邊界上反射。在這種情況下，模形式并不一定將這些點賦相同的值。然而，這兩個點的值以規(guī)律的方式相互關(guān)聯(lián)，這也產(chǎn)生了對稱性。

你可以通過無限多種方式組合這些變換，這為你提供了無限多個模形式必須滿足的對稱條件。

“這聽起來不一定很有趣，”達特茅斯學(xué)院的數(shù)學(xué)家約翰·沃伊特（John Voight）說。“我的意思是，把上半平面切割并給各個地方標(biāo)上數(shù)字——誰在乎呢？”

“但是它們非?；A(chǔ)，”他補充道。而且事必有因。

受控空間

在1920年代和30年代，德國數(shù)學(xué)家埃里?！ず湛耍‥rich Hecke，1887 - 1947）圍繞模形式發(fā)展了一種更深入的理論。關(guān)鍵的是，他意識到它們存在于某些空間中——具有特定維度和其他性質(zhì)的空間。他找到了如何具體描述這些空間的方法，并利用它們將不同的模形式聯(lián)系起來。

這一認(rèn)識推動了20世紀(jì)和21世紀(jì)大量數(shù)學(xué)的發(fā)展。

要理解這一點，首先考慮一個古老的問題：有多少種方法可以將一個給定的整數(shù)表示為四個平方數(shù)的和？例如，只有一種方法可以表示零，而表示1有八種方法，表示2有24種方法，表示3有32種方法。為了研究這個數(shù)列——1，8，24，32等等——數(shù)學(xué)家將其編碼在一個無限和中，稱為生成函數(shù)（generating function）：

1+8q+24q2+32q3+24q?+48q?+…

沒有必然的方法來確定，比如說 q1?? 的系數(shù)應(yīng)該是多少——這正是他們試圖解決的問題。但是通過將數(shù)列轉(zhuǎn)換為生成函數(shù)，數(shù)學(xué)家可以應(yīng)用微積分和其他領(lǐng)域的工具來推斷有關(guān)它的信息。例如，他們或許能夠找到一種方法來近似任何系數(shù)的值。

但是結(jié)果表明，如果生成函數(shù)是一種模形式，你可以做得更好：你可以得到每個系數(shù)的精確公式。

“如果你知道它是一個模形式，那么你就知道了一切，”德國達姆施塔特工業(yè)大學(xué)的Jan Bruinier說。

這是因為模形式的無窮多種對稱性不僅看起來很美——“它們非常具有約束力，”范德堡大學(xué)的Larry Rolen說，它們可以變成“一種自動證明事物之間同余（congruence）和恒等（identity）的工具?！?/p>

數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家經(jīng)常將感興趣的問題編碼在生成函數(shù)中。他們可能想要計算特殊曲線上的點數(shù)，或者某些物理系統(tǒng)中的狀態(tài)數(shù)?！叭绻覀冃疫\的話，那它就是一個模形式，”德國比勒費爾德大學(xué)的數(shù)學(xué)家克勞迪婭·阿爾費斯-紐曼（Claudia Alfes-Neumann）說。這可能是非常難以證明的，但如果你能證明，那么“模形式理論非常豐富，它為你提供了大量研究這些[級數(shù)]系數(shù)的可能性?！?/p>

積木

任何模形式看起來都非常復(fù)雜。其中一些最簡單的——它們被用作其他模形式的構(gòu)建塊——被稱為艾森斯坦級數(shù)（Eisenstein series）。

你可以將Eisenstein級數(shù)視為函數(shù)的無限和。為了確定這些函數(shù)中的每一個，使用無限二維網(wǎng)格上的點：

艾森斯坦級數(shù)是最簡單的模形式（它仍然很復(fù)雜）。它被定義為更簡單的函數(shù)的無限和。從一個無限的網(wǎng)格開始（去掉原點）。在每個網(wǎng)格點(m，n)處定義一個函數(shù)f(z)=(m+nz)?? 。網(wǎng)格上四個點的函數(shù)是這樣的。

• 在點(0,1)處，f(z)=z??

• 在點(1,1)處，f(z)=(1+z)??

• 在點(1,-1)處，f(z)=(1-z)??

• 在點(1,0)處，f(z)=1

為了得到一個權(quán)重為4的艾森斯坦級數(shù)，將網(wǎng)格上每一點的函數(shù)加在一起。

圖源：Merrill Sherman|Quanta

當(dāng)你將關(guān)聯(lián)于原點附近四個點的函數(shù)相加時，可以看到如何開始出現(xiàn)獨特的對稱性。

上述四個簡單函數(shù)之和，顯示在復(fù)平面的上半部分

如果你將網(wǎng)格的無限多個函數(shù)的完全和相加，你將得到一個被認(rèn)為是寫下來最簡單的模形式的愛森斯坦級數(shù)。這些模式反映了該形式的定義對稱性——左右無限重復(fù)，并且在接近水平軸的地方以更復(fù)雜的方式變換。

完全Eisenstein級數(shù)是無限多個函數(shù)的和

游戲繼續(xù)

模形式的研究導(dǎo)致了數(shù)學(xué)上的大量成果。例如，最近關(guān)于球體堆積（sphere packing）的研究，烏克蘭數(shù)學(xué)家瑪麗娜·維亞佐夫斯卡（Maryna Viazovska，1984 -）去年因此獲得了菲爾茲獎（參閱 ），這項研究使用了模形式?！爱?dāng)我看到這一點時，我相當(dāng)驚訝，”布魯尼耶（Bruinier）說。“但不知何故它奏效了?！?/p>

模形式最終被證明與一個稱為“魔群”（monster group， https://www.quantamagazine.org/mathematicians-chase-moonshine-string-theory-connections-20150312/ ）的重要代數(shù)對象相關(guān)聯(lián)。它們被用來構(gòu)建稱為擴展圖（expander graph， https://www.quantamagazine.org/new-proof-shows-that-expander-graphs-synchronize-20230724/ ）的特殊網(wǎng)絡(luò)，這些網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)在計算機科學(xué)、通信理論和其他應(yīng)用中。它們使得研究弦理論和量子物理中粒子相互作用的潛在模型成為可能。

模形式的應(yīng)用

模形式在數(shù)學(xué)中以令人驚訝的方式出現(xiàn)。它們在數(shù)論、幾何學(xué)、組合學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、密碼學(xué)甚至弦理論方面都取得了重要的成果。

費馬大定理（費馬最后定理FLT）

FLT是說，當(dāng)n>2時，不存在非零整數(shù)a、b、c，滿足此方程：a?+b?=c?

通過使用模形式獲得矛盾，從而證明FLT是正確的：

假設(shè)當(dāng)n>2時確實存在一個解，然后使用該解構(gòu)造一個橢圓曲線。

Andrew Wiles（安德魯·懷爾斯，1954 -）證明，這樣的曲線總是可以與模形式相關(guān)聯(lián)。

但在這種情況下，模形式并不可能存在，這意味著沒有解，即FLT必須為真。

弦理論與量子物理

數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家已經(jīng)使用模形式來研究被稱為共形場理論的粒子相互作用模型，并發(fā)現(xiàn)新的模型。

球體堆積

堆積n維球體的最優(yōu)（最密集）方式是什么？在二維和三維中，答案是這樣的：

在大多數(shù)更高維度中，我們不知道答案。但在8維和24維中，我們知道答案--在這兩種情況下，模形式提供了答案。

有限群與“魔群月光”（Monstrous moonshine）

一個稱為j-不變的模形式可以寫成:

q?1 + 744 + 196884q + 21493760q2 + ?

它的每個系數(shù)都編碼關(guān)于“魔群”（monster group）性質(zhì)的信息，這是一個由超過10?3個元素組成的重要且龐大的代數(shù)對象。

除了這些之外，模形式還被用于:

發(fā)展朗蘭茲綱領(lǐng)，一個連接幾何和數(shù)論的中心研究領(lǐng)域。

深入研究諸如格（lattice）和橢圓曲線等數(shù)學(xué)對象，這些對象出現(xiàn)在密碼學(xué)、糾錯碼和其他應(yīng)用中。

證明組合恒等式，例如將整數(shù)寫為平方和（例如，5=22+12）的方法數(shù)。

構(gòu)建重要類型的網(wǎng)絡(luò)，稱為擴展圖（expander graph），這些網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)在計算機科學(xué)、通信理論和其他領(lǐng)域。

幫助證明關(guān)于L-函數(shù)（著名的黎曼ζ函數(shù)的推廣）的結(jié)果。

解釋為什么e^{π√163}幾乎是一個整數(shù)。

也許最著名的是，1994年費馬大定理的證明依賴于模形式。這個定理被廣泛認(rèn)為是數(shù)論中最重要的問題之一，它表明不存在三個非零整數(shù)a、b和c滿足方程 a?+b?=c?，其中n是一個大于2的整數(shù)。數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles，1953 -）通過假設(shè)相反的情況——即方程存在解——然后使用模形式來證明這樣的假設(shè)必然導(dǎo)致矛盾，從而證明了該定理的真實性。

首先，他使用他假設(shè)的解構(gòu)造了一個稱為橢圓曲線（elliptic curve）的數(shù)學(xué)對象。然后，他證明了你可以始終將一個唯一的模形式與這樣的曲線相關(guān)聯(lián)。然而，模形式理論指出，在這種情況下，這樣的模形式不可能存在。“這太完美了，不可能是真的，”沃伊特說。這意味著，反過來，假設(shè)的解不可能存在——從而證實了費馬大定理。

這樣做不僅解決了這個長達幾個世紀(jì)的難題；還加深了對橢圓曲線的理解，橢圓曲線直接研究可能比較困難（在密碼學(xué)和糾錯碼中起著重要作用）。

該證明還照亮了幾何與數(shù)論之間的橋梁。這座橋梁后來被擴展為朗蘭茲綱領(lǐng)（Langlands program，參閱 ），這是兩個領(lǐng)域之間更廣泛的聯(lián)系——也是當(dāng)代數(shù)學(xué)中一項主要研究工作的主題。模形式也在其他領(lǐng)域得到了推廣，它們潛在的應(yīng)用剛剛開始被認(rèn)識到。

它們在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中到處出現(xiàn)，有時相當(dāng)神秘?！拔也殚喠艘黄P(guān)于黑洞的論文，”多倫多大學(xué)的Steve Kudla說，“我發(fā)現(xiàn)了一些我認(rèn)識的模形式，但我不知道為什么它們會在那里?！?/p>

“不知何故，”他補充道，“模形式刻畫了世界上一些最基本的對稱性?！?/p>

參考資料

https://www.quantamagazine.org/behold-modular-forms-the-fifth-fundamental-operation-of-math-20230921/

小樂數(shù)學(xué)科普：苦覓已久的數(shù)學(xué)證明解開了更多神秘的“模形式”——譯自Quanta Magazine

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-chase-moonshine-string-theory-connections-20150312/

https://www.quantamagazine.org/new-proof-shows-that-expander-graphs-synchronize-20230724/

https://samuelj.li/complex-function-plotter/

科普薦書

【更多讀者好評數(shù)學(xué)書單推薦、數(shù)學(xué)科普作家自薦、出版社書單推薦通道已陸續(xù)打開，敬請期待】

近期文章

· 開放 · 友好 · 多元 · 普適 · 守拙 ·

讓數(shù)學(xué)

更加

易學(xué)易練

易教易研

易賞易玩

易見易得

易傳易及

歡迎評論、點贊、在看、在聽

收藏、分享、轉(zhuǎn)載、投稿

點擊左下角 閱讀原文

查看原始文章出處

點擊zzllrr小樂

公眾號主頁

右上角

設(shè)為星標(biāo)★

數(shù)學(xué)科普不迷路！