近年來(lái)，中國(guó)出生人口急劇減少，2023年出生人口僅相當(dāng)于2016年的一半。2024年出生人口雖然有所回升，但預(yù)計(jì)2025年出生人口又將下跌，詳細(xì)分析可參看我在1月17日寫(xiě)的文章《2024年出生人口回升沒(méi)有意外，但2025年出生人口很可能下跌》。

根據(jù)近兩年的《中國(guó)人口和就業(yè)統(tǒng)計(jì)年鑒》的數(shù)據(jù)，中國(guó)的生育率只有更替水平的一半左右。這意味著，下一代人的數(shù)量?jī)H相當(dāng)于上一代人的一半。

如果中國(guó)的生育率一直保持更替水平的一半，并且假設(shè)一代人時(shí)間是30年（通常認(rèn)為一代人時(shí)間是25年至30年），下面我們來(lái)求解這個(gè)問(wèn)題：

如果每30年，人口就減少一半，那么平均每年人口減少百分之幾呢？

假設(shè)初始人口為P(0)，30年后的人口為0.5P(0), 即減少了50%，我們需要找到每年減少的百分比r。

首先，人口隨時(shí)間減少的情況可以用以下公式表示：

P(t)= P(0)×(1?r)^t，

其中：

P(t)是t年后的人口數(shù)，

P(0)是初始人口數(shù)（即t=0時(shí)的數(shù)量），

r是每年減少的比例，

t是時(shí)間（以年為單位），

上式中的符號(hào)^是次方的意思，^t表示t次方。

當(dāng)人口減少一半時(shí)，可得下式：

P(t)=0.5P(0)，

又因?yàn)镻(t)= P(0)×(1?r)^t，

給定條件是30年后人口減少一半，所以：

0.5P(0)=P(0)×(1?r)^30

方程兩邊同時(shí)除以P(0)，得到：

0.5 = (1?r)^30

為了求解r，我們對(duì)等式兩邊取自然對(duì)數(shù)：

ln0.5 = 30ln(1?r)

接下來(lái)解這個(gè)方程求出r的值：

因?yàn)椋簂n0.5 = ?ln2

所以：?ln2 = 30ln(1?r)

進(jìn)一步化簡(jiǎn)得：

ln(1?r) = (?ln2)/30

計(jì)算得到：

ln(1?r) = ?0.693147/30 ≈ ?0.0231

然后求出1?r：

1?r=e^?0.0231≈0.977

因此，r=1?0.977=0.023

這意味著每年減少的比例大約是0.023，或者說(shuō)是每年減少約2.3%的人口。

所以答案是：如果人口平均每年減少2.3%，那么30年后使人口減少一半。

為了驗(yàn)證上述計(jì)算，下面我們進(jìn)行逆運(yùn)算：

如果人口平均每年減少2.3%，那么多少年后使人口減少一半？

設(shè)初始人口為P(0)，經(jīng)過(guò)t年后的人口為P(t)，每年人口減少的比例為r=2.3% =0.023，

則人口變化的公式為:

P(t)= P(0)×(1?r)^t。

當(dāng)人口減少一半時(shí)，P(t)=0.5P(0)，

即0.5 P(0) = P(0)×(1?r)^t= P(0)×(1?0.023)^t，

化簡(jiǎn)可得: 0.5=0.977^t

對(duì)等式兩邊取自然對(duì)數(shù)，可得：

ln0.5=tln0.977

通過(guò)計(jì)算，可得：

t=ln0.5/ln0.977 =(-0.693147)/(-0.023269)≈30。

所以，如果平均每年人口減少2.3%，大約經(jīng)過(guò)30年后人口減少一半。

需要說(shuō)明的是，上面的計(jì)算只是理論上的，實(shí)際情況更復(fù)雜，并不是說(shuō)如果生育率只有更替水平的一半，每年人口就會(huì)減少2.3%；也不是說(shuō)如果生育率只有更替水平的一半，30年后人口就一定減少一半。原因是，現(xiàn)在活著的人口中大部分是生育率高于更替水平的時(shí)期出生的。正如生育率低于更替水平意味著人口的潛在負(fù)增長(zhǎng)，但并不意味著人口立即進(jìn)入實(shí)際負(fù)增長(zhǎng)。中國(guó)的生育率從1991年開(kāi)始就低于更替水平，但直到2022年才進(jìn)入實(shí)際人口負(fù)增長(zhǎng)。原因是，雖然從1991年開(kāi)始，中國(guó)的生育率就低于更替水平，但1980年以前經(jīng)歷了高生育率時(shí)期，因此在1991年至2021年期間，隨著高生育率時(shí)期出生的人群逐漸成長(zhǎng)并達(dá)到生育年齡，即使生育率降低，也會(huì)因?yàn)檫@一代人的數(shù)量龐大而導(dǎo)致總?cè)丝谌匀槐３衷鲩L(zhǎng)。在人口學(xué)上，這種人口增長(zhǎng)稱為人口的慣性增長(zhǎng)。