01

引 言

狹義相對論由愛因斯坦[1]、龐加萊[2]、洛倫茲等人在20世紀(jì)初建立，已經(jīng)成為現(xiàn)代物理學(xué)的基石之一。一般說來，狹義相對論的前提有兩個(gè)公設(shè)(postulate)。其一是相對性原理，即基本的物理定律在所有慣性參照系里都是相同的。(為表述方便，下文中有時(shí)將慣性參照系簡稱為參照系。)其二是光速不變原理，即光的傳播速度在各個(gè)慣性系里都是相同的。在這兩條公設(shè)的前提下，可以推導(dǎo)出時(shí)空坐標(biāo)的洛倫茲變換，得出光速是物理速度的上限。光速也可以被解釋成相互作用傳播速度的上限。

相對性原理是合乎情理的，早在伽利略時(shí)代就被提出。當(dāng)然，伽利略所針對的是力學(xué)現(xiàn)象。他指出，在湖面上的一艘大船中，如果只是觀察船艙內(nèi)蝴蝶的飛行，那是不能判斷船是靜止還是勻速直線地行駛于湖面之上的，除非觀察者打開窗戶向外看一看[3]。牛頓運(yùn)動(dòng)定律在所有慣性參照系中都是相同的，沒有哪一個(gè)慣性參照系會(huì)比另外一個(gè)更特殊。如果在一個(gè)參照系里，一個(gè)粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所受的合力為零，則在另外一個(gè)參照系里觀察，它也在做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所受的合力也為零。

“光速不變”則是另外一回事。當(dāng)然對于很多資深物理學(xué)研究者來說，“光速不變”是常識(shí)，見怪不怪。但是對于初學(xué)者來說，“光速不變”就顯得非常不自然，是理解相對論的最大困擾。在日常經(jīng)驗(yàn)中，池塘里面水波的波速就依賴于慣性系的選擇。把池塘本身當(dāng)作參照系，我們寫下水波的波動(dòng)方程，可以得到其波速。另一方面，我們也可以采用從岸邊駛過的一列火車為參照系，這樣就要對水波方程和波速進(jìn)行時(shí)空坐標(biāo)的變換。不論用伽利略變換還是洛倫茲變換，水波方程和波速都發(fā)生了變化。憑什么說光波比水波要特殊呢？

在教材里面，通常采取下面這樣的講法。邁克耳孫—莫雷實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：從固定在地面上的光源發(fā)出的光，其速度并不依賴于地球相對于以太的運(yùn)動(dòng)，這樣的實(shí)驗(yàn)事實(shí)否定了以太的存在。給人的印象是，光速不變完全是基于邁克耳孫—莫雷等實(shí)驗(yàn)的結(jié)論。

還有一種常見的觀點(diǎn)認(rèn)為，相對性原理應(yīng)該包括電磁學(xué)規(guī)律。這樣的話，麥克斯韋方程(Maxwell equations)的成立就不依賴于慣性參照系的選擇。既然光速由麥克斯韋方程給出，那光速不變就是相對性原理的推論而已。

這樣說固然沒有錯(cuò)，但是過于簡化了物理學(xué)史上的艱難歷程?！胞溈怂鬼f方程不依賴于慣性系的選擇”的觀念，并不是一開始就被物理學(xué)家們所接受的。麥克斯韋最初是把位移電流建立在類似于分子介質(zhì)的圖像之上的。他把磁場想象成介質(zhì)中的一種渦旋[4]。當(dāng)麥克斯韋把位移電流推廣到真空時(shí)，他保留了其數(shù)學(xué)形式，而放棄了其力學(xué)模型。可見在當(dāng)時(shí)，很難讓人相信麥克斯韋方程和水波方程有什么本質(zhì)的差別。

事實(shí)上，麥克斯韋本人認(rèn)可“以太”的存在，認(rèn)為他給出的光速是相對于“以太”而言的。在19世紀(jì)末和20世紀(jì)初，物理學(xué)界對“以太”的存在進(jìn)行了長期的爭論，后來才被邁克耳孫—莫雷實(shí)驗(yàn)所否定。因此，在教學(xué)中對“光速不變”進(jìn)行深入的思辨，是有必要的。

在文獻(xiàn)中，已經(jīng)有繞開“光速不變”，僅從相對性原理出發(fā)，重新推導(dǎo)相對論的工作[5—8]。它們的特點(diǎn)是基于時(shí)空的均勻性和空間的各向同性，把參照系之間的時(shí)空變換視作為對稱群操作?；谌翰僮髦g自洽性(self-consistency)的要求，可以得到一個(gè)帶速度平方倒數(shù)量綱的常量，它可以取任意實(shí)數(shù)值，記作

K

=±1/

c

2 。根據(jù)

K

為正、零、負(fù)三種情況，時(shí)空變換群可以被劃分成雙曲、拋物、橢圓三種類型，分別對應(yīng)于洛倫茲、伽利略和旋轉(zhuǎn)等三類時(shí)空變換。旋轉(zhuǎn)變換因?yàn)檫`反了因果關(guān)系(causality)，應(yīng)當(dāng)被排除。伽利略變換(

K

=0)和洛倫茲變換(

K

>0)，都是滿足因果關(guān)系的。

可見“光速”只是一個(gè)習(xí)慣性的叫法，并不本質(zhì)。重要的是，要存在一個(gè)不依賴于參照系選擇的速度常量，它是物理速度的上限。伽利略變換相當(dāng)于洛倫茲變換在

c

→∞下的極限。

文獻(xiàn)[5—8]中的討論，是局限在力學(xué)范圍的。這樣就無法回答：怎么來決定c 的取值？如果只就力學(xué)現(xiàn)象而言，我們無法排除掉

c

→∞的可能。即便測得某個(gè)相互作用以有限的速度傳播，也不能排除存在瞬時(shí)相互作用的可能。瞬時(shí)相互作用的存在并不會(huì)帶來力學(xué)框架在理論上的困難。當(dāng)然，

c

也可以取一個(gè)有限值，這就是洛倫茲變換，也就設(shè)定了物理上可以實(shí)現(xiàn)的速度上限。但是在力學(xué)的框架下，并沒有理由要求時(shí)空變換是伽利略型的或者是洛倫茲型的。

要論證物理速度存在一個(gè)普適的上限，需要把力學(xué)和電磁學(xué)結(jié)合起來。本文作者之一曾從基礎(chǔ)電磁學(xué)的角度來引入狹義相對論[9]。方法是考察電荷和磁荷的漂移速度在參照系下的變換。如果一個(gè)帶電荷或磁荷的粒子，在正交電磁場中所受到的合力為零，保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)，則稱之為漂移運(yùn)動(dòng)。請注意，作者對于“漂移速度”這個(gè)術(shù)語，沿用了加速器物理和凝聚態(tài)物理霍爾效應(yīng)研究中的習(xí)慣。

在一個(gè)慣性系中的漂移運(yùn)動(dòng)，在另外一個(gè)參照系看也應(yīng)該是漂移運(yùn)動(dòng)，該粒子受到的電磁合力也應(yīng)該為零。我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)簡單的事實(shí)和伽利略時(shí)空觀存在本質(zhì)的矛盾，由此得出物理的漂移速度存在一個(gè)普適的上限

c

。要得到這樣的結(jié)論，其實(shí)不需要事先知道麥克斯韋方程，也不需要知道電磁波的存在。如果該上限不存在的話，則會(huì)出現(xiàn)違反相對性原理的情況：一個(gè)電荷或者磁荷在一個(gè)參照系中做靜止或勻速直線漂移運(yùn)動(dòng)，而在另外一個(gè)慣性系看則是加速運(yùn)動(dòng)。

然而，文獻(xiàn)[9]中的論證需要假設(shè)磁單極的存在，并且使用了磁單極在電磁場中的靜磁力和電洛倫茲力公式，顯得說服力不足。雖然磁單極和現(xiàn)有的電磁學(xué)理論是兼容的，但是磁單極的存在還沒有公認(rèn)的實(shí)驗(yàn)證據(jù)。

如果能夠在不假定磁單極存在的情況下，論證物理的漂移速度存在上限，那將是有意義的。本文作為文獻(xiàn)[9]的續(xù)篇，通過考察電荷和電流環(huán)(磁偶極)在正交電磁場中的漂移速度，同樣可以得出物理的漂移速度存在著上限

c

的結(jié)論。進(jìn)一步地，根據(jù)文獻(xiàn)[9] 中的方法，可以推導(dǎo)出相對論的速度疊加公式、電磁場和時(shí)空坐標(biāo)的洛倫茲變換。

本文需要關(guān)于穩(wěn)恒電磁場的麥克斯韋方程作為先驗(yàn)知識(shí)，但是不需要事先知道法拉第電磁感應(yīng)定律和麥克斯韋位移電流。物理速度的上限c可以通過在穩(wěn)恒電磁場中的受力測量來確定(見下文公式(9)以及相關(guān)段落的討論)，并不需要電磁波的知識(shí)。如果把完整的麥克斯韋方程作為先驗(yàn)，那么容易得出電磁波的傳播速度正好就是

c

回過頭來看會(huì)發(fā)現(xiàn)，建立相對論的知識(shí)儲(chǔ)備，其實(shí)在比較早的時(shí)期就已經(jīng)完備了。關(guān)于穩(wěn)恒電磁場的知識(shí)建立在麥克斯韋時(shí)代之前。洛倫茲力公式(下文(2)式)是在1895年被正式提出的。也有證據(jù)說早在1865年，麥克斯韋已經(jīng)推導(dǎo)了該公式[10]。另一方面，安培力是在1820年代被發(fā)現(xiàn)的。如果認(rèn)為電流是由于電荷的運(yùn)動(dòng)引起的，則不難從安培力推導(dǎo)出單個(gè)電荷所受的洛倫茲力。從更為基礎(chǔ)的觀點(diǎn)，洛倫茲力公式可以視為對磁場的定義，即通過電荷受力對速度的依賴來定義磁場。在下文2.2節(jié)中，對洛倫茲力公式進(jìn)行了基于對稱性和能量守恒的論證。

本文以下的部分按這樣來安排。在第2節(jié)中，我們詳細(xì)解釋下文推導(dǎo)所需要的前提，并構(gòu)造一個(gè)帶速度量綱的常量c。在第3節(jié)中，考察在正交電磁場中電荷和電流環(huán)(磁偶極)的漂移速度，以及它們在不同參照系之間的變換，由此論證物理上可實(shí)現(xiàn)的速度上限就是c。在第4節(jié)中，對在時(shí)間上穩(wěn)恒但空間上不均勻的電磁場進(jìn)行參照系變換，可以演示法拉第電磁感應(yīng)和位移電流存在的必要性。在第5節(jié)中，對全文進(jìn)行總結(jié)。在附錄A里，介紹磁、電偶極矩在時(shí)空對稱性變換下的性質(zhì)。在附錄B里，我們對在正交電磁場中運(yùn)動(dòng)的電流環(huán)，做相對論性的受力分析。

02

論證的前提

下面的論述不需要引入磁單極，而將采用磁偶極。磁偶極可以用小電流環(huán)來實(shí)現(xiàn)。我們來清點(diǎn)并解釋下文推導(dǎo)中所需要的前提。

(1) 相對性原理——弱版本

我們只需要用到比較弱的相對性原理。

在力學(xué)方面，我們要用到以下結(jié)論。如果一個(gè)粒子在慣性參照系F中，處于靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，那么在任何一個(gè)慣性參照系F′中，它也仍然是靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。如果將粒子換成一個(gè)有限大小的物體，它在慣性參照系F中保持靜止或者做勻速直線平動(dòng)，那么在任何一個(gè)慣性參照系F′中，它也仍然處于靜止或勻速直線的平動(dòng)狀態(tài)。

在電磁學(xué)方面，我們需要假設(shè)對穩(wěn)恒電磁場的麥克斯韋方程在所有慣性參照系中都成立，包括電場和磁場的高斯定律(Gauss's law)(下文公式(4)，(5))、穩(wěn)恒電流的安培定律(Ampère's law)(下文公式(6))。我們不要求事先了解麥克斯韋方程的動(dòng)態(tài)部分，包括法拉第電磁感應(yīng)、麥克斯韋位移電流，以及電磁波傳播的知識(shí)。

(2) 電荷在電磁場中的受力

我們先解決一個(gè)檢驗(yàn)電荷q在電磁場中受力的定義問題。電荷

q

在電磁場中受到的力F，可以分解成與

q

的運(yùn)動(dòng)速度

v

無關(guān)的部分FE，以及與

v

線性依賴的部分FL。我們將采用高斯單位制。在此電磁單位制中，電場和磁場的地位相等。

FE的表達(dá)式如下，

(1)式可視為電場

E

的定義，原則上可以通過測量靜止的檢驗(yàn)電荷

q

的受力來得到。

FL為磁力，一般稱之為洛倫茲力，其表達(dá)式如下，

在(2)式中，

c

1只是一個(gè)帶速度量綱的量。它的不同取值可以被 的放縮所吸收，只要保持它們之間的比值不變即可。這相當(dāng)于不同電磁單位制的選擇。

基于對稱性和能量守恒，我們不難分析出帶電粒子所受的洛倫茲力的形式。FL可以視為對速度的線性響應(yīng)。原則上，它可以被寫成，

ij

是二階張量，可以被分解成對稱部分

ijs 和反對稱部分

ij

A 之和。其中的對稱部分

ijs 可以被對角化，得到其主軸以及相應(yīng)的本征值

i

。當(dāng)速度沿著主軸時(shí)，由

ijs 給出的力為。取決于

i

的正負(fù)，該項(xiàng)會(huì)帶來能量的增益或耗散，從而違反了真空中的能量守恒。因此

ij

必須是完全反對稱的。我們可以把

ij

表示成矢量的形式：，這就得到了(2)式。

我們需要如下的電磁學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。

(3) 電場和磁場的高斯定律：

電荷

Q

是相對論不變量，不依賴于參照系的選擇。

(4) 安培定律：

其中

c

2是一個(gè)帶速度量綱的常量。(2)式和(6)式中所出現(xiàn)的速度

c

1和

c

2均依賴于電磁單位制的選擇，并不具有單獨(dú)的物理意義。容易得到，

c

1

c

2是一個(gè)和電磁單位制無關(guān)的量，由此定義

為了簡化討論，我們設(shè)B=，則有：

(7)式和(8)式是洛倫茲力和安培定律在高斯單位制中通常的形式。

目前，c 也還只是一個(gè)帶速度量綱的常量而已，還不具備物理速度普適上限的含義。在原則上，

c

是實(shí)驗(yàn)可測的?？紤]兩塊無限大平行金屬板。如果它們分別帶面電荷密度±

，并且沒有電流的話，則極板單位面積上所受的吸引力為

P

E

=2π

2。另一方面，如果兩塊極板上分別通過面電流密度±

K

，而且電荷密度為零的話，則極板單位面積上所受的排斥力為

P

B

=2π

K

2/

c

2。我們有：

這樣定出來的

c

和電磁單位制的選取無關(guān)。如果采用SI單位制，，得到的結(jié)果是同樣的。推導(dǎo)作為練習(xí)留給讀者。

03

對物理速度上限的推導(dǎo)

本節(jié)中將要用到一些準(zhǔn)備知識(shí)，請參閱附錄A。例如，極矢量和軸矢量的概念、電磁場的對稱性，磁偶極矩和電偶極矩的對稱性等。

設(shè)在參照系F中，在

y

=±

處放置兩塊平行于

zx

平面的無限大平行板(圖1)，以恒定速度

v

沿著 方向運(yùn)動(dòng)。在F中測得兩塊平行板的面電荷密度分別為±

。則平行板上面電荷的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生沿著 方向的面電流，面電流密度分別為±

K

，其中

K

σv

圖1 在慣性參照系F中，兩塊無限大平行板(平行于

zx

面)放置在

y

=±

處，分別帶面電荷±

。它們以速度

v

沿著 方向運(yùn)動(dòng)。該設(shè)置產(chǎn)生了穩(wěn)恒的正交電磁場

，其中

K

σv

是面電流密度。S是跟隨平行板運(yùn)動(dòng)的隨動(dòng)參照系。一個(gè)均勻的電流環(huán)，其法線沿著 方向，以速度

v

沿著 方向運(yùn)動(dòng)。該電流環(huán)在S中是靜止的

這些電荷和電流的分布會(huì)產(chǎn)生穩(wěn)恒的電場和磁場，下面根據(jù)對稱性來論證它們的方向。

該系統(tǒng)在關(guān)于

xy

面的鏡面反射

xy

下不變。磁場B是軸矢量，其分量(

B

x ,

B

y

B

z

)在

xy

操作下，變成(-

B

x ,-

B

y

B

z

)，因此

B

B

y=0，只有

B

z 能保持不變，即B沿著 方向。電場E是極矢量，在

xy

鏡面反射下變成(

E

x ,

E

y

,-

E

z

)，因此

E

z

=0。

該系統(tǒng)在關(guān)于

yz

面的鏡面反射

yz 和時(shí)間反演的復(fù)合操作下不變。在實(shí)施

yz 操作后，平行板的運(yùn)動(dòng)反向，時(shí)間反演變換再把運(yùn)動(dòng)方向恢復(fù)。電場E

E

x ,

E

y

0

) 在此變換下成為 (-

E

x ,

E

y

0

) ，因此

E

x=0。只有

E

y

保持不變，因此E只能沿著 方向。

經(jīng)過簡單的對稱性分析可知，

E

y

B

z只在兩層極板之間的空間非零而且均勻分布，它們在兩層極板之外的空間中為零。論證的過程作為練習(xí)，留給讀者。

根據(jù)高斯定律，經(jīng)過簡單的對稱性分析可以得到，

根據(jù)安培定律可以得出，

電場和磁場的方向彼此正交，它們通過平行板的運(yùn)動(dòng)速度相聯(lián)系，

在參照系F中，放置一個(gè)均勻的圓形電流環(huán)。該電流環(huán)平面的法線沿著方向，具有繞

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)對稱性，并且和平行板以同樣的速度

v

運(yùn)動(dòng)。在參照系F中，電流環(huán)是電中性的，其電偶極矩p=0。該電流環(huán)的磁偶極矩沿著 方向，即m// 。

考慮平行板的隨動(dòng)參照系S，它相對于F系以速度

v

沿著 方向運(yùn)動(dòng)。在參照系S中，兩塊平行板是靜止的，所以不攜帶電流，因此平行板間的磁場為零，只可能產(chǎn)生靜電場Es 。該電流環(huán)在參照系S中也保持靜止，沒有靜電荷。根據(jù)在附錄A中的推論(II)，在參照系S中該電流環(huán)的電偶極矩ps =0，并且磁偶極矩ms // 。因此，它不受到力和力矩，處于靜止的平衡狀態(tài)

根據(jù)慣性系之間的變換，在參照系F中，該電流環(huán)處于勻速直線運(yùn)動(dòng)的平動(dòng)狀態(tài)，即以速度

v

在做漂移運(yùn)動(dòng)。本文下面的論證不依賴該電流環(huán)的受力細(xì)節(jié)。當(dāng)然為了理論體系的完整和自洽性，在建立相對論之后，我們也給出該電流環(huán)的受力分析(詳見附錄B)。

在參照系F中，放入一個(gè)檢驗(yàn)電荷

q

，可以形式上定義電荷

q

的漂移速度，

采用和文獻(xiàn)[9]中相同的方法，可以論證

v

q 是非物理的，簡介如下。如果

v

q

物理的話，那么在參照系F中，電荷所受到的電力和洛倫茲力相平衡，做勻速直線運(yùn)動(dòng)。則在參照系S中，它也應(yīng)該保持勻速直線運(yùn)動(dòng)，但是該系中的磁場為零而電場Es非零，這會(huì)導(dǎo)致電荷加速。加速度是不能通過慣性參照系變換而消除的。這就導(dǎo)致了矛盾。

根據(jù)文獻(xiàn)[9]中第3節(jié)的論證，物理上可以實(shí)現(xiàn)的速度，應(yīng)該存在一個(gè)有限的閾值

v

th 。小于

v

th 的速度是可以實(shí)現(xiàn)的，即物理的；而大于

v

th的 速度是不可以實(shí)現(xiàn)的，也就是非物理的。如果不存在這樣一個(gè)有 限的速度閾值的話，電荷和電流環(huán)的漂移速度就都是物理的了，這和上述的論證矛盾。

電流環(huán)的漂移速度

v

和平行板的運(yùn)動(dòng)速度相同，因而是物理的。可以得到，

請注意，到目前為止，我們還沒有確定

v

th 和

c

的關(guān)系。

在文獻(xiàn)[9]的第4節(jié)中，通過研究電荷和磁單極在正交電磁場中的漂移速度及其參照系變換，推導(dǎo)出了相對論性的速度疊加公式?，F(xiàn)在不引入磁單極，而通過研究電流環(huán)(磁偶極矩)的漂移運(yùn)動(dòng)，也可以達(dá)到相同的目標(biāo)。簡介如下。

考慮兩個(gè)慣性參照系F和F′，其中F′ 相對于F沿著

軸以速度

v'

運(yùn)動(dòng)，則

v'

是物理上可以實(shí)現(xiàn)的。設(shè)在參照系F中，一個(gè)粒子沿著

軸以物理速度

v

運(yùn)動(dòng)，則

v

v

th 。設(shè)該速度在參照系F′ 中的值為

u

通過選取不同的正交電磁場位形，

v

可以作為一個(gè)電流環(huán)的漂移速度來實(shí)現(xiàn)，也可以作為一個(gè)電荷的漂移速度來實(shí)現(xiàn)。先考慮電流環(huán)，其法線沿著

軸。根據(jù)本節(jié)上面的論述，取正交電磁場位形滿足就可以了。在另一方面，如果設(shè)置正交電磁場位形為，根據(jù)電荷在電磁場中的受力公式(1)和(7)，則電荷

q

以速度

v

做漂移運(yùn)動(dòng)。

通過和文獻(xiàn)[9]第4節(jié)中同樣的推理，我們得到，

其中

β'

v'

c

。文獻(xiàn)[9]中的推導(dǎo)依據(jù)是：如果一個(gè)電荷或者磁單極在正交電磁場中做物理的漂移運(yùn)動(dòng)，則該運(yùn)動(dòng)在慣性參照系變換下，仍然為物理的漂移速度。它們所受的電磁合力應(yīng)該為零。現(xiàn)在，我們把磁單極替換成法線沿著 方向的電流環(huán)即可。

文獻(xiàn)[9]的第5節(jié)中論證了物理速度的上限

v

th =

c

。此處簡單介紹一下其證明的要點(diǎn)?？紤]兩個(gè)物理的速度，即

v

v

th ，

v'

v

th 。對它們進(jìn)行速度疊加的結(jié)果

u

，應(yīng)該也是物理的，即

u

v

th 。這個(gè)要求使得

v

th <

c

為不可能，否則兩個(gè)物理的速度在疊加后，會(huì)出現(xiàn)

u

v

th 這樣的矛盾。

另一方面，

v

th >

c

也是不可能的。否則根據(jù)(14)式，取電流環(huán)的漂移速度

v

使得

v

th >

v

c

，則電荷漂移速度

v

q

滿足

v

th >

v

q

c

2 /

v

，從而

v

v

q

在物理上都是可以實(shí)現(xiàn)的。但是根據(jù)上面的結(jié)論，這是不可能的。因此，我們得到

v

th =

c

根據(jù)(15)式，可以得到

c

在與任何物理速度

v

的疊加下不變：代入

=1，則

u

c

。也就是說

c

和慣性參照系的選擇無關(guān)。在文獻(xiàn)[9]的第6節(jié)和第7節(jié)中，作者之一進(jìn)一步推導(dǎo)了電磁場和時(shí)空坐標(biāo)的洛倫茲變換，就不在這里贅述了。

在洛倫茲變換的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步研究相對論動(dòng)力學(xué)。定義力為F=dp/d

t

，其中p

m

0 dr

以及

m

0 是靜止質(zhì)量，

是在粒子隨動(dòng)參照系中的原時(shí)。由此可以導(dǎo)出力的相對論變換公式，以及質(zhì)能關(guān)系。這些過程和通常的教材是一致的，不再重復(fù)。

可以把電磁場在參照系F和F'之間的變換關(guān)系，總結(jié)成下面方便的形式，

其中v'

是參照系 F

相對于F的速度，//和⊥代表縱向和橫向兩個(gè)方向，即平行和垂直于v'的方向。特別地，如果在參照系F'系中電場為零，則在F系中

如果在參照系F′系中磁場為零，則在F系中有，

04

相對性原理與麥克斯韋方程

目前，我們已經(jīng)建立了電磁場和時(shí)空坐標(biāo)的洛倫茲變換。在這個(gè)過程中，只用到了麥克斯韋方程中針對穩(wěn)恒電磁場和穩(wěn)恒電流的部分，并假設(shè)了它們在所有的慣性系下都成立。

c

是從洛倫茲力公式(7)和穩(wěn)恒電磁場的安培定律公式(8)而來。在論證

c

是物理速度的上限的過程中，并不需要和電磁波的傳播建立聯(lián)系。

要研究動(dòng)態(tài)電磁場，則需要對穩(wěn)恒場的麥克斯韋方程進(jìn)行擴(kuò)充。電、磁場的高斯定律(公式(4)、(5))，雖然在形式上不需要被改變，但是其物理含義已經(jīng)擴(kuò)充到動(dòng)態(tài)電磁場。此外，還有法拉第電磁感應(yīng)定律，

對安培定律(公式(8))的擴(kuò)充則要加上位移電流的貢獻(xiàn)，

完整的麥克斯韋方程當(dāng)然不是邏輯推理的結(jié)果。盡管如此，力學(xué)版本的相對性原理，也要求完整的麥克斯韋方程中出現(xiàn)法拉第電磁感應(yīng)和位移電流的貢獻(xiàn)。下面我們來演示一下。

(1) 法拉第電磁感應(yīng)定律

在慣性參照系F中，考慮一個(gè)法線沿著方向的小電流環(huán)，其磁偶極矩m//，以速度

v

沿著 方向運(yùn)動(dòng)。以通過電流環(huán)中心的法線為

軸，建立柱坐標(biāo)，定義軸向 、徑向 、繞著

軸的環(huán)向?yàn)?，如圖2(a)所示。

圖2 (a)在慣性參照系F中，法線指向的電流環(huán)以速度

v

沿著 方向運(yùn)動(dòng)，考慮電場沿著半徑為

r

截距在

處的圓環(huán)的積分；(b)電荷

q

以速度

v

沿著 方向運(yùn)動(dòng)，考慮磁場沿著半徑為

r

截距在

處的圓環(huán)的積分

根據(jù)對稱性分析可知，電流環(huán)產(chǎn)生的磁場B呈繞

軸的對稱分布。設(shè)磁場的軸向、徑向、環(huán)向各分量為(

B

B

r，

B

θ)。如圖2(a)所示，取一個(gè)圓環(huán)，其軸線沿著 方向，半徑為

r

，在

軸上的截距為

。根據(jù)公式(17)，電場的軸向分量為零，即

E

x=0。如果環(huán)向

B

θ≠0的話，則電場會(huì)有徑向分量，即

E

r≠0。因此，電場對該圓柱面的電通量非零。這違反了高斯定律，從而

B

θ=0，

E

r=0。

把上述圓環(huán)平移Δ

，與其初始位置構(gòu)成一個(gè)薄圓柱的底面。磁場對該圓柱面的通量為零，即：

其中d

A

是對圓柱橫截面的積分。則有。由公式(17)可得，環(huán)向的電場，即：

在(21)式的最后一步中出現(xiàn)了負(fù)號(hào)，這是因?yàn)樵贔參照系中，電、磁場E，B對時(shí)空的依賴以

vt

的形式出現(xiàn)，有。沿著圓環(huán)的邊緣對

E

做線積分，即可得出法拉第電磁感應(yīng)定律(19)式。

(2) 位移電流

在參照系F中，如圖2(b)中所示，以電荷

q

的運(yùn)動(dòng)軌跡為

軸，建立柱坐標(biāo)，定義軸向 ，徑向 ，環(huán)向?yàn)?，電荷

q

產(chǎn)生的電場呈繞

軸的對稱分布，并設(shè)電場的三個(gè)分量為 (

E

E

r，

E

θ )。類似的，取一個(gè)圓環(huán)，其在軸上的截距為

設(shè)想把該圓環(huán)平移Δx，與其初始位置構(gòu)成一個(gè)薄圓柱的底面。設(shè)電荷

q

不在這個(gè)圓柱之中，則通過該圓柱底面及側(cè)面的電通量為零。通過和上文類似的推理，得到徑向電場。根據(jù)(18)式，伴隨這個(gè)徑向電場

E

r 存在環(huán)向磁場。則有，

沿著圓環(huán)的邊緣對

B

做線積分，就得到(20)式中位移電流的貢獻(xiàn)。

05

總 結(jié)

我們提供了一種基于基礎(chǔ)電磁學(xué)來論證相對論時(shí)空變換的方法。在一個(gè)正交電磁場中，電荷和電流環(huán)(磁偶極)的漂移速度不可能都是物理上可實(shí)現(xiàn)的，否則將會(huì)出現(xiàn)在一個(gè)參照系中的勻速直線運(yùn)動(dòng)，在另一個(gè)參照系中變成了加速運(yùn)動(dòng)的情況。由此可以論證，在物理上可以實(shí)現(xiàn)的速度存在著一個(gè)普適上限

c

，它的值在原則上可以通過電荷和電流在穩(wěn)恒電磁場中的受力來測量。

本文中的論證不需要以動(dòng)態(tài)電磁場的法拉第電磁感應(yīng)定律和麥克斯韋位移電流為前提，只需要如下很少的前提知識(shí)：

(1)在一個(gè)慣性參照系下做勻速直線運(yùn)動(dòng)的粒子，在另外一個(gè)慣性參照系下也做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

(2)帶電粒子在電磁場中所受到的電力公式和洛倫茲力公式。公式(1)和(7)可以視為電場和磁場的定義。

(3)穩(wěn)恒電、磁場的高斯定律以及穩(wěn)恒電流的安培定律。它們在所有慣性參照系中都成立。

在相對論誕生120周年之際，我們對相對論進(jìn)行重新思考并梳理其基礎(chǔ)。我們認(rèn)為以這種方式來紀(jì)念和表達(dá)對他們的致敬，是很有意義的。

附 錄 A

磁偶極矩和電偶極矩的對稱性

我們介紹一些背景知識(shí)。電場E和坐標(biāo)類似，屬于極矢量，而磁場B和角動(dòng)量類似，屬于軸矢量。更準(zhǔn)確地說，軸矢量是二階反對稱張量，在三維空間中可以表達(dá)成兩個(gè)極矢量的叉乘。極矢量和軸矢量在空間旋轉(zhuǎn)操作下的變換性質(zhì)是一樣的，但是它們在鏡面反射操作下的變換性質(zhì)則是相反的。對于極矢量來說，其平行于鏡面的分量在反射下不變，而其垂直于鏡面的分量在反射下反向；對于軸矢量來說，其平行于鏡面的分量在反射下反向，而垂直于鏡面的分量在反射下不變。根據(jù)(1)式和(2)式，可得電磁場在時(shí)間反演下的變換性質(zhì)。在時(shí)間反演變換下，力不變而速度反號(hào)，則E在時(shí)間反演不變而B反號(hào)。

因?yàn)榇排紭O矩m產(chǎn)生磁場，而電偶極矩p產(chǎn)生電場。根據(jù)電磁場在鏡面反射和時(shí)間反演下的變換性質(zhì)，可以得出，磁偶極矩m是軸矢量和電偶極矩p是極矢量。在時(shí)間反演變換下m反號(hào)，而p不變。

磁偶極矩m和電偶極矩p的值依賴于慣性參照系的選擇。盡管如此，我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^對稱性分析得到一些明確的結(jié)論。設(shè)慣性參照系F′相對于F以速度

v

運(yùn)動(dòng)，該速度沿著 方向。磁偶極矩和電偶極矩在參照系F中靜止，它們值分別為mp，它們在參照系F′中分別變?yōu)?strong>m

p

，如下圖所示。

參照系F′相對于參照系F沿著 方向運(yùn)動(dòng)。磁偶極矩m和電偶極矩p在參照系F中靜止。當(dāng)它們變換到參照系F′時(shí)，如表1所示，可以分成四個(gè)對稱性類別。它們的縱向分量分成兩組 mx 和px各成一類，分別變換到其自身。它們的橫向分量可以分成兩類(my,

p

z)和(

m

z,

p

y)。同類別的分量之間可以變換，不同類別的分量之間則不會(huì)混合

該系統(tǒng)具有如下的分立對稱性：(1)對于

zx

平面的鏡面反射對稱性

zx

；(2)對于

xy

平面的鏡面反射對稱性

xy；(3)時(shí)間反演和繞著

y

軸旋轉(zhuǎn)180°的復(fù)合對稱性

R

y

(π)

T

。我們把磁偶極矩m和電偶極矩p在上述對稱性操作(1)，(2)，(3)下的對稱性質(zhì)，列在表1。

表1 慣性參照系F′相對于F沿著方向運(yùn)動(dòng)，這個(gè)相對運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分別在鏡面反射

zx

xy

以及時(shí)間反演和繞

y

軸旋轉(zhuǎn)π的復(fù)合操作

R

y

(π)

T

下保持不變。表中列出了磁偶極矩和電偶極矩的各個(gè)分量在這些變換下的奇偶性

根據(jù)表1所示的磁、電偶極矩的對稱性質(zhì)，我們有以下的推論。

推論(I)：如果在F中m=0，p=0，則在F′中，仍然有m′=0和p′=0。論證如下。

該系統(tǒng)在表1中所示的三個(gè)變換之下都是不變。而m

p

的所有分量，都至少在一個(gè)變換下為反號(hào)，所以只能有m

=0和p

=0。

推論(II)：如果在F中m//以及p=0，則在F'中仍然有m

// 和p

=0。論證如下。

因?yàn)樵撓到y(tǒng)具有繞著x軸的旋轉(zhuǎn)對稱性，則有m

p

// 。該系統(tǒng)也具有在復(fù)合操作

R

y(π)

T

下的對稱性，而

p

在此對稱變換下反號(hào)，因此p

=0。我們有m′≠0，否則的話，在F′中磁、電偶極矩都為零，則根據(jù)推論(I)，它們在F中也都是零。這與假設(shè)矛盾。

推論(III)：如果在F中p//以及m=0，則在F′中仍然有p

// 和m

=0。論證過程和推論(II)中類似，留給讀者作為練習(xí)。

附 錄 B

運(yùn)動(dòng)的電流環(huán)的受力分析

在正文中，我們根據(jù)如下事實(shí)，即在一個(gè)慣性系中靜止的物體在另外一個(gè)慣性系中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，論證了圖(1)中電流環(huán)在參照系F中以速度

v

做漂移運(yùn)動(dòng)。在此基礎(chǔ)上建立了相對論的時(shí)空坐標(biāo)變換之后，原則上就可以推導(dǎo)相對論性的力的變換，這里不再贅述。

我們來對電流環(huán)做一下受力分析。如下圖所示，設(shè)在參照系F中，磁場
，電場，滿足

B

z= ；電流環(huán)半徑為

r

，其法線沿著 方向，速度

v

也是沿著 方向，其中的電流為

。在角度

處取導(dǎo)線元dl= 。我們下面論證在參照系F中，運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)線元所受的安培力為

先變換到跟隨電流環(huán)運(yùn)動(dòng)的隨動(dòng)參照系S中，來分析導(dǎo)線元的受力。在此系中該導(dǎo)線元靜止，原時(shí)d

和參照系F中的時(shí)間間隔d

t

滿足。因此在參照系S中，電流環(huán)中的電流為

s =

γI

。在隨動(dòng)參照系S中，極板靜止只產(chǎn)生電場沒有磁場。根據(jù)公式(16)可以得到其中的磁場Bs =0，電場，其中 =

在隨動(dòng)參照系S中，因?yàn)榇艌鰹榱悖瑒t線元受安培力dFs=0。但是電場Es對線元的功率為

。根據(jù)相對論力的變換，該線元在參照系F中的受力dF僅有分量，即d

F

，其中是參照系F相對于參照系S的無量綱化速度，

=0是線元在S中無量綱化速度的 分量。則有：

（B1）

沿著電流環(huán)對線元做積分，可得：

（B2）

電流環(huán)所受到的力矩非零，為

（B3）

其中
，

A

是電流環(huán)的面積。在推導(dǎo)(B3)式的過程中，用到了恒等式

，以及

為什么在參照系F中，電流環(huán)受到非零的力矩τ，但是仍然保持勻速直線運(yùn)動(dòng)而且沒有轉(zhuǎn)動(dòng)的狀態(tài)呢？這和磁矩在電場中存在的“隱藏動(dòng)量”(hiden momentum)有關(guān)。在參照系S中，電流環(huán)的磁矩，電場。該電流環(huán)具有“隱藏動(dòng)量”，其起源是相對論效應(yīng)。詳情請參考D. J. Griffth的教材[11]，這里不再詳述。

當(dāng)變換到參照系F中，該電流環(huán)的動(dòng)量
，其中

P

對應(yīng)于電流環(huán)沿著 方向的運(yùn)動(dòng)，是“隱藏動(dòng)量”。則該電流環(huán)在參照系F中的軌道角動(dòng)量LrP的時(shí)間變化率為，

其中用到了
。因?yàn)椤半[藏動(dòng)量”的緣故，運(yùn)動(dòng)的電流環(huán)的軌道角動(dòng)量隨時(shí)間變化，這需要安培力來提供相應(yīng)的力矩。

參照系F中存在正交電磁場。電流環(huán)處在

yz

平面中，其速度v沿著 方向?？紤]其中一個(gè)小線元dl，其受到的安培力由公式(B1)給出

參考文獻(xiàn)

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[2] 金曉峰. 龐加萊的狹義相對論(1—5). 物理，2022，51(3)—2023，52(1)

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[10] Lorentz force. https://en. wikipedia. org/wiki/Lorentz_force_note-FOOTNOTENahin2002-5

[11] Griffth D J. Introduction to Electrodynamics. Cambridge University Press，2017. p.520

（參考文獻(xiàn)可上下滑動(dòng)查看）

來源：中國物理學(xué)會(huì)期刊網(wǎng)

編輯：yhc

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