電子有大小嗎？如果有，它的半徑是多少？

這是現(xiàn)代理論物理學(xué)中的一個難題，本文試圖從經(jīng)典電磁學(xué)到量子力學(xué)，給出一點科普解讀。

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經(jīng)典半徑的計算

如果你沒學(xué)過量子場論，但好好學(xué)過經(jīng)典電磁學(xué)和狹義相對論，那這個問題應(yīng)該難不倒你，具體計算過程如下。

假定它是一個半徑為 的小球，電荷均勻分布在球內(nèi)部，球內(nèi)外磁導(dǎo)率都是 。

根據(jù)高斯定理，它的電場為

根據(jù)電場能量 取體積元 ，則電子靜電能為 結(jié)果為若電子的電荷只是分布在球體表面上，則電場為

則上述結(jié)果為

這里的 和 是兩個系數(shù)，反映了電荷分布的影響，假設(shè)更一般的系數(shù)用 表示，則電子的靜電能可表示為 根據(jù)狹義相對論，電子的質(zhì)能可表示為 ，其中 為電子的靜止質(zhì)量， 是光速。若假設(shè)電子的質(zhì)能等于它的靜電能，則有 則得電子的半徑為 取系數(shù) ，代入電子質(zhì)量、光速和電子電量值，得電子的半徑為 這個值被稱為電子的經(jīng)典半徑（classical electron radius），是文獻(xiàn)中最常提到的電子半徑估計值。

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違反相對論？

這個值，曾導(dǎo)致歷史上一個著名的“矛盾事件”，荷蘭物理學(xué)家洛倫茲認(rèn)為這違反了狹義相對論，具體是怎么回事呢？

根據(jù)量子力學(xué)，電子自旋量子數(shù)為1/2，它的自旋角動量為 其中 ， 為普朗克常數(shù)。

而根據(jù)球體的假設(shè)，電子的轉(zhuǎn)動慣量為 則它的自轉(zhuǎn)角動量為 其中 是電子的赤道處的自轉(zhuǎn)線速度。

如果認(rèn)為 ，可得 的值為 顯然是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過光速值。

據(jù)此，洛倫茲最初認(rèn)為電子自旋的想法是錯誤的，或者，電子的自旋不可能有 的量級。

但隨后，狄拉克通過相對論和量子力學(xué)的結(jié)合，從理論上得到電子的自旋的確是 ，說明所謂“自旋違反相對論”是不存在的。

于是，人們又反過來認(rèn)為，電子是球體的假設(shè)是不對的，電子既然不可能是一個球體，當(dāng)然也就沒有所謂的半徑了。

但是，上面這種推理本身的出發(fā)點是錯誤的，自旋并不是真實的轉(zhuǎn)動，實際上，自旋是粒子的一種內(nèi)稟的性質(zhì)，并非是一種轉(zhuǎn)動。當(dāng)然也就無法說明電子不是球體了。

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量子場論的觀點

然而，若你學(xué)過量子場論，你會覺得，討論電子大小這件事有點莫名其妙。

因為按照量子場論，電子是狄拉克場的量子化激發(fā)，電子的所謂“尺寸”可認(rèn)為是波函數(shù)的彌散或膨脹，顯然，討論它的大小是沒有意義的。

根據(jù)現(xiàn)代粒子物理學(xué)，電子是12種輕子之一（考慮電性），屬于基本粒子，所有基本粒子都被認(rèn)為是點粒子，也就是說，它們都是沒有大小的。

但對絕大多數(shù)人來說，他們不能理解這種觀點，既然電子是一個物體，怎么會沒有大小呢？沒有大小的話，那還算存在嗎？所以它必須有大小。

對于學(xué)過普通物理學(xué)的大學(xué)生來說，電子若是一個沒有大小的點，那會導(dǎo)致一系列無法解釋的問題。

一方面，如果它沒有小，那它怎么會有質(zhì)量？

因為這樣會導(dǎo)致電子的密度無限大，這不成了奇點嘛！奇點讓人不禁想起黑洞，難道電子是一個黑洞不成？

實際上，的確有人提出，基本粒子可能是一個個的小黑洞，并且還會導(dǎo)致許多有趣的物理問題，當(dāng)然涉及引力的量子化問題，此處不表。

另一方面，如果電子沒有大小，那電荷怎么存在？

因為同種電荷被完全集中在一個點上，會產(chǎn)生無限大的排斥力，從而導(dǎo)致無限大的能量，這是不可能的！

當(dāng)然，學(xué)過量子力學(xué)的你可能會說：庫侖力是建立在點電荷模型上的，在電子那么小的尺寸范圍，經(jīng)典的電磁學(xué)規(guī)律不再適用了，需要考慮量子力學(xué)，或許就不會導(dǎo)致那么大的力了吧？

沒錯，電磁場的的量子化理論——量子電動力學(xué)，通過重整化的方法，解決了這個問題，帶來的后果是：電子還是一個點，不用再擔(dān)心能量無限大的問題了。

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電子的半徑到底是多少？

但是，仍然有很多人相信，點粒子只是一種理想化模型，實際的電子不可能只是一個點，它應(yīng)該有大小。

顯然，對這種觀點，簡單地用量子場論來反駁是無濟(jì)于事的。

物理最終是靠實驗說話的，所以，物理學(xué)家試圖通過實驗來獲得電子的大小。

人們利用一種叫Penning阱的設(shè)備，精確地測量了電子的磁矩，得到電子的半徑上限是10-22米，也就是說，電子的半徑就算真的存在，也不會超過這個值。

柱狀的Penning阱

而這個值，比電子的經(jīng)典半徑小太多太多了，說明經(jīng)典物理對電子半徑問題的處理是錯誤的，更不能說明電子有大小。

那么，電子真的是一個點嗎？還是有復(fù)雜的內(nèi)部結(jié)構(gòu)？

按照狄拉克方程的結(jié)果，電子的自旋和磁矩之間的關(guān)系為

其中朗德因子 。

但是，實驗研究表明，朗德因子并不嚴(yán)格等于2。

這個問題源于電子自能作用和真空極化，量子電動力學(xué)完美地解決了這個問題，得到電子的磁矩的理論值與實驗值符合得非常好——精度達(dá)到小數(shù)點后10位。

然而，這件事更重要的意義是，它同時也說明，電子不可能是一個點電荷，因為理論上，點電荷的朗德因子必然是整數(shù)。

那你可能想，那電子是由點電荷組成的嗎？

也不是！因為每個點電荷的朗德因子是整數(shù)，合在一起得到的還是整數(shù)。但現(xiàn)在不是整數(shù)，說明電子不僅不是點電荷，也不是簡單的點電荷體系。

所以，正如很多人想的那樣，電子不是一個點，它有內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

然而，電子內(nèi)部到底是什么樣子？目前還是一無所知。

參考資料

https://en.wikipedia.org/wiki/Penning_trap
王正行，《近代物理學(xué)》第二版，北京大學(xué)出版社，2010年5月

來源：物含妙理

編輯：東君

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