最小變化原理

我們對(duì)某件事情發(fā)生的可能性的判斷，取決于我們對(duì)背景情境的“信念”——這正是貝葉斯法則背后的核心概念。

貝葉斯法則是一種計(jì)算概率的數(shù)學(xué)方法，它得名于英國數(shù)學(xué)家托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes）。在1763年的一篇論文中，貝葉斯首次定義了這一用于描述條件概率（conditional probability）的法則。根據(jù)這一法則，某事件發(fā)生的概率，取決于與之相關(guān)的先驗(yàn)信息。它的核心用途之一，就是根據(jù)新證據(jù)（數(shù)據(jù)）來更新信念。

在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)中，貝葉斯法則可以從“最小變化原理”（principle of minimum change）推導(dǎo)出來。這一原理指出，更新后的信念，必須與新數(shù)據(jù)保持一致，同時(shí)要盡量少偏離原有信念。簡單地說，這表示每當(dāng)獲得新信息時(shí)，人們應(yīng)以與事實(shí)相符的最小幅度調(diào)整自己的信念。從數(shù)學(xué)上講，最小變化原理通過最小化初始信念與更新后信念的聯(lián)合概率分布之間的距離來實(shí)現(xiàn)。

貝葉斯法則的量子版本

科學(xué)家一直相信，量子世界中應(yīng)當(dāng)存在貝葉斯法則的對(duì)應(yīng)形式，因?yàn)榱孔討B(tài)本身就定義了概率。例如，一個(gè)粒子的量子態(tài)給出了它在不同位置被測(cè)得的概率。理想情況下，我們希望確定整個(gè)量子態(tài)，但在進(jìn)行實(shí)際測(cè)量時(shí)，粒子只會(huì)在一個(gè)位置被觀測(cè)到——這一新的信息就會(huì)更新信念，提高在這個(gè)位置附近觀測(cè)到粒子的概率。

幾十年來，人們已經(jīng)提出過貝葉斯法則的各種量子類比。但從最小變化原理出發(fā)的推導(dǎo)方法此前從未被嘗試過。直到近日，在一項(xiàng)發(fā)表于《物理評(píng)論快報(bào)》的研究中，物理學(xué)家首次完成了這一嘗試——從最小變化原理出發(fā)，推導(dǎo)出了嚴(yán)格意義上的量子版貝葉斯法則。

量子保真度

在這項(xiàng)新的研究中，研究人員使用了量子保真度（quantum fidelity）這一概念來量化“變化”。在量子物理學(xué)中，保真度用于衡量兩個(gè)量子態(tài)之間的接近程度，其取值范圍為0到1，值越大表示兩個(gè)量子態(tài)越相似（若為1則完全相同）。這一概念已在量子信息理論中得到廣泛應(yīng)用。

在新研究中，研究人員將保真度用于衡量正向過程（系統(tǒng)從輸入到輸出的演化）與反向過程（系統(tǒng)從輸出回溯到輸入的逆向推斷）之間的統(tǒng)計(jì)相似性。他們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)最大化兩個(gè)過程之間的量子保真度時(shí)，便可自然地推導(dǎo)出量子版的貝葉斯法則。這一結(jié)果與經(jīng)典情形相對(duì)應(yīng)：在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中，貝葉斯法則可通過最小化聯(lián)合輸入輸出分布之間的若干距離來得到。由于最大化保真度等價(jià)于最小化變化，因此這一推導(dǎo)符合最小變化原理。

他們發(fā)現(xiàn)，在許多情況下，他們的結(jié)果與Petz轉(zhuǎn)置映射（Petz transpose map）相吻合。該映射由Dénes Petz在20世紀(jì)80年代提出，長期被視為是量子版貝葉斯法則最有力的候選形式之一。它建立在信息處理原理之上，這些原理不僅對(duì)人類推理至關(guān)重要，對(duì)機(jī)器學(xué)習(xí)中參數(shù)更新的機(jī)制同樣關(guān)鍵。

面向未來的量子推理工具

這一研究成果有望幫助改進(jìn)量子機(jī)器學(xué)習(xí)與量子計(jì)算中的量子糾錯(cuò)。研究人員表示，這是一項(xiàng)非常具有啟發(fā)性的結(jié)果，它能在許多情形下確實(shí)重新得到Petz轉(zhuǎn)置映射，但并非在所有情況下。這意味著，這項(xiàng)工作是一項(xiàng)重要的進(jìn)展，但并非終點(diǎn)。如果他們的定義方式是正確的，那么先前那些基于類比的構(gòu)建雖然在多數(shù)情況下是對(duì)的，但并非總是成立。

目前，研究團(tuán)隊(duì)正繼續(xù)完善他們的量子貝葉斯法則，并探索其潛在應(yīng)用。除了機(jī)器學(xué)習(xí)之外，這一法則在推斷領(lǐng)域也可能非常強(qiáng)大——不僅能預(yù)測(cè)未來，還能從結(jié)果反推出過去的狀態(tài)。這在量子通信中具有直接應(yīng)用價(jià)值。研究人員表示，他們希望利用這些結(jié)果，開發(fā)出更高效、數(shù)學(xué)上更穩(wěn)健的量子計(jì)算與推理方法。

#參考來源：

https://news.nus.edu.sg/probability-theorem-gets-quantum-makeover/

https://physicsworld.com/a/bayes-rule-goes-quantum/

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/5n4p-bxhm

#圖片來源：

封面圖&首圖：Centre for Quantum Technologies