阿基米德的數(shù)學工作與貢獻

阿基米德(公元前287～前212)是西西里島敘拉古人，當時敘拉古是希臘的一個殖民城市。他青年時代到亞歷山大城求學，后來返回敘拉古從事研究，但始終與亞歷山大學派的學者們保持聯(lián)系。阿基米德興趣廣泛，才智高超，他在數(shù)學、力學和天文學上都有重大貢獻。他還具有非凡的機械技巧，有一些發(fā)明創(chuàng)造。由于他的一系列成就，使得阿基米德在古希臘學術(shù)界十分有名。以至后世流傳了許多關(guān)于他的傳說和故事，而且這些傳說都和他醉心于科學有關(guān)。據(jù)說，阿基米德在臨死關(guān)頭仍不忘他的數(shù)學研究。阿基米德死后，人們在他的墓碑上刻了一個球內(nèi)切于圓柱的圖形，以作紀念。因為阿基米德生前曾證明了球的體積和表面積分別是其外切圓柱體積和表面積的2／3。阿基米德在數(shù)學上的主要工作和貢獻有這么幾個方面：

1.用窮竭法求出面積和體積

這是阿基米德最重要，也是最有特色的工作。他做出了窮竭法最巧妙的應(yīng)用，并且他的方法最接近于現(xiàn)行的積分法。他在《拋物線的求積》一書中，求拋物線弓形的面積就是一個精彩的例證。

阿基米德在他的主要著作《論螺線》中，定義了一種新的曲線。設(shè)有一直線將其一端固定后，在一平面內(nèi)繞定點作勻速運動；同時直線上有一點從定點沿直線作勻速運動，那么這個動點將描出一條螺線。這就是著名的"阿基米德螺線"。這部著作中最深刻的結(jié)果是用類似于積分的方法確定了螺線一圈所圍的面積。這里，同樣用的是窮竭法，但與求拋物線弓形面積時靠增添越來越多的三角形相比，新穎之處是阿基米德選取了越來越小的扇形。這種做法對后人是極有啟發(fā)的，盡管阿基米德的證明中沒有明確的極限步驟，但是他的證明過程中已經(jīng)有了微積分思想的萌芽。

在《論球和圓柱》的著作中，阿基米德利用窮竭法還證明了許多命題，其中有：任一正圓柱(不計上、下底）的表面積等于一圓的面積，該圓半徑是圓柱高與底直徑的比例中項；任一球的面積等于球大圓面積的4倍；以球的大圓為底，以球的直徑為高的圓柱，其體積是球體的3／2，其包括上、下底在內(nèi)的表面積是球面積的3／2。(這就是刻在他墓碑上的那個著名定理）。

2.用近似計算得到π值

在《圓的度量》中，阿基米德證明了3個命題。

第1個命題是圓的面積與直角三角形AOB的面積相等，直角邊AO等于半徑，另一直角邊AB等于圓的周長。

第2個命題是圓的面積與由它們的直徑構(gòu)成的正方形的面積之比大約是11∶14。

第3個命題是圓的周長與其直徑的比小于3又1/7而大于3又10/71，這第三個命題已經(jīng)產(chǎn)生了圓周率π的近似值，它是阿基米德通過計算圓的外切與內(nèi)接正96邊形的周長的近似值得出的。這在科學中，第一次提供了帶有誤差估計的π的數(shù)值結(jié)果，而且整個求值的過程表現(xiàn)了阿基米德近似計算的高超技能。在阿基米德之前，比例是以幾何形式出現(xiàn)的。但是，阿基米德為了得到對實際有用的結(jié)果，把算術(shù)運算運用于確定量的比例，這為數(shù)學實數(shù)理論的發(fā)展打下了基礎(chǔ)。

3.用力學的方法解決數(shù)學問題

阿基米德不僅是一位偉大的數(shù)學家，同時還是一個偉大的力學家。在力學上，他有非常重要的貢獻。他計算出了許多種平面形和立體形物體的重心；總結(jié)出了杠桿的一般原理；關(guān)于浮力的研究，他發(fā)現(xiàn)了比較不規(guī)則物體重量的方法，使后人將浮力定律與他聯(lián)系起來。據(jù)說，他曾豪邁地表示，"給我一個支點，我能掀翻地球。"他的力學成就與他的數(shù)學工作密切相關(guān)，這不僅表現(xiàn)為他的一些力學結(jié)論是以數(shù)學為基礎(chǔ)的，而且還表現(xiàn)為他用力學的思想得出正確的數(shù)學定理，解決了一些數(shù)學問題。

1906年，阿基米德寫的一個短文被后人發(fā)現(xiàn)了。在文中，他提出了一種借助于力學原理研究數(shù)學問題的方法。這種方法的要點是，把所求的面積和體積都看作是有重量的東西，而且體積是由面積構(gòu)成的，面積是由彼此平行的直線構(gòu)成的。這樣，為了求得面積和體積，可以先將相應(yīng)的面積或體積分成很多小長條或小薄片，它們都有重量；然后找出它們的重心和支點，就可以用杠桿平衡定律算出它的面積或體積。阿基米德用這種方法得到拋物線弓形的面積、球和球冠的面積、拋物體旋轉(zhuǎn)截體的體積等成果，他把這種方法看作是發(fā)現(xiàn)數(shù)學真理的主要方法。不過，阿基米德也僅僅把它作為發(fā)現(xiàn)方法，得到結(jié)果后還要進行證明，用的還是雙歸謬法。他的這種發(fā)現(xiàn)方法雖然含有把一個量當作是由許多微小部分組成的思想，但是，由于這種方法中沒有積分求和的計算，因此不能視為積分法。不過，有的數(shù)學史專家則把這看作是通往積分的迂回之路。

阿基米德在數(shù)學領(lǐng)域中作出了重要的貢獻，他既長于嚴格論證，又精于巧妙的計算，尤其是他能夠?qū)⒗碚撆c實際密切結(jié)合，將數(shù)學成功地應(yīng)用到力學方面，在古希臘數(shù)學家中還難以找到第二位。

當然，由于時代的局限，阿基米德的數(shù)學研究中還有一些不完善的地方；他的方法也是幾何式的而不是代數(shù)的；同時也缺乏有力的分析工具，這限制了他的進一步創(chuàng)造。另外，由于沒有方便的代數(shù)符號，使得他的著作讀起來也比較艱澀。但是，這種狀況并未能阻止阿基米德的工作和成就的傳播。13世紀，阿基米德的著作全部被譯成拉丁文，從而成為西歐學者的經(jīng)典著作；17世紀，他的著作被介紹到中國。這使得阿基米德對后人產(chǎn)生了深刻的影響。后人也給予阿基米德以極高的評價，"任何一張開列有史以來三個最偉大的數(shù)學家的名單之中，必定會包括阿基米德，而另外兩位通常是牛頓和高斯。不過以他們的宏偉業(yè)績和所處的時代背景來比較，或拿他們影響當代和后世的深邃久遠來比較，還應(yīng)首推阿基米德。"

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