古希臘的數學成就（下）
4.柏拉圖與歐多克斯的工作

柏拉圖(公元前427～前347)是希臘非常有學問的人，他早年曾想從事政治活動，但是，由于他所信奉的哲學家蘇格拉底被處死刑，使得柏拉圖對政治心灰意冷。他從小受過很好的教育，具有多方面的才能。

公元前387年，他在雅典辦學園開始從事教育。學園對數學，特別是幾何學十分重視。據說，學園門口掛有"非幾何學家不得入內"的牌子，也有說牌子上寫的是"不懂幾何者不得入"?？偠灾?，幾何學是這個學派的主要研究內容。

柏拉圖曾從幾何學的角度，構造了一個宇宙模型。他認為要靠數學來了解自然。盡管他本人不是數學家，但他倡導對立體幾何的研究。特別是，柏拉圖作為第一個把嚴密推理法則加以系統(tǒng)化的人，十分關心數學的嚴謹性，在他的學園教學中堅持準確的定義和演繹的證明。畢達哥拉斯學派對點的定義是：點是有位置的單位，柏拉圖認為畢達哥拉斯學派對點的定義不夠明確，而另立定義：點是直線的開端。

柏拉圖關心推理過程的方法論，有兩類推理方法被認為是他的學派的貢獻。第一類是分析方法，用這種方法時，先假定要證明的結果是對的，然后由此推出一些結論，直至推出已知的真理或與已知真理相矛盾的結論。如果由待證命題推出已知真理，那么只要把推理的步驟倒過來，就可以做出證明；如果由待證命題推出與已知真理相矛盾的結果，就證明待證命題是錯的。第二類是歸謬法，用這種方法時，也是先假定要證明的結果是對的，只不過由此能夠得出與要證明的結果相矛盾的結論，這就證明待證結果是謬誤的。柏拉圖認為數學采用分析推理方法是十分自然的事，他說："研究幾何和算術之類學問的人，首先要在這一學科里認定奇數和偶數、各類圖形、三類角以及諸如此類的東西，把它們當成大家都承認的公設，認為不必再為自己和別人作出什么說明，誰都明白。然后他們由此出發(fā)，通過一系列的邏輯推論，最后達到他們所要證明的結論。"至少可以說，柏拉圖學派使數學，特別是幾何學具有了明確的思維方式。從這個意義上說，柏拉圖學派為古希臘最負盛名的歐幾里德幾何學奠定了基礎。

柏拉圖學派的歐多克斯是成果頗豐的數學家，他的一個重要貢獻是建立一個純粹幾何性的比例理論。歐多克斯引入"量"的概念，用來表示可以連續(xù)變化的線段、角、面積、體積等。量與數是不同的，數是跳躍的，如從1到2到3等等；而量則是連續(xù)變化的，歐多克斯引入的量是不指定數值的。然后，他定義了兩個量的比，相等的比彼此是成比例關系的，這樣，就把可公度比與不可公度比都包括在內了。歐多克斯對線段的長度、角的大小以及其它的量和量之比，都不給出數值，就是為了避免出現無理數(不可公度比）。這對幾何學的發(fā)展起到了積極的推動作用，例如泰勒斯提出的相似三角形的對應邊成比例的命題，就是在歐多克斯的比例理論建立以后才被證明的。但是，歐多克斯的比例理論實際上是硬性將數與幾何分開，雖然是通過建立比例理論使幾何學能夠處理不可公度問題了，卻避開了代數和無理數，從而造成希臘人在運算能力上的不足，與幾何學的高度發(fā)展形成鮮明的對照。

歐多克斯的另一重要貢獻是對窮竭法的發(fā)展。窮竭法通常是以歐多克斯命名的，因為后人認為歐多克斯盡管不是提出窮竭法思想的第一人，但窮竭法確是在他那里得到補充、完善、發(fā)展和推廣的。歐幾里德《幾何原本》第十篇的第一個命題就是作為窮竭法基礎的重要引理，這個引理的意思是：如果從任何量中減去一個不小于它的一半的部分，再從余下的部分中減去不小于這個余量一半的部分，等等，到最后將留下一個小于任何給定的同類量的部分。這個引理被認為是歐多克斯曾經證明而由歐幾里德在《幾何原本》中表述出來的。在此基礎上，歐多克斯用窮竭法證明了兩圓面積之比等于其半徑平方之比，兩球體積之比等于其半徑立方之比，棱錐體積是同底同高棱柱體積的1／3，圓錐體積是同底同高圓柱體積的1／3等。

5.亞歷山大前期的算術和代數

從畢達哥拉斯學派開始，到歐多克斯將數與量加以區(qū)分，古希臘的數學偏重于幾何學，古希臘的幾何學產生了巨人和巨著。與幾何學相比，算術和代數的發(fā)展是相當緩慢的。

記數制在亞歷山大前期有了一些發(fā)展，阿基米德和阿波羅尼烏斯發(fā)明了兩種記大數的方法。阿基米德在《數砂術》中，提出了一種寫大數的方案。他取當時希臘數學里最大的數"萬萬"，即108作為記數的一個新單位，由此出發(fā)又可以往下記出一系列大數，可到1024。這樣不斷增大，可以記下去表示出任意大的數。阿基米德估計宇宙間砂粒數目要小于他能寫的最大數。阿波羅尼烏斯也有類似的方法，只不過他是取104為一個記數單位。但這還沒有能達到10進位的位值制。這一時期，古希臘的天文學家則在分數中分母用60進制。

在亞歷山大前期的數學家之前，古希臘的數學家只把分數當作整數之比，實際的分數只是在商業(yè)上才有意義，那是為了表示錢幣或度量單位的若干部分，這種數學的實際應用被排斥在數學研究的范圍之外。但是，到了亞歷山大前期，情況有了一些變化。一些數學家開始從追求完美而轉向注意實際應用，并使這種轉變體現在數學的研究中。歐幾里得在《幾何原本》中，對分數給出了定義，但沒有給出運算方法。阿基米德在他的《圓的度量》中，對大數和分數進行了運算，他得出3的開方很好的近似值。

古希臘代數著作是純粹用文字形式寫出的，到亞歷山大前期，代數的重大進展是產生了代數符號。歐幾里得在《幾何原本》中曾用字母表示一類數，阿基米德在討論運動時也曾經用字母表示一段時間或一段距離。但是，他們并未認識到字母表示對于代數進一步發(fā)展的重大意義。因此，他們的工作停留在初步和零散的狀況。真正系統(tǒng)地提出代數符號，那已是公元3世紀的事了。

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