阿波羅尼烏斯與《圓錐曲線》

阿波羅尼烏斯(約公元前262～前190)是與歐幾里得、阿基米德齊名的大數(shù)學(xué)家，他們?nèi)吮环Q(chēng)為亞歷山大前期的數(shù)學(xué)三大家。阿波羅尼烏斯在青年時(shí)代曾跟歐幾里得的門(mén)人學(xué)習(xí)過(guò)幾何學(xué)，以后就留在亞歷山大城與當(dāng)?shù)氐臄?shù)學(xué)家們合作研究，使他成名的工作是他關(guān)于圓錐曲線理論方面的建樹(shù)。在阿波羅尼烏斯之前，很早就有人研究圓錐曲線了，歐幾里得和阿基米德也都寫(xiě)過(guò)這方面的書(shū)。但是，阿波羅尼烏斯還是做出了他獨(dú)特的貢獻(xiàn)。由于他曾接受過(guò)歐幾里得幾何學(xué)的訓(xùn)練，因此他按照歐幾里得的方法和精神寫(xiě)出了經(jīng)典之作《圓錐曲線》。在這本書(shū)中，他綜合前人的成就，去粗取精，并加進(jìn)了自己獨(dú)到的創(chuàng)見(jiàn)材料，使圓錐曲線理論系統(tǒng)化。后人對(duì)此給予了高度評(píng)價(jià)，"除了綜合前人的成就之外，還含有非常獨(dú)到的創(chuàng)見(jiàn)材料，而且寫(xiě)得巧妙靈活，組織得很出色。按成就來(lái)說(shuō)，它是這樣一個(gè)巍然屹立的豐碑，以致后代學(xué)者至少?gòu)膸缀紊蠋缀醪荒茉賹?duì)這個(gè)問(wèn)題有新的發(fā)言權(quán)。這確實(shí)可以看成是古典希臘幾何的登峰造極之作。"

《圓錐曲線》一書(shū)的內(nèi)容分為8篇，共計(jì)有487個(gè)命題，可惜的是第8篇已經(jīng)失傳。

第1篇給出了圓錐曲線的定義并討論了它的性質(zhì)。阿波羅尼烏斯推廣了梅奈克莫斯的方法，第一個(gè)依據(jù)同一個(gè)圓錐的不同截面，分別研究了橢圓、拋物線和雙曲線。在他之前，梅奈克莫斯等人是分別以三種不同的圓錐，即銳角圓錐、直角圓錐和鈍角圓錐的同一截面，來(lái)發(fā)現(xiàn)和研究圓錐曲線的。橢圓(原名虧曲線）、拋物線(原名齊曲線）和雙曲線(原名超曲線）的名稱(chēng)就是阿波羅尼烏斯引入的，取代了梅奈克莫斯的銳角圓錐曲線、直圓錐曲線和鈍角圓錐曲線之稱(chēng)，他還是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)雙曲線有兩支的人。在阿波羅尼烏斯研究這些圓錐曲線的性質(zhì)時(shí)，他還引入了共軛直徑的概念?？疾鞕E圓中與FG平行的一組弦，這些弦的中點(diǎn)都在一直線AB上，AB則被稱(chēng)圓錐曲線的直徑。阿波羅尼烏斯證明了若過(guò)AB的中點(diǎn)C作直線DE平行于FG，則DE將平分所有平行于AB的弦，DE就叫做AB的共軛直徑。對(duì)雙曲線，AB的共軛直徑DE被定義為AB與雙曲線的正焦弦的比例中項(xiàng)，它與雙曲線并不相交，如對(duì)拋物線，由于它的任一直徑總是平行于對(duì)稱(chēng)軸，而平行于直徑的每根弦都是無(wú)限長(zhǎng)，因此，拋物線沒(méi)有共軛直徑。阿波羅尼烏斯通過(guò)直徑及共軛直徑來(lái)描述圓錐曲線的一些性質(zhì)，可以認(rèn)為這里已含有坐標(biāo)的思想萌芽。

第2篇首先描述了雙曲線漸近線的性質(zhì)，阿波羅尼烏斯不僅指出雙曲線漸近線的存在，而且還指出在定的長(zhǎng)度。在這一篇，阿波羅尼烏斯還說(shuō)明了如何求圓錐曲線的直徑以及有心圓錐曲線的中心和軸的方法。最后，阿波羅尼烏斯給出了怎樣做滿足給定條件的圓錐曲線的切線。

第3篇首先論述了關(guān)于圓錐曲線的切線與直徑所成圖的面積定理，接著又論述了極點(diǎn)和極線的所謂調(diào)和性質(zhì)。但這一篇沒(méi)有講到拋物線的焦點(diǎn)，也沒(méi)有講到圓錐曲線的焦點(diǎn)一準(zhǔn)線的性質(zhì)。據(jù)說(shuō)，歐幾里得已經(jīng)知道這些知識(shí)。

第4篇講述了極線的其他性質(zhì)，還討論了圓錐曲線相交的問(wèn)題。

第5篇論述了從一特定點(diǎn)到圓錐曲線所能作的最長(zhǎng)線和最短線。阿波羅尼烏斯先以有心圓椎曲線長(zhǎng)軸上或拋物線軸上的特殊點(diǎn)為例，作出這些點(diǎn)到曲線的最大距離與最小距離。然后他又證明了，如果O是圓錐曲線內(nèi)的任一點(diǎn)，OP是由O到圓錐曲線的極大距離或極小距離，則在P處垂直于OP的直線是P點(diǎn)的切線；又如O′是圓錐曲線外OP延長(zhǎng)線上的任一點(diǎn)，則O′P是從O′到圓錐曲線的極小線。這些極小線或極大線就是現(xiàn)今所說(shuō)的法線。在這一篇里，阿波羅尼烏斯還考察了任一圓錐曲線的法線性質(zhì)以及相關(guān)的作圖和計(jì)算。第5篇被看作是阿波羅尼烏斯的刻意之作，是全書(shū)最富獨(dú)創(chuàng)性的部分。

第6篇講述全等圓錐曲線、相似圓錐曲線以及圓錐曲線弓形的問(wèn)題。

第7篇講述有心圓錐曲線兩共軛直徑的性質(zhì)，并將這些性質(zhì)和軸的相應(yīng)性質(zhì)加以比較。

阿波羅尼烏斯對(duì)圓錐曲線的創(chuàng)造性研究及理論的系統(tǒng)化工作是極有價(jià)值的，特別是對(duì)后來(lái)天文學(xué)、力學(xué)的發(fā)展起到了積極的作用。對(duì)此，英國(guó)科學(xué)家貝爾納高度評(píng)價(jià)道："他的工作如此的完備，所以幾乎二千年后，開(kāi)普勒和牛頓可以原封不動(dòng)地搬用，來(lái)推導(dǎo)行星軌道的性質(zhì)。"

阿波羅尼烏斯除了《圓錐曲線》這部巨著之外，還有其它一些數(shù)學(xué)著作。其中二本書(shū)中，各有一個(gè)對(duì)后世有較大影響的問(wèn)題。一個(gè)是在《論切觸》這本書(shū)中，阿波羅尼烏斯討論了作一個(gè)圓與三個(gè)給定圓相切的問(wèn)題，這在當(dāng)時(shí)算是一個(gè)比較難的問(wèn)題，以致成為一道歷史名題，稱(chēng)之為"阿波羅尼烏斯問(wèn)題"。這個(gè)問(wèn)題引起許多數(shù)學(xué)家的注意，像韋達(dá)、歐拉和牛頓這樣著名的數(shù)學(xué)家都給出過(guò)這個(gè)問(wèn)題的解。另一個(gè)是在《平面軌跡》這本書(shū)中，阿波羅尼烏斯給了一個(gè)定理："如果A和B是兩個(gè)固定點(diǎn)，K是一個(gè)給定的常數(shù)，則使AP／BP＝K的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓(如果K≠1)或是一條直線(如果K＝1)。這個(gè)定理中的圓，在有些教科書(shū)中被稱(chēng)為"阿波羅尼烏斯圓"。

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