《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 002

001.初等數(shù)論理論的最基本概念

1、無(wú)中生有0和1

正整數(shù)1、2、3……大家再熟悉不過(guò)了，從懂事起就學(xué)會(huì)了。然而，要真正理解它們并非易事。僅僅像八哥學(xué)舌般停留在表面是不夠的，只有做到真正深刻理解，并在自己的大腦中構(gòu)建起一種數(shù)學(xué)思維方式，才是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

“無(wú)中生有”，若要理解“1”的概念，就必須先理解“0”。那么，“0”究竟是什么呢？

我們不妨先引入一個(gè)方程式：y = 1/x，其中x的定義域?yàn)槌齲 = 0之外的所有實(shí)數(shù)。

x可以朝著兩個(gè)方向變化，即x趨近于無(wú)窮大（x→∞）和x趨近于零（x→0）。當(dāng)x趨近于無(wú)窮大時(shí)，y趨近于0，但永遠(yuǎn)不會(huì)等于0；而當(dāng)x趨近于0時(shí)，y趨近于無(wú)窮大。

“無(wú)”并非絕對(duì)，它隱含于“有”之中。也就是說(shuō)，我們所處的宇宙是有限的，但其外部卻是無(wú)限的；一個(gè)物體能夠被分割完畢，但不會(huì)被“分割至無(wú)”。我們所有的“從無(wú)到有”本質(zhì)上都是由“有”所決定的。就如同我們的電腦程序，未開啟電腦時(shí)它處于“無(wú)”的狀態(tài)，打開電腦后它便呈現(xiàn)為“有”，然而決定這一切的皆是“程序”，按照道家理論，這便是“道”。

道就是一，是“無(wú)中生有”，是從 0 到 1。

什么是1？假設(shè)我們從“空虛”狀態(tài)出發(fā)，要在虛無(wú)之中創(chuàng)造自然數(shù)。首先，我們借助單位長(zhǎng)度 1 開辟出一個(gè)空間，即一條無(wú)限長(zhǎng)的數(shù)軸。在這條數(shù)軸上，每一個(gè) 1 都有其自身的位置，該位置可以用兩個(gè)參數(shù)來(lái)表示。

一個(gè)量是順序，即 0、1、2、3……（為何從 0 開始，我后面會(huì)講），它代表的是順序號(hào)；另一個(gè)量是該位置上包含數(shù)量 1 的多少，即1、2、3…，它代表的是數(shù)量。

我們?cè)诜治鰤毫θ萜鞯匿摪鍙?qiáng)度時(shí)，會(huì)從鋼板中選取“一個(gè)單位體積”，再運(yùn)用微積分展開分析。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，我們同樣會(huì)借助“單位元”或“單位正方形”進(jìn)行分析。而在物理學(xué)中，也是利用“單位”元素，即一個(gè)單位的“量”來(lái)開展分析。

上述例子充分說(shuō)明了“1”的重要性。

在天文學(xué)里，地球到太陽(yáng)的距離被定義為1個(gè)天文單位，光傳播一年的距離則被稱作1光年。

“1”代表著一個(gè)整體，是一個(gè)單位。在數(shù)學(xué)思維中，理解“0”和“1”極為關(guān)鍵，這是我們?cè)诖竽X中構(gòu)建“數(shù)學(xué)思維”的最基礎(chǔ)要素，也是數(shù)學(xué)的根基所在。

2、特殊形式的等差數(shù)列

等差數(shù)列這種形式的WN+A公式也是等差數(shù)列，比如2N+2,3N+2,6N+5等等。

2N+2 N=1，2，3 …… 有數(shù)列 4,6,8……

3N+2 N=1，2，3 …… 有數(shù)列 5,8,11……

6N+5 N=1，2，3 …… 有數(shù)列 11,17,23……

像2N+2 這種出現(xiàn)都是偶數(shù)的數(shù)列，我們叫它為偶數(shù)數(shù)列；

像3N+2 這種出現(xiàn)即有偶數(shù)也有奇數(shù)的數(shù)列，我們叫它為奇偶混合數(shù)列；

像6N+5 這種出現(xiàn)都是奇數(shù)的數(shù)列，我們叫它為奇數(shù)數(shù)列；

我們發(fā)現(xiàn)他們進(jìn)入不同的空間后，等差數(shù)列的形式還可以細(xì)分。

古代一些一流數(shù)學(xué)家早已發(fā)現(xiàn)以下問題：

1. 有些等差數(shù)列能夠表示素?cái)?shù)（“等差數(shù)列含有素?cái)?shù)”這種表述有誤），但不清楚這些素?cái)?shù)的數(shù)量是有限還是無(wú)限，也不明白這些等差數(shù)列中包含素?cái)?shù)有何規(guī)律。

2. 這些等差數(shù)列的形式與代數(shù)式相同，即初等函數(shù)的直線方程。然而，不能直接用其表示“正整數(shù)”，因?yàn)椴煌牡炔顢?shù)列可能表示同一個(gè)正整數(shù)，情況不確定且混亂。

3. 是否存在方法在等差數(shù)列與函數(shù)之間搭建橋梁，直接將等差數(shù)列組轉(zhuǎn)化為函數(shù)方程組？

以上三個(gè)問題的價(jià)值遠(yuǎn)超孿生素?cái)?shù)猜想和哥德巴赫猜想，卻被數(shù)學(xué)家們忽視，他們將重點(diǎn)放在了孿生素?cái)?shù)猜想、哥德巴赫猜想和黎曼猜想上。

3、Ltg-空間理論

由等差數(shù)列組構(gòu)成正整數(shù)的空間結(jié)構(gòu)理論，簡(jiǎn)稱Ltg-空間理論。

Ltg-空間理論的定義：

所有正整數(shù)1,2,3,…均可由一組等差數(shù)列表示，這些等差數(shù)列按序1,2,3,…構(gòu)成無(wú)限空間。選定特定等差數(shù)列空間后，這個(gè)空間與其他空間自動(dòng)屏蔽，其他數(shù)列不再進(jìn)入這個(gè)空間，全部正整數(shù)（包括素?cái)?shù)及合數(shù)）均獲得固定位置，并對(duì)應(yīng)唯一項(xiàng)數(shù)N。因此，素?cái)?shù)及合數(shù)的出現(xiàn)均遵循特定規(guī)律而非隨機(jī)離散發(fā)生。

設(shè)Zk為全體正整數(shù)空間，則有公式：

Zn=wN+A

其中：w表示維度，w=1,2,3…

N為各正整數(shù)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，N=0,1,2,3…

A為特定空間內(nèi)等差數(shù)列的順序號(hào)，A=1,2,3…

用代數(shù)式可以這樣表示：

N+1

2N+1,2N+2

3N+1,3N+2,3N+3

4N+1,4N+2,4N+3,4N+4

5N+1，5N+2,5N+3,5N+4,5N+5

許許多多……

在上述的每一組橫向等差數(shù)列（空間）中，每一個(gè)都可代表所有整數(shù)。一旦選定特定的空間，其他空間內(nèi)的等差數(shù)列將不會(huì)進(jìn)入該空間，從而實(shí)現(xiàn)了空間的隔離。

如下圖表示，

這個(gè)理論把等差數(shù)列與函數(shù)相連接，是等差數(shù)列與函數(shù)之間的一座橋梁。

4、簡(jiǎn)介不同空間的分類和性質(zhì)

1）初始空間

初始空間，L(1)空間，公式：Z(1)=N+1（A=1）

表格如下，

它的坐標(biāo)表示法就是數(shù)軸。

它的意義在于是數(shù)量和順序的最原始概念，是素?cái)?shù)與合數(shù)產(chǎn)生的原因，也就是說(shuō)它就是研究0、1、2、3……的。

這個(gè)空間我們叫它：初始空間。

為何項(xiàng)數(shù)N從0項(xiàng)開始？因?yàn)樽匀粩?shù)的初始結(jié)構(gòu)就是這樣的，我們?nèi)肆o(wú)法改變。這也是我與以往數(shù)學(xué)家們的思維方式的不同之處。

初始空間里的合數(shù)項(xiàng)數(shù)列：

通過(guò)項(xiàng)數(shù)N，我們可以構(gòu)建出一個(gè)按順序排列的、數(shù)量無(wú)限的合數(shù)項(xiàng)數(shù)列，如下所示：

1n+0

2n+1

3n+2

5n+4

7n+6……

Sn+K……

這些合數(shù)項(xiàng)數(shù)列公式可以寫成，N(S) =Sn+K 的形式。

注意：這個(gè)數(shù)列得到的都是合數(shù)項(xiàng)，代入公式Z(1)=N+1 后才會(huì)形成“合數(shù)數(shù)列”。

這種方法是便于理論研究。

合數(shù)項(xiàng)公式， Nh = a(b+1)+b ,

其中 a≥1，b≥1 他們都是項(xiàng)數(shù)。

這是一個(gè)二元一次的曲面方程，他的解是Sn+K的直線族。

素?cái)?shù)項(xiàng)公式， Ns = N-Nh 這是一個(gè)素?cái)?shù)數(shù)量的表達(dá)式。

素?cái)?shù)的生成公式， S =N+1 且 N ∈ P

合數(shù)素?cái)?shù)判定式， C = ( N-b)/(b+1)

其中，C必須是整數(shù)，所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)N就是一個(gè)合數(shù)，否則就是一個(gè)素?cái)?shù)。

素?cái)?shù)在正整數(shù)中的密度，P=Ns/N

注意：其它空間都具備這些性質(zhì)，都有這些公式，僅僅是表達(dá)復(fù)雜了一些。

2） L(O)空間，即偶數(shù)空間，公式 Z(O)=ON+A 。

比如，2N+A(A=1、2)，4N+A( A=1、2、3、4) 等等，就是那些空間維數(shù)k是偶數(shù)的空間。

它的表格表示法，

比如 2N+A (A=1,2)空間，

又比如 4N+A空間，

還有6N+A、8N+A、10N+A空間等等無(wú)窮多的偶數(shù)空間。

在偶數(shù)空間里面有兩類等差數(shù)列，奇數(shù)等差數(shù)列和偶數(shù)等差數(shù)列。

3）素?cái)?shù)空間，公式Z(S)=SN+A，

比如，3N+A(A=1,2,3)空間如下圖，

其它素?cái)?shù)和素?cái)?shù)形成的合數(shù)是，

5k+5=5、10、15、20、25……

7k+7=7、14、21、28……

11k+11=11、22、33、44……

可以總結(jié)為：Sk+S=S(k+1)

其中，S是正整數(shù)中的全部素?cái)?shù)，k+1是全部正整數(shù)1、2、3、4……

我們給它起個(gè)名稱叫：素?cái)?shù)合數(shù)公式，用 R(s)表示，

即 R(s)=S（k+1） （公式 .3.6）

結(jié)論：所有由素?cái)?shù)合數(shù)形成的數(shù)列都是奇偶數(shù)列。

4） L(J)空間，即奇數(shù)空間

像9N+A(A=1,2,3……9)，21N+A(A=1,2,3……21)等等空間。

這類空間包含了合數(shù)空間，去掉合數(shù)空間可以留下全部含素?cái)?shù)數(shù)列。

對(duì)這部《用初等方法研究數(shù)論文選集》的說(shuō)明：

以上內(nèi)容便是運(yùn)用初等方法對(duì)數(shù)論當(dāng)中一些基礎(chǔ)概念所做的簡(jiǎn)單介紹。在后續(xù)的文章里，將會(huì)針對(duì)這些概念進(jìn)行更為詳盡、細(xì)致的分析。不過(guò)需要說(shuō)明的是，我并非數(shù)學(xué)專業(yè)出身，所以無(wú)法以專業(yè)論文那種嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的形式來(lái)表達(dá)相關(guān)內(nèi)容，因此后面所寫的文章都屬于科普性質(zhì)的文章。

這些文章里面既包含了數(shù)論方面的知識(shí)內(nèi)容，也融入了我個(gè)人在接觸和學(xué)習(xí)數(shù)論過(guò)程中的經(jīng)歷。其中可能會(huì)有一些內(nèi)容讓部分讀者感覺不太舒服，如果出現(xiàn)這種情況，還請(qǐng)大家多多包涵。要是您覺得自己不喜歡這類內(nèi)容，那么就可以選擇不去看，也不必發(fā)表什么評(píng)論，直接離開就好。這本《數(shù)論文集選》的目的就在于普及數(shù)論方面的知識(shí)，讓更多的人能夠了解數(shù)論這一數(shù)學(xué)領(lǐng)域的內(nèi)容。

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