Entropic Description of Gravity by Thermodynamics RelativisticFluids and the Information Theory

用熱力學、相對論流體和信息論來解釋引力的熵本質(zhì)

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摘要：

本文旨在提出一種統(tǒng)一廣義相對論與量子物理的新方法。為此，我們借助熱力學、流體力學和信息論。我們將看到，香農(nóng)熵、玻爾茲曼熵和馮·諾依曼熵可能正是引力的來源，而引力則是一種涌現(xiàn)的形式。為此，我們首先探討廣義相對論與量子物理未能統(tǒng)一的原因；其次，通過引入埃里克·韋爾蘭德（Erik Verlinde）的計算，闡述熵引力的概念；接著，解釋玻爾茲曼熵、香農(nóng)熵、馮·諾依曼熵及其相互聯(lián)系；然后，通過將理想流體的能量-動量張量以熵的形式重新表達，對愛因斯坦場方程進行修正；最后，我們將本理論與已開展的、旨在建立引力與量子理論聯(lián)系的實驗進行關(guān)聯(lián)。

關(guān)鍵詞：全息原理、量子引力、廣義相對論

1. 量子引力形式化的困難

   廣義相對論［1, 2］是一種引力理論：愛因斯坦于1907至1915年間提出，指出此前由牛頓方程所描述的引力實際上是能量集中所導致的時空彎曲。該理論可簡化表示為如下方程：

其中，P 為壓強，ρ 為密度，u?u? 為四維矢量，g?? 為度規(guī)張量。最終，G?? 定義了使空間產(chǎn)生特定曲率的愛因斯坦張量（即應(yīng)力-能量張量）。

量子物理 [3] 與經(jīng)典物理和相對論截然不同。事實上，它是概率性的：物理系統(tǒng)的演化由薛定諤方程可計算出的波函數(shù)定義。而量子物理的一個基本原理是：在量子系統(tǒng)未被測量之前，其狀態(tài)是未定義的。薛定諤方程如下所示：

請注意，哈密頓量給出了系統(tǒng)的總能量，其中 ? 是約化普朗克常數(shù)（對應(yīng)動量），??2Δ/(2m) 對應(yīng)動能，V(r?, t) 為系統(tǒng)的勢能。拉普拉斯算子 Δ 是一個拉普拉斯算符。該方程是關(guān)于時間的一階微分方程。因此，若已知系統(tǒng)在初始時刻的狀態(tài)，則可推知系統(tǒng)在任意時刻 t 的狀態(tài)。

最后，量子物理的另一個基本原理是海森堡不確定性原理：

這個方程簡單來說意味著，人們無法同時以無限精確度定義位置和動量。

主要問題在于理解引力的起源。事實上，“無窮大”出現(xiàn)在你試圖將引力用量子方程數(shù)學化的時候。因此，引力的量子理論是不可重整化的。那么，是否存在另一種形式體系，能在量子方程中標準化引力？引力在量子層面真的存在嗎？那么……引力的起源是什么？它是涌現(xiàn)出來的嗎？

這實際上將定義一種力學“尺度”與統(tǒng)計學。事實上，目標是從極小尺度的形式體系（稱為量子層面）過渡到宏觀形式體系（熱力學尺度，包括理想氣體的研究），最終達到大尺度形式體系（相對論尺度）。為此，我們需要信息論和熱力學中的基本公式。

下一部分將探討熱力學與引力之間的關(guān)系。另一種引力的形式體系由此誕生。

2 熱力學與引力：走向一種熵力

埃里克·韋爾蘭德 [4,5] 于2011年4月發(fā)表了一篇29頁的論文，題為《論引力的起源與牛頓定律》。他是第一個提出引力可用熵的方式描述的人。我將以一個被封閉盒子盛裝、置于可移動活塞上的氣體為例，詳細闡述其計算過程，并假設(shè)系統(tǒng)保持溫度 T 不變。由于壓強是作用在表面上的力，且假設(shè)氣體為理想氣體，我們可以寫出：

但引力在哪里呢？事實上，在廣義相對論中，引力本質(zhì)上是一種壓力。它是一個質(zhì)量對某個“表面”——即時空——施加某種“壓力”，從而導致時空彎曲。同時請記住熵的一個基本原理：兩個粒子組成的系統(tǒng)，當粒子彼此越靠近時，其熵越高。這一說法與引力的性質(zhì)相似：兩個物體距離越近，引力就越強。
因此，對于兩個質(zhì)量分別為 m和 M、相距為 R的物體，我們可以推導出以下公式：

韋爾蘭德方程令人驚嘆之處在于，通過賦予引力一個熵的起源，無需對微觀尺度上發(fā)生的事情做任何說明，便能推導出宏觀的引力作用。該論文的發(fā)表在科學界引起了轟動，既有積極的也有負面的批評。

3 熵與信息

但我們還將更進一步。事實上，我們將探討熵的本質(zhì)，并將其納入愛因斯坦方程之中。熵有多種形式的數(shù)學表達，我們現(xiàn)在逐一介紹。第一種是下文所用的玻爾茲曼熵［6］，其表達式為：

該方程定義了一個處于宏觀平衡態(tài)的物理系統(tǒng)的微正則熵，但該系統(tǒng)在微觀尺度上可自由演化于 Ω 個不同的微觀態(tài)之間（Ω 也稱為“位形數(shù)”或“系統(tǒng)構(gòu)型數(shù)”）。其單位為焦耳每開爾文（J/K）。
熵是熱力學第二定律的核心，該定律指出：“任何熱力學系統(tǒng)的轉(zhuǎn)變過程，都會導致系統(tǒng)與其外部環(huán)境的總熵增加，我們稱之為熵的產(chǎn)生?！?br/>“一個孤立系統(tǒng)中的熵只能增加或保持不變?！?/p>

還有香農(nóng)公式［7］。香農(nóng)熵由克勞德·香農(nóng)提出，是一個數(shù)學函數(shù)，用于度量信息源所包含或所產(chǎn)生的信息量。信息源的冗余度越高，其所含的信息就越少。當信息源中各個符號出現(xiàn)的概率相等時，熵達到最大值。香農(nóng)熵可被看作是對一個隨機事件（或更準確地說，其概率分布）不確定性的度量。通常，對數(shù)以2為底（即二進制）。其公式為：

馮·諾依曼熵與香農(nóng)熵形式相同，只是使用了密度矩陣 ρ作為變量。正如塞爾日·拉羅什（Serge Laroche）所述，該公式可用于計算兩個粒子之間的糾纏程度：如果兩個粒子完全糾纏，則熵為零；反之，若兩個粒子之間的糾纏達到最大（且我們無法訪問其子系統(tǒng)），則熵也達到最大值。在經(jīng)典力學中，熵為零意味著事件是確定的（只有一種可能性）；而在量子力學中，這意味著密度矩陣對應(yīng)于一個純態(tài) ψ。然而，在量子物理中，測量結(jié)果通常是不可預測的，因為概率分布依賴于波函數(shù)和所選的可觀測量。

這一點也可由海森堡不確定性原理解釋：例如，如果我們對粒子的動量掌握更多信息（即熵更低），那么對其位置的信息就更少（即熵更高）。這意味著，盡管熵可能很低，量子物理本質(zhì)上仍深陷于熵之中。

現(xiàn)在我們已經(jīng)了解了玻爾茲曼熵和香農(nóng)熵，可以將二者結(jié)合，得到玻爾茲曼–香農(nóng)熵，也稱為統(tǒng)計熵［8］。若考慮一個熱力學系統(tǒng)，它可處于若干微觀態(tài) i，各態(tài)出現(xiàn)的概率為 pi，則其統(tǒng)計熵為：

該函數(shù)至關(guān)重要，將在我們的引力熵理論中被持續(xù)使用。其單位為比特（二進制單位）和焦耳每開爾文（J/K）。

想象［9］兩個相鄰的隔室（或房間，按你喜好稱呼），其中存在粒子。我們將第一個隔室（或房間）稱為 A，另一個稱為 B。

如果所有粒子都在 A 中，或所有粒子都在 B 中，從數(shù)學上看，此時熵最小，信息的不確定性為零。

相反，如果粒子在 A 和 B 中均勻分布（即 A 和 B 中的粒子數(shù)量相等），則熵達到最大值（高度無序），信息的不確定性也達到最大。

最終，香農(nóng)熵與玻爾茲曼熵本質(zhì)上是同一概念。

為了更深入理解將信息與熱力學聯(lián)系起來的必要性，我們必須認識到信息論在物理學中的影響范圍，以及它可能解決的問題。一個強有力的例證就是信息悖論：根據(jù)廣義相對論的觀點，信息可以完全消失在黑洞中，這是一個不可逆過程。然而，在量子物理中，信息必須始終被保存，且過程是可逆的（即先前的狀態(tài)可以被還原）。

1. 修正的愛因斯坦方程：基于熵引力與信息論提出一種熱力學形式

上文我們給出了簡化的愛因斯坦方程。在本節(jié)中，我們將使用理想流體的應(yīng)力-能量張量來計算愛因斯坦方程。為此，我們需要計算兩個量：壓強和體積密度。

壓強可寫為：

我們注意到，這一次愛因斯坦方程直接通過熱力學定律以統(tǒng)計方式被描述。引力由此成為一種從宏觀尺度涌現(xiàn)的力。事實上，若聚焦于 的依賴關(guān)系，我們會發(fā)現(xiàn)：當時空曲率增大時，熵也隨之增大，反之亦然。因此，很可能是熵影響了時空的曲率，而時空曲率反過來也影響熵。我們可以用量子的方式來形式化愛因斯坦方程，只需使用馮·諾依曼熵即可。

所得結(jié)論與之前一致：時空的曲率會影響熵。然而，此處出現(xiàn)的是量子熵。這意味著空間的最小微觀結(jié)構(gòu)（“空間的最小粒子”）會影響時空本身。

為向您說明這一點，我們來展開這個方程?？紤]純物質(zhì)的情形［11］，連續(xù)介質(zhì)的應(yīng)力-能量張量可寫為：

現(xiàn)在假設(shè)溫度和體積均為常數(shù)。如果像之前那樣進行處理，將每一個常數(shù)移除，我們將會得到：

這意味著熵對曲率有直接影響，反之亦然。當然，這個方程是“不準確”的，因為我們已將其盡可能地簡化了。然而，這種簡化對于理解熵在時空中的重要性是必要的。
最后，如果曲率為 1（即平坦空間），且溫度為常數(shù)，我們將會得到：

這個公式簡單地表明，正如我們上面所解釋的，當體積增大或減小時，熵也隨之增大或減小。

可以認為，一個系統(tǒng)的信息是包含或存儲在體積之中——正如我們所指出的那樣，而非如全息理論方程［15］所描述的那樣存儲在表面上！信息存在于時空的一個體積 V之內(nèi)。

1. 通向量子引力之路

愛德華·布魯斯基（Edward Bruschi）及其團隊的一項實驗表明，引力與量子糾纏之間確實存在聯(lián)系［16, 17］。

耶路撒冷量子物理研究所的物理學家大衛(wèi)·愛德華·布魯斯基（David Edward Bruschi）證明了量子糾纏會影響引力場。引力場的擾動與兩個粒子之間糾纏強度成正比。根據(jù)兩粒子之間的距離、能量、相干態(tài)以及量子關(guān)聯(lián)的強度，時空度規(guī)會出現(xiàn)微擾效應(yīng)，從而以微弱的方式改變引力場。

該實驗使用了一個玻色-愛因斯坦凝聚體，其中兩個粒子處于糾纏態(tài)，但運行在不同軌道上且具有不同速度。研究者試圖探究糾纏強度是否會因引力場強度的變化而發(fā)生改變。為此，首先需將兩顆微衛(wèi)星置于同一軌道上，隨后對其中一顆施加一次突然的推力，使其進入第二條軌道，經(jīng)歷速度和引力的驟變。根據(jù)理論計算和數(shù)值模擬，物理學家預計該凝聚體之間的糾纏將損失約 20% 的有效性。

“糾纏強度”究竟指什么？實際上，它指的是兩個粒子之間的關(guān)聯(lián)程度。而這種關(guān)聯(lián)程度可以通過馮·諾依曼熵來計算。正如哈羅什（Haroche）［17］所著述的那樣，我引用如下：“一個關(guān)聯(lián)粒子對所包含的信息（即無知程度更低）多于其各部分信息之和（當A和B不關(guān)聯(lián)時，兩者相等）”；以及“AB系統(tǒng)的糾纏程度，體現(xiàn)為我們失去對整個系統(tǒng)進行測量的能力、只能局部訪問其中一個子系統(tǒng)時，我們無知程度的增加量。”

事實證明，韋爾蘭德的方程表明：熵（即信息的不確定性）與牛頓引力成正比！此外，在對熵進行積分之后，我們發(fā)現(xiàn)熵與引力勢能之間存在等價關(guān)系。

由此可得：引力強度的突變會導致熵的增加，這正符合玻爾茲曼熱力學所規(guī)定的規(guī)律。根據(jù)玻爾茲曼–香農(nóng)熵（甚至玻爾茲曼–馮·諾依曼熵）公式，這種熵的增加表現(xiàn)為系統(tǒng)無序度的上升，同時也意味著信息不確定性的增大。

1. 一般性結(jié)論

引力是一種涌現(xiàn)的、具有信息本質(zhì)的熵力。它由玻爾茲曼–香農(nóng)熵定義，并有其量子版本——玻爾茲曼–馮·諾依曼熵。信息系統(tǒng)的不確定性越高，引力就越強。

如果你從愛因斯坦方程出發(fā)，通過求解理想流體的能量-動量張量，并結(jié)合熱力學與信息論，就會發(fā)現(xiàn)熵主要依賴于系統(tǒng)的溫度、時空的曲率以及體積。因此我們推測，信息是記錄在時空的某個體積之內(nèi)的。

全息理論認為，我們可能是某個二維空間（即表面）向三維空間的投影。而依據(jù)我的方程，我想說的是：無論時空本身具有多少維度，我們都可能是該時空向三維空間的投影。這種觀點更簡單，也更具普適性——歸根結(jié)底，我們完全可以是從某個具有2維、3維、4維甚至更高維度的空間向三維空間的投影。

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