Unifying Non-Markovian Characterization with an Efficient and Self-Consistent Framework

統(tǒng)一非馬爾可夫表征的高效自洽框架

https://journals.aps.org/prx/pdf/10.1103/PhysRevX.15.021047

量子設(shè)備上的噪聲遠(yuǎn)比人們通常所認(rèn)為的更為復(fù)雜。與常見(jiàn)的退相干模型相去甚遠(yuǎn)，幾乎所有量子設(shè)備都同時(shí)受到連續(xù)譜環(huán)境和時(shí)間不穩(wěn)定性的影響。這些因素在電路層面上引發(fā)了量子與經(jīng)典的噪聲相關(guān)性。相關(guān)的時(shí)空效應(yīng)本身就已足夠難以理解，更不用說(shuō)加以抑制了。目前，尚缺乏既可擴(kuò)展又完備的方法，用以應(yīng)對(duì)導(dǎo)致量子信息擾亂與丟失的這些現(xiàn)象。

本文在此問(wèn)題上邁出了深入的一步：我們建立了一個(gè)理論框架，可統(tǒng)一地納入并分類(lèi)所有非馬爾可夫現(xiàn)象。該框架具有普適性，不依賴(lài)任何參數(shù)取值，且完全以實(shí)驗(yàn)可觀測(cè)的電路層級(jí)量來(lái)表述。我們進(jìn)一步提出了一種基于張量網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的高效重構(gòu)方法，該方法易于模塊化，并可根據(jù)系統(tǒng)預(yù)期的物理特性進(jìn)行簡(jiǎn)化。隨后，我們通過(guò)大量數(shù)值模擬及在IBM量子設(shè)備上的實(shí)際實(shí)現(xiàn)，驗(yàn)證了該方法，并估算了完整的時(shí)空關(guān)聯(lián)集合。

最后，我們將該框架應(yīng)用于評(píng)估若干控制技術(shù)抑制上述噪聲效應(yīng)的有效性——包括噪聲感知的電路編譯（noise-aware circuit compilation）和優(yōu)化的動(dòng)態(tài)解耦（optimized dynamical decoupling）。結(jié)果表明，在任意SU(4)操作的鉆石范數(shù)（diamond norm）與平均門(mén)保真度（average gate fidelity）方面，以及在動(dòng)態(tài)解耦性能方面，相比現(xiàn)成（off-the-shelf）方案，均可實(shí)現(xiàn)顯著提升。

I. 引言
隨著量子設(shè)備逐步逼近容錯(cuò)閾值 [1–6]，對(duì)誤差校正及量子算法性能影響最為關(guān)鍵的動(dòng)力學(xué)——即關(guān)聯(lián)性與相干性噪聲 [7–11]——的駕馭變得愈發(fā)必要。并非所有錯(cuò)誤都等價(jià)；與其一視同仁，不如明智地采用硬件感知（hardware-aware）的方法以實(shí)現(xiàn)潔凈的量子計(jì)算 [12–16]。其中一項(xiàng)必要環(huán)節(jié)是構(gòu)建一套穩(wěn)健的流程，將來(lái)自含噪量子設(shè)備的病理性動(dòng)力學(xué)映射為可解釋且對(duì)既定目標(biāo)有用的信息。

鑒于高保真量子器件研發(fā)路徑的多樣性，亟需建立不依賴(lài)于硬件具體細(xì)節(jié)的穩(wěn)健性操作表征策略。換言之，一個(gè)操作模型應(yīng)以獨(dú)立于底層物理的方式捕獲核心邏輯信息。此類(lèi)表征技術(shù)將在實(shí)用化量子糾錯(cuò)方案的發(fā)展中發(fā)揮核心作用——而這些方案所面對(duì)的噪聲，其時(shí)間尺度可跨越若干數(shù)量級(jí)。此外，操作性表征還可用于報(bào)告器件品質(zhì) [17]、輔助診斷制造缺陷 [18]、指導(dǎo)最優(yōu)控制技術(shù)設(shè)計(jì) [19–22]，并可前饋用于噪聲感知的量子誤差緩解策略與糾錯(cuò)協(xié)議 [13, 23, 24]。同樣重要的是，這些模型必須具備足夠的表達(dá)能力，即能夠準(zhǔn)確刻畫(huà)真實(shí)量子設(shè)備上觀測(cè)到的實(shí)際動(dòng)力學(xué)。目前，在可被精確建模的行為與實(shí)際設(shè)備中顯現(xiàn)的有害行為之間，仍存在顯著差距。其中尤為復(fù)雜的效應(yīng)，便是具有時(shí)間或時(shí)空關(guān)聯(lián)性的噪聲——即所謂的“非馬爾可夫性”（non-Markovianity）。

例如，超導(dǎo)量子比特憑借微波頻率控制，往往可實(shí)現(xiàn)高保真度門(mén)操作與穩(wěn)定的功率譜。然而，這些量子比特仍會(huì)與多種環(huán)境特征發(fā)生顯著相互作用，包括高能級(jí)、雙能級(jí)系統(tǒng)（TLS）缺陷、ZZ耦合串?dāng)_及電場(chǎng)漲落等 [25–28]。相比之下，離子阱系統(tǒng)幾乎完全與環(huán)境隔離，但其主要噪聲源則來(lái)自于光學(xué)尋址的不穩(wěn)定性所帶來(lái)的控制誤差 [29, 30]。而自旋量子比特則同時(shí)受1/f電荷噪聲及鄰近核自旋可能引起的超精細(xì)耦合影響 [31–33]。類(lèi)似地，冷原子 [34]、玻色子系統(tǒng) [35]，乃至馬約拉納量子比特 [36]，亦均涉及與復(fù)雜環(huán)境的相互作用。

在考慮非常規(guī)誤差通道時(shí)，“非馬爾可夫性”一詞已在量子表征、驗(yàn)證與確認(rèn)（QCVV）文獻(xiàn)中被廣泛（甚或泛濫）使用，泛指一切不符合馬爾可夫模型的行為——包括時(shí)變馬爾可夫過(guò)程——只要其在表征實(shí)踐中無(wú)法被標(biāo)準(zhǔn)馬爾可夫模型擬合。盡管大多數(shù)情況下該用法在語(yǔ)義上是正確的，這種信息的粗粒度歸并卻可能帶來(lái)問(wèn)題：針對(duì)不同物理機(jī)制所開(kāi)發(fā)的工具與形式體系可能被混淆，而術(shù)語(yǔ)的混用則制造了一種錯(cuò)覺(jué)，即各種技術(shù)可隨意組合搭配，而實(shí)際上可能并不適用。當(dāng)從主方程視角探討非馬爾可夫性概念時(shí) [37, 38]，這一問(wèn)題尤為突出。

這引出了一個(gè)根本問(wèn)題：不同類(lèi)型的非馬爾可夫性誤差是否可被分辨、（易于）探測(cè)，并在實(shí)踐中加以控制？其下游影響各不相同。例如，由系統(tǒng)–環(huán)境相互作用引起的記憶效應(yīng)，原則上可通過(guò)精心設(shè)計(jì)的實(shí)時(shí)控制予以消除 [39]、輸入解碼器 [40]，或推動(dòng)圍繞特定硬件定制糾錯(cuò)碼的設(shè)計(jì) [41, 42]。相比之下，長(zhǎng)期器件不穩(wěn)定性對(duì)單次誤差壓制方法的關(guān)聯(lián)性較低，而更多地影響基于長(zhǎng)時(shí)間累積觀測(cè)量數(shù)據(jù)的誤差緩解技術(shù) [43]。當(dāng)然，從器件制造角度出發(fā)，所有這些信息均具有重要價(jià)值。

過(guò)程張量層析（Process Tensor Tomography, PTT）作為一種刻畫(huà)一大類(lèi)非馬爾可夫動(dòng)力學(xué)的方法已然興起，并已被應(yīng)用于多種場(chǎng)景以理解含噪量子器件 [18, 44–50]。過(guò)程張量是對(duì)量子隨機(jī)過(guò)程的操作性描述；其重構(gòu)可提供關(guān)于由不可控動(dòng)力學(xué)引起的多時(shí)關(guān)聯(lián)性的全部相關(guān)信息 [51, 52]。然而，現(xiàn)有形式的PTT假設(shè)門(mén)操作是理想的，僅刻畫(huà)系統(tǒng)與其浴之間的關(guān)聯(lián)性相互作用，而忽略了門(mén)依賴(lài)性噪聲（如相干誤差）的影響。對(duì)此問(wèn)題的一種改進(jìn)方案是將門(mén)操作本身也納入模型與過(guò)程張量聯(lián)合建模 [50]。但更關(guān)鍵的是，該技術(shù)既無(wú)法捕捉控制電子學(xué)內(nèi)部的非馬爾可夫關(guān)聯(lián)，也無(wú)法處理主動(dòng)泄漏（active leakage）效應(yīng)。此外，其實(shí)驗(yàn)開(kāi)銷(xiāo)目前仍過(guò)高，致使診斷結(jié)果難以被可擴(kuò)展地前饋用于噪聲抑制。

本文旨在將上述種種非馬爾可夫性概念整合進(jìn)一個(gè)統(tǒng)一、自洽的理論框架，并提供一種兼具高效性與模塊化的動(dòng)力學(xué)表征方案。本文成果不僅適用于量子噪聲研究，亦可推廣至任意開(kāi)放量子系統(tǒng)。例如，參與非馬爾可夫相互作用的量子傳感器亦可受益于此種學(xué)習(xí)方法。在概念層面，本工作亦拓展了“量子隨機(jī)過(guò)程”的定義，使其可涵蓋在探測(cè)量子動(dòng)力學(xué)過(guò)程中（未知的）隨機(jī)效應(yīng)。此類(lèi)效應(yīng)可包括控制層面上的參數(shù)關(guān)聯(lián)，或過(guò)程–控制相互作用（process–control interplay），即探測(cè)操作本身改變?cè)?dòng)力學(xué)的情形。

因此，我們系統(tǒng)性地拓展了非馬爾可夫量子隨機(jī)過(guò)程的概念，以涵蓋更現(xiàn)實(shí)的場(chǎng)景：實(shí)驗(yàn)者所擁有的儀器集合中，至少部分儀器本身即構(gòu)成一個(gè)未知的環(huán)境。我們的結(jié)果驗(yàn)證了上述主張：我們對(duì)多種模擬的非馬爾可夫噪聲模型實(shí)現(xiàn)了高保真、大規(guī)模的表征；隨后，在IBM量子設(shè)備上，成功繪制出完全由噪聲自身涌現(xiàn)的時(shí)空關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。我們方法的模塊化特性亦得到展示：噪聲模型的不同組分可根據(jù)硬件特異性（如預(yù)期物理機(jī)制或原生門(mén)集合）靈活重組。最后，我們通過(guò)兩比特門(mén)分解與優(yōu)化動(dòng)態(tài)解耦序列，收集了大量證據(jù)，表明此類(lèi)精細(xì)表征能顯著提升對(duì)超導(dǎo)量子器件的控制性能。我們期望，這一詳盡而全面的非馬爾可夫噪聲框架，不僅有助于優(yōu)化各類(lèi)量子計(jì)算平臺(tái)上的誤差抑制策略，亦將為未來(lái)理論與實(shí)驗(yàn)研究提供指引，以深入探索量子系統(tǒng)與其復(fù)雜、關(guān)聯(lián)環(huán)境之間微妙的相互作用。

II. 背景與結(jié)果概要

在本工作中，我們呈現(xiàn)了一系列成果，其意義可惠及量子計(jì)算領(lǐng)域廣泛的從業(yè)者群體。在概念層面，我們提出了一種關(guān)于受控量子系統(tǒng)（如量子計(jì)算機(jī)）中非馬爾可夫過(guò)程的新穎而全面的理論。該理論被稱(chēng)為“自洽的”（self-consistent），因其同時(shí)納入背景噪聲與控制噪聲，并提供可檢驗(yàn)的假設(shè)?；诖丝蚣埽覀兺茖?dǎo)出具體方法，用以確定所有相關(guān)的時(shí)空噪聲效應(yīng)，并可將其分解為具有實(shí)驗(yàn)意義的組分。我們進(jìn)一步借助張量網(wǎng)絡(luò)使該框架具備高效性——這一進(jìn)展不僅推進(jìn)了非馬爾可夫噪聲表征在可擴(kuò)展性方面的前沿，亦惠及所有自洽的馬爾可夫噪聲估計(jì)工作。我們以大量數(shù)值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果佐證上述主張，并展示了如何利用其實(shí)現(xiàn)對(duì)含噪量子器件的顯著增強(qiáng)控制。因此，本工作涵蓋了理論、數(shù)值模擬及實(shí)驗(yàn)相關(guān)情境下開(kāi)放量子系統(tǒng)研究的廣泛成果。

然而，不太可能有哪一位讀者會(huì)期望通篇逐字研讀本文。因此，我們首先撰寫(xiě)本節(jié)，旨在提供對(duì)全文工作的鳥(niǎo)瞰式概覽及其恰當(dāng)?shù)纳舷挛亩ㄎ弧＞唧w而言，我們將：梳理全文結(jié)構(gòu)；介紹過(guò)程張量（process tensor）與多時(shí)過(guò)程（multitime processes）的相關(guān)背景；概述我們?cè)诟拍钆c方法論上的創(chuàng)新；簡(jiǎn)述實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)；最后提供一份閱讀指南，以幫助量子信息領(lǐng)域不同背景的研究者快速定位其最關(guān)心的部分。

本文結(jié)構(gòu)如下，旨在便于不同背景與興趣的讀者按需分段閱讀：
主體部分的第一部分（第III節(jié)）呈現(xiàn)應(yīng)用性成果，以展示本框架的表達(dá)能力與有效性，及其對(duì)硬件要求與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的適應(yīng)性；
第二部分（第IV節(jié)）則闡釋本框架的技術(shù)方法與概念細(xì)節(jié)。

在第III節(jié)中，我們展示了在多種合成與實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景下，對(duì)有害非馬爾可夫噪聲進(jìn)行高精度、高效率表征的可能性——其規(guī)模與非馬爾可夫性的表達(dá)廣度均超越以往工作。
在III A小節(jié)中，我們針對(duì)一系列合成噪聲模型驗(yàn)證了這種自洽表征能力，包括：與核自旋的交換相互作用；相干噪聲與1/f門(mén)噪聲；以及控制操作對(duì)環(huán)境動(dòng)力學(xué)的“泄漏”（spillage）效應(yīng)。這證明了我們能夠刻畫(huà)大量在現(xiàn)有文獻(xiàn)中尚無(wú)對(duì)應(yīng)操作性描述的噪聲模型。事實(shí)上，我們主張這些結(jié)果已近乎完整地描繪了非馬爾可夫噪聲的全貌。
隨后，在III B小節(jié)中，我們?cè)贗BM量子設(shè)備上開(kāi)展了一系列實(shí)驗(yàn)演示，成功捕獲并量化了具有時(shí)空關(guān)聯(lián)的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)。
最后，在III C小節(jié)中，我們將這些工具轉(zhuǎn)用于實(shí)際問(wèn)題：具體而言，我們考慮電路設(shè)計(jì)中的兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題——(i) 從高層幺正操作到原生門(mén)集合的最優(yōu)、噪聲感知分解；(ii) 在未知噪聲存在下優(yōu)化動(dòng)態(tài)解耦序列。我們的目標(biāo)在于證明：非馬爾可夫過(guò)程表征既可輕量高效，又能保持全面性，且不丟失對(duì)器件基準(zhǔn)測(cè)試與最優(yōu)控制至關(guān)重要的關(guān)鍵信息。

上述應(yīng)用成果得益于第IV節(jié)詳述的技術(shù)進(jìn)展，其中我們深入介紹了分析方法與框架設(shè)計(jì)。這些細(xì)節(jié)面向希望理解實(shí)現(xiàn)機(jī)制、復(fù)現(xiàn)或拓展本工作成果的讀者。其中核心概念部分為IV A小節(jié)：一組定義性?xún)?nèi)容，旨在闡明本工作的哲學(xué)基礎(chǔ)，并建立關(guān)聯(lián)動(dòng)力學(xué)的分類(lèi)體系。我們期望此分類(lèi)不僅有助于厘清并細(xì)分“非馬爾可夫性”在實(shí)踐中的具體含義，亦可為后續(xù)估計(jì)技術(shù)提供有益結(jié)構(gòu)（需注意：這并非意圖構(gòu)建某種終極層級(jí)體系，而是一種面向?qū)嵱玫姆诸?lèi)方案）。本分類(lèi)源于直覺(jué)判斷與對(duì)量子噪聲文獻(xiàn)的細(xì)致梳理，其價(jià)值亦由后續(xù)技術(shù)成果所印證。
在IV C與IV D小節(jié)中，我們構(gòu)建了一種高效、模塊化且自洽的表征流程，用于估計(jì)任意關(guān)聯(lián)量子動(dòng)力學(xué)：首先在完全一般性下推導(dǎo)該流程，再借助張量網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行壓縮；在不犧牲上述一般性與可解釋性的前提下，使整體模型規(guī)模變得可接受。

若跳過(guò)背景介紹與第二部分的技術(shù)成就，直接進(jìn)入第一部分，無(wú)疑將造成極大困惑。因此，我們首先以較高層次概述相關(guān)背景：包括用于自洽刻畫(huà)量子噪聲的門(mén)集層析（Gate Set Tomography, GST）框架及用于刻畫(huà)非馬爾可夫量子噪聲的過(guò)程張量層析（Process Tensor Tomography, PTT）框架——分別如圖1(a)與1(b)所示。需注意：GST雖具自洽性，但假設(shè)噪聲為馬爾可夫且時(shí)不變；PTT雖可處理非馬爾可夫噪聲，卻不具備自洽性。本文通過(guò)發(fā)展一種自洽的PTT流程（如圖1(c)所示），填補(bǔ)了這一空白。此外，本節(jié)還概要總結(jié)了支撐自洽非馬爾可夫?qū)游龅靡詫?shí)際實(shí)施的技術(shù)工具與關(guān)鍵進(jìn)展。由此，我們方能深入第一部分，充分展示本工具的高效性能；第二部分則為有興趣的讀者提供對(duì)本工作概念與技術(shù)細(xì)節(jié)的深度解析。

本文整體結(jié)構(gòu)更全面的示意圖見(jiàn)圖2。

A. 多時(shí)過(guò)程背景

本工作的核心貢獻(xiàn)建立在量子隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)形式化之上，該形式化框架基于“過(guò)程張量”（process tensors）[51]，在文獻(xiàn)中有時(shí)也被稱(chēng)為“量子梳”（quantum combs）[53]或“過(guò)程矩陣”（process matrices）[54]等其他名稱(chēng)。首先，我們概述這些對(duì)象及其在PTT框架內(nèi)的估計(jì)方法 [45]。

1. 過(guò)程張量

量子信道描述的是輸入態(tài)與輸出態(tài)之間的雙時(shí)關(guān)聯(lián)。通常情況下，一個(gè)量子實(shí)驗(yàn)可能在時(shí)刻對(duì)系統(tǒng)施加一系列控制操作。此類(lèi)過(guò)程被表示為一個(gè)從系統(tǒng)上的一系列可控操作到最終密度矩陣的多重線性映射。此處，該映射被稱(chēng)為“過(guò)程張量”[51,54]，它代表了過(guò)程中所有不可控的動(dòng)力學(xué)，如圖1(b)和1(c)中的藍(lán)色梳狀結(jié)構(gòu)所示。

過(guò)程張量在形式上將量子信道推廣至多時(shí)過(guò)程。具體而言，我們關(guān)注多時(shí)量子關(guān)聯(lián)，以推廣由量子信道所體現(xiàn)的雙時(shí)關(guān)聯(lián)。更精確地說(shuō)，我們考慮這樣一個(gè)場(chǎng)景：一個(gè)k步過(guò)程由一系列控制操作驅(qū)動(dòng)，每個(gè)操作在數(shù)學(xué)上由完全正定（CP）映射表示：；在此之后，我們得到一個(gè)依賴(lài)于這些干預(yù)選擇的最終態(tài)。這些受控動(dòng)力學(xué)的形式如下：

2. 過(guò)程張量斷層成像（Process tensor tomography）

過(guò)程張量框架的構(gòu)建是為了通過(guò)實(shí)驗(yàn)上可操作量的訪問(wèn)來(lái)獲取多時(shí)間量子關(guān)聯(lián)。最近，我們的部分作者引入了 PTT（過(guò)程張量斷層成像），以便在真實(shí)設(shè)備上對(duì)多時(shí)間關(guān)聯(lián)進(jìn)行估計(jì) [44–46]。本質(zhì)上，一系列控制操作構(gòu)成了作用在多時(shí)間過(guò)程上的線性可觀測(cè)量。因此，一組完備的可觀測(cè)量（quorum of observables）唯一確定了過(guò)程張量。PTT 是一種方法論，它既規(guī)定了所需進(jìn)行的一系列實(shí)驗(yàn)，也規(guī)定了估計(jì)實(shí)驗(yàn)室中觀察到的動(dòng)力學(xué)所對(duì)應(yīng)的過(guò)程張量所需的步驟。

這將經(jīng)典隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合概率分布推廣到了量子情形 [56]。事實(shí)上，從方程 (6) 可以看出，一系列控制操作構(gòu)成了對(duì)多時(shí)間過(guò)程的一種“測(cè)量”。每個(gè)時(shí)間步的操作可以是確定性的——例如幺正操作——也可以是隨機(jī)性的，例如測(cè)量并前饋（measurement and feedforward），或者更一般的量子儀器。需要注意的是，多時(shí)間過(guò)程同樣遭受著與量子態(tài)和多粒子經(jīng)典分布相同的“維度詛咒”，其復(fù)雜程度可能與量子態(tài)一樣高 [57]。在這里，隨著時(shí)間步數(shù)的增加，需要考慮的歷史數(shù)量呈指數(shù)增長(zhǎng)。

或者，如果概率僅對(duì)某些操作子空間（例如，幺正操作張成的向量空間）是已知的，那么過(guò)程張量將在該子空間上被唯一確定。

在現(xiàn)實(shí)中，測(cè)量得到的結(jié)果 是“真實(shí)”概率的有噪聲估計(jì)值，并且通常不存在一個(gè)完全匹配數(shù)據(jù)的物理過(guò)程張量。出于這個(gè)原因——這很常見(jiàn)——我們將過(guò)程的估計(jì)視為一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，即擬合一個(gè)模型以適配數(shù)據(jù)。具體而言，通過(guò)最小化對(duì)數(shù)似然函數(shù)來(lái)找到唯一的 。

1. 自洽層析成像

如上所述并如圖1(b)所示，PTT（過(guò)程層析）屬于自不一致協(xié)議的類(lèi)別。在這種情況下，假設(shè)門(mén)序列和最終測(cè)量都是已知的。它們的完美形式用于探測(cè)系統(tǒng)與其環(huán)境相互作用的時(shí)間信息。此外，假設(shè)“已知”門(mén)沒(méi)有時(shí)間相關(guān)性。下面，我們構(gòu)建一個(gè)自洽PTT，即一個(gè)假設(shè)對(duì)門(mén)序列或測(cè)量沒(méi)有先驗(yàn)知識(shí)的模型。此外，我們開(kāi)放了對(duì)控制序列中可能的時(shí)間相關(guān)性的研究，解決了非馬爾可夫文獻(xiàn)中的一個(gè)重大空白。

B. 概念性貢獻(xiàn)

我們?cè)趫D2中展示了我們工作的核心成果及其各自對(duì)應(yīng)的章節(jié)。特別是，圖2(a)捕捉了本文的主要概念性里程碑，即從概念和表達(dá)兩個(gè)層面剖析量子噪聲的構(gòu)成。在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，噪聲來(lái)源于背景過(guò)程以及控制系統(tǒng)本身的不完美性。圖2(a)在概念上將這兩種貢獻(xiàn)分離開(kāi)來(lái)，詳細(xì)內(nèi)容見(jiàn)第IVA節(jié)。這包括“溢出誤差”（spillage error）的概念，即控制操作影響了背景環(huán)境。因此，溢出誤差同時(shí)屬于這兩類(lèi)。雖然噪聲的概念性分離頗具吸引力，但單從表面看并無(wú)實(shí)用價(jià)值。

為了取得實(shí)際進(jìn)展，我們需要在表達(dá)層面上明確區(qū)分這兩種量子噪聲源，而這絕非易事。為克服這一困難，我們?cè)诘贗VB節(jié)推導(dǎo)出了一套完全自洽的程序，用于表征所有出現(xiàn)的時(shí)空關(guān)聯(lián)：(i) 由不可控的系統(tǒng)-環(huán)境相互作用引起；(ii) 由控制本身內(nèi)部的記憶效應(yīng)引起；以及 (iii) 由控制與環(huán)境之間直接的不良相互作用引起。每個(gè)結(jié)果還包含了這些方面的時(shí)間不穩(wěn)定性。這構(gòu)成了對(duì)非馬爾可夫量子系統(tǒng)表征的一個(gè)概念性進(jìn)步。具體而言，圖2(b)描繪了不同方面的時(shí)相關(guān)聯(lián)噪聲如何由類(lèi)似過(guò)程張量的對(duì)象表示，以及它們?nèi)绾蜗嗷リP(guān)聯(lián)。

這一構(gòu)建的核心是“廣義門(mén)集”的概念，它由一個(gè)固定的、用于表示不變背景動(dòng)力學(xué)的過(guò)程張量和一個(gè)用于表示每個(gè)獨(dú)特門(mén)序列的測(cè)試器（tester）組成。過(guò)程張量捕捉了所有“固定”的記憶，因?yàn)槠浯嬖谟诿恳淮螌?shí)驗(yàn)中。例如，如果一個(gè)量子比特與其環(huán)境中的某個(gè)缺陷發(fā)生耦合，那么這是一種始終存在的相互作用。我們稱(chēng)之為“過(guò)程非馬爾可夫性”。而測(cè)試器——原則上，每個(gè)門(mén)序列對(duì)應(yīng)一個(gè)——?jiǎng)t被證明足以表達(dá)“控制非馬爾可夫性”和“溢出”兩種現(xiàn)象。前者指每個(gè)門(mén)的誤差在時(shí)間上是相關(guān)的。例如，一個(gè)激光驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)時(shí)，若其功率譜存在準(zhǔn)靜態(tài)波動(dòng)，則會(huì)在整個(gè)電路中誘導(dǎo)相同的相干誤差，而該相干誤差是從某個(gè)分布中抽取的。后者指門(mén)的應(yīng)用會(huì)改變始終存在的環(huán)境本身——例如，在上述“過(guò)程非馬爾可夫性”的例子中，若驅(qū)動(dòng)頻率也恰好與缺陷共振。這些對(duì)象在數(shù)學(xué)上足夠豐富，可以表示所有非馬爾可夫噪聲。此外，我們還展示了如何通過(guò)一系列物理實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)它們。

然而，實(shí)現(xiàn)完全通用性的代價(jià)是需要消耗大量資源。我們通過(guò)引入稀疏關(guān)聯(lián)假設(shè)，并將每個(gè)含噪對(duì)象表示為張量網(wǎng)絡(luò)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。因此，在假設(shè)非馬爾可夫記憶不會(huì)隨時(shí)間呈指數(shù)級(jí)復(fù)雜化，或噪聲不會(huì)任意地糾纏空間上分離的量子比特的前提下，該表征方法變得高效。我們?cè)诘贗IIA節(jié)重新審視了這些定性不同的噪聲源的估計(jì)問(wèn)題。

我們的理論涵蓋了以往對(duì)量子噪聲的理解；也就是說(shuō)，在適當(dāng)極限下，它退化為兩種最先進(jìn)的方法。當(dāng)假設(shè)背景噪聲為馬爾可夫噪聲時(shí)，我們恢復(fù)了GST（門(mén)集層析）。當(dāng)放棄自洽性時(shí)，我們重新獲得PTT（過(guò)程張量層析）。我們利用這些特性，在下一節(jié)關(guān)于合成數(shù)據(jù)的內(nèi)容中，將我們的理論與GST和PTT進(jìn)行對(duì)比測(cè)試。為實(shí)現(xiàn)無(wú)縫銜接，我們利用了張量網(wǎng)絡(luò)方法的另一個(gè)優(yōu)勢(shì)，即我們可以根據(jù)需要開(kāi)啟或關(guān)閉模型的各種特性。此外，該表征僅需RB（隨機(jī)基準(zhǔn)）類(lèi)型的實(shí)驗(yàn)，因此實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與當(dāng)前標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室設(shè)置一致，類(lèi)似于文獻(xiàn)［62］。

C. 技術(shù)方法

盡管我們的工作在第IV D節(jié)中包含了一種用于估計(jì)多時(shí)間過(guò)程的完全通用程序，但該程序在實(shí)際操作中成本過(guò)高，因此必須進(jìn)行簡(jiǎn)化。將量子態(tài)壓縮為更高效表示形式的典型方法是采用張量網(wǎng)絡(luò)，如圖2(c)所示。張量網(wǎng)絡(luò)背后的理念是，存在于一系列希爾伯特空間及其對(duì)偶空間張量積上的量子態(tài)，可以通過(guò)眾所周知的分解方法在這些空間上進(jìn)行拆解。然后，如果這些分解包含稀疏特征，就可以將它們置零，從而構(gòu)建出更高效的表示形式。最著名的例子是矩陣乘積態(tài)（MPS），它可以精確表示任何純量子態(tài)［63］。如果該態(tài)在其幾何結(jié)構(gòu)上具有指數(shù)衰減的關(guān)聯(lián)，則MPS僅需多項(xiàng)式數(shù)量的參數(shù)即可表示它［64］。

張量網(wǎng)絡(luò)之所以重要，原因多樣［65］，其根源可追溯至著名的密度矩陣重整化群技術(shù)，該技術(shù)用于定位局域帶隙哈密頓量的基態(tài)［66］。它們突顯了糾纏在純態(tài)量子計(jì)算中的必要作用［63,67,68］。它們還在推動(dòng)經(jīng)典計(jì)算機(jī)對(duì)量子算法的模擬和仿真方面發(fā)揮著關(guān)鍵作用，進(jìn)一步突破了實(shí)現(xiàn)量子優(yōu)越性可能面臨的障礙［9,69,70］。最近，張量網(wǎng)絡(luò)也被實(shí)現(xiàn)為一種有用工具，用于擴(kuò)展經(jīng)典陰影（classical shadows）可操作的系綜范圍［71,72］。在此，我們重點(diǎn)關(guān)注張量網(wǎng)絡(luò)在稀疏表征中的應(yīng)用，這一目標(biāo)最近已在量子過(guò)程層析［73］和哈密頓量學(xué)習(xí)［74］中得以實(shí)現(xiàn)。

我們處理張量網(wǎng)絡(luò)的方法主要基于Torlai等人在文獻(xiàn)［73］中的成果。該文獻(xiàn)中的工作開(kāi)發(fā)了一種高效執(zhí)行量子過(guò)程層析的方法，重構(gòu)出量子信道在其Choi形式下的矩陣乘積算符（MPO）表示。量子信道Λ的Choi矩陣由Λ作用于一個(gè)未歸一化糾纏態(tài)的一半而唯一確定——對(duì)于N個(gè)量子比特，其中，另一半則保持恒等映射I：

此處，求和分別在 D 上進(jìn)行，代表數(shù)據(jù)集，以及 C? 和 Cd 上進(jìn)行，它們是特意選擇的泡利算符集合，用于正則化過(guò)程張量的因果條件和儀器的跡保持性。該方法的詳細(xì)內(nèi)容將在第IV C節(jié)和第IV D節(jié)中重新闡述。

D. 閱讀指南

本節(jié)迄今為止已大量聚焦于我們工作（誠(chéng)然，相當(dāng)冗長(zhǎng)且有時(shí)晦澀難懂）的背景、結(jié)構(gòu)和高層次細(xì)節(jié)。因此，我們?cè)诖颂峁┮环菘焖匍喿x指南，以幫助量子信息領(lǐng)域的不同讀者群體閱讀本文。

(i) 對(duì)于僅對(duì)我們的模型能力感興趣者，請(qǐng)參閱第III A至III C節(jié)。在假設(shè)對(duì)我們的設(shè)定和目標(biāo)有高層次理解的前提下，這些章節(jié)驗(yàn)證了我們的方法在數(shù)值和實(shí)驗(yàn)設(shè)置下的性能與表達(dá)能力，并提供了對(duì)其潛在應(yīng)用的洞察。

(ii) 對(duì)于希望在自己的環(huán)境中實(shí)施我們技術(shù)者，請(qǐng)額外參閱第IV D節(jié)及代碼庫(kù)［75］。

(iii) 對(duì)于希望復(fù)現(xiàn)或基于我們的技術(shù)進(jìn)行構(gòu)建者，請(qǐng)參閱第IV C節(jié)和第IV B節(jié)。關(guān)于性能基準(zhǔn)測(cè)試，請(qǐng)參見(jiàn)附錄B。

(iv) 最后，對(duì)于對(duì)非馬爾可夫性理論中的概念性進(jìn)展以及我們關(guān)于量子隨機(jī)過(guò)程的哲學(xué)思想感興趣者，請(qǐng)參閱第IV A節(jié)和附錄A。

III. 數(shù)值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在本節(jié)中，我們展示了在合成數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)環(huán)境下對(duì)非馬爾可夫動(dòng)力學(xué)進(jìn)行估計(jì)的結(jié)果，并進(jìn)一步探討了這些估計(jì)在控制任務(wù)中的應(yīng)用。我們首先以自洽方式驗(yàn)證了我們的模型對(duì)前述各類(lèi)非馬爾可夫性的處理能力。具體涵蓋以下場(chǎng)景：（1）在具有非馬爾可夫背景過(guò)程的前提下存在門(mén)依賴(lài)的馬爾可夫誤差；（2）在非馬爾可夫背景下的非馬爾可夫控制；以及（3）在非馬爾可夫背景下的非馬爾可夫溢出效應(yīng)（spillage）。

隨后，我們對(duì)IBM Quantum設(shè)備開(kāi)展了多種多時(shí)間點(diǎn)與多量子比特的表征實(shí)驗(yàn)。結(jié)果不僅表明含噪實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以被我們的模型合理解釋?zhuān)€進(jìn)一步量化了其中存在的時(shí)空關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。

最后，我們展示了基于該表征框架所能實(shí)現(xiàn)的控制性能提升：具體而言，我們說(shuō)明了如何利用該框架完成兩項(xiàng)任務(wù)——（a）最優(yōu)實(shí)現(xiàn)任意雙量子比特幺正操作；以及（b）優(yōu)化動(dòng)力學(xué)解耦（dynamical decoupling）脈沖序列。

A. 合成數(shù)據(jù)演示

首先，我們考察若干“奇異”噪聲模型——這些模型要么在現(xiàn)有文獻(xiàn)中尚無(wú)任何技術(shù)可進(jìn)行操作性表征，要么違背了GST與PTT以往所采用的模型假設(shè)。具體而言，這意味著它們包含多種形式的控制噪聲。在每種情形下，我們模擬了一個(gè)雙量子比特、五步長(zhǎng)的過(guò)程：其中每個(gè)量子比特通過(guò)一個(gè)隨機(jī)海森堡型相互作用與一個(gè)共用的環(huán)境缺陷耦合：

其中 J i ? t evolve = O ( 1 )
。海森堡相互作用為非馬爾可夫模型提供了良好的檢驗(yàn)場(chǎng)景，因其能實(shí)現(xiàn)真實(shí)的量子信息交換，從而允許（除其他效應(yīng)外）將時(shí)間上的糾纏分布至多個(gè)時(shí)刻［76］。

我們?cè)跀?shù)值實(shí)驗(yàn)中分兩個(gè)階段進(jìn)行：訓(xùn)練階段與驗(yàn)證階段。每次表征均使用6000個(gè)隨機(jī)Clifford門(mén)構(gòu)成的電路，每條電路后接一個(gè)隨機(jī)泡利基下的投影測(cè)量，且每條電路重復(fù)運(yùn)行1024次采樣（shots）。需注意，此電路數(shù)量多于最低需求，因?yàn)槲覀儍?yōu)先追求精度而非效率；關(guān)于數(shù)據(jù)規(guī)模的基準(zhǔn)測(cè)試，請(qǐng)參見(jiàn)附錄B。

在訓(xùn)練階段，我們通過(guò)隨機(jī)梯度下降優(yōu)化式（10）中的目標(biāo)函數(shù)，將張量網(wǎng)絡(luò)模型擬合至由隨機(jī)Clifford電路獲得的頻率數(shù)據(jù)集上。在每次優(yōu)化器迭代中，6000條電路被隨機(jī)劃分為每組1000條的批次，并通過(guò)自動(dòng)微分（autodifferentiation）計(jì)算梯度。

此外，我們另設(shè)一套包含100條電路的驗(yàn)證集，這些電路使用完全隨機(jī)的幺正門(mén)構(gòu)建。模型并未針對(duì)驗(yàn)證數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，而是直接用于預(yù)測(cè)這些電路的輸出結(jié)果。我們將模型對(duì)驗(yàn)證數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值與觀測(cè)頻率之間的相對(duì)差異（與訓(xùn)練數(shù)據(jù)形成對(duì)比）記錄下來(lái)，作為模型泛化能力的一項(xiàng)度量——換言之，這是一種啟發(fā)式的重構(gòu)保真度判據(jù)，用于衡量過(guò)程張量能否捕獲表征電路之外的動(dòng)力學(xué)行為。

通常而言，由于我們采用的是線性模型，且測(cè)量集合在信息意義上是完備的，我們并未觀察到過(guò)擬合現(xiàn)象；驗(yàn)證集的性能趨勢(shì)與訓(xùn)練集的似然變化高度一致，僅受兩組數(shù)據(jù)中每電路采樣次數(shù)差異的影響。正如我們后續(xù)探討所示，這種泛化能力不僅是模型有效性的驗(yàn)證指標(biāo)，還可進(jìn)一步用于優(yōu)化對(duì)含噪動(dòng)力學(xué)的控制策略。

I. 非馬爾可夫浴中的相干門(mén)誤差

這一數(shù)值設(shè)置是在最簡(jiǎn)單場(chǎng)景下對(duì)自洽非馬爾可夫表征的“第一性原理”演示，該場(chǎng)景中PTT和GST均會(huì)失效。這在所需實(shí)驗(yàn)數(shù)量上實(shí)現(xiàn)了顯著縮減——從張量網(wǎng)絡(luò)模型所需的 個(gè)電路減少到稠密模型所需的 個(gè)電路，二者之間的差距隨時(shí)間步數(shù) k 呈指數(shù)級(jí)擴(kuò)大。在接下來(lái)的內(nèi)容中，我們將展示該模型如何處理更復(fù)雜的噪聲模型、更大的量子比特寄存器以及規(guī)模大得多的多時(shí)間過(guò)程。

1. 控制和過(guò)程的非馬爾可夫性

在不針對(duì)底層物理進(jìn)行任何定制的情況下，我們用一個(gè)通用的過(guò)程張量網(wǎng)絡(luò)表示過(guò)程，用一個(gè)通用的測(cè)試器張量網(wǎng)絡(luò)表示控制，每個(gè)網(wǎng)絡(luò)的鍵維。圖4中展示了這一結(jié)果。圖4(b)和4(c)再次指示了每個(gè)模型擬合的結(jié)果，而圖4(d)和4(e)則展示了在驗(yàn)證數(shù)據(jù)上收斂模型的重建保真度。在這里，特別是我們將完全自洽估計(jì)與之前的結(jié)果進(jìn)行比較：具有控制建模為時(shí)間局部的自洽非馬爾可夫估計(jì)。這是為了消除僅僅通過(guò)考慮一些相干誤差就能復(fù)制改進(jìn)的可能性。在這種情況下，改進(jìn)完全來(lái)自于找到儀器中時(shí)間相關(guān)性的最佳模型估計(jì)，我們看到重建保真度提高了兩個(gè)數(shù)量級(jí)。因此，這證明了估計(jì)壓縮模型的能力，這些模型代表了系統(tǒng)中物理上現(xiàn)實(shí)的量子相關(guān)噪聲以及實(shí)驗(yàn)控制儀器。

1. 溢出效應(yīng)（Spillage）

我們所考察的第三種奇異噪聲模型是溢出效應(yīng)（spillage），即控制操作的作用范圍“泄漏”至環(huán)境系統(tǒng)中。這通常以?xún)煞N方式發(fā)生：其一，控制脈沖的波形在頻域中產(chǎn)生與環(huán)境某些部分意外共振的雜散頻率分量，從而誘發(fā)隨機(jī)躍遷；其二，在光學(xué)尋址系統(tǒng)中，激光束的有限空間范圍可能與其余環(huán)境區(qū)域發(fā)生重疊。無(wú)論哪種情形，其效應(yīng)是相同的：執(zhí)行控制操作這一行為本身會(huì)改變環(huán)境的狀態(tài)。若我們天真地假定控制操作僅作用于系統(tǒng)本身，則可能導(dǎo)致令人費(fèi)解的非線性控制結(jié)果。雖然可通過(guò)將環(huán)境納入擴(kuò)大的系統(tǒng)（即“系統(tǒng)擴(kuò)張”）來(lái)解釋此現(xiàn)象，但這將留下巨大的規(guī)范自由度（gauge freedom），通常難以令人滿(mǎn)意——實(shí)質(zhì)上，這只是通過(guò)擴(kuò)大模型去擬合數(shù)據(jù)，并不能反映真實(shí)物理機(jī)制。

然而，我們此前已借助超過(guò)程（superprocesses）論證：這類(lèi)受驅(qū)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)，完全可在同時(shí)使用過(guò)程張量與測(cè)試器（tester）的框架下被完整刻畫(huà)；剩下的問(wèn)題僅是如何對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。此外，我們已指出：盡管這些超過(guò)程在概念上富有啟發(fā)性，但在實(shí)際估計(jì)中并非嚴(yán)格必需。

為進(jìn)行原理性驗(yàn)證，我們所采用的模型再次設(shè)定為：一個(gè)通過(guò)交換相互作用耦合的非馬爾可夫環(huán)境。在系統(tǒng)每次施加 √X 門(mén)之后，我們額外施加一個(gè)受控-RX門(mén)（controlled-RX gate），作用于系統(tǒng)與環(huán)境之間，其控制旋轉(zhuǎn)角度為 θ = π/16。這種門(mén)依賴(lài)的誤差無(wú)法從各門(mén)操作中分離出來(lái)，因而不能被吸收到過(guò)程張量中——換言之，它與標(biāo)準(zhǔn)PTT模型不相容。我們?cè)趫D5(a)中對(duì)此進(jìn)行了圖示說(shuō)明。該模型相比其他模型物理動(dòng)機(jī)較弱，更多是作為對(duì)所述溢出效應(yīng)的一種壓力測(cè)試；但本質(zhì)上，它旨在模擬控制操作對(duì)持續(xù)存在的環(huán)境產(chǎn)生主動(dòng)泄漏并生成糾纏的情形。

為同時(shí)刻畫(huà)非馬爾可夫關(guān)聯(lián)與超過(guò)程變換，我們需采用鍵維數(shù)（bond dimension）χ = 2 的過(guò)程張量，以及鍵維數(shù) χ = 4 的測(cè)試器：前者用于封裝單量子比特環(huán)境，后者用于封裝雙量子比特門(mén)操作。盡管我們并未預(yù)先指定這些值，而是從馬爾可夫模型出發(fā)逐步擴(kuò)展，直至交叉驗(yàn)證結(jié)果充分吻合且無(wú)過(guò)擬合為止。

圖5展示了標(biāo)準(zhǔn)PTT與自洽PTT的結(jié)果對(duì)比。盡管該噪聲模型頗具病理性（pathological），我們?cè)趯?shí)踐中仍能完全捕捉其效應(yīng)并實(shí)現(xiàn)完全收斂。這彌補(bǔ)了第IV A節(jié)中所討論的各類(lèi)噪聲之間的表征鴻溝。因此，我們認(rèn)為，我們已展示了一種實(shí)質(zhì)上普適的量子層析協(xié)議——它既可應(yīng)用于真實(shí)實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景，也可推廣至多量子比特情形。

這量化了從對(duì)動(dòng)力學(xué)某一時(shí)刻的了解中所能獲得的關(guān)于另一時(shí)刻的信息量；或者，也可以與混淆關(guān)聯(lián)模型和非關(guān)聯(lián)模型的概率相關(guān)聯(lián)［85,86］。該分析的結(jié)果如圖6(e)所示，它清晰地揭示了一個(gè)主要問(wèn)題量子比特（q1）正經(jīng)歷顯著的時(shí)空非局域性誤差。與此同時(shí)，例如量子比特(q2)的動(dòng)力學(xué)則更接近于馬爾可夫模型。

據(jù)我們所知，目前文獻(xiàn)中尚無(wú)其他方法能夠嚴(yán)謹(jǐn)且全面地表征時(shí)空關(guān)聯(lián)。在此，我們展示了一種高效且高度通用的技術(shù)，可用于捕捉所有自然發(fā)生的動(dòng)力學(xué)模型。此外，我們已證明該技術(shù)在IBM量子設(shè)備的實(shí)際測(cè)試平臺(tái)上有效運(yùn)行。所得診斷結(jié)果直接揭示了關(guān)聯(lián)誤差的位置與本質(zhì)，這些信息對(duì)于器件制造和基準(zhǔn)測(cè)試至關(guān)重要，并可被輸入至張量網(wǎng)絡(luò)解碼器，以針對(duì)特定噪聲模型最大化邏輯錯(cuò)誤率［87］。此外，正如我們接下來(lái)將探討的，其表征結(jié)果還可直接用于控制應(yīng)用，以減輕此類(lèi)誤差的影響。

C. 控制應(yīng)用

正如我們?cè)诒碚鲄f(xié)議基礎(chǔ)上進(jìn)一步提升了其效率與魯棒性一樣，我們也可將關(guān)注點(diǎn)轉(zhuǎn)向那些易于集成進(jìn)電路編譯軟件的控制工具。我們首先將張量網(wǎng)絡(luò)表征方法引入該任務(wù)中，從而使方法可推廣至任意時(shí)間步數(shù)，并能兼顧控制硬件中存在的各類(lèi)誤差。為此，我們提出了兩種具體協(xié)議：（1）噪聲感知的雙量子比特幺正操作分解；（2）定制化的動(dòng)力學(xué)解耦（dynamical decoupling）序列設(shè)計(jì)。

通過(guò)對(duì)多種IBM量子設(shè)備開(kāi)展廣泛表征，我們可繪制出在哪些場(chǎng)景下通過(guò)抑制非馬爾可夫噪聲可獲得最大收益。此處的關(guān)鍵在于：我們已構(gòu)建了一個(gè)將控制操作映射至輸出結(jié)果的模型，因而可在經(jīng)典層面分析表征結(jié)果，以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制目標(biāo)。

需指出的是：目前我們尚未將這些方法集成至實(shí)時(shí)前饋（live feedforward）控制協(xié)議中（例如結(jié)合在線學(xué)習(xí)的閉環(huán)控制）。因此，我們的結(jié)果可視為對(duì)“表征與控制深度融合”未來(lái)可行性的前瞻性預(yù)測(cè)。每一次表征均具備經(jīng)驗(yàn)證的高保真預(yù)測(cè)能力（重構(gòu)保真度誤差達(dá)10??量級(jí)），從而為該預(yù)測(cè)提供了可靠依據(jù)。將表征結(jié)果直接用于最優(yōu)控制是當(dāng)前正在進(jìn)行的工作；但我們相信，現(xiàn)有結(jié)果已能可靠預(yù)示優(yōu)化門(mén)的實(shí)際性能——因?yàn)橹貥?gòu)保真度遠(yuǎn)高于原生門(mén)與優(yōu)化門(mén)之間的性能差異。此類(lèi)分析可為量子設(shè)備控制中是否存在結(jié)構(gòu)性改進(jìn)空間提供有依據(jù)的判斷。

1. 邏輯上改進(jìn)任意雙量子比特門(mén)

在探索非馬爾可夫最優(yōu)控制技術(shù)的過(guò)程中，一個(gè)關(guān)鍵要求是泛化能力。我們無(wú)法為每個(gè)量子算法的每一步都進(jìn)行表征以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)運(yùn)行；相反，我們必須聚焦于對(duì)量子電路的基本構(gòu)建模塊進(jìn)行表征，從而將所需的表征量固定下來(lái)。例如，由任意SU(4)門(mén)構(gòu)成的“磚塊式”（brickwork-type）電路，通常會(huì)將每個(gè)SU(4)門(mén)分解為其硬件原生門(mén)——通常是CNOT門(mén)和單量子比特旋轉(zhuǎn)門(mén)。這些分解通?；陂T(mén)的理想?yún)?shù)來(lái)選擇。在此，我們將展示如何借助對(duì)噪聲的部分認(rèn)知，使編譯策略能夠通過(guò)調(diào)整門(mén)參數(shù)來(lái)補(bǔ)償或抵消關(guān)聯(lián)誤差。這些策略?xún)H使用我們迄今所估計(jì)的張量網(wǎng)絡(luò)。

因此，考慮用CNOT門(mén)和局部旋轉(zhuǎn)門(mén)來(lái)構(gòu)造任意雙量子比特門(mén)的問(wèn)題。該門(mén)分解方案如圖7(a)所示。我們可以將此門(mén)分解識(shí)別為一個(gè)三步、雙量子比特的過(guò)程張量。其中，CNOT門(mén)是過(guò)程中的固定部分，而該過(guò)程接受單量子比特門(mén)作為其輸入。到目前為止，我們已看到這完全在我們的表征能力范圍之內(nèi)。令 表示由給定電路所代表的、跨越三步的雙量子比特過(guò)程張量。每個(gè)門(mén)被分解為虛擬Z旋轉(zhuǎn)和 脈沖，并利用其中的張量網(wǎng)絡(luò)方法估算出相應(yīng)的過(guò)程張量。這為我們提供了針對(duì)任意局部幺正操作值的有效含噪雙量子比特門(mén)的估計(jì)：

重要的是，這是對(duì)門(mén)性能的誠(chéng)實(shí)衡量，包括相干誤差，并與量子糾錯(cuò)閾值中執(zhí)行的實(shí)際錯(cuò)誤率相關(guān) [8,89]。一般來(lái)說(shuō)，門(mén)的鉆石誤差可能比其平均門(mén)不保真度大一個(gè)數(shù)量級(jí)。我們計(jì)算了每個(gè)IBM演示中100個(gè)隨機(jī)生成的酉門(mén)在樸素和優(yōu)化參數(shù)選擇下的這一度量。結(jié)果如圖7(c)所示。在兩個(gè)案例中，ibm_hanoi 和 ibmq_jakarta ，誤差減少僅是邊際的，表明這些量子比特對(duì)的噪聲特征主要由隨機(jī)、馬爾可夫效應(yīng)主導(dǎo)。然而，在大多數(shù)情況下，能夠確定性地抑制相關(guān)和相干噪聲，導(dǎo)致門(mén)分布的均值和方差都有顯著改善。這突顯了當(dāng)前量子設(shè)備中噪聲的病理學(xué)：它可以是相關(guān)的、相干的和復(fù)雜的——與錯(cuò)誤校正的典型期望相反。我們的結(jié)果強(qiáng)調(diào)了需要納入專(zhuān)門(mén)的噪聲分析，以便從嘈雜的量子設(shè)備中獲得最佳性能。

由于我們的模型可以計(jì)算門(mén)序列的期望分布，我們還可以通過(guò)對(duì)RB模型的平均門(mén)保真度改進(jìn)進(jìn)行評(píng)估。也就是說(shuō)，我們可以?xún)?yōu)化每個(gè)酉門(mén)并將其組合成序列以模擬RB實(shí)驗(yàn)的效果。一些代表性曲線如圖7(d)-7(f)所示。對(duì)于鉆石誤差中預(yù)期的改進(jìn) r，相應(yīng)的RB保真度改進(jìn)是 。然而，這些平均情況的增益仍然是顯著的，并且可以在這些門(mén)的錯(cuò)誤預(yù)算的幾個(gè)百分點(diǎn)上進(jìn)行改進(jìn)。

1. 優(yōu)化動(dòng)態(tài)解耦序列

我們的另一種直接控制應(yīng)用是在維護(hù)空閑量子比特方面。對(duì)于任何沒(méi)有完全連接性的設(shè)備，執(zhí)行的量子算法總是會(huì)有一些量子比特閑置一段時(shí)間，在此期間它們可能與周?chē)h(huán)境相互作用。解決這個(gè)問(wèn)題的一種眾所周知的方法是應(yīng)用動(dòng)態(tài)解耦（DD）序列 [91]，通過(guò)控制脈沖來(lái)普遍抵消某個(gè)哈密頓量的噪聲到某個(gè)階數(shù)。雖然已經(jīng)很好地表征了最優(yōu)序列在普遍抵消誤差到所需階數(shù)方面的特性 [92,93]，但普遍性的權(quán)衡通常是性能。已經(jīng)證明，優(yōu)化的DD序列可以?xún)?yōu)于現(xiàn)成的序列，考慮到特定的退相干模式和不完美的脈沖 [94,95]。在這里，我們提出了一種方法，通過(guò)該方法可以高效地表征設(shè)備上的噪聲感知DD序列。該方法自然地與硬件無(wú)關(guān)，并允許優(yōu)化過(guò)程完全離線進(jìn)行，而不是通過(guò)實(shí)時(shí)反饋進(jìn)行。此外，由于表征是自洽的，它不僅考慮了任何系統(tǒng)-浴耦合，還考慮了控制序列中的任何不完美或動(dòng)態(tài)校正門(mén)的引入 [96]。

當(dāng)我們?cè)谀M的多軸噪聲上測(cè)試這一點(diǎn)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)我們的方法幾乎可以完美地抵消復(fù)雜哈密頓量的影響，并顯著優(yōu)于著名的XY8序列 [97]。我們還對(duì)8、32、64和128個(gè)門(mén)脈沖序列在一系列IBM量子設(shè)備上進(jìn)行了測(cè)試。盡管我們總是發(fā)現(xiàn)從非馬爾可夫環(huán)境中得到了最佳解耦，但在空閑（不采取任何措施）序列和應(yīng)用XY4重復(fù)之間的改進(jìn)之間幾乎沒(méi)有變化。相對(duì)于不采取任何措施的改進(jìn)表明可能抵消了非馬爾可夫相關(guān)性。相對(duì)于XY4的改進(jìn)表明設(shè)備具有某種程度的復(fù)雜（多軸）非馬爾可夫噪聲，因?yàn)閄Y4序列完美地抵消了相關(guān)的Z誤差。

看起來(lái)這種方法過(guò)于特定于已經(jīng)表征的空閑窗口。通常，量子比特在電路中經(jīng)歷的空閑時(shí)間是高度可變的。但是，如果在較早的時(shí)間實(shí)施測(cè)量（例如，以圖8(a)中的形式進(jìn)行數(shù)據(jù)收集），那么最終狀態(tài)在任何時(shí)間直到包括都是已知的。因此，當(dāng)電路的空閑時(shí)間短于此時(shí)間時(shí)，我們?nèi)匀豢梢詢(xún)?yōu)化相關(guān)窗口并追蹤其余部分，如圖8(b)所示。從這一點(diǎn)出發(fā)，我們有一個(gè)既模塊化又可擴(kuò)展或可重追蹤到任意次數(shù)的協(xié)議。這減少了表征的負(fù)擔(dān)，意味著只需要一輪就可以能夠識(shí)別任何時(shí)間窗口的DD序列。

這些結(jié)果需要進(jìn)一步的結(jié)構(gòu)化調(diào)查，以在不同場(chǎng)景中找到最優(yōu)的DD序列，并與標(biāo)準(zhǔn)協(xié)議進(jìn)行比較，以確定是否需要事先表征?？吹綄?shí)際量子算法或具有不同噪聲特性的硬件平臺(tái)上的性能也很有趣。在模擬實(shí)例中，序列之間的明顯差異表明了為多軸噪聲定制DD序列的潛力。在IBM系統(tǒng)中，這似乎并不總是如此。在某些情況下（如ibm_auckland和ibmq_mumbai），錯(cuò)誤減少了20%到60%。在其他情況下，我們無(wú)法通過(guò)定制的DD序列顯著提高這些實(shí)例的相干性。我們的分析揭示了設(shè)備何時(shí)以及可能從優(yōu)化控制中受益。

然而，我們已經(jīng)建立了一種廉價(jià)且直接的方法，可以將定制的DD序列應(yīng)用于任何給定的嘈雜設(shè)置，因此對(duì)于給定的設(shè)置，脈沖數(shù)量是最優(yōu)的。然而，假設(shè)不同時(shí)間尺度（即短時(shí)間和長(zhǎng)時(shí)間）的相關(guān)性持續(xù)存在。那么MPO估計(jì)可能不足以確定這些記憶結(jié)構(gòu)；結(jié)果最優(yōu)DD序列將抵消短時(shí)間相關(guān)性而不是長(zhǎng)時(shí)間相關(guān)性。有兩種直接的方法可以考慮解決這個(gè)問(wèn)題。首先，可以表征短時(shí)間動(dòng)態(tài)并找到最優(yōu)DD序列。然后，可以在過(guò)程中固定該序列，以便所有快速錯(cuò)誤被抵消。接下來(lái)，表征固定序列周?chē)拈L(zhǎng)時(shí)間過(guò)程張量。在為此DD優(yōu)化后，將找到內(nèi)部和外部DD序列的連接，分別抵消短時(shí)間和長(zhǎng)時(shí)間相互作用?；蛘?，可以使用更復(fù)雜的張量網(wǎng)絡(luò)——如樹(shù)張量網(wǎng)絡(luò)或多尺度糾纏正規(guī)化Ansatz [99]——這些設(shè)計(jì)用于捕獲不同相關(guān)性尺度 [100]，估計(jì)這些，然后優(yōu)化DD序列。

IV. 技術(shù)方法

盡管第II節(jié)已對(duì)本文采用的技術(shù)方法進(jìn)行了高層次概述，本節(jié)將進(jìn)一步詳述我們模型的細(xì)節(jié)與實(shí)現(xiàn)方式。特別是，本節(jié)所討論的結(jié)果對(duì)于構(gòu)建第III節(jié)中各類(lèi)表征演示所用的模型至關(guān)重要。我們首先在第IV A節(jié)闡明所提出的量子噪聲解剖結(jié)構(gòu)；繼而在第IV B節(jié)推導(dǎo)自洽的過(guò)程張量層析（self-consistent PTT），為前述概念奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；最后，在第IV C節(jié)與第IV D節(jié)中，我們構(gòu)建上述模型的張量網(wǎng)絡(luò)表示，并發(fā)展出在該緊湊形式下估計(jì)這些模型所需的必要方法。

A. 關(guān)聯(lián)量子噪聲的分類(lèi)與建模

本工作提出了一種操作性視角（operational viewpoint），其設(shè)計(jì)目標(biāo)在于具備充分的表達(dá)力，以捕捉并控制文獻(xiàn)中尚未處理的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)。此外，我們力求使該方法具備模塊化特性，以便研究者能根據(jù)預(yù)期的物理機(jī)制便捷地進(jìn)行調(diào)整。在切入具體表征方法論之前，本節(jié)首先討論我們對(duì)可合理視為“噪聲”的量子動(dòng)力學(xué)效應(yīng)的劃分方式。當(dāng)然，這種分類(lèi)具有主觀性——我們無(wú)意強(qiáng)加某種規(guī)范；相反，我們的目標(biāo)是根據(jù)實(shí)驗(yàn)者能控制與不能控制之物這一哲學(xué)立場(chǎng)，為各項(xiàng)選擇提供有實(shí)質(zhì)意義的動(dòng)機(jī)。

需強(qiáng)調(diào)的是：若從具有理想化控制的量子隨機(jī)過(guò)程視角出發(fā)，該問(wèn)題并無(wú)歧義——非馬爾可夫性即指其動(dòng)力學(xué)無(wú)法分解為一系列動(dòng)力學(xué)映射的直積。然而，在量子計(jì)算語(yǔ)境下，門(mén)誤差無(wú)法被理想化，過(guò)程甚至可能在其表征過(guò)程中發(fā)生改變。于是，時(shí)間關(guān)聯(lián)性不僅可被控制操作所探知，甚至可能正是由控制操作本身所引發(fā)。因此，一個(gè)自洽的模型必須明確區(qū)分控制誤差與過(guò)程誤差，而這一點(diǎn)在實(shí)踐中往往被忽視。

我們的討論圍繞“過(guò)程”、“控制”以及二者之間“相互作用”的三分法展開(kāi)——所有噪聲均可寬泛地歸入這三類(lèi)之中。相應(yīng)地，我們的框架以過(guò)程張量（process tensors）、超過(guò)程（superprocesses）與測(cè)試器（testers）為語(yǔ)言，對(duì)這三類(lèi)效應(yīng)分別建模，如圖9所示。

1. 過(guò)程與控制的界定

定義量子隨機(jī)過(guò)程歷來(lái)存在一個(gè)根本性難題，其根源在于不同時(shí)刻可觀測(cè)量之間的非對(duì)易性［52］。這一問(wèn)題的解決依賴(lài)于一個(gè)關(guān)鍵洞見(jiàn)：必須將底層動(dòng)力學(xué)過(guò)程與實(shí)驗(yàn)者所施加的控制在形式上明確區(qū)分開(kāi)，以妥善處理不同時(shí)刻可觀測(cè)量的非對(duì)易性。

因此，我們將所有受驅(qū)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分解為兩個(gè)對(duì)象：過(guò)程張量（process tensors）及其對(duì)偶對(duì)象——測(cè)試器（testers），分別對(duì)應(yīng)圖9中的“過(guò)程”與“控制”。測(cè)試器是多時(shí)間儀器（multitime instruments）：它們對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行探測(cè)，并允許在控制操作內(nèi)部攜帶記憶［52］。

有人或許會(huì)主張，過(guò)程張量與測(cè)試器之間僅存在認(rèn)識(shí)論（epistemic）層面的差異，而非本體論（ontological）意義上的區(qū)別。在此語(yǔ)境下，測(cè)試器可被視為實(shí)驗(yàn)者自身所掌控的過(guò)程；這種觀點(diǎn)預(yù)設(shè)了我們對(duì)作為控制操作所實(shí)施過(guò)程具備某種特定程度的認(rèn)知。然而，一旦我們放松這些假設(shè)，二者之間的界限便變得模糊。

直觀而言：過(guò)程指的是在每一次實(shí)驗(yàn)中都會(huì)發(fā)生的那部分動(dòng)力學(xué)；而控制則使得實(shí)驗(yàn)者能夠按其意愿，將一個(gè)實(shí)驗(yàn)與另一個(gè)區(qū)分開(kāi)來(lái)。換言之，某些要素處于實(shí)驗(yàn)者的直接控制之下，某些處于間接控制之下，而另一些則完全不可控。

我們以過(guò)程與控制的這種形式化分離為基石，旨在對(duì)非馬爾可夫開(kāi)放量子系統(tǒng)進(jìn)行完全一般性的分類(lèi)、建模與估計(jì)。本討論以量子比特寄存器為背景展開(kāi)，但同樣適用于任意 d 維系統(tǒng)。

過(guò)程誤差正是我們迄今為止在本文中討論的隨機(jī)噪聲。它是無(wú)論實(shí)驗(yàn)者采取什么行動(dòng)都會(huì)發(fā)生的隨機(jī)噪聲。這些效應(yīng)完全編碼在過(guò)程張量 的理想化模型中。我們接下來(lái)可能擁有的最傳統(tǒng)的量子設(shè)備誤差概念是儀器本身引起的誤差。

定義2（控制誤差）。控制誤差是設(shè)計(jì)用于操控系統(tǒng)的一個(gè)操作或操作序列，其對(duì)系統(tǒng)的操控偏離了預(yù)期效果。動(dòng)態(tài)應(yīng)該是（a）可控的——實(shí)驗(yàn)者應(yīng)該能夠打開(kāi)和關(guān)閉該效應(yīng)——以及（b）不總是開(kāi)啟的——否則，該效應(yīng)不應(yīng)在所有實(shí)驗(yàn)中存在；否則，它是過(guò)程的一部分。后一個(gè)條件可以等效地讀作門(mén)依賴(lài)噪聲。

控制誤差是系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)效應(yīng)，其起源來(lái)自控制設(shè)備。因此，即使控制本身不能完美，這些效應(yīng)也可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)者隨時(shí)開(kāi)啟或關(guān)閉。最后，我們考慮另一個(gè)意外但不同的不完美控制操作的后果。

定義3（超過(guò)程誤差）。超過(guò)程誤差是一個(gè)控制操作（可能由實(shí)驗(yàn)者開(kāi)啟或關(guān)閉），它（a）作用于擴(kuò)展的希爾伯特空間，不僅操控系統(tǒng)，還操控環(huán)境的一部分，以及（b）以一種修改環(huán)境負(fù)責(zé)任何未來(lái)過(guò)程誤差的部分的方式進(jìn)行。

參見(jiàn)圖9，它描繪了一個(gè)超過(guò)程誤差。當(dāng)我們引入溢出誤差時(shí)，這種術(shù)語(yǔ)將變得清晰。超過(guò)程誤差與過(guò)程和控制誤差重疊，因?yàn)槲锢砥鹪词强刂圃O(shè)備，效應(yīng)可能由實(shí)驗(yàn)者開(kāi)啟或關(guān)閉。但由于它們也操控了系統(tǒng)相互作用的更廣泛環(huán)境，這些可以修改 S 和 E 之間的持續(xù)相互作用，從而改變過(guò)程的性質(zhì)。在當(dāng)前的過(guò)程張量框架下，這些無(wú)法描述。

1. 非正式定義

我們現(xiàn)在進(jìn)一步細(xì)分這些類(lèi)別，并為每種情況提供一些物理動(dòng)機(jī)。請(qǐng)注意，這些類(lèi)別具有重疊特征，我們提供的區(qū)分是為了突出我們認(rèn)為特別值得強(qiáng)調(diào)的屬性。我們?cè)诖朔钦降匾脒@些概念，并在附錄A中擴(kuò)展定義以及提供一些具體示例。

完全馬爾可夫——在量子表征社區(qū)中被廣泛接受為完整表征的定義。

主動(dòng)和被動(dòng)交叉——交叉是幾乎所有當(dāng)前硬件平臺(tái)上相關(guān)噪聲的主要來(lái)源。交叉啟動(dòng)了不同量子比特之間或由于控制不同系統(tǒng)而在單獨(dú)量子比特上的不希望的相互作用。在此背景下，單獨(dú)的量子比特必須被視為正在研究的系統(tǒng)的一部分。此定義與參考文獻(xiàn) [103] 中的定義一致，增加了我們區(qū)分主動(dòng)和被動(dòng)交叉的二分法。通過(guò)主動(dòng)，我們指的是由于對(duì)不同量子比特應(yīng)用控制而在一個(gè)量子比特上產(chǎn)生的錯(cuò)誤。這可能是權(quán)重誤差，例如在附近的驅(qū)動(dòng)音調(diào)上進(jìn)行斯塔克偏移 [104]，或更高的權(quán)重誤差，例如在M?lmer-S?rensen門(mén)中重疊。通過(guò)被動(dòng)，我們指的是量子比特之間的未期望相互作用由量子比特之間的非局部項(xiàng)控制的始終開(kāi)啟的哈密頓量控制。

過(guò)程非馬爾可夫性——非馬爾可夫性的定義在量子隨機(jī)文獻(xiàn) [85] 中已確立。由于系統(tǒng)-環(huán)境相互作用的結(jié)果，如果其過(guò)程張量不能分解為動(dòng)態(tài)映射的張量積，則過(guò)程是非馬爾可夫的。這可能源于經(jīng)典場(chǎng)生成的相關(guān)性或與附近相干量子系統(tǒng)的相互作用。我們?cè)诖颂幪砑印斑^(guò)程”描述，以進(jìn)一步表明被動(dòng)性：與實(shí)驗(yàn)者應(yīng)用的門(mén)無(wú)關(guān)的交互發(fā)生?？刂品邱R爾可夫性——上述非馬爾可夫性類(lèi)別不足以捕捉所有時(shí)間相關(guān)的動(dòng)態(tài)。主要問(wèn)題在于，控制操作被假定為完全理解和完全有意。然而，受控的量子比特集合本身可能能夠介導(dǎo)時(shí)間相關(guān)性。我們區(qū)分這一點(diǎn)與過(guò)程非馬爾可夫性，因?yàn)檫@些相關(guān)性可能不會(huì)在每個(gè)單獨(dú)實(shí)驗(yàn)中顯現(xiàn)；它們依賴(lài)于應(yīng)用的門(mén)序列。在這項(xiàng)工作中，我們使用量子測(cè)試器框架（圖9中的黃色組合）來(lái)表征控制非馬爾可夫性。測(cè)試器，即過(guò)程張量，可以是過(guò)程的時(shí)間非局部輸入。因此，如果一系列門(mén)由測(cè)試器描述，其Choi狀態(tài)不表征，則動(dòng)態(tài)中存在控制非馬爾可夫性。

準(zhǔn)靜態(tài)噪聲和漂移之間主要區(qū)別在于，模型可以捕獲準(zhǔn)靜態(tài)噪聲，并將在未來(lái)運(yùn)行中通過(guò)相同電路的多次運(yùn)行進(jìn)行驗(yàn)證，因?yàn)槲磥?lái)運(yùn)行也將邊緣化時(shí)間依賴(lài)性。而如果實(shí)驗(yàn)漂移，則 被邊緣化以產(chǎn)生非馬爾可夫模型，但該模型可能對(duì)任何特定 無(wú)效。如果電路被光柵化 [105,106]（每個(gè)電路在重復(fù)射擊前運(yùn)行一次），那么漂移模型將被轉(zhuǎn)換為準(zhǔn)靜態(tài)模型，PTT將適當(dāng)?shù)乇碚魅魏纹茷榉邱R爾可夫性。然而，在軟件中幾乎無(wú)法抑制其影響。我們?cè)诟戒汚中擴(kuò)展了每個(gè)要點(diǎn)。還值得強(qiáng)調(diào)的是，在時(shí)間相關(guān)效應(yīng)表現(xiàn)為時(shí)間相關(guān)的情況下，結(jié)果記憶將始終看起來(lái)是經(jīng)典的，因?yàn)榍闆r是馬爾可夫過(guò)程的凸組合。也就是說(shuō)，結(jié)果過(guò)程張量將是可分離的。任何對(duì)時(shí)間糾纏的檢測(cè)，因此，排除邊緣化時(shí)間依賴(lài)效應(yīng)。

非線性溢出——我們迄今為止考慮了量子過(guò)程中噪聲的兩種主要機(jī)制：（可能相關(guān)的）背景動(dòng)態(tài)和（可能相關(guān)的）控制操作。我們最后引入第三種可能的機(jī)制，我們正式稱(chēng)之為超過(guò)程誤差，俗稱(chēng)為非線性溢出誤差。我們通常僅將其稱(chēng)為溢出以簡(jiǎn)化。然而，其非線性特性使其與通常的量子噪聲變化不同。這也是其非線性使得溢出非常難以表征和控制。

這種機(jī)制描述了干預(yù)不僅操控系統(tǒng)，還意外地操控與其交互的環(huán)境的情況。例如，實(shí)驗(yàn)者實(shí)施的控制操作驅(qū)動(dòng)了一系列頻率，包括一些與環(huán)境躍遷躍共振的頻率。由于我們無(wú)法可靠地訪問(wèn)環(huán)境，我們不能簡(jiǎn)單地將動(dòng)態(tài)膨脹以包含在模型中。相反，我們繼續(xù)采用我們的開(kāi)放系統(tǒng)哲學(xué)，建模這些效應(yīng)如何修改我們系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)。因?yàn)槲覀冋谝胍粋€(gè)概念上不同的框架來(lái)描述這些類(lèi)型的動(dòng)態(tài)，所以我們?cè)谌蝿?wù)上投入了更多的注意力。具體來(lái)說(shuō)，我們?cè)谟懻撝卸x溢出效應(yīng)如下。

B. 自洽過(guò)程張量層析的推導(dǎo)

現(xiàn)在我們已經(jīng)正式分類(lèi)了各種噪聲過(guò)程，我們希望開(kāi)發(fā)方法來(lái)實(shí)際表征這些噪聲過(guò)程。這提出了將控制噪聲與過(guò)程噪聲和溢出分離的挑戰(zhàn)。為此，我們現(xiàn)在推導(dǎo)出一種方法，將實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和這些一般過(guò)程和控制動(dòng)態(tài)的重建結(jié)合起來(lái)。這旨在遵循GST的精神，并由參考文獻(xiàn) [58] 中的推導(dǎo)數(shù)指導(dǎo)：門(mén)集不是理所當(dāng)然的，而是我們旨在自洽地估計(jì)底層動(dòng)態(tài)。有了這種形式化，我們?cè)俅无D(zhuǎn)向張量網(wǎng)絡(luò)，以幫助我們?cè)趯?shí)驗(yàn)環(huán)境中進(jìn)行實(shí)際壓縮和估計(jì)。

GST的張量與近期量子設(shè)備高度相關(guān)：SPAM誤差顯著，門(mén)不完美。因此，單獨(dú)考慮這些噪聲機(jī)制以描繪設(shè)備性能的完整圖景非常重要。但GST有其缺點(diǎn)。最顯著的是，它采用完全馬爾可夫模型。概率通過(guò)矩陣乘法從模型中獲得，這僅在所有動(dòng)態(tài)（包括過(guò)程和控制）完全時(shí)間局部時(shí)才是準(zhǔn)確的表示。此外，門(mén)本身以及周?chē)倪^(guò)程被組合成一個(gè)對(duì)象，沒(méi)有區(qū)分兩者。我們已經(jīng)看到過(guò)程張量能夠編碼時(shí)間相關(guān)性，并且可以在實(shí)踐中估計(jì) [18,4444-46]。我們現(xiàn)在希望進(jìn)一步發(fā)展我們的形式化方法，結(jié)合GST的理念——假設(shè)模型而不是我們控制操作的參數(shù)——但也表征非馬爾可夫過(guò)程，正如我們迄今為止所做的。結(jié)果是對(duì)過(guò)程張量的穩(wěn)健估計(jì)，以及用于探測(cè)該過(guò)程的可能噪聲干預(yù)。

過(guò)程和儀器都可以使用超過(guò)程轉(zhuǎn)換進(jìn)行轉(zhuǎn)換。這是當(dāng)然的，一個(gè)非常通用的陳述。任何控制儀器動(dòng)態(tài)的變化都會(huì)引入一個(gè)超過(guò)程機(jī)制。

1. 時(shí)間局部基和時(shí)間局部過(guò)程

C. 作為局域純化密度算符的過(guò)程張量

在許多物理上相關(guān)的過(guò)程中，非馬爾可夫記憶——或承載該記憶所需的有效環(huán)境維度——不應(yīng)增長(zhǎng)過(guò)大。事實(shí)上，過(guò)程張量的MPO（矩陣乘積算符）表示的鍵維數(shù)已被證明是非馬爾可夫性的一種度量［51］。然而，目前對(duì)過(guò)程張量MPO的研究大多以數(shù)值實(shí)驗(yàn)形式展開(kāi)。將其推廣至實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景的主要難點(diǎn)在于：如何以魯棒且物理合理的方式實(shí)際估計(jì)該對(duì)象。

本節(jié)聚焦于這一問(wèn)題：給定一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，我們?nèi)绾螌?shí)現(xiàn)稀疏版本的過(guò)程張量層析（PTT），并估計(jì)出該過(guò)程的張量網(wǎng)絡(luò)表示？與那些近似的有限馬爾可夫階模型不同［45,115］，我們觀察到張量網(wǎng)絡(luò)在許多情況下能精確表示一個(gè)過(guò)程——盡管其代價(jià)是更高的經(jīng)典計(jì)算開(kāi)銷(xiāo)，且在估計(jì)中缺乏收斂性保證。盡管如此，我們提出了一種強(qiáng)大的估計(jì)流程，并驗(yàn)證其在刻畫(huà)多量子比特、多時(shí)間非馬爾可夫過(guò)程方面的有效性。

我們的方法具有模塊化特性：

1. 為過(guò)程構(gòu)建一個(gè)張量網(wǎng)絡(luò)Ansatz（試探性結(jié)構(gòu)）；
2. 采用對(duì)數(shù)似然函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)；
3. 利用自動(dòng)微分（autodifferentiation）計(jì)算各張量的梯度；
4. 最后執(zhí)行一種隨機(jī)梯度下降的變體，以找到最大似然模型。

其靈活性在于：過(guò)程的張量網(wǎng)絡(luò)模型完全通用，可由用戶(hù)自定義。

本節(jié)及下一節(jié)將詳細(xì)闡述我們?nèi)绾螌⒍嗔孔颖忍?、多時(shí)間過(guò)程及儀器建模為正定張量網(wǎng)絡(luò)，并進(jìn)而對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。若讀者主要關(guān)注結(jié)果與控制應(yīng)用，可直接跳至第III A節(jié)及之后內(nèi)容。

1. 表示方法

過(guò)程張量天然適合用局域純化密度算符（Locally Purified Density Operators, LPDO）來(lái)表示——這也是文獻(xiàn)［73］所采用的核心對(duì)象。除初始態(tài)（可能為混合態(tài)）及末態(tài)對(duì)環(huán)境自由度的偏跡（partial trace）之外，整個(gè)動(dòng)力學(xué)過(guò)程本身是幺正的。因此，僅過(guò)程的起點(diǎn)與終點(diǎn)需要算符表示。

我們?cè)诖嘶A(chǔ)上拓展文獻(xiàn)［51］中給出的理論構(gòu)造。由于過(guò)程張量的Choi態(tài)本身是一個(gè)密度算符，其具有矩陣乘積算符（MPO）表示，可寫(xiě)作：

撰寫(xiě)這些分解的目的是展示非馬爾可夫環(huán)境是過(guò)程張量的自然局部純化。如果我們將過(guò)程寫(xiě)成鏈路積形式[52]，這種關(guān)系更容易從圖形上看出：

這種相當(dāng)繁瑣的指標(biāo)記號(hào)代表了我們過(guò)程的一個(gè)三維張量網(wǎng)絡(luò)表示，其要點(diǎn)總結(jié)如下列表及圖12所示。

這種 Ansatz 的效率依賴(lài)于過(guò)程遵循面積定律增長(zhǎng)。也就是說(shuō)，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的最大鍵合維度應(yīng)被一個(gè)常數(shù)所限制。順便說(shuō)一句，盡管我們?cè)谶@里有三個(gè)鍵合維度，使其成為一個(gè)幾何上的三維網(wǎng)絡(luò)，但由于過(guò)程張量自然編碼的環(huán)狀結(jié)構(gòu)，這應(yīng)被解釋為分層的二維張量網(wǎng)絡(luò)。然而，我們必須小心。二維張量網(wǎng)絡(luò)可能有效地編碼一個(gè)狀態(tài)——因此需要更少的量子資源，但它們不能被有效地收縮[64]——因此網(wǎng)絡(luò)區(qū)域的經(jīng)典計(jì)算呈指數(shù)增長(zhǎng)。出于這個(gè)原因，我們將我們的方法限制在要么只有幾個(gè)時(shí)間步和許多量子比特，要么許多量子比特和幾個(gè)時(shí)間步。為了糾正這一點(diǎn)，可以將上述方法與馬爾可夫階 Ansatz 結(jié)合起來(lái)，使其在 時(shí)空中有效。

1. 自洽性

在第IV B節(jié)中，我們推導(dǎo)出一種形式體系，可同時(shí)刻畫(huà)控制非馬爾可夫性、過(guò)程非馬爾可夫性以及二者之間的相互作用。對(duì)于完全通用的過(guò)程，該問(wèn)題的復(fù)雜度隨時(shí)間步數(shù) k k、量子比特?cái)?shù)目以及門(mén)集中的門(mén)數(shù)量呈指數(shù)增長(zhǎng)。在文獻(xiàn)［45］中，常規(guī)PTT即便在完全通用情形下，也僅能處理單量子比特、三時(shí)間步的情形，便已因?qū)嶋H限制而難以為繼。盡管完整PTT尚具一定可行性，但實(shí)現(xiàn)通用的自洽性（general self-consistency）則完全不現(xiàn)實(shí)。因此，我們認(rèn)為必須采用張量網(wǎng)絡(luò)方法，才能實(shí)際執(zhí)行該表征任務(wù)。

這種方法不僅顯著壓縮了表示規(guī)模，還可根據(jù)系統(tǒng)預(yù)期的物理特性實(shí)現(xiàn)模塊化設(shè)計(jì)。我們?cè)谏弦还?jié)方法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展，構(gòu)建了一種自洽的估計(jì)方法，能夠同時(shí)估計(jì)任意量子隨機(jī)過(guò)程及其用于探測(cè)該過(guò)程的含噪儀器。在第III A節(jié)與第III B節(jié)中，我們通過(guò)多種合成數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該表征方法，展示了其如何準(zhǔn)確捕捉廣泛類(lèi)型的含噪量子動(dòng)力學(xué)。

也就是說(shuō)，它是上述兩種表示的一個(gè) 單一張量網(wǎng)絡(luò)縮并 （single tensor network contraction）。至此，我們已具備估計(jì)這些對(duì)象的條件。

D. 高效且自洽的過(guò)程張量層析的實(shí)現(xiàn)

我們現(xiàn)在介紹一種針對(duì)任意非馬爾可夫量子隨機(jī)過(guò)程的張量網(wǎng)絡(luò)估計(jì)流程。此處我們對(duì)門(mén)操作的形式做了一些特定選擇，但這些選擇并不影響該流程本身的普遍適用性。具體而言，為便于演示與表述簡(jiǎn)潔，除過(guò)程張量與最終測(cè)量操作之外，我們暫僅考慮學(xué)習(xí)幺正操作；然而，若具備相應(yīng)的（可能是時(shí)間非局域的）信息完備（IC）基底，該流程可直接推廣至任意操作。

我們的目標(biāo)函數(shù) f f（用于量化模型擬合優(yōu)度）為對(duì)數(shù)似然函數(shù)：

I. 正則化

我們的張量網(wǎng)絡(luò)Ansatz被定義為正的，但沒(méi)有約束來(lái)確保它是因果的（因此是物理的）。在參考文獻(xiàn)[45]中，我們通過(guò)在每一步將過(guò)程張量投影到因果量子態(tài)的線性空間中，嚴(yán)格地將因果性編碼到我們的過(guò)程張量中。這種投影梯度下降配備了性能保證，即最大似然估計(jì)算法的最終輸出將保證位于由因果條件定義的正半定矩陣錐與線性空間的交點(diǎn)上。隨著我們轉(zhuǎn)向更大的問(wèn)題，由于投影的指數(shù)縮放，這種方法變得不可行。我們將過(guò)程的正性編碼到我們的LPDO參數(shù)化中，但我們提出了一種更啟發(fā)式的方法，通過(guò)在目標(biāo)函數(shù)中對(duì)其進(jìn)行正則化來(lái)保持因果性。

1. 模型擬合

我們現(xiàn)在可以著手構(gòu)建問(wèn)題：將我們的張量網(wǎng)絡(luò)模型擬合至某組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，以表征多時(shí)間、多量子比特的量子隨機(jī)過(guò)程。所選用的目標(biāo)函數(shù)由三部分求和構(gòu)成：（平均）對(duì)數(shù)似然、前述因果性正則項(xiàng)，以及跡保持（TP）正則項(xiàng)：

1. 避免過(guò)早收斂

采用完全正定（completely positive）參數(shù)化來(lái)表示張量網(wǎng)絡(luò)形式的過(guò)程張量，其一個(gè)后果是：目標(biāo)函數(shù)變?yōu)榉蔷€性，從而使得優(yōu)化問(wèn)題不再凸——這是機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域普遍存在的難題，通常通過(guò)隨機(jī)優(yōu)化方法（如隨機(jī)梯度下降或Adam算法）加以應(yīng)對(duì)。將輸入目標(biāo)函數(shù)的數(shù)據(jù)劃分為隨機(jī)批次，也是一種有效擺脫局部極小值影響的強(qiáng)有力策略。此外，一個(gè)常見(jiàn)的輔助技巧是：從多個(gè)隨機(jī)生成的初始參數(shù)（seed）出發(fā)啟動(dòng)優(yōu)化過(guò)程，以避免陷入相同的局部極小，理想情況下可逼近全局最優(yōu)解。

盡管我們采用了上述策略，但在大量試錯(cuò)后仍發(fā)現(xiàn)：張量網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)問(wèn)題的收斂速度可能?chē)?yán)重受限——往往需要極多輪迭代或頻繁的“冷重啟”（cold restarts）才能收斂。這種情況總體上并不理想；尤其當(dāng)表征目標(biāo)是為設(shè)備校準(zhǔn)提供前饋輸入時(shí)，問(wèn)題更為突出。更棘手的是，一般而言我們無(wú)法判斷：收斂失敗究竟源于模型所選鍵維數(shù)（bond dimensions）不足，還是僅僅因?yàn)閲L試的初始種子數(shù)量不夠。

不妨換一種思路：現(xiàn)實(shí)中，待表征過(guò)程往往鄰近某種可預(yù)期的模型。所謂“鄰近”，即指其接近于：

其中，|Φ?? 是通過(guò)在額外軸向上補(bǔ)零而調(diào)整為適當(dāng)張量形狀的貝爾態(tài)（Bell state），而 R? 是一個(gè)具有相同形狀的張量，其元素從復(fù)高斯分布 (0, 0.1) 中隨機(jī)選取。

在所有模擬和真實(shí)演示中，我們發(fā)現(xiàn)這一初始點(diǎn)不僅有用，而且是在合理時(shí)間內(nèi)獲得解的關(guān)鍵所在。此外，我們發(fā)現(xiàn)在所有情況下，從該初始點(diǎn)出發(fā)均能實(shí)現(xiàn)收斂。然而，期望人們總是知道應(yīng)圍繞哪個(gè)過(guò)程進(jìn)行微擾，在現(xiàn)實(shí)中并不完全合理。但我們預(yù)計(jì)，只有當(dāng)實(shí)驗(yàn)者希望調(diào)校設(shè)備以應(yīng)用特定協(xié)議（例如誤差抑制或糾錯(cuò)協(xié)議）時(shí)，后處理時(shí)間才會(huì)成為一個(gè)重要因素——在這種情況下，實(shí)驗(yàn)者總會(huì)明確其目標(biāo)信道（即設(shè)備旨在產(chǎn)生一組純凈、恒等的動(dòng)力學(xué)）。然而，如果表征的目的在于學(xué)習(xí)一個(gè)完全未知的量子隨機(jī)過(guò)程（例如，來(lái)自處于未知環(huán)境中的量子傳感器），那么后處理時(shí)間便不再是一個(gè)關(guān)鍵因素，最終的解可通過(guò)機(jī)器學(xué)習(xí)中的多種方法找到。

另一個(gè)與收斂問(wèn)題相關(guān)的超參數(shù)是每次實(shí)驗(yàn)的采樣次數(shù)（number of shots per experiment）。這同樣需要一些精細(xì)調(diào)節(jié)：若每次實(shí)驗(yàn)采樣過(guò)少，數(shù)據(jù)景觀可能極度嘈雜，導(dǎo)致模型無(wú)法擬合到足夠好的結(jié)果；若采樣過(guò)多，則模型容易相對(duì)于其數(shù)據(jù)發(fā)生過(guò)擬合。此處的調(diào)節(jié)無(wú)需過(guò)于精細(xì)，在實(shí)踐中我們常發(fā)現(xiàn)，較寬范圍的采樣值都能得到優(yōu)秀的模型擬合效果。盡管如此，我們?nèi)詫?duì)不同規(guī)模的問(wèn)題進(jìn)行了啟發(fā)式研究，以期找到一個(gè)良好的實(shí)用指南。附錄B提供了一系列模擬基準(zhǔn)測(cè)試，用于確定在廣泛類(lèi)型的過(guò)程上，估計(jì)所需的時(shí)間與精度。

1. 基準(zhǔn)門(mén)集

一般而言，出于計(jì)算便利性與表述簡(jiǎn)潔性的考慮，我們并不會(huì)同時(shí)啟用模型在此所描述的全部特性。盡管完整考慮所有可能效應(yīng)并非不可行，但我們發(fā)現(xiàn)，圍繞預(yù)期物理機(jī)制設(shè)計(jì)一個(gè)更精簡(jiǎn)的模型更為實(shí)用——這也正是我們方法所具備的模塊化特性極為有用的原因所在。例如，若我們不預(yù)期控制儀器中存在關(guān)聯(lián)性，便只需將鍵維數(shù)設(shè)為 1，此時(shí)多時(shí)間儀器將完全退化為時(shí)間局域形式。

此外，我們還可針對(duì)特定硬件平臺(tái)對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)。例如，在 IBM Quantum 設(shè)備（及眾多其他硬件平臺(tái)）中，單量子比特幺正門(mén)可分解為物理 X 脈沖序列與虛擬 Z 旋轉(zhuǎn)的組合，從而使得任意單量子比特幺正操作可表示為三個(gè)參數(shù)的函數(shù) u ( θ , φ , λ )
：

根據(jù)當(dāng)前技術(shù)的可行性，我們?cè)诖酥饕紤]受限過(guò)程張量（restricted process tensors）的估計(jì)。所謂“受限”，是指我們僅考察由一系列幺正操作后接一個(gè)最終終止性測(cè)量所構(gòu)成的序列。這意味著每個(gè)測(cè)試器 僅為一個(gè)兩結(jié)果探測(cè)器（two-outcome probe）。因此，該流程的設(shè)計(jì)目的并非唯一地學(xué)習(xí)過(guò)程張量的全部?jī)?nèi)在屬性，而是捕捉動(dòng)力學(xué)的外在可觀測(cè)行為。不過(guò)我們強(qiáng)調(diào)，該形式體系完全兼容多時(shí)間統(tǒng)計(jì)量的估計(jì)，具體可依據(jù)文獻(xiàn)［46］中的方法實(shí)現(xiàn)。

V. 討論

本工作中，我們從兩個(gè)層面應(yīng)對(duì)關(guān)聯(lián)噪聲的挑戰(zhàn)：其一，將各類(lèi)非馬爾可夫過(guò)程的概念統(tǒng)一于一個(gè)連貫的理論框架之中；其二，發(fā)展出高效的方法，即使在對(duì)抗性（adversarial）場(chǎng)景下也能表征此類(lèi)噪聲。我們通過(guò)大量數(shù)值模擬及在IBM量子設(shè)備上的真實(shí)噪聲實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的有效性——結(jié)果凸顯了稀疏模型在無(wú)信息損失的前提下，精準(zhǔn)捕捉時(shí)空關(guān)聯(lián)效應(yīng)的能力。

我們的貢獻(xiàn)體現(xiàn)在以下四個(gè)方面：(i) 深化了對(duì)量子噪聲本質(zhì)的概念性理解；(ii) 推進(jìn)了噪聲表征的技術(shù)前沿；(iii) 實(shí)現(xiàn)了對(duì)奇異關(guān)聯(lián)噪聲的實(shí)用化分析；(iv) 提出了面向量子設(shè)備最優(yōu)控制的新方法。

我們的方法使系統(tǒng)性電路編譯成為可能——可根據(jù)設(shè)備特有的“噪聲指紋”（noise fingerprint）量身定制編譯策略。傳統(tǒng)最優(yōu)控制討論通常聚焦于極細(xì)粒度的脈沖整形（pulse shaping）層面［119,120］。然而此路徑存在一個(gè)實(shí)際困難：每當(dāng)信號(hào)發(fā)送至設(shè)備時(shí)，必然存在失真——脈沖采樣并非理想的階躍函數(shù)，且其物理實(shí)現(xiàn)因量子比特而異。因此，盡管理論方案可依據(jù)硬件物理特性定制控制，數(shù)據(jù)采集與前饋調(diào)節(jié)終究不可或缺。

此外，專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)的脈沖整形通常僅能抵消作用迅速的關(guān)聯(lián)誤差，卻無(wú)法處理例如門(mén)序列中的上下文依賴(lài)性（context dependence）等問(wèn)題［121,122］。相較之下，我們的方法直接接受原始脈沖，并在其既有形式下盡可能深入地學(xué)習(xí)其行為特性。所得結(jié)果與現(xiàn)有控制系統(tǒng)軟件高度兼容，并專(zhuān)為在算法執(zhí)行中阻斷誤差傳播而設(shè)計(jì)。此類(lèi)穩(wěn)健的表征還能幫助用戶(hù)判斷：在何種環(huán)節(jié)仍存在通過(guò)主動(dòng)控制進(jìn)一步提升性能的空間。若在所關(guān)注的時(shí)間尺度上存在非馬爾可夫性，則總可通過(guò)審慎選擇幺正操作，持續(xù)拓展處理器的性能邊界。

非馬爾可夫噪聲的普遍存在性已在當(dāng)前量子計(jì)算硬件中清晰顯現(xiàn)［25–27, 29–36, 60, 61, 122］。然而，其更深遠(yuǎn)的影響——尤其是病理性噪聲對(duì)未來(lái)設(shè)備與實(shí)驗(yàn)的潛在威脅——尚未得到充分重視。特別值得警惕的是，關(guān)聯(lián)噪聲所具有的對(duì)抗性（adversarial nature）可能?chē)?yán)重阻礙容錯(cuò)量子計(jì)算的發(fā)展進(jìn)程［10,11,24,123］。在硬件既昂貴又稀缺的背景下，能夠精細(xì)控制并補(bǔ)償此類(lèi)動(dòng)力學(xué)的軟件工具，將有助于“以更少資源實(shí)現(xiàn)更多功能”。對(duì)真實(shí)設(shè)備噪聲的深入剖析所帶來(lái)的益處是多方面的：在誤差抑制方面，我們已看到，可通過(guò)確定性控制策略?xún)?yōu)化電路編譯與動(dòng)力學(xué)解耦序列的性能；而在誤差緩解（error mitigation）領(lǐng)域［43,124］，真實(shí)的噪聲模型亦可規(guī)避過(guò)于悲觀的理論分析［125］。此外，此類(lèi)表征還可自然地融入張量網(wǎng)絡(luò)解碼器［40,87］，以提升解碼性能，甚至助力設(shè)計(jì)面向特定硬件的糾錯(cuò)碼［15,16,41,42］。無(wú)論在概念層面還是實(shí)踐層面，我們的方法均推動(dòng)了這一重要問(wèn)題的前沿進(jìn)展，我們預(yù)期其將在廣泛的量子計(jì)算軟件生態(tài)中獲得廣泛應(yīng)用。

本文所呈現(xiàn)的結(jié)果實(shí)現(xiàn)了表征方法的準(zhǔn)可擴(kuò)展性（pseudoscalability）：將采樣開(kāi)銷(xiāo)降至多項(xiàng)式復(fù)雜度，并支持任意時(shí)間步長(zhǎng)。然而，若要真正實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)十乃至數(shù)千量子比特的大規(guī)?；鶞?zhǔn)測(cè)試，仍需進(jìn)一步突破——此處所用的二維張量網(wǎng)絡(luò)將變得難以處理，必須引入時(shí)空馬爾可夫階（spacetime Markov order）概念，以在因果上解耦不同區(qū)域［45,115］。亦可探索其他幾何構(gòu)型：對(duì)于具有多項(xiàng)式衰減關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)，樹(shù)狀結(jié)構(gòu)或許能更高效地捕獲核心物理［100］。這建立起細(xì)粒度與粗粒度過(guò)程記憶、以及量子糾錯(cuò)協(xié)議之間的聯(lián)系——其中，噪聲尺度可在脈沖級(jí)、門(mén)級(jí)與邏輯級(jí)上各不相同。在理論上構(gòu)建關(guān)聯(lián)噪聲的層級(jí)化概念，將有助于深入理解其對(duì)量子處理器的實(shí)際影響。

本論文延續(xù)了“以操作性方式理解非馬爾可夫量子噪聲”這一研究綱領(lǐng)。該綱領(lǐng)的核心目標(biāo)是構(gòu)建用以表征與控制復(fù)雜噪聲的實(shí)用工具。本文為此提供了一項(xiàng)有力的新工具，可供量子工程師納入其技術(shù)工具箱：它融合了GST（目前廣泛使用的量子基準(zhǔn)測(cè)試工具）的理想特性，并彌補(bǔ)了現(xiàn)有基準(zhǔn)測(cè)試工具在處理非馬爾可夫噪聲方面的空白。尤為重要的是，我們所開(kāi)發(fā)的工具天然適配各類(lèi)近似方法以實(shí)現(xiàn)可擴(kuò)展性——例如量子馬爾可夫階方法［45,115］、標(biāo)準(zhǔn)張量網(wǎng)絡(luò)壓縮技術(shù)，或Pauli-twirled Clifford電路［126,127］，從而支持大規(guī)模部署。另一未來(lái)方向是將其與快速貝葉斯層析［105,128］方法結(jié)合，實(shí)現(xiàn)噪聲的自主實(shí)時(shí)表征。對(duì)非馬爾可夫噪聲的緊致描述，將有力促進(jìn)對(duì)復(fù)雜噪聲模型具備魯棒性的量子糾錯(cuò)方案的發(fā)展。

我們展望在本模型內(nèi)開(kāi)展更精細(xì)的參數(shù)估計(jì)研究，其靈感來(lái)自GST［61］。我們已指出：當(dāng)鍵維數(shù) χ?=?1 時(shí)對(duì)應(yīng)馬爾可夫模型，可視為GST的一種可擴(kuò)展實(shí)現(xiàn)。在張量網(wǎng)絡(luò)壓縮數(shù)據(jù)方面的相關(guān)進(jìn)展已有報(bào)道，但在系統(tǒng)維度上的顯式拓展尚待完成［129］。對(duì)近期量子設(shè)備實(shí)現(xiàn)穩(wěn)健而全面表征的關(guān)鍵要素包括：用于增強(qiáng)探測(cè)靈敏度的相干參數(shù)放大、不可觀測(cè)量規(guī)范（gauge）的優(yōu)化，以及非馬爾可夫噪聲源的識(shí)別［102］。此外，當(dāng)前的表征模型仍是臨時(shí)構(gòu)建的（ad hoc），依賴(lài)用戶(hù)手動(dòng)選擇（如鍵維數(shù)設(shè)定）。未來(lái)可受益于集成自動(dòng)化模型選擇流程，例如采用遺傳算法［130］。

參數(shù)的精密估計(jì)不僅關(guān)乎量子計(jì)算機(jī)中的噪聲探測(cè)，更可推廣至任意開(kāi)放量子系統(tǒng)。因此我們強(qiáng)調(diào)：本文成果的應(yīng)用遠(yuǎn)不止于噪聲研究本身。這些發(fā)現(xiàn)亦可能引起計(jì)量學(xué)界的關(guān)注，尤其是在非馬爾可夫環(huán)境下的量子傳感領(lǐng)域。過(guò)程張量層析（PTT）本質(zhì)上是一種通過(guò)結(jié)構(gòu)化控制來(lái)探知環(huán)境的學(xué)習(xí)方式——它將最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基于量子梳（quantum combs）的自適應(yīng)計(jì)量學(xué)問(wèn)題，尤其適用于實(shí)際有限采樣場(chǎng)景［131...