撰文：Ananyo Bhattacharya

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來源：返樸

20世紀(jì)物理學(xué)的發(fā)展一度得益于數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用，而數(shù)學(xué)一直在獨自前行。直到20世紀(jì)后半葉，弦論直接推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)與物理學(xué)齊頭并進(jìn)，就像回到了科學(xué)的早期時代。無人否定數(shù)學(xué)能作為物理學(xué)進(jìn)步的基礎(chǔ)，但反過來，為什么物理學(xué)也能創(chuàng)造新數(shù)學(xué)？秘籍可能在現(xiàn)實世界。

圖片來源：圖蟲創(chuàng)意

長期以來，數(shù)學(xué)一直是物理學(xué)進(jìn)步的基礎(chǔ)。1915年，當(dāng)愛因斯坦發(fā)現(xiàn)，半個多世紀(jì)以來的純粹數(shù)學(xué)工作完美地描述了他的引力理論中的時空結(jié)構(gòu)時，他贊許廣義相對論是數(shù)學(xué)的“真正勝利”。他后來驚嘆，在沒有任何應(yīng)用考慮的情況下構(gòu)想出的數(shù)學(xué)，怎么會“如此令人欽佩地適合現(xiàn)實對象”[1]呢？

現(xiàn)今，將數(shù)學(xué)服務(wù)于物理學(xué)通常被認(rèn)為是理所當(dāng)然的，這根植于它的起源。畢竟，數(shù)學(xué)是為了測量、量化和理解物理世界而發(fā)明的。在美索不達(dá)米亞，蘇美爾人發(fā)展了一種計數(shù)系統(tǒng)，留下了刻有乘法表的泥板。他們的目的是什么？用于清點貨品和財產(chǎn)。在隨后的幾千年里，最初作為潤滑政府和商業(yè)運轉(zhuǎn)的工具，最終有了自己的生命。盡管數(shù)學(xué)擴(kuò)展到了如此晦澀的抽象領(lǐng)域，以至于只有經(jīng)過多年的訓(xùn)練才能掌握，但數(shù)學(xué)仍繼續(xù)構(gòu)成物理學(xué)的偉大突破的基礎(chǔ)。

不過，最近形勢發(fā)生了轉(zhuǎn)變。現(xiàn)在，來自物理學(xué)的洞見和直覺出人意料地引領(lǐng)了數(shù)學(xué)的突破。在20世紀(jì)的大部分時間里，數(shù)學(xué)家們都在走自己的路，現(xiàn)在他們越來越多地從自然界的規(guī)律和模式中尋求靈感。停滯了幾十年的領(lǐng)域正待后生。甚至哲學(xué)家們也開始深入研究，正如一位哲學(xué)家大膽指明的那樣，為什么物理學(xué)在數(shù)學(xué)中被證明是“沒來由的奏效”。這個問題的關(guān)鍵在于，支配宇宙行為的規(guī)則與人類思維最抽象的沉思之間，存在很大程度上未被理解的、令人困惑的和深刻的聯(lián)系。

為什么物理學(xué)——根植于理解諸如蘋果和電子這類世界上的真實事物——能為解決數(shù)學(xué)中一些最棘手的問題提供如此有效的線索？這些問題涉及不可捉摸的東西，比如函數(shù)和方程。

“相比數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家不大關(guān)心嚴(yán)格的證明，”法蘭西學(xué)院 （Collège de France） 的數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎得主蒂莫西·高爾斯 （Timothy Gowers） 說。他表示，有時這一點“讓物理學(xué)家比數(shù)學(xué)家更快地探索數(shù)學(xué)領(lǐng)域”。如果數(shù)學(xué)家傾向于深入地調(diào)查這片風(fēng)景的一小塊土地，那么物理學(xué)家更有可能快速地掠過這一很大程度上屬于未知的大片區(qū)域。從這個角度來看，物理學(xué)家能夠意外發(fā)現(xiàn)新的、強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)概念和關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)家則可以折回到這些概念和關(guān)聯(lián)，試著證明 （或反駁） 它們。

物理學(xué)給數(shù)學(xué)提供的養(yǎng)分

事實上，物理學(xué)激發(fā)數(shù)學(xué)的進(jìn)程與科學(xué)本身一樣古老。古希臘數(shù)學(xué)家和發(fā)明家阿基米德描述了力學(xué)定律如何激發(fā)了他的一些最重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。還有牛頓，他與他同時代的德國博學(xué)家萊布尼茨 （Gottfried Wilhelm Leibniz） 在試圖理解下落物體的運動時，發(fā)展了一種全新的數(shù)學(xué)——微積分。

但在20世紀(jì)中葉，從物理學(xué)流淌來的新數(shù)學(xué)幾乎枯竭了。物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家都對對方那邊發(fā)生的事情不太感興趣。在數(shù)學(xué)界，一群有影響力的年輕法國數(shù)學(xué)家，稱為布爾巴基 （Bourbaki） 學(xué)派，試圖使數(shù)學(xué)盡可能精確。他們努力從頭開始重建整個領(lǐng)域，并將合作成果發(fā)表出來，以期促進(jìn)未來的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。與此同時，物理學(xué)家們興奮地發(fā)展著開創(chuàng)性的想法，例如標(biāo)準(zhǔn)模型 （Standard Model） ——時至今日仍然是物理學(xué)家關(guān)于原子和亞原子世界的最佳理論。對他們中的許多人來說，數(shù)學(xué)只是一個方便的工具，他們對布爾巴基學(xué)派所倡導(dǎo)的嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)愿景不感興趣。

然而，在已故的黎巴嫩裔英國幾何學(xué)家邁克爾·阿蒂亞 （Michael Atiyah） 的帶領(lǐng)下，雙方正在進(jìn)行一場和解。憑借罕見的直覺，再加上一點運氣，同樣是菲爾茲獎得主的阿蒂亞，經(jīng)常能注意到后來理論物理學(xué)家感興趣的領(lǐng)域。

“在1970年代中期，他開始相信理論物理學(xué)是迄今為止最有希望的新思想來源，”與阿蒂亞合作的牛津大學(xué)榮休教授、數(shù)學(xué)家尼格爾·希欽 （Nigel Hitchin） 在 2020年寫道?！皬哪菚r起，他就成為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家之間互動的促進(jìn)者，應(yīng)對物理學(xué)家提出的數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)，利用物理學(xué)思想證明純粹數(shù)學(xué)結(jié)果，并為物理學(xué)家提供他認(rèn)為重要但對他們來說不熟悉的現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容?！?/p>

數(shù)學(xué)物理學(xué)家愛德華·威滕 （Edward Witten） 是阿蒂亞的長期合作者之一，他們于1977年首次見面。比阿蒂亞小20多歲的威滕后來成為弦論的先驅(qū)，弦論認(rèn)為微小的一維振動的弦是宇宙的基本組成部分，而不是標(biāo)準(zhǔn)模型中的那些粒子。

弦論最初被譽(yù)為一種可能的“萬物理論”，將會統(tǒng)一量子理論與愛因斯坦的引力理論，但迄今為止，可以說，弦論對數(shù)學(xué)中一些最抽象的領(lǐng)域——諸如代數(shù)幾何和微分拓?fù)洹挠绊懕仍谖锢韺W(xué)中的更大。在這些領(lǐng)域，威滕和其他弦論家已經(jīng)能夠提出數(shù)學(xué)家后來才證明的精確猜想。

例如，在1991年，物理學(xué)家坎德拉斯 （Philip Candelas） 、奧薩 （Xenia de la Ossa） 和他們的同事將弦論應(yīng)用于枚舉幾何 （Enumerative geometry） 中一個已有數(shù)十年歷史的難題。枚舉幾何是一個古老的數(shù)學(xué)分支，致力于計算幾何問題的解的數(shù)量。最簡單的問題比如，“有多少條線可以穿過一個平面上的兩點？” （1條） ；或者阿波羅尼烏斯 （Apollonius） 的著名問題，“可以畫出多少個與三個給定的圓相切的圓？” （8個）

坎德拉斯與合作者能夠使用弦理論中的工具來解決枚舉幾何中一個特別棘手的問題：計算卡拉比—丘 （Calabi-Yau） 流形中特定類型曲線的數(shù)目，這些奇怪的六維形狀是弦論的核心。他們的結(jié)果將兩種幾何學(xué)聯(lián)系起來，即“辛幾何”和“復(fù)幾何”，數(shù)學(xué)家們幾十年來一直孤立地研究這兩種幾何，認(rèn)為它們無關(guān)。這種進(jìn)步——將兩個被認(rèn)為無關(guān)的領(lǐng)域聯(lián)系起來——在數(shù)學(xué)中被認(rèn)為是一個“深刻”結(jié)果：你突然可以使用一個領(lǐng)域的工具來解決另一個領(lǐng)域的問題，從而推動并加速了數(shù)學(xué)的進(jìn)步。

棘手問題：物理學(xué)家菲利普·坎德拉斯與合作者使用弦論的工具解決了枚舉幾何中的一個棘手問題：計算卡拉比—丘流形（如圖所示）中特定種類的曲線的數(shù)量。這些奇怪的六維形狀是弦論的核心。丨圖源：Wikimedia Commons

僅僅幾年后，即1995年，威滕提出了五個不同版本的弦論，每個版本都需要10維，都是他稱之為“M理論”的單個11維概念化的不同方面。盡管M理論仍未得到證實，但繪制不同理論之間的對應(yīng)關(guān)系已經(jīng)導(dǎo)致了驚人的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)?！案杏X就像每個月弦論都在以前所未有的方式為數(shù)學(xué)家提供新的結(jié)構(gòu)，”倫敦數(shù)學(xué)科學(xué)研究所的數(shù)學(xué)物理學(xué)家何楊輝 （Yang-Hui He） 說。

弦論是兩個數(shù)學(xué)世界之間那種意想不到的關(guān)系或“對偶性” （duality） 的豐富來源，至今仍讓數(shù)學(xué)家興奮不已。何楊輝和他的合作者、同樣來自倫敦研究所的弦論家弗里德里克·卡塔 （Federico Carta） 在研究最簡單的卡拉比—丘流形類型 （K3曲面） 時，偶然發(fā)現(xiàn)了表面的“同倫群” （homotopy group，在拓?fù)鋵W(xué)中用于對形狀進(jìn)行分類） ，與一種稱為 “Mathieu 24”的 對稱群之間的關(guān)系。兩人的發(fā)現(xiàn)揭示了純數(shù)學(xué)中兩個不同領(lǐng)域之間意想不到的聯(lián)系——拓?fù)鋵W(xué)、形狀研究以及現(xiàn)代代數(shù)中一個稱為群論的領(lǐng)域，該領(lǐng)域涉及物體所具有的對稱類型。

何楊輝談到，為什么物理學(xué)會產(chǎn)生如此有趣的數(shù)學(xué)，這是一個“深奧的問題”。存在無數(shù)種模式和結(jié)構(gòu)可供數(shù)學(xué)家加以研究，“但那些來自現(xiàn)實的 （模式和結(jié)構(gòu)） 是我們在某種程度上有直覺的?！?/p>

希欽表示同意?！皵?shù)學(xué)研究不是憑空產(chǎn)生的，”他說?！澳悴荒転榘l(fā)明一個新理論而發(fā)明。你需要相信那里有一些東西需要調(diào)查。新的想法必須圍繞著一些現(xiàn)實的觀念，或者也許是某人的觀念?！?/p>

這就帶來一個問題，即物理學(xué)是否僅僅通過提供更強(qiáng)烈的探索動機(jī)和數(shù)學(xué)家精力的焦點來滋養(yǎng)數(shù)學(xué)。在關(guān)于世界應(yīng)該如何運作的直覺和看似合理的終點的指引下，數(shù)學(xué)家有時可以在某個問題上取得比其他情況更快的進(jìn)展。

它還可以解釋一個奇怪的事實：“糟糕的”物理學(xué)有時可以帶來好的數(shù)學(xué)。

例如，渦旋 （vortex） 理論是英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家威廉·湯姆森 （William Thomson） ，即開爾文勛爵的早期嘗試，旨在解釋為什么原子的種類相對較少。他將原子想象成旋轉(zhuǎn)的環(huán)，可以打成錯綜復(fù)雜的結(jié)，每個結(jié)對應(yīng)不同的化學(xué)元素。在發(fā)現(xiàn)電子后，該理論被拋棄了——但其數(shù)學(xué)導(dǎo)致了紐結(jié) （knot） 理論的發(fā)展。此后，紐結(jié)理論成為純數(shù)學(xué)家探索的沃土，并在流體動力學(xué)和理解像DNA這種纏結(jié)分子方面發(fā)現(xiàn)了令人驚訝的應(yīng)用。

宇宙是數(shù)學(xué)構(gòu)成的？

對阿蒂亞來說，物理學(xué)和數(shù)學(xué)之間的神秘關(guān)系都?xì)w結(jié)為人腦?！叭祟愂情L期進(jìn)化的產(chǎn)物，其中強(qiáng)大的大腦是一個優(yōu)勢。這樣的大腦是在物理世界中進(jìn)化而來的，因此進(jìn)化的成功是通過生理的成功來衡量的，”他在 2018 年的一次采訪中解釋說?！耙虼耍祟惔竽X進(jìn)化來解決物理問題，這需要大腦發(fā)展正確的數(shù)學(xué)。”要做到這一點，大腦還必須適應(yīng)識別和欣賞自然界中的數(shù)學(xué)模式。阿蒂亞甚至在 2014年進(jìn)行了一項大腦成像的合作研究，該研究得出結(jié)論，對于數(shù)學(xué)之美的體驗與優(yōu)美的音樂、藝術(shù)或詩歌一樣，它們激發(fā)大腦的相同部分。這也許可以解釋為什么物理學(xué)可以成為數(shù)學(xué)家的指路明燈：從研究現(xiàn)實中產(chǎn)生的那種數(shù)學(xué)往往是我們的大腦喜歡的那種。

2010年，在與希欽和當(dāng)時在普林斯頓大學(xué)工作的荷蘭理論物理學(xué)家羅伯特·迪格拉夫 （Robbert Dijkgraaf） 合著的一篇論文[2]中，阿蒂亞進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了物理學(xué)在數(shù)學(xué)中的成功應(yīng)用。然而，從那時起，試圖理解這種現(xiàn)象的工作就很少了。

最近重新審視這個問題是一位哲學(xué)家，博洛尼亞大學(xué)的丹尼爾·莫利尼尼 （Daniele Molinini） 。2023年他發(fā)表在《英國科學(xué)哲學(xué)雜志》 （The British Journal for the Philosophy of Science） 上的論文[3]，回應(yīng)了諾貝爾物理學(xué)獎得主尤金·維格納 （Eugene Wigner） 于1960年撰寫的一篇經(jīng)常被引用的文章，即《數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中不合理的有效性》 （The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences） 。然而莫利尼尼出言無忌地回應(yīng)則是探討“物理學(xué)在數(shù)學(xué)中的不合理的有效性” （The Unreasonable Effectiveness of Physics in Mathematics） 。他給出一個令人驚訝的回答，一些物理定律可能像數(shù)學(xué)定理一樣無可爭議。他說：“我們必須將關(guān)于現(xiàn)實世界的一些原則視為基本原理?！?/p>

哲學(xué)家們普遍同意數(shù)學(xué)真理成為一種“必然”，因為它們必須在所有可能的世界中都是正確的。而對于自然的真理，經(jīng)驗事實，則是不同的——它們依情況而定。光以恒定的速度傳播，但可以說在一個不同的宇宙中，它可能并非如此。也就是說，無論如何，數(shù)學(xué)真理在過去和將來都是正確的。

是否存在某些物理定律也以同樣的方式成為“必然”？在他的論文中，莫利尼尼認(rèn)為守恒定律可能就是這樣的一條定律。在物理學(xué)中，系統(tǒng)的某些屬性，例如能量或動量，不發(fā)生改變。例如，一個騎自行車的人從山上自由滑行而下，將她的重力勢能轉(zhuǎn)化為動能，但她和她的自行車所擁有的總能量保持不變。

莫利尼尼認(rèn)為，如果這種守恒是“必然產(chǎn)物”，那也許可以解釋阿基米德為何能通過力學(xué)的思考成功推斷出幾何證明的真理性，否則難以解釋這一壯舉。在這種情況下，物理學(xué)和數(shù)學(xué)是同一枚硬幣的兩面：兩者都是正確的，因為它們都遵循相同的基本原理。

另一種著名的觀點則是伽利略在17世紀(jì)初表述的，并經(jīng)常受到數(shù)學(xué)家的擁護(hù)，即宇宙是用數(shù)學(xué)語言寫成的。這個想法有著古老的起源，至少可以追溯到畢達(dá)哥拉斯和他的追隨者，但一個更晚近和極端的版本是馬克斯·泰格馬克 （Max Tegmark） 的數(shù)學(xué)宇宙假說 （mathematical universe hypothesis） ——宇宙本身不僅由數(shù)學(xué)描述，而且是由數(shù)學(xué)構(gòu)成的。

在泰格馬克的論述中，我們的宇宙只是無數(shù)個平行宇宙中的一個，數(shù)學(xué)的所有無限可能性——每一個定理、每一個證明——都在這個多重宇宙的某個地方實現(xiàn)了。這也難怪物理學(xué)激發(fā)了數(shù)學(xué)的新發(fā)現(xiàn)——物理學(xué)所描述的現(xiàn)實，無論如何，歸根結(jié)底都是數(shù)學(xué)的?！皩嵶C科學(xué)和數(shù)學(xué)之間存在著密切的聯(lián)系，”悉尼大學(xué)研究數(shù)學(xué)和物理學(xué)之間關(guān)系的哲學(xué)家馬克·科利文 （Mark Colyvan） 說?！拔覀兛梢缘贸龅囊粋€結(jié)論是，不知何故，世界本身即數(shù)學(xué)。”

然而，在這兩種表述中，從物理學(xué)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)應(yīng)該非比尋常的豐富?？墒且阎锢韺W(xué)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)只是所有數(shù)學(xué)的一小部分 （幾乎所有數(shù)學(xué)可能都沒那么有趣） 。宇宙完全由數(shù)學(xué)構(gòu)成并不能解釋這個問題。

莫利尼尼正在對一種流行的數(shù)學(xué)適用性的哲學(xué)闡釋發(fā)起挑戰(zhàn)，即“映射”[4] （mapping） ，他認(rèn)為這種闡釋無法解釋為什么好的數(shù)學(xué)可以從物理學(xué)中產(chǎn)生。映射理論認(rèn)為，通過將物理概念 [如質(zhì)量或間隔（separation）] 轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)對象，例如牛頓萬有引力定律的方程，可以使用它來計算某些東西，然后將其映射回物理屬性——兩個物體間的吸引力。但莫利尼尼質(zhì)疑說，當(dāng)人們試圖顛倒它來解釋數(shù)學(xué)是如何從物理學(xué)中出現(xiàn)的時，映射過程就失效了。

他說，哲學(xué)家們對這個問題的興趣越來越大，他們一直關(guān)注為什么數(shù)學(xué)可以應(yīng)用于實證科學(xué)的反問題，即為什么實證科學(xué)可以得到數(shù)學(xué)。

“現(xiàn)代物理學(xué)為數(shù)學(xué)家提供了一大堆新工具和意想不到的線索，”何楊輝說?！拔磥恚锢韺W(xué)和數(shù)學(xué)將需要更緊密地合作，以解決純數(shù)學(xué)中的一些最大問題。”

他表示，羅伯特·朗蘭茲 （Robert Langlands） 在 1960 年代構(gòu)思的朗蘭茲綱領(lǐng) （Langlands program） 就是這樣一個領(lǐng)域，它通常被稱為“數(shù)學(xué)的大統(tǒng)一理論”。據(jù)稱，該綱領(lǐng)的一個分支，即幾何朗蘭茲綱領(lǐng) （geometric Langlands） ，最近由一支數(shù)學(xué)家團(tuán)隊解決，他們提出的證明橫跨五篇論文，長達(dá)800 頁 （編者注：可參閱《》） 。該證明的核心基于最初從共形場論 （conformal field theory） 中得出的洞見，共形場論是物理學(xué)的一個分支，是弦論及其他領(lǐng)域的基石。何楊輝認(rèn)為，數(shù)學(xué)家需要借鑒更多的物理學(xué)來探索該證明的含義，并在朗蘭茲綱領(lǐng)的其他方面取得進(jìn)展。

同樣，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)利用物理學(xué)來嘗試在黎曼假設(shè) （Riemann hypothesis） 和BSD猜想 （Birch and Swinnerton-Dyer conjecture） 問題上取得進(jìn)展，它們是數(shù)學(xué)中兩個最具挑戰(zhàn)性的開放問題。何楊輝感覺，這兩個領(lǐng)域間的結(jié)合將是最終解開這些宏偉命題的關(guān)鍵。

何楊輝說：“物理學(xué)和數(shù)學(xué)開始再次合二為一，就像它們在牛頓和高斯的時代一樣?！彼邮苓^理論物理學(xué)家的訓(xùn)練，但越來越傾向于將物理思想應(yīng)用于純數(shù)學(xué)問題。

這是個迷人的想法。宇宙的故事可以用數(shù)學(xué)的語言寫成。但是，盡管這個故事看起來很美好，但有跡象表明，要想比物理學(xué)家已經(jīng)理解得更多，將需要越來越奇特和復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具，而且有些工具有待被發(fā)明。打破這兩個領(lǐng)域之間的壁壘可以為理解雙方打開新世界。

譯者注

[1] “so admirably appropriate to the objects of reality?”這句話來自愛因斯坦1921年1月27日在柏林的普魯士科學(xué)院發(fā)表的演講，題為《幾何學(xué)和經(jīng)驗》（Geometry and Experience），原文用德語。

[2] 參見：Atiyah, Michael, Robbert Dijkgraaf, and Nigel Hitchin. "Geometry and physics." Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 368.1914 (2010): 913-926. http://doi.org/10.1098/rsta.2009.0227

[3] 參見：Molinini, Daniele. "The Unreasonable Effectiveness of Physics in Mathematics." The British Journal for the Philosophy of Science 74.4 (2023): 853-874. https://doi.org/10.1086/715104

[4] 參見：Bueno, Otávio, and Mark Colyvan. "An inferential conception of the application of mathematics." No?s 45.2 (2011): 345-374. https://doi.org/10.1111/j.1468-0068.2010.00772.x

本文經(jīng)作者授權(quán)翻譯刊于《返樸》，譯自Ananyo Bhattacharya, Why Physics Is Unreasonably Good at Creating New Math, 原文地址：https://nautil.us/why-physics-is-unreasonably-good-at-creating-new-math-797056/；

本文的一個更長的版本可見：https://ananyo.substack.com/p/why-is-physics-so-good-at-math。

作者簡介

Ananyo Bhattacharya 現(xiàn)任倫敦數(shù)學(xué)科學(xué)研究所首席科學(xué)作家。在從事新聞工作之前，Ananyo在加利福尼亞州圣地亞哥的伯納姆研究所（Burnham Institute）擔(dān)任醫(yī)學(xué)研究員。他擁有牛津大學(xué)物理學(xué)學(xué)位和倫敦帝國理工學(xué)院蛋白質(zhì)晶體學(xué)博士學(xué)位。他曾在 Nature、Chemistry World 和 Research Fortnight 擔(dān)任高級編輯、The Economist科學(xué)記者。著有馮·諾依曼 （John von Neumann） 的傳記《來自未來的人》（The Man from the Future）。

《來自未來的人：約翰·馮·諾依曼傳》（中信出版社，2023年9月），最近該書意大利語版和美國版獲選了亞馬遜年度圖書。