在我們的日常生活中，概率是一個簡單直觀的概念。如果拋一枚硬幣，它正面朝上的概率是50%，反面朝上的概率也是50%。這兩個概率相加等于1，并且它們都必須是大于或等于零的。這是經(jīng)典概率論的基石，它建立在一個核心假設(shè)之上：任何事件的概率都必須是非負(fù)數(shù)。然而，當(dāng)我們踏入量子力學(xué)的微觀世界時，這個看似堅(jiān)不可破的規(guī)則卻被打破了。

量子態(tài)無法用經(jīng)典的概率分布來描述，其根本原因在于量子力學(xué)中獨(dú)有的干涉現(xiàn)象。在經(jīng)典世界里，如果你有兩個相互獨(dú)立的事件A和B，一個最終結(jié)果可以通過A或B發(fā)生，那么這個結(jié)果的總概率就是P(A) + P(B)，概率總是累加的。但在量子世界中，情況大相徑庭。一個量子系統(tǒng)可以同時以多種方式存在（即處于疊加態(tài)），而這些“方式”并非獨(dú)立的事件，而是具有概率振幅。這些振幅是復(fù)數(shù)，具有大小和相位。

當(dāng)一個量子系統(tǒng)通過兩條不同的路徑（例如，穿過雙縫）到達(dá)同一個終點(diǎn)時，我們不是將這兩條路徑的概率相加，而是先將它們的概率振幅相加。由于振幅可以有不同的相位，它們可能會相互抵消，這便是相消干涉。舉例來說，如果路徑一的振幅是+A，路徑二的振幅是-A，那么總振幅就是A + (-A) = 0。最終到達(dá)該終點(diǎn)的概率為|0|2 = 0。這意味著一個在經(jīng)典世界中本應(yīng)發(fā)生的事件，在量子世界中卻完全被抵消了。這種“抵消”是經(jīng)典概率論無法解釋的，因?yàn)樵诮?jīng)典概率中，沒有任何機(jī)制可以使一個非零的概率消失。

從“負(fù)概率”到“偽概率”：超越經(jīng)典的描述工具

為了在數(shù)學(xué)上描述這種非經(jīng)典的干涉現(xiàn)象，物理學(xué)家們引入了負(fù)概率和偽概率分布的概念。這些概念并非意味著你可以測量到一個負(fù)的概率，而是一種強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，用于在熟悉的框架下捕捉量子世界的非直觀特性。

最著名的例子之一是Wigner函數(shù)，它是量子力學(xué)相空間表述的核心。相空間是一個描述系統(tǒng)所有可能狀態(tài)的數(shù)學(xué)空間，它的坐標(biāo)軸通常是位置和動量。在經(jīng)典物理中，一個系統(tǒng)的狀態(tài)可以由相空間中的一個點(diǎn)來精確描述。但根據(jù)海森堡的不確定性原理，我們無法同時精確地知道一個量子的位置和動量。因此，一個量子態(tài)在相空間中不能用一個點(diǎn)表示，而需要用一個“分布”來描述其在不同位置和動量上的“可能性”。

Wigner函數(shù)就是這個“偽概率分布”。它看起來像一個經(jīng)典的概率分布，但有一個關(guān)鍵的區(qū)別：它可以取負(fù)值。這些負(fù)值區(qū)域正是量子干涉和疊加態(tài)存在的“數(shù)學(xué)證據(jù)”。它們是Wigner函數(shù)非經(jīng)典的標(biāo)志，清晰地表明這個函數(shù)無法被解釋為經(jīng)典的概率分布。Wigner函數(shù)的負(fù)值告訴我們，這個系統(tǒng)不能被看作是由一系列經(jīng)典的點(diǎn)粒子組成的集合。盡管Wigner函數(shù)可以為負(fù)，但當(dāng)你用它來計(jì)算任何實(shí)際可測量的物理量（例如，在某個區(qū)域找到粒子的概率）時，結(jié)果總是非負(fù)的，這確保了理論與實(shí)驗(yàn)的一致性。

Wigner函數(shù)如何描繪量子特性

Wigner函數(shù)在可視化量子態(tài)方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢。它可以像一幅“量子照片”一樣，清晰地展示一個量子態(tài)在位置和動量上的分布，同時揭示其非經(jīng)典特性。

• 高斯態(tài)與經(jīng)典粒子：對于一個被稱為“相干態(tài)”或“壓縮態(tài)”的量子態(tài)，Wigner函數(shù)看起來就像一個正值的高斯分布。這個分布是平滑且完全非負(fù)的，非常類似于經(jīng)典粒子在相空間中的概率分布。這很好地解釋了為何在宏觀尺度上，量子力學(xué)的行為會趨近于經(jīng)典物理。
• 薛定諤貓態(tài)與干涉：一個著名的思想實(shí)驗(yàn)是“薛定諤貓”，它描述了一只貓同時處于“活著”和“死亡”的疊加態(tài)。Wigner函數(shù)可以很好地描繪這種狀態(tài)。它的圖像會顯示兩個分離的、位于不同位置的“貓”態(tài)，但在這兩個態(tài)之間會出現(xiàn)負(fù)值的區(qū)域。這些負(fù)值區(qū)域正是“活著”和“死亡”這兩個子態(tài)之間發(fā)生量子干涉的標(biāo)志。
• 壓縮態(tài)與不確定性：Wigner函數(shù)也能直觀地描繪不確定性原理。對于一個壓縮態(tài)，Wigner函數(shù)會像一個被“壓扁”的橢圓，在一個方向上（比如位置）非常窄，而在另一個方向（動量）上非常寬。這個“扁平”的橢圓清楚地顯示了，當(dāng)我們精確地知道一個變量時，另一個變量的知識必然會變得非常不確定。

總而言之，量子態(tài)無法用經(jīng)典的概率分布來描述，是因?yàn)榱孔邮澜绲母疽?guī)則與我們直覺相悖。干涉現(xiàn)象要求我們必須在數(shù)學(xué)上引入更靈活的工具，例如負(fù)概率和偽概率分布。Wigner函數(shù)等概念雖然看似抽象，但它們?yōu)槲覀兲峁┝艘粋€優(yōu)雅而強(qiáng)大的框架，讓我們可以在熟悉的相空間語境中，直觀地理解和描繪量子世界中那些超越我們?nèi)粘＝?jīng)驗(yàn)的奇妙特性。