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SAMP（Scientific American Math Puzzles，《科學(xué)美國(guó)人》數(shù)學(xué)謎題）集錦[20250712 - 20250927每周一題共12題]（每小題后附答案講解——淺色文字答案內(nèi)容可選中后反色放大查看。先盡量不看提示和答案，快來(lái)試試吧）。

作者：Scientific American（科學(xué)美國(guó)人）2025-9-27

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-9-29

日期：2025-9-27

作者：Jack Murtagh

問(wèn)題：流浪者歸來(lái)

一位流浪者生活在一片偏遠(yuǎn)的土地上，那里有三個(gè)村莊：A、B和C。每天早晨，他都會(huì)離開(kāi)現(xiàn)在所在的村莊，前往另外兩個(gè)村莊之一，并以50%的概率隨機(jī)選擇兩個(gè)目的地。如果這位流浪者從他的家鄉(xiāng)A出發(fā)，并在100天的旅程后結(jié)束旅程，他最終到達(dá)A還是B的可能性更大？或者兩個(gè)目的地的可能性都一樣？

答案：

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https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-wanderers-return/

流浪者最終抵達(dá)A的概率略高一些。他們行走的時(shí)間越長(zhǎng)，到達(dá)每個(gè)村莊的概率就越接近均等的1/3 。但雙數(shù)天后，流浪者最終抵達(dá)A的概率總是會(huì)略高一些。而奇數(shù)天后，他們最終抵達(dá)B（或C）的概率會(huì)更高。

在問(wèn)題設(shè)定中，B和C之間沒(méi)有區(qū)別——我們對(duì)其中一個(gè)村莊的任何論據(jù)都可以適用于另一個(gè)村莊。因此，流浪者最終到達(dá)這兩個(gè)村莊的概率始終相同。 這意味著，如果流浪者最終到達(dá)A的概率大于1/3 ， 那么最終到達(dá)B的概率必然小于1/3 ，反之亦然。

此外，這兩種情況會(huì)來(lái)回交替：流浪者更有可能在A結(jié)束旅程的某一天，必然會(huì)有更高概率在B結(jié)束旅程的某一天，反之亦然——如果他們某一天更有可能待在某個(gè)村莊，那么第二天離開(kāi)該村莊的概率也必然更高。這在第一天最為明顯，他們100%確定從A出發(fā)，有50%的概率在B結(jié)束旅程（而0%的概率在A結(jié)束）。現(xiàn)在，由于B和C與A相連，而流浪者總是會(huì)更換村莊，因此在第二天之后，他們更有可能在A結(jié)束旅程，而不是在其他村莊結(jié)束旅程。第二天，流浪者以50%的概率在A結(jié)束旅程，B和C各有25%的概率。第二天情況正好相反：因?yàn)榱骼苏吒锌赡茉贏開(kāi)始新的一天，所以他們也更有可能在其他村莊結(jié)束新的一天。隨著時(shí)間的推移，三個(gè)村莊之間的概率差異會(huì)減小，如果流浪者進(jìn)行無(wú)限次旅行，概率將收斂到1/3。 但是，在任何有限數(shù)字（例如 100）之后，概率仍然會(huì)略微偏向流浪者的出發(fā)點(diǎn)或遠(yuǎn)離出發(fā)點(diǎn)。

日期：2025-9-20

作者：Martin Gardner

問(wèn)題：飛機(jī)圓圈

一架飛機(jī)以恒定的發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速飛行，在無(wú)風(fēng)的情況下，沿著地面飛行一個(gè)大而完美的圓圈。假設(shè)飛機(jī)以與之前相同的恒定發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速飛行，如果有風(fēng)速和方向恒定的風(fēng)，它完成相同圓圈所需的時(shí)間會(huì)更長(zhǎng)、更短還是相同？

答案：

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https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-plane-circle/

在圓形路徑的恰好一半路程中，風(fēng)會(huì)提高飛機(jī)的地速，而在另一半路程中，風(fēng)會(huì)降低飛機(jī)的速度。人們很容易假設(shè)這些力相互平衡，因此飛機(jī)完成整個(gè)圓周飛行的時(shí)間與無(wú)風(fēng)飛行時(shí)相同。事實(shí)并非如此，因?yàn)轱w機(jī)加速的時(shí)間顯然短于減速的時(shí)間，因此飛機(jī)在風(fēng)中飛行的總時(shí)間比無(wú)風(fēng)飛行時(shí)更長(zhǎng)。（有關(guān)用微積分方法進(jìn)行的嚴(yán)格證明，請(qǐng)參閱 《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》1945年12月，第584頁(yè)。）

日期：2025-9-13

作者：Jack Murtagh

問(wèn)題：破解密碼

將數(shù)字 0 到 9 賦值給以下字母，以得到有效的和。每個(gè)字母代表一個(gè)唯一的數(shù)字，并且該字母的所有出現(xiàn)都代表同一個(gè)數(shù)字。（例如，如果 A = 6，則兩個(gè)和中的所有 A 都是 6，并且沒(méi)有其他字母代表 6。）這些單詞代表三位或四位數(shù)字。（“ALL” 表示后兩位數(shù)字相同的三位數(shù)。）不允許使用前導(dǎo)零——098 不是數(shù)字 98 的有效表示。

上圖顯示兩個(gè)等式：ALL 加 ACE 等于 CREW，CARD 加 CORD 等于 GURU

提示：

你不需要大量的反復(fù)試驗(yàn)?；叵胍幌拢?dāng)兩個(gè)數(shù)字相加時(shí)，每一列要么不產(chǎn)生進(jìn)位到下一列，要么產(chǎn)生 1 的進(jìn)位。第一個(gè)可推導(dǎo)的字母是 C、R 和 A。之后，制作一個(gè)表格來(lái)跟蹤剩余一些字母的可能值。

答案：

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https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-crack-code/

上圖顯示兩個(gè)等式：577 加 519 等于 1096，1504 加 1304 等于 2808

由于涉及眾多變量和案例，這類問(wèn)題的解答寫(xiě)出來(lái)讀起來(lái)可能比較繁瑣。不過(guò)，我們還是在下面提供了一個(gè)分步解答，方便任何想要了解推理過(guò)程的人。

C = 1，因?yàn)閮蓚€(gè)三位數(shù)（ALL 和 ACE）之和不可能等于兩千位或更高的數(shù)字 CREW（999 + 999 = 1,998）。在倒數(shù)第二列，三個(gè)單詞中的 R 都位于相同的位置。這種情況只有兩種情況：要么 R = 0，且 D + D 沒(méi)有產(chǎn)生進(jìn)位，要么 R = 9，且 D + D 產(chǎn)生了進(jìn)位（9 + 9 + 1 = 19，這將使 GURU 中的 R 位置變?yōu)?9）。然而，R 不可能是 9，因?yàn)?A + A 無(wú)法在 CREW 的 R 位置產(chǎn)生 9。唯一能夠產(chǎn)生 C 所需進(jìn)位且同時(shí)產(chǎn)生進(jìn)位的方法是 A = 9，但這是不被允許的，因?yàn)樵谶@種情況下我們已經(jīng)將 9 賦值給了 R。所以 R = 0?，F(xiàn)在 A = 5，因?yàn)檫@是 A + A 在 CREW 的 R 位置產(chǎn)生 0 的唯一方式。

我們從前面知道 D + D 不會(huì)產(chǎn)生進(jìn)位，這意味著 D = 2、3 或 4。（數(shù)字 0 和 1 已經(jīng)被分配，任何大于 4 的數(shù)字都會(huì)產(chǎn)生進(jìn)位。）這三種可能性中的每一種都會(huì)立即強(qiáng)制 U、O 和 G 的值，如下表所示：

上面表格顯示了字母 D、U、O 和 G 的替代數(shù)字分配：D 等于 2、3 或 4；U 等于 4、6 或 8；O 等于 9、1 或 3；G 等于 3 、2或 2。

例如，如果 D = 2，則 U = 4（因?yàn)?U = D + D）。然后，在第二個(gè)和的第二列中，A + O 等于 GURU 中的第一個(gè) U。我們知道 A = 5，在這個(gè)假設(shè)中，U = 4。唯一能使這個(gè)結(jié)果成立的 O 值是 O = 9，因?yàn)?5 + 9 = 14。這會(huì)將 4 放置在 GURU 的正確位置，并將結(jié)果帶入 C + C 列，使 G = 3。（回想一下 C = 1。）類似的推理可以得出表格中的另外兩列。

我們可以立即從可能性中劃掉中間一列，因?yàn)?1 已經(jīng)被分配給 C。在剩下的兩種可能情況下，請(qǐng)注意 2、3 和 4 都被分配給它們，以及 8 或 9。因此 L、E 和 W 僅剩的未分配數(shù)字是 6、7、8 和 9。第一個(gè)和的最后一列只有在 7 和 9 相加得到 16 時(shí)才有效，使得 W = 6。（它不能是 8 + 9，因?yàn)槲覀冃枰渲幸粋€(gè)來(lái)滿足表中的字母。）第一個(gè)和中的 L + C 列只有在 L = 7 和 E = 9 時(shí)才有效。（記住 C = 1。）分配 9 后，表中只剩下第三列可能：D = 4、U = 8、O = 3 和 G = 2。

日期：2025-9-6

作者：Emma R. Hasson

問(wèn)題：找到解開(kāi)的結(jié)

以下每對(duì)繩子中，總有一根繩子可以解開(kāi)成一個(gè)圓圈，即所謂的“解結(jié)”。是哪一根呢？

圖中顯示了兩對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)，分別標(biāo)記為“對(duì) 1”和“對(duì) 2”。每對(duì)中的結(jié)除了環(huán)路配置上的一個(gè)差異外，其余均相同。

答案：

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https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-find-unknot/

上圖左上角和右下角的結(jié)可以解開(kāi)成圓圈：

圖示為如何用四步解開(kāi)第一對(duì)繩子上的第一個(gè)結(jié)，以及用七步解開(kāi)第二對(duì)繩子上的第二個(gè)結(jié)。

附加題：

另外兩個(gè)無(wú)法完全解開(kāi)的結(jié)，可以分別做成四種最基本的結(jié)之一的樣子。找出它們！

圖中顯示了四種基本結(jié)：三葉結(jié)、八字結(jié)、梅花結(jié)和三扭結(jié)。

附加題答案：

右上角的結(jié)相當(dāng)于結(jié) 2，左下角的結(jié)相當(dāng)于結(jié) 4。

圖中突出顯示了第一對(duì)中的第二個(gè)結(jié)與三扭結(jié)以及第二對(duì)中的第一個(gè)結(jié)與八字結(jié)。

日期：2025-8-30

作者：Jack Murtagh

問(wèn)題：有得必有失

如果將魔方懸掛在房間角落附近，并用燈光照射其暴露的表面，它將在兩面墻壁和地板上投射出方形陰影。

上圖圖示為一個(gè)魔方懸掛在房間角落，并被三個(gè)不同角度的光源照亮。魔方的可見(jiàn)面分別為紅、綠、黃三色，每個(gè)面又被分成九個(gè)小方塊。燈光在魔方的三個(gè)方形陰影中投射出三個(gè)：一面墻和一個(gè)地面。

現(xiàn)實(shí)世界中的魔方在其核心處有一個(gè)裝置以便于旋轉(zhuǎn)，但讓我們想象一個(gè)更簡(jiǎn)單的圖像，它包含 27 個(gè)相同的“小立方體”：三層，每層九個(gè)小立方體。

上圖圖示為一個(gè)由三層堆疊而成的立方體，每層由九個(gè)較小的透明立方體組成，排列成三乘三的網(wǎng)格。頂層為綠色，中間層為紅色，底層為黃色。

注意，如果我們移除任意一個(gè)立方體，陰影都不會(huì)改變。但如果我們將最頂層的九個(gè)立方體全部移除，兩面墻的陰影就會(huì)變成 2×3 的矩形。 請(qǐng)問(wèn)最多可以移除多少個(gè)立方體，才能使三個(gè)陰影保持不變？ （忽略重力的影響，假設(shè)立方體懸浮在原地）。

提示：

嘗試以某種方式縮小問(wèn)題。例如，求解由八個(gè)小立方體組成的 2×2×2 立方體，或者逐層求解 3×3×3 立方體。

答案：

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https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-rubiks-shadows/

你可以移除 18 個(gè)小方塊，同時(shí)保留陰影。令人驚訝的是，你只需要 9 個(gè)精心擺放的小方塊，就能投射出所有三個(gè)陰影。

上圖顯示了前圖中較大立方體的輪廓，其中除九個(gè)小立方體外，其余所有立方體均被移除。頂層保留了三個(gè)綠色立方體，中間保留了三個(gè)紅色立方體，底層保留了三個(gè)黃色立方體。這九個(gè)小立方體懸掛在房間的角落，投射出的陰影與第一幅圖中的魔方相同。

魔方的每一層包含三行三列，每行由三個(gè)小方塊組成。我們將上下維度上的方塊堆疊稱為一根柱子。陰影發(fā)生變化的唯一方式是整行、整列或整柱變?yōu)榭铡＿@樣光線就會(huì)穿過(guò)魔方，在其中一個(gè)陰影上戳出一個(gè)洞。那么問(wèn)題就變成了：為了使每一行、每一列和每一柱都至少包含一個(gè)小方塊，至少需要多少個(gè)小方塊？

下圖中顯示的九個(gè)小立方體的排列方式與前圖相同，但透明立方體取代了之前18個(gè)立方體的位置。右側(cè)有一張圖表將綠色、紅色和黃色層分開(kāi)，以顯示小立方體的完整排列。

上圖以俯視圖的形式展示了我們解決方案的每一層。每一層都有一個(gè)關(guān)鍵屬性，即每一行和每一列都恰好有一個(gè)立方體。這確保了兩面墻體陰影上對(duì)應(yīng)的條帶保持不變。例如，考慮紅色中間層對(duì)兩面墻體陰影的影響。它會(huì)在兩面墻體中間投射出一條 1×3 的條帶，因?yàn)槊恳恍泻兔恳涣卸加幸粋€(gè)紅色立方體遮擋側(cè)光。

此外，由于九個(gè)立方體各自占據(jù)了3×3網(wǎng)格中的不同單元，因此地板陰影仍然保持滿格。換句話說(shuō)，三層重疊后不會(huì)留下空單元，這意味著立方體的每個(gè)柱子上都有一個(gè)立方體遮擋了頂部的光線。

上圖中顯示了與前兩幅圖相同的九個(gè)小立方體的排列，并附有從頂部看到的排列圖，以顯示顏色如何排列成拉丁方。

少于九個(gè)小方塊無(wú)法實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，因?yàn)槟Х接芯艂€(gè)不同的行、九個(gè)不同的列和九個(gè)不同的柱子。八個(gè)小方塊必然會(huì)留下一個(gè)洞。

具有這種屬性的網(wǎng)格（即每行每列每種顏色都恰好包含一次）被稱為拉丁方。拉丁方適用于所有尺寸的網(wǎng)格，因此我們的解決方案可以推廣到任何維度的立方體。您可以將任何拉丁方轉(zhuǎn)化為一個(gè)由子立方體組成的最小排列來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。令人驚訝的是，這意味著一個(gè)由十億個(gè)子立方體（1000×1000×1000）組成的立方體，即使我們丟棄9.99億個(gè)立方體，也能保留其陰影。

日期：2025-8-23

作者：Heinrich Hemme

問(wèn)題：識(shí)別說(shuō)謊者

安娜、布里塔和克里斯蒂娜在市場(chǎng)的一個(gè)水果攤工作。一位顧客向她們?cè)儐?wèn)蘋(píng)果、梨和桃子的價(jià)格。

安娜說(shuō)：“七個(gè)蘋(píng)果和五個(gè)梨的價(jià)格與六個(gè)桃子的價(jià)格相同?！?/p>

布里塔說(shuō)：“四個(gè)蘋(píng)果和九個(gè)桃子的價(jià)格與五個(gè)梨的價(jià)格相同?！?/p>

克里斯蒂娜說(shuō)：“六個(gè)桃子和三個(gè)梨的價(jià)格與四個(gè)蘋(píng)果的價(jià)格相同?！?/p>

三個(gè)銷售員中有一個(gè)在撒謊。哪一個(gè)？

答案：

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https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-spot-liar/

如果我們分別用 a 、 b 和 p 表示蘋(píng)果、梨和桃子的價(jià)格，我們可以用三個(gè)等式來(lái)表達(dá)銷售人員的說(shuō)法。

安娜：7 a + 5 b = 6 p

布里塔：4 a + 9 p = 5 b

克里斯蒂娜：6 p + 3 b = 4 a

如果我們用布里塔的方程式代入安娜的方程式，我們會(huì)得到 11 a = –3 p ，這個(gè)公式毫無(wú)意義。所以這兩個(gè)銷售員中有一個(gè)在撒謊。

如果我們現(xiàn)在用安娜的方程式代入克里斯蒂娜的方程式，我們會(huì)得到 3 a = –8 b ，這個(gè)公式同樣毫無(wú)意義。所以安娜在撒謊。

然而，如果我們用克里斯蒂娜的方程式代入布里塔的方程式，我們會(huì)得到有效的公式 2 b = 15 p 。

日期：2025-8-16

作者：Jack Murtagh

問(wèn)題：有得必有失

Penny最近在工作中獲得了一筆獎(jiǎng)金，并決定將其投資于股市。第一個(gè)月，股市飆升，她的投資組合增長(zhǎng)了15%。第二個(gè)月股市暴跌，她的投資組合縮水了15%。

這兩個(gè)月過(guò)去了，Penny是盈利、虧損還是收支平衡？ 如果先是業(yè)績(jī)不好的月份，然后是業(yè)績(jī)好的月份，情況會(huì)怎樣？（忽略稅收、股息或費(fèi)用等多余影響。）

答案：

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https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-win-some/

Penny虧了錢。她的投資組合增加15%和減少15%似乎應(yīng)該完全平衡，但數(shù)學(xué)計(jì)算卻并非如此。假設(shè)Penny最初投資了100美元。第一個(gè)月后，她的投資組合價(jià)值增加了15%，達(dá)到115美元。要計(jì)算15%的跌幅，我們需要用這個(gè)數(shù)字乘以85%：115 × 0.85 = 97.75，這比最初的100美元還少。

直觀地看，投資增加了其原始價(jià)值的 15％，然后又減少了其新價(jià)值的 15％。新價(jià)值大于原始價(jià)值，因此損失大于收益。

事實(shí)上，從抽象意義上解決這個(gè)問(wèn)題表明，無(wú)論 Penny 的初始投資金額、投資組合波動(dòng)的百分比或漲跌發(fā)生的順序如何，她都會(huì)虧損。將 Penny 的初始投資額設(shè)為 P ，并假設(shè)我們將其增加或減少 x （例如，如果波動(dòng) 15%，則 x = 0.15）。那么，第一個(gè)月后，投資組合的價(jià)值為 P × (1 + x )。第二個(gè)月后，這個(gè)新數(shù)量縮水： P × (1 + x ) × (1 – x )。簡(jiǎn)單計(jì)算即可知，兩個(gè)月后，投資價(jià)值為 P × (1 – x2)。無(wú)論我們賦予 x 何種值，(1 – x2) 項(xiàng)始終小于 1（除非 x = 0，表示沒(méi)有變化）。這意味著 P × (1 – x2) 的最終值始終小于 P 的初始投資。此外，如果我們交換好月份和壞月份，我們會(huì)得到相同的答案，因?yàn)榻粨Q項(xiàng)的順序不會(huì)影響它們的乘積： P × (1 + x ) × (1 – x ) = P × (1 – x ) × (1 + x )。

日期：2025-8-9

作者：Emma R. Hasson

問(wèn)題：分解正方形

畫(huà)四條線，從灰點(diǎn)開(kāi)始和結(jié)束，將這個(gè)正方形分成幾塊，可以重新排列成五個(gè)相同的正方形。

附加題：

假設(shè)你可以使用任意數(shù)量的線，這些線的起點(diǎn)和終點(diǎn)在邊緣的任意位置。你還能做出多少個(gè)相同的正方形，并且不留多余的碎片？

答案：

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https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-dissect-square/

日期：2025-8-2

作者：Jack Murtagh

問(wèn)題：數(shù)獨(dú)驚喜

數(shù)獨(dú)的規(guī)則規(guī)定，在完整的數(shù)列中，每一行、每一列以及每個(gè)3×3的加粗方框都必須恰好包含1到9這幾個(gè)數(shù)字。從這些簡(jiǎn)單的規(guī)則中，我們可以看到一個(gè)令人驚訝的事實(shí)。

在每個(gè)完成的數(shù)獨(dú)中，以橙色突出顯示的單元格將始終包含與以藍(lán)色突出顯示的單元格相同的數(shù)字。

上面數(shù)獨(dú)網(wǎng)格填寫(xiě)了以下數(shù)字。

第一行：2、3、6、4、1、5、8、9、7；

第二行：7、4、9、3、8、2、6、5、1；

第三行：8、5、1、9、6、7、4、2、3；

第四行：1、6、4、8、2、9、7、3、5；

第五行：3、8、7、1、5、4、2、6、9；

第六行：5、9、2、7、3、6、1、4、8；

第七行：9、7、5、2、4、1、3、8、6；

第八行：6、2、3、5、7、8、9、1、4；

第九行：4、1、8、6、9、3、5、7、2。

網(wǎng)格每個(gè)角上形成二乘二正方形的四個(gè)單元格用藍(lán)色陰影表示，網(wǎng)格中心九個(gè)單元格周圍的 16 個(gè)單元格用橙色陰影表示。

在我們最近的“ 專家數(shù)獨(dú) ”示例中，橙色圈中有三個(gè) 7，角落的藍(lán)色 2×2 方格中也有三個(gè) 7。同樣，橙色圈中沒(méi)有 8，藍(lán)色方格中也沒(méi)有 8，以此類推。請(qǐng)解釋為什么每個(gè)數(shù)獨(dú)謎題都會(huì)出現(xiàn)這種情況。

提示：

我們?nèi)绾沃涝谕瓿傻臄?shù)獨(dú)網(wǎng)格中，下面的橙色單元格和藍(lán)色單元格將包含相同的數(shù)字？

我們知道，根據(jù)數(shù)獨(dú)規(guī)則，網(wǎng)格的整個(gè)中間列和整個(gè)中間行必須包含相同的數(shù)字：每行和每列都有數(shù)字 1 到 9。此外，謎題的中間單元格對(duì)于這兩個(gè)集合都是公共的，因此如果將其從兩個(gè)集合中移除，它們?nèi)匀幌嗟取?/p>

要解決本謎題，請(qǐng)找到兩組你知道包含相同數(shù)字的單元格，然后刪除它們共有的單元格以創(chuàng)建所需的模式。

答案：

點(diǎn)擊下方謎題原文鏈接或回復(fù)“SAMP20250802”查看中文版答案。

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-sudoku-surprise/

完整的數(shù)獨(dú)中的每一列都包含數(shù)字 1 到 9。因此，下面以藍(lán)色突出顯示的四列總共包含四個(gè) 1、四個(gè) 2、四個(gè) 3，等等。

類似地，下面以橙色突出顯示的單元格包含兩整行和兩個(gè)完整的 3 x 3 框，因此它們也恰好包含四個(gè) 1、四個(gè) 2、四個(gè) 3，等等。

換句話說(shuō)，下面的橙色和藍(lán)色集合包含相同的數(shù)字組成。

刪除橙色和藍(lán)色共有的單元格可以得到我們想要的模式并保持集合的相等。

數(shù)獨(dú)社區(qū)將這種模式稱為“Phistomefel環(huán)”。它以一位推廣這一觀察結(jié)果并圍繞它設(shè)計(jì)各種數(shù)獨(dú)謎題的謎題設(shè)計(jì)者的別名命名。

日期：2025-7-26

作者：馬丁·加德納

問(wèn)題：切立方體和甜甜圈

一位以善于將三維結(jié)構(gòu)形象化而聞名的工程師正在喝咖啡、吃甜甜圈。在往杯子里扔方糖之前，他把方糖放在桌子上，心想：“如果我用一個(gè)水平面穿過(guò)立方體的中心，它的橫截面當(dāng)然是正方形。如果我用垂直面穿過(guò)立方體的中心和四個(gè)角，它的橫截面就是一個(gè)長(zhǎng)方形?，F(xiàn)在，假設(shè)我用這個(gè)平面這樣切開(kāi)立方體?！?/p>

令他驚訝的是，他腦海中的橫截面圖像是一個(gè)正六邊形。這個(gè)切片是怎么切出來(lái)的？如果立方體的邊長(zhǎng)是半英寸，那么六邊形的邊長(zhǎng)是多少？

工程師把冰塊丟進(jìn)咖啡里后，把注意力轉(zhuǎn)向了盤子上平放的甜甜圈?！叭绻野岩粋€(gè)平面水平穿過(guò)中心，”他自言自語(yǔ)道，“橫截面會(huì)是兩個(gè)同心圓。如果我把平面垂直穿過(guò)中心，橫截面會(huì)是兩個(gè)圓，它們相距一個(gè)洞的寬度。但如果我把平面這樣旋轉(zhuǎn)……”他驚訝地吹了聲口哨。橫截面由兩個(gè)相交的完美圓組成！

這片甜甜圈是怎么做出來(lái)的？如果甜甜圈是一個(gè)完美的圓環(huán)，外徑為3英寸，圓孔直徑為1英寸，那么相交圓的直徑是多少？

答案：

點(diǎn)擊下方謎題原文鏈接或回復(fù)“SAMP20250726”查看中文版答案。

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-slice-cube-doughnut/

日期：2025-7-19

作者：Jack Murtagh

問(wèn)題：素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)）時(shí)間

找到一百萬(wàn)個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，其中沒(méi)有一個(gè)是質(zhì)數(shù)。

古代數(shù)學(xué)告訴我們，質(zhì)數(shù)（2，3，5，7，11，……），除了1和它本身沒(méi)有其他因數(shù)，是無(wú)窮無(wú)盡的，但更現(xiàn)代的數(shù)學(xué)補(bǔ)充說(shuō)，隨著數(shù)字的增大，質(zhì)數(shù)變得越來(lái)越稀少。事實(shí)上，連續(xù)質(zhì)數(shù)之間的距離沒(méi)有上限。你的任務(wù)是構(gòu)造一個(gè)一百萬(wàn)個(gè)非質(zhì)數(shù)連續(xù)排列的特定例子。

提示：

如果一個(gè)數(shù)能被2整除，那么加上2后會(huì)產(chǎn)生另一個(gè)能被2整除的數(shù)。

同樣，如果一個(gè)數(shù)能被3整除，那么加上3后會(huì)產(chǎn)生另一個(gè)能被3整除的數(shù)。

試著擴(kuò)展這個(gè)觀察。

答案：

點(diǎn)擊下方謎題原文鏈接或回復(fù)“SAMP20250719”查看中文版答案。

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-prime-time/

我們將從找到10個(gè)連續(xù)的非質(zhì)數(shù)開(kāi)始，這種方法可以輕松擴(kuò)展到一百萬(wàn)。

如果一個(gè)數(shù)能被2整除，那么加上2后會(huì)產(chǎn)生另一個(gè)能被2整除的數(shù)。同樣，如果一個(gè)數(shù)能被3整除，那么加上3后會(huì)產(chǎn)生另一個(gè)能被3整除的數(shù)。所以如果我們從一個(gè)能被10個(gè)連續(xù)數(shù)整除的數(shù)開(kāi)始，那么我們可以將這10個(gè)數(shù)中的每一個(gè)加到它上面，以產(chǎn)生10個(gè)連續(xù)的非質(zhì)數(shù)。

考慮將前11個(gè)數(shù)相乘：1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × 11。這被稱為11的階乘（寫(xiě)作11!）。按照設(shè)計(jì)，它可以被從2到11（10個(gè)連續(xù)的數(shù)）的每個(gè)數(shù)整除。所以11! + 2能被2整除，11! + 3能被3整除，11! + 4能被4整除，以此類推，直到11! + 11。我們已經(jīng)找到了10個(gè)連續(xù)的非質(zhì)數(shù)。注意，如果我們從10!而不是11!開(kāi)始，我們只能保證有9個(gè)連續(xù)的非質(zhì)數(shù)。

同樣的技巧也適用于一百萬(wàn)：從2到1000001形成一百萬(wàn)個(gè)連續(xù)的數(shù)，而1000001!能被它們中的每一個(gè)整除。所以我們的答案是：

1000001! + 2，1000001! + 3，1000001! + 4，...，1000001! + 1000001

讀者來(lái)信：

題目要求的并不是一百萬(wàn)個(gè)連續(xù)非素?cái)?shù)的最小值，但數(shù)學(xué)家們喜歡進(jìn)行優(yōu)化，因此有幾位讀者寫(xiě)下了尋找符合要求的較小序列的想法。

我們最初的解決方案是：

1000001！+ 2，1000001！+ 3，1000001！+ 4，...，1000001！+ 1000001

讀者 Mike Thwaites 提出了一個(gè)巧妙的調(diào)整，將加號(hào)替換為減號(hào)：

1000001！– 2，1000001！– 3，1000001！– 4，...，1000001！– 1000001

這些項(xiàng)中的每一個(gè)都是非素?cái)?shù)，就像它們通過(guò)加法形成的對(duì)應(yīng)項(xiàng)一樣，并且我們確實(shí)在數(shù)軸上將事物移到了更早的位置，盡管只是稍微移了一下。

另一位讀者 Mike O'Connor 發(fā)現(xiàn)了一個(gè)明顯更小的數(shù)列。

我們不需要將 2 到 1000001 之間的所有數(shù)字相乘，而只需將 2 到 1000001 之間的質(zhì)數(shù)相乘即可。將此乘積稱為 P。 然后， P + 2， P + 3，...， P + 1000001 構(gòu)成了一百萬(wàn)個(gè)連續(xù)的非質(zhì)數(shù)。

理解這一點(diǎn)需要一點(diǎn)思考。如果 k 是 2 到 1000001 之間的數(shù)字，那么為什么 P + k 必然不是質(zhì)數(shù)？有兩種情況：如果 k 是質(zhì)數(shù)，根據(jù)定義 P 可以被 k 整除，因此 P + k 也能被 k 整除，因此P + k 不是質(zhì)數(shù)。如果 k 不是質(zhì)數(shù)，那么一定存在一個(gè)更小的質(zhì)數(shù)可以整除它 。這個(gè)更小的質(zhì)數(shù)也能整除 P ，所以 P + k 不可能是質(zhì)數(shù)。

感謝讀者們分享他們的想法。

日期：2025-7-12

作者：Emma R. Hasson

問(wèn)題：多少次握手？

Leila和Sahar和其他四對(duì)夫婦一起參加了一個(gè)晚宴。每位參與者都認(rèn)識(shí)自己的伴侶，但他們可能認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)那里的人。在五對(duì)夫婦坐下吃飯之前，不認(rèn)識(shí)彼此的人互相握手。大家坐下后，Leila對(duì)餐桌說(shuō)：“我剛剛注意到你們中沒(méi)有人握手次數(shù)相同?！盠eila和Sahar各自握手了多少次？（數(shù)學(xué)家Lars Bertil Owe的問(wèn)題變體，由馬丁·加德納在1973年5月《科學(xué)美國(guó)人》的數(shù)學(xué)游戲?qū)谥薪榻B過(guò)。)

答案：

點(diǎn)擊下方謎題原文鏈接或回復(fù)“SAMP20250712”查看中文版答案。

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-count-handshakes/

任何人最多只能握手八次——他們不會(huì)與自己的手或伴侶的手握手。這樣，除了桌子上的Leila之外，剩下的九個(gè)人可能的握手次數(shù)正好是九：0次、1次、2次、3次、4次、5次、6次、7次、8次。你可以通過(guò)給每個(gè)人分配握手次數(shù)，并考慮誰(shuí)必須和誰(shuí)成為伴侶來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。（畫(huà)一張所有握手的圖可能有所幫助。）第8個(gè)人必須和除了0之外的所有人握手（因?yàn)?沒(méi)有握手），這意味著0必須是8的伴侶。然后1已經(jīng)用完了與8的握手，所以第7個(gè)人除了0和1之外都握手。0已經(jīng)有了伴侶，所以7的伴侶必須是1。我們可以繼續(xù)這樣下去，發(fā)現(xiàn)6和2是伴侶，5和3是伴侶。4是唯一一個(gè)沒(méi)有伴侶的人，所以4必須是Sahar，Leila的伴侶，她握手了四次。Leila和8、7、6、5握手，所以Leila也恰好握手了四次。

參考資料

https://www.scientificamerican.com/games/math-puzzles/

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