古希臘的數(shù)學(xué)成就（上）

在巴比倫和埃及人積累的大量數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，希臘人把數(shù)學(xué)推進(jìn)到一個(gè)新的階段——初等數(shù)學(xué)的開創(chuàng)時(shí)期。希臘人一方面繼承了巴比倫和埃及數(shù)學(xué)的成果，另一方面又有創(chuàng)造性的發(fā)展。他們不僅把數(shù)學(xué)作為解決實(shí)際問題的工具，而且把數(shù)學(xué)看作是理解宇宙奧秘的鑰匙，他們把數(shù)學(xué)的研究范圍擴(kuò)大到當(dāng)時(shí)自然研究的一切領(lǐng)域；他們把邏輯證明引進(jìn)數(shù)學(xué)，從而使數(shù)學(xué)由經(jīng)驗(yàn)知識(shí)上升為理論知識(shí)，特別是初等幾何，它的演繹的理論形式被推崇為數(shù)學(xué)科學(xué)的典范，其影響一直持續(xù)到今。

1.泰勒斯的工作

古希臘的第一位著名數(shù)學(xué)家是泰勒斯，他被認(rèn)為是希臘幾何學(xué)的始祖。泰勒斯的幾何學(xué)知識(shí)最初是跟埃及人學(xué)的。在埃及，由于尼羅河水常常泛濫，也就需要經(jīng)常重新丈量土地，所以幾何學(xué)的一些知識(shí)最早是埃及人發(fā)現(xiàn)的。據(jù)說，泰勒斯在埃及旅行時(shí)，曾巧妙地利用幾何學(xué)知識(shí)解決了一個(gè)難題。當(dāng)時(shí)，埃及祭司們想測(cè)量金字塔的高度，但又找不到測(cè)量的方法。泰勒斯則利用他學(xué)到的幾何學(xué)知識(shí)解決了這一難題。他的具體方法歷史上有兩種不同的說法。一種說法是，泰勒斯在陽光以45°的角度照射金字塔時(shí)，根據(jù)金字塔陰影的長(zhǎng)度求得了結(jié)果：金字塔高就等于陰影的長(zhǎng)度。這個(gè)傳說似乎表明泰勒斯已具有等腰三角形的知識(shí)。

還有一種說法是，泰勒斯用一根已知長(zhǎng)度的桿子，通過同時(shí)測(cè)量桿影和金字塔影的長(zhǎng)度，利用桿影長(zhǎng)與塔影長(zhǎng)的比等于桿高與塔高的比，算出塔高。這種說法則表明泰勒斯已懂得比例的道理。但是，也有人提出疑問，金字塔的底非常大，影長(zhǎng)是從影子的頂點(diǎn)到金字塔底的中心，這個(gè)影長(zhǎng)是難以直接量的。后人提出，可能的辦法是作兩次觀測(cè)。第一次觀測(cè)時(shí)記下桿影頂點(diǎn)在A處，塔影頂點(diǎn)在a處；第二次觀測(cè)時(shí)記下桿影頂點(diǎn)在B處，塔影頂點(diǎn)在b處。AB與ab的比就等于桿高和塔高的比，從而求出金字塔的高度①?？偠灾?，泰勒斯的成就超過了他的老師們。

埃及人的幾何學(xué)知識(shí)還只是停留在經(jīng)驗(yàn)的層次上，到泰勒斯，幾何學(xué)開始建立在一般原理的演繹基礎(chǔ)上，后人把幾條最早的幾何定理歸于泰勒斯的發(fā)現(xiàn)，這成為他在幾何學(xué)上的主要貢獻(xiàn)。這幾條定理是：①圓的直徑平分圓周；②內(nèi)接于半圓的角是直角；③等腰三角形的兩個(gè)底角相等；④兩條直線相交時(shí)，對(duì)頂角相等；⑤兩個(gè)三角形有一邊及這邊上的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形全等。

據(jù)載，泰勒斯曾應(yīng)用兩個(gè)三角形全等的定理，測(cè)定船舶離岸的遠(yuǎn)近。他的求法是這樣的：A是岸上一點(diǎn)，船在A的正前方P點(diǎn)。在岸上作AP的垂線AB，找出AB的中點(diǎn)C。測(cè)量者沿垂直于AB的方向走，直到在K點(diǎn)觀測(cè)使K、C、P三點(diǎn)在一條直線上。可以知道三角形APC與三角形BKC全等，從而AP等于BK；BK可以直接測(cè)量出，那么從岸上一點(diǎn)A到船的距離就可以得到。

至于泰勒斯是否對(duì)上述定理作過證明，現(xiàn)在還沒有發(fā)現(xiàn)這方面的資料。這些定理很可能是在大量觀察的基礎(chǔ)上，經(jīng)過反復(fù)實(shí)踐證明，成為大家公認(rèn)的事實(shí)。泰勒斯只不過予以抽象和總結(jié)。

2.芝諾悖論與極限思想

芝諾(約公元前496～前430)是古希臘愛利亞學(xué)派奠基人巴門尼德的學(xué)生，是愛利亞學(xué)派的主要活動(dòng)人物。在哲學(xué)史上，芝諾提出的關(guān)于運(yùn)動(dòng)的4個(gè)悖論是占有重要地位的。芝諾悖論的提出，是為了論證運(yùn)動(dòng)的不存在。但是，這4個(gè)悖論中卻也蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想。

根據(jù)亞里士多德的記載，這4個(gè)悖論是：

①二分法。一個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體在到達(dá)目的地之前必須先到全路程的一半。進(jìn)一步分析，要走完全路程的一半，則必須先到這一半的一半，即全路程的1/4；依此類推，要先走、1/81/16、……1/n。這樣分下去，是無窮無盡的。芝諾的結(jié)論是物體不可能在有限的時(shí)間里走完無限個(gè)一半而到達(dá)終點(diǎn)，他是以此否認(rèn)運(yùn)動(dòng)的。

②阿喀琉斯。阿喀琉斯是全希臘跑得最快的人，但芝諾卻說阿喀琉斯迫不上烏龜。雖然，阿喀琉斯跑得快，烏龜跑得慢，但是烏龜在前面，阿喀琉斯在趕上烏龜之前，必須先到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)，可這時(shí)烏龜又爬過了一段路程。以此類推，烏龜總可以在阿喀琉斯前面一段。芝諾論證了最快的不可能趕上最慢的，以此來否認(rèn)運(yùn)動(dòng)。

③飛矢不動(dòng)。時(shí)間是瞬間的總和，而飛矢在每個(gè)瞬間都靜止在一個(gè)位置上。因此飛矢不動(dòng)。芝諾以飛矢不動(dòng)這一矛盾的說法，來否認(rèn)運(yùn)動(dòng)的存在。

④運(yùn)動(dòng)場(chǎng)。芝諾用運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上兩排數(shù)目相同、大小相等的物體，各以相同速度按相反方向相互通過來論證這樣一個(gè)結(jié)論：一段時(shí)間和它的一半相等。先是A、B、C首尾對(duì)齊，經(jīng)過t時(shí)間后，B向左移動(dòng)一位，而C向有移動(dòng)一位，這都是相對(duì)于A所言。拿C和B比，C移動(dòng)了兩位，要使C移動(dòng)一位，只要t的一半時(shí)間就夠了按照梁宗巨先生的觀點(diǎn)，芝諾進(jìn)一步則可導(dǎo)出極限的思想?？上У氖?，芝諾悖論中的數(shù)學(xué)思想因其哲學(xué)觀點(diǎn)的錯(cuò)誤而未能得到發(fā)展。不過，芝諾悖論產(chǎn)生的影響仍是深遠(yuǎn)的，哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家都從各自的學(xué)科出發(fā)去進(jìn)行分析。因此，芝諾悖論對(duì)這些學(xué)科的發(fā)展起了促進(jìn)作用。在當(dāng)時(shí)，則至少可以說，芝諾悖論是把連續(xù)與離散的關(guān)系問題突出出來了。

3.雅典智者學(xué)派與三大作圖難題

雅典的智者學(xué)派，也稱為詭辯學(xué)派。在雅典成為希臘各城邦的經(jīng)濟(jì)中心和文化中心以后，不同學(xué)派、不同地域的學(xué)者，被吸引到雅典來了，智者學(xué)派里就包括有多方面的學(xué)者。他們數(shù)學(xué)研究的中心問題是所謂"三大問題"：做一立方體，使其體積等于給定立方體體積的二倍；三等分任意角；做一正方形，使其面積等于給定圓的面積。這"三大問題"，由于不能用直尺和圓規(guī)做出，也被稱為"幾何三大難題"。

第一個(gè)難題簡(jiǎn)稱為"倍立方"問題。關(guān)于這一難題研究的起因曾有一個(gè)傳說：第羅斯地方發(fā)生了瘟疫，人們求教于巫神，巫神回答說，應(yīng)當(dāng)把現(xiàn)有的立方體祭壇加倍。人們?cè)噲D通過把立方體的棱長(zhǎng)加倍來得到新的祭壇，但沒有成功。據(jù)說，還曾請(qǐng)教過柏拉圖，柏拉圖則告訴人們，巫神本意并不在于要加倍的祭壇，而只是借此教訓(xùn)人們不重視數(shù)學(xué)、對(duì)幾何不夠尊崇。聯(lián)想到柏拉圖學(xué)園入口處掛著"非幾何學(xué)家不得入內(nèi)"的牌子，似乎不是巫神而是柏拉圖在教訓(xùn)人們。當(dāng)時(shí)希臘人已經(jīng)知道以正方形的對(duì)角線為邊作正方形，這個(gè)正方形的面積是原正方形面積的兩倍。怎樣得到兩倍于原立方體體積的新立方體，自然會(huì)成為人們很想知道的問題。顯然，如果原立方體的棱長(zhǎng)為a，那么新立方體的棱長(zhǎng)應(yīng)為2a的3次方根，這樣新立方體的體積才是原立方體體積的兩倍。但是，在只限于用沒有刻度的直尺和圓規(guī)的情況下，是沒有辦法作出這一立方體的，這是名符其實(shí)的一個(gè)難題。

第二個(gè)難題的產(chǎn)生與第一個(gè)難題有類似的情況，當(dāng)時(shí)人們已能對(duì)任意角二等分，自然要進(jìn)一步想知道怎樣才能三等分任意角。對(duì)此，智者學(xué)派的主要代表人物喜庇亞斯創(chuàng)設(shè)了一種"割圓曲線"，試圖解決三等分任意角問題。他的思路大致如下：在矩形ABCD中，BC邊勻速地平行下降與AD邊重合；同時(shí)，AB邊勻速地繞A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，與AD邊重合。那么，下降的BC邊與旋轉(zhuǎn)的AB邊交點(diǎn)的軌跡就是割圓曲線。這條曲線上每一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)與相應(yīng)的夾角成正比這樣，問題就轉(zhuǎn)化為將AB邊任意等分的問題。這還只是是解決了全部問題的一半，因?yàn)榍€BG是無法由尺規(guī)確定的。

第三個(gè)難題簡(jiǎn)稱"化圓為方"問題。雅典數(shù)學(xué)家希波克拉茨(公元前5世紀(jì)），雖不屬智者學(xué)派，但他在化圓為方問題上做了許多工作。三角形ABC是一內(nèi)接中心為O的半圓的等腰直角三角形。邊AC和邊BC分別為半圓ADC和半圓BEC的直徑?？梢缘迷卵佬侮幱安糠值拿娣e等于三角形AOC的面積。這樣，希波克拉茨雖然將一個(gè)以曲線弧為邊的月牙形面積"化"為一個(gè)直邊圖形(三角形）的面積，但是，化圓為方的問題還是沒有解決。由于化圓為方的問題實(shí)際上是要求得出線段r(圓半徑）和π的積，因此無法由尺規(guī)作出。

這三大作圖難題吸引了許多數(shù)學(xué)家的注意，也耗費(fèi)了不少數(shù)學(xué)家的心血。最終，人們終于明白了用尺規(guī)實(shí)際上是無法解決這些問題的。不過，在對(duì)這三大難題的求解過程中，也產(chǎn)生了一些有意義的副產(chǎn)品。喜庇亞斯和希波克拉茨等有關(guān)圓和直線以外的曲線的研究就是其中之一，對(duì)曲線研究的進(jìn)一步發(fā)展所取得的結(jié)果，構(gòu)成了希臘數(shù)學(xué)的一個(gè)重要貢獻(xiàn)。

還有間接的副產(chǎn)品，智者學(xué)派的安提豐(公元前5世紀(jì)）在解決化圓為方問題時(shí)，提出了用邊數(shù)不斷增加的內(nèi)接多邊形可接近圓面積的想法，這種思想已經(jīng)具有窮竭法的萌芽。問題的提出與求解推動(dòng)了數(shù)學(xué)的進(jìn)步，三大作圖難題解題過程中的副產(chǎn)品，是對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展很有價(jià)值的成果。

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