Introduction to Black Hole Thermodynamics

黑洞熱力學(xué)導(dǎo)論

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2412.16795

摘要：

這些筆記旨在介紹黑洞熱力學(xué)的基礎(chǔ)知識。在闡述貝肯斯坦最初提出的黑洞具有熵的觀點(diǎn)之后，我們討論了霍金關(guān)于黑洞輻射的發(fā)現(xiàn)、其在倫德勒空間中的類似現(xiàn)象——安魯效應(yīng)、黑洞熱力學(xué)的歐幾里得方法、馮·諾依曼熵及其應(yīng)用的一些基礎(chǔ)知識、Ryu-Takayanagi公式，以及白洞的本質(zhì)。

1 引言

幾乎人人都知道關(guān)于黑洞的一件事：穿越黑洞視界是一趟單程旅行。根據(jù)經(jīng)典廣義相對論，進(jìn)入黑洞的物體不會再出來，換句話說，進(jìn)入黑洞是不可逆的。

這種不可逆性顯然與基本物理原理之間存在張力。例如，如果量子演化由一個厄米哈密頓量 H所支配，并且從態(tài) ψ到態(tài) χ的躍遷存在非零矩陣元 ?χ∣H∣ψ?，那么必然存在復(fù)共軛的矩陣元 ?ψ∣H∣χ?，對應(yīng)于反向躍遷。

另一方面，不可逆性在日常生活中卻很常見，正如一首耳熟能詳?shù)挠⑽耐{所描述的那樣。蛋頭先生（Humpty Dumpty）被描繪成一個坐在墻上的雞蛋。一旦這只雞蛋摔落破碎，“國王所有的馬和國王所有的兵都無法再把蛋頭先生拼回原樣”。

經(jīng)典物理學(xué)家曾察覺到這種不可逆性與自然定律應(yīng)具有時間反演不變性之間的某種張力。這一張力隨著熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)的發(fā)展而基本得到解決：不可逆過程即熵增的過程。那些熵減少的過程——例如，地板上破碎的雞蛋自發(fā)重組并跳回墻上——原則上可以發(fā)生，但需要對初態(tài)進(jìn)行極端精細(xì)的調(diào)節(jié)，因此在實(shí)際中發(fā)生的概率呈指數(shù)級地小。

黑洞熱力學(xué)的基本思想是：物體被黑洞吸收時發(fā)生的不可逆性，類似于普通物理中熟悉的統(tǒng)計(jì)不可逆性。當(dāng)一個物體落入黑洞時，熵增加；而時間反演的情形——黑洞自發(fā)地發(fā)射出同一物體——雖然可能，但同樣需要精細(xì)調(diào)節(jié)的初始條件，因此幾乎不可能發(fā)生，就像破碎的雞蛋自發(fā)復(fù)原一樣。

自從半個多世紀(jì)前貝肯斯坦（Bekenstein）[1] 和霍金（Hawking）[2] 的開創(chuàng)性工作，以及克里斯托多羅（Christodoulou）[3] 和巴丁（Bardeen）、卡特（Carter）與霍金 [4] 的相關(guān)經(jīng)典觀察以來，黑洞熱力學(xué)提出了許多關(guān)于量子力學(xué)和引力基本本質(zhì)的深刻問題。本文旨在對這一迷人主題提供一個溫和的入門介紹。我們希望所講內(nèi)容足以引導(dǎo)讀者入門，但許多重要的方面（無論新舊）均被省略。相關(guān)文獻(xiàn)浩如煙海，無法在此全面綜述。部分早期成果可參見 [5] 的第12與14章，以及 [6] 中卡特、吉本斯（Gibbons）和霍金的文章；當(dāng)代進(jìn)展的一些簡要介紹可參見例如 [7, 8]。更深入理解本主題所需的經(jīng)典廣義相對論背景知識可在 [5] 第8、9章及 [9] 中找到。

本文第2節(jié)描述貝肯斯坦關(guān)于黑洞熵的啟發(fā)式提議；霍金關(guān)于黑洞量子輻射的著名發(fā)現(xiàn)是第3節(jié)和第4節(jié)的主題；第5節(jié)探討倫德勒（Rindler）時空與安魯（Unruh）效應(yīng)，為理解量子黑洞某些本質(zhì)特征提供了一個簡化框架；第6節(jié)引入黑洞熱力學(xué)的歐幾里得方法；第7節(jié)引入微觀的馮·諾依曼熵（區(qū)別于宏觀熱力學(xué)熵）；第8節(jié)在一般意義上討論其在黑洞背景下的應(yīng)用，第9節(jié)則更具體地在Ryu–Takayanagi公式的框架下展開；最后，第10節(jié)探討“白洞是什么？”這一問題。

2 黑洞熵與廣義第二定律熱力學(xué)第二定律

指出：在我們實(shí)際可觀測的任何過程中，熵永不減少。此處的熵指的是通常的熱力學(xué)熵（在第7節(jié)，我們將討論一個相關(guān)但不同的概念——微觀的馮·諾依曼熵）。自然界定律允許熱力學(xué)熵減少的過程發(fā)生，但在實(shí)踐中這些過程幾乎不可能出現(xiàn)。

然而，貝肯斯坦受其導(dǎo)師約翰·惠勒（John Wheeler）所提問題的啟發(fā)，注意到：如果我們把一杯茶扔進(jìn)黑洞，并假設(shè)黑洞本身的熵為零，那么總熵似乎減少了。為避免得出這一過程違反第二定律的結(jié)論，貝肯斯坦希望賦予黑洞一個熵，使得當(dāng)物質(zhì)落入黑洞時，第二定律依然成立。為此，他需要將黑洞的熵賦予一個在經(jīng)典廣義相對論中總是增加的量。

黑洞的哪個屬性是只能增加的呢？黑洞質(zhì)量并非總是增加。例如，一個旋轉(zhuǎn)的黑洞會隨著自轉(zhuǎn)減慢而損失質(zhì)量。但確實(shí)存在一個總是增加的量?；艚饎倓傋C明了“面積定理”[10]，該定理指出：在經(jīng)典廣義相對論中，黑洞視界的面積只能增加。因此，貝肯斯坦很自然地提出：黑洞的熵應(yīng)當(dāng)正比于其視界面積。例如，對于質(zhì)量為 M的史瓦西（Schwarzschild）黑洞，其線元為：

由于熵是無量綱的，3 若黑洞熵是視界面積的倍數(shù)，則比例常數(shù)將具有“面積倒數(shù)”的單位。從基本常數(shù) ?、c 和 G 出發(fā)，可構(gòu)造普朗克長度 ?? = (?G/c3)1/2 和普朗克面積 ??2 = ?G/c3。在 c=1 的單位制下，貝肯斯坦提出的黑洞熵公式為：

其中，系數(shù) 1/4 在貝肯斯坦的工作中尚不明確，幾年后由霍金確定。包含該 1/4 因子的公式通常被稱為“貝肯斯坦-霍金熵”。

根據(jù)此公式，黑洞熵在通常意義上可異常巨大。例如，一個質(zhì)量與太陽相當(dāng)?shù)暮诙?，其熵約為 10??，大約是真實(shí)太陽熵的 101? 倍。我們在公式 (2.3) 中包含了 ??1 因子，以強(qiáng)調(diào)該公式本質(zhì)上是量子力學(xué)的；但此后我們將設(shè) ?=1。

貝肯斯坦認(rèn)為，黑洞熵衡量的是黑洞可能形成的途徑數(shù)量。他定義了“廣義熵”——即黑洞熵 A/4G 與視界外物質(zhì)和輻射的普通熵 S_out 之和：

廣義熵被提出應(yīng)服從“廣義第二定律”，即在我們實(shí)際可觀測的所有過程中，它永不減少：

貝肯斯坦考慮了幾個對廣義第二定律的檢驗(yàn)。為簡化起見，以下我們考慮史瓦西黑洞，旨在檢驗(yàn)當(dāng)黑洞吸收物質(zhì)時，廣義第二定律（2.5）是否成立。由于貝肯斯坦將 Sout 視為通常的熱力學(xué)熵，因此廣義第二定律（2.5）的陳述假設(shè)：被黑洞吸收的物質(zhì)系統(tǒng)滿足熱力學(xué)適用條件，即至少處于局部熱力學(xué)平衡。? 一個簡單的例子是黑洞吸收一束黑體輻射，設(shè)其溫度為 T。

在 3+1 維中，? 黑體輻射的能量 E、溫度 T 與熵 S 之間的關(guān)系為 E = (3/4)TS。若一個質(zhì)量為 M 的黑洞從黑體輻射中吸收能量 E ? M，其熵 A/4G = 4πGM2 將增加 8πGME，而輻射的熵則減少 ΔSout = 4E/(3T)。廣義熵的變化為

具體而言，只要 πr? > 1/3T，即典型的光子波長（約為 1/T）遠(yuǎn)小于黑洞半徑 r? = 2GM，該值便為正。

然而，若溫度 T 小到使典型光子波長遠(yuǎn)大于史瓦西半徑，則 ΔS_gen 變?yōu)樨?fù)值。黑洞雖能吸收如此長波長的光子，但效率不高。在貝肯斯坦所假設(shè)的框架內(nèi)——即任何落入黑洞視界后的物質(zhì)將永遠(yuǎn)停留——這種當(dāng)黑洞吸收極長波長光子時熵看似減少的現(xiàn)象，并無令人滿意的解釋。從熱力學(xué)角度講，由于貝肯斯坦假設(shè)黑洞不輻射，人們不得不將其溫度賦值為 0。熱力學(xué)指出，在平衡狀態(tài)下，系統(tǒng)的能量 E 和熵 S 的變化滿足 dE = TdS 或 dS = dE/T，因此一個溫度 T=0 的系統(tǒng)，若 dE ≠ 0，則應(yīng)有 dS = ∞。但貝肯斯坦希望賦予黑洞一個有限而非無限的熵。

事實(shí)證明，理解吸收能量 ? 1/2GM 光子的黑洞廣義第二定律的關(guān)鍵在于：必須考慮黑洞本身會強(qiáng)烈輻射此類光子這一事實(shí)。下一節(jié)我們將解釋霍金是如何發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)的。

宏觀黑洞巨大的熵 A/4G 似乎意味著它擁有約 e?/?? 個量子態(tài)，盡管目前對這些態(tài)的理解仍很模糊（除超對稱黑洞這一重要特例外 [11]）。量子黑洞所蘊(yùn)含的巨大簡并度乍看之下似乎與經(jīng)典廣義相對論中的“無毛定理”[12, 13] 相矛盾。無毛定理斷言，經(jīng)典上，黑洞在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，完全由其顯而易見的守恒量——質(zhì)量、角動量和電荷——所刻畫。實(shí)際上，在黑洞熱力學(xué)中，無毛定理被理解為代表熱化過程。一個普通的熱力學(xué)系統(tǒng)也具有某種“無毛”行為：將一杯水倒入玻璃杯中，水會晃動一段時間，顯然未達(dá)熱平衡；過一段時間后，瞬態(tài)消退，杯中的水看似處于熱平衡，僅可用其守恒量描述，盡管其詳細(xì)的微觀狀態(tài)無法用真正的熱密度矩陣來描述。? 無毛定理被詮釋為：黑洞亦如此。

3 黑洞蒸發(fā)

眾所周知，霍金于1974年發(fā)現(xiàn)，在量子層面，黑洞并非真正“黑”的。據(jù)報(bào)道，霍金最初對貝肯斯坦的想法持懷疑態(tài)度，但最終卻證明了它。

為描述霍金的工作做準(zhǔn)備，讓我們先回顧一下彭羅斯圖的概念。

彭羅斯圖通常用于描繪球?qū)ΨQ時空。角坐標(biāo)被省略；僅顯示時間和一個徑向坐標(biāo)。繪制彭羅斯圖的主要目的是以一種有用的方式展示因果關(guān)系。該圖的繪制方式使得徑向向內(nèi)或向外的零測地線與垂直方向成 π/4 角，而任何因果曲線（任何零或類時曲線）與垂直方向的夾角至多為 π/4。由于曲線為因果性的條件在共形坐標(biāo)變換下保持不變，人們通常進(jìn)行共形映射，使整個圖變得緊湊，從而在無窮遠(yuǎn)處的漸近區(qū)域也易于觀察。

一個重要的例子是描述恒星球?qū)ΨQ坍縮為史瓦西黑洞的彭羅斯圖，如圖1所示。圖像左側(cè)的垂直邊界是 r=0 處極坐標(biāo)系的原點(diǎn)。綠色部分表示恒星的世界體積。

（恒星看似從遙遠(yuǎn)過去的某一點(diǎn)發(fā)出，這是繪制該圖所用共形映射造成的人工產(chǎn)物。）恒星在其生命終點(diǎn)處的奇點(diǎn)結(jié)束，由圖頂部的波浪線表示。未來和過去的零無窮遠(yuǎn)由右側(cè)邊界上的對角線表示，并已標(biāo)注。黑洞的視界是圖內(nèi)部的一條對角黑色直線。由于因果曲線相對于視界的傳播角度不超過 π/4，位于視界外的觀測者永遠(yuǎn)無法看到視界之外。一個始終停留在視界外（且不無限加速）的大質(zhì)量觀測者的世界線將在點(diǎn) i?（稱為未來無窮遠(yuǎn)，即視界與未來零無窮遠(yuǎn)相交之處）終結(jié)。從視界外時空任何位置可見的一切，均可從 i? 看到。大質(zhì)量觀測者的生命始于遙遠(yuǎn)的過去，即圖底部標(biāo)記為 i? 的點(diǎn)。

霍金關(guān)于黑洞蒸發(fā)的發(fā)現(xiàn)基于對量子場在特定經(jīng)典時空背景（取為質(zhì)量為 M 的史瓦西黑洞）中行為的研究。如果 M 遠(yuǎn)大于普朗克質(zhì)量 (?c/G)1/2（約 10?? 克），這可能是一個合理的近似。等價地，若黑洞的史瓦西半徑遠(yuǎn)大于普朗克長度 (?G/c3)1/2 ≈ 10?33 厘米，則此近似也可能成立。當(dāng)然，四維彎曲時空中的量子場論框架可能在達(dá)到普朗克長度前就已失效（例如由于弦論或卡魯扎-克萊因理論），但無論如何，我們期望天體物理中常見的巨大黑洞距離這種失效還非常遙遠(yuǎn)。因此，對于一個真實(shí)的天體物理黑洞而言，霍金的近似預(yù)計(jì)是極好的。

我們希望分析一個遠(yuǎn)離坍縮恒星的觀測者在未來遙遠(yuǎn)時刻、當(dāng)瞬態(tài)過程結(jié)束后所能看到的現(xiàn)象。作為一種理想化假設(shè)，假設(shè)觀測到的是諸如電磁場之類的無質(zhì)量場，可以認(rèn)為這些觀測是在未來零無窮遠(yuǎn)處進(jìn)行的，更具體地說是在其上邊界（即終點(diǎn)為點(diǎn) i? 的位置）附近進(jìn)行的。這些條件對應(yīng)于在遠(yuǎn)離黑洞且處于遙遠(yuǎn)未來的地點(diǎn)進(jìn)行觀測。

觀測者在或接近未來零無窮遠(yuǎn)處所做的測量，可追溯回某個柯西方程面上的初始條件。為此，我們可以選擇任意我們想要的柯西方程面。方便起見，可以選擇一個穿過坍縮恒星外部視界的超曲面，例如圖2中的超曲面 S。從 S 上的任意一點(diǎn)出發(fā)，可能會發(fā)射出一個無質(zhì)量粒子，并以光速傳播至未來零無窮遠(yuǎn)。圖中對角紫色線代表此類粒子的軌跡。

令 u 為 S 上任一坐標(biāo)函數(shù)，它在視界上為零，在視界外為正，且沿視界法向?qū)?shù)非零（且有限）。從黑洞發(fā)出并最終被遠(yuǎn)方觀測者接收的出射信號，可能在任意 u 值處穿過 S。令 t 為遠(yuǎn)方觀測者接收到信號的時間。t 與 u 之間的關(guān)系是

其中，C 是一個依賴于觀測者距離遠(yuǎn)近以及函數(shù) u 精確定義的常數(shù)。方程 (3.1) 可通過求解出射零測地線方程來加以證明。在本節(jié)末尾，我們將解釋函數(shù) u 的一種方便選擇，以及計(jì)算該式的一個捷徑。目前，讓我們先討論方程 (3.1) 的含義。

方程 (3.1) 告訴我們，當(dāng) u → 0? 時，遠(yuǎn)方觀測者接收到信號的時間 t 發(fā)散，但僅為對數(shù)發(fā)散。當(dāng)然，這種發(fā)散與源自視界后方（例如 u < 0）的信號永遠(yuǎn)無法到達(dá)外部觀測者的事實(shí)有關(guān)。

我們可以求解方程 (3.1)，將 u 表示為 t 的函數(shù)。當(dāng) t 很大時，漸近地有

在晚期，即當(dāng) t 很大時，u 呈指數(shù)級小。因此，遠(yuǎn)方觀測者在晚期的測量實(shí)際上是在探測距離視界呈指數(shù)級近處的量子態(tài)。在量子場論中，任何態(tài)在短距離下都表現(xiàn)為真空，因此遠(yuǎn)方觀測者在晚期的觀測實(shí)際上是在探測指數(shù)級小距離下的真空態(tài)。遠(yuǎn)方觀測者無需等待極長時間才能進(jìn)行探測真空態(tài)的觀測。例如，對于一個質(zhì)量與太陽相當(dāng)?shù)暮诙矗?GM 對應(yīng)的時間約為 2×10?? 秒，因此每當(dāng)遠(yuǎn)方觀測者等待一秒鐘，u 就會減小 e??×1?? 倍。因此，觀測者無需等待很長時間（以人類時間尺度衡量）即可進(jìn)入“晚期”狀態(tài)。

此外，對于大的 t，du/dt 也呈指數(shù)級小，這意味著在晚期到達(dá)觀測者的模式在其傳播過程中經(jīng)歷了指數(shù)級巨大的紅移。任何給定能量 E 的模式，若在足夠晚的時間被觀測到，其源頭必然是靠近視界的極高能量模式。粗略而言，極高能量的模式沿徑向零測地線自由傳播（如圖2中對角紫色線所代表的測地線）。如果我們假設(shè)這一點(diǎn)，就能得到遠(yuǎn)方觀測者將看到什么的一個非常簡單的答案。這一假設(shè)略有過度簡化，更精確的描述將在第4節(jié)中給出。

遠(yuǎn)方觀測者通過測量量子場 Ψ 來探測從黑洞輻射出的輻射。我們假設(shè)遠(yuǎn)方觀測者測量 Ψ 作為時間 t 和角坐標(biāo) Ω 在某個固定距離處的函數(shù)。一個典型的可觀測量是兩點(diǎn)函數(shù)：

?Ψ(Ω, t)Ψ(Ω′, t′)? （3.3）

在球?qū)ΨQ史瓦西背景下，場 Ψ 可以按分波展開。每個分波的系數(shù)是一個 1+1 維量子場（這兩個維度分別是距視界的距離和時間）。在真實(shí)世界中，Ψ 很可能是電磁場的一個分量，我們可以將其展開為矢量球諧函數(shù)。理解本案例所需的概念在第4節(jié)中解釋。允許任意非引力相互作用力的更一般推導(dǎo)在第6節(jié)中解釋。

然而，我們可以通過假設(shè)場 Ψ 的某一個特定分波 ψ 是一個 1+1 維意義上的手性自由費(fèi)米子來理解霍金發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)。（我們?nèi)?ψ 為手性自由費(fèi)米子，是因?yàn)橹挥袕囊暯缦蛲鈧鞑ブ翢o窮遠(yuǎn)的模式才相關(guān)。）1+1 維中的手性自由費(fèi)米子具有 1/2 的量綱，其在真空中的兩點(diǎn)函數(shù)為：

?ψ(u)ψ(u′)? = (du du′)1/2 / (u - u′) （3.4）

在對黑洞輻射的晚期測量中，u 和 u′ 都呈指數(shù)級小，因此彼此指數(shù)級接近。由于任何態(tài)在足夠短的距離下都表現(xiàn)為真空，在討論觀測者在晚期將看到什么時，我們可以用其真空期望值（3.4）來替代 ?ψ(u)ψ(u′)?。

令 u = e?/??? e??/???，我們可以將方程 (3.4) 轉(zhuǎn)化為遠(yuǎn)方觀測者在晚期測得的兩點(diǎn)函數(shù)公式：

我們現(xiàn)在也可以驗(yàn)證貝肯斯坦關(guān)于黑洞熵的公式，并解釋霍金是如何確定該公式中的整體常數(shù)的。我們使用熱力學(xué)第一定律：

這便是霍金如何驗(yàn)證貝肯斯坦的假設(shè)并確定其整體歸一化的途徑。

如果我們不設(shè) ? = 1，則霍金溫度實(shí)際為 ，這明確表明非零溫度是一種量子效應(yīng)。

在上述解釋中，我們使用了霍金關(guān)于黑洞溫度的結(jié)果，并假設(shè)黑洞確實(shí)是一個熱力學(xué)系統(tǒng)，從而應(yīng)用第一定律來確定熵并重新得出結(jié)果 S = A/4G?；蛘撸粑覀兗僭O(shè)熵的形式為 A/4G 并結(jié)合霍金的溫度結(jié)果，也可以反過來將該計(jì)算視為對史瓦西黑洞滿足第一定律的驗(yàn)證。類似地，通過更詳細(xì)的分析，可以證明 [4] 具有角動量 J 的旋轉(zhuǎn)黑洞滿足一個更普遍的第一定律形式：dE = T dS + Ω dJ，其中 Ω 被稱為角勢。一個有用的參考是 [5] 的第12.5節(jié)，基于引力相空間協(xié)變描述的推導(dǎo)可見于 [14]。第一定律是黑洞熱力學(xué)自洽性的重要方面，讀者被鼓勵進(jìn)一步探索，但本文不會詳細(xì)解釋這些推導(dǎo)。不過，我們將在第7.2節(jié)簡要回到第一定律。

一種證明方程 (3.1) 或等價地 (3.2) 的方法是引入克魯斯卡爾-塞凱賴什坐標(biāo)。一個標(biāo)準(zhǔn)定義是

克魯斯卡爾-塞凱賴什坐標(biāo)的最重要應(yīng)用是描述史瓦西幾何在視界 r=2GM 之外的延拓。我們將在第6.7節(jié)再回到這一點(diǎn)。目前，我們僅用這些坐標(biāo)來證明方程 (3.2)。度規(guī)的形式 (3.9) 表明，徑向向外或向內(nèi)的零測地線必須滿足 dU=0 或 dV=0，換句話說，沿此類測地線 U 或 V 為常數(shù)。更具體地說，從公式 (3.8) 可知，U 在向外的徑向零測地線上為常數(shù)，而 V 在向內(nèi)的零測地線上為常數(shù)。方程 (3.8) 還表明，U 在 r=2GM 處為零，在 r>2GM 時為負(fù)值，因此對于一個在視界處為零、在外部為正的函數(shù)，我們可以取 u = -U。于是方程 (3.8) 給出了所聲稱的結(jié)果 u = C′ e??/???，其中 C′ = (r/(2GM) - 1)1/2 e?/??? 是一個依賴于觀測者位置的常數(shù)。

以及并非取決于觀測發(fā)生的時間 t。實(shí)際上，引入延遲時間 t_ret = t - r 并將 u 的公式寫作如下形式更為自然：

u = (r/(2GM) - 1)1/2 e??_ret/??? （3.11）

對于一個質(zhì)量與太陽相當(dāng)?shù)暮诙?，假設(shè) r/2GM 很大但非指數(shù)級大，則只要 t_ret 相比于 4GM ≈ 2×10?? 秒而言很大，u 就會呈指數(shù)級變小。

本推導(dǎo)中的一個重要細(xì)節(jié)是：無需從距離極小或能量極高（此時自然定律尚不明確）的尺度開始討論。我們通過了解量子場在短距離下的行為，推斷出遠(yuǎn)方觀測者在晚期將看到什么。但在這里，“短距離”究竟指什么呢？只要超曲面 S 足夠遙遠(yuǎn)（相對于觀測者），使得相關(guān)信號源自 S 上距視界非常近的位置（該距離相對于史瓦西半徑很?。?，那么黑洞幾何的細(xì)節(jié)就不會影響關(guān)鍵關(guān)聯(lián)函數(shù) ?ψ(u)ψ(u′)?，該函數(shù)將與真空期望值重合。例如，對于一個天體物理黑洞，其史瓦西半徑為幾公里或更大，“短距離”尺度可以是毫米——相對于黑洞尺寸而言極其微小，但又遠(yuǎn)未小到足以探測我們物理學(xué)知識的極限。

我們以關(guān)于黑洞熱力學(xué)和霍金輻射的一些一般性評述結(jié)束本節(jié)。許多研究者認(rèn)為，熵 S = A/4G 意味著黑洞可以用某種自由度來描述，

這些自由度存在于其視界上——大致而言，每普朗克面積 G 對應(yīng)一個比特或量子比特。在一篇著名文章 [17] 中，惠勒用圖4形象地闡釋了這一思想。即使在今天，要恰當(dāng)?shù)刈C明并理解這幅圖景仍是一個挑戰(zhàn)。

輻射型天體物理黑洞的能量損失極其緩慢。一個表面積為 A、溫度為 T 的輻射體的總光度約為 AT?，對于黑洞而言，這是 1/(G2M2) 的倍數(shù)。因此，輻射型天體物理黑洞的能量損失速率的數(shù)量級為：

結(jié)合關(guān)于黑洞輻射粒子（主要是光子和引力子）的現(xiàn)實(shí)世界假設(shè)，該關(guān)系中的比例常數(shù)由佩奇（Page）[15] 計(jì)算得出。（此計(jì)算需要理解灰體因子，我們將在第4節(jié)中介紹。）根據(jù)霍金的說法，輻射黑洞的能量損失被稱為“黑洞蒸發(fā)”。方程 (3.13) 表明，一個典型天體物理質(zhì)量的黑洞蒸發(fā)是一個極其緩慢的過程。一個太陽質(zhì)量的黑洞在真空中蒸發(fā)掉其大部分質(zhì)量所需的時間約為 10?? 年。當(dāng)然，在現(xiàn)實(shí)世界中，天體物理黑洞并不處于真空中，更可能吸積物質(zhì)而非蒸發(fā)。

由于霍金將量子場置于給定時空背景下的近似方法，在黑洞質(zhì)量遠(yuǎn)大于普朗克質(zhì)量時是有效的，因此一個初始質(zhì)量約為 1033 克的太陽質(zhì)量黑洞在真空中，會在霍金分析失效前收縮至微觀尺度。我們實(shí)際上并不知道在那個點(diǎn)會發(fā)生什么，但我們假定最終蒸發(fā)會停止，僅剩下穩(wěn)定的初等粒子。

霍金輻射的一個根本性問題是：盡管黑洞可能從純態(tài)形成，但其輻射看起來卻是熱的。這提出了一個難題，推動了該領(lǐng)域大部分研究，即使在今天也僅部分得到解決。霍金的近似方法在整個蒸發(fā)過程的絕大部分都適用，并似乎表明出射態(tài)是熱的，最終具有非常大的熵，其量級約為蒸發(fā)過程中發(fā)射的總光子數(shù)，即約 M/T_H ~ GM2（對于太陽質(zhì)量的黑洞約為 10??）。但如果黑洞的形成與蒸發(fā)過程遵循普通量子力學(xué)定律，則若初態(tài)為純態(tài)，末態(tài)也應(yīng)為純態(tài)。

具體而言，霍金輻射即使在黑洞處于純態(tài)時仍看似熱的原因在于：遠(yuǎn)方觀測者的觀測本質(zhì)上只限于視界之外的量子場。即使黑洞是從純態(tài)形成的——因此我們可以假設(shè)整個宇宙的態(tài)是純態(tài)——但僅局限于時空一部分的量子場則處于混合態(tài)。這就是霍金效應(yīng)的本質(zhì)。我們將在第5節(jié)再回到這一點(diǎn)。

4 灰體因子

在第3節(jié)中，我們實(shí)際上假設(shè)從視界發(fā)出的信號自由傳播至遠(yuǎn)方觀測者。這是一種過度簡化，因?yàn)橐话銇碚f，黑洞周圍存在某種角動量勢壘（這一點(diǎn)我們將看到），出射信號可能會被反射回視界。第3節(jié)的推導(dǎo)提供了一種快速理解霍金發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的方法，但在此我們將給出更精確的解釋。

首先，在3+1維中，可以構(gòu)造一個半現(xiàn)實(shí)的模型，使其嚴(yán)格對應(yīng)第3節(jié)中的分析。為此，我們考慮一個帶有磁荷的黑洞，以及一個與之相互作用的無質(zhì)量帶電費(fèi)米子場 Ψ。場 Ψ中角動量最低的分波，在1+1維意義上是一個無質(zhì)量費(fèi)米子，其出射（手性）分量恰好具有第3節(jié)所假設(shè)的性質(zhì)。這類模型的研究可參見 [18]。然而，更一般的情況是（如我們將看到的那樣），即使對于角動量為零的情形，黑洞外部也存在一個勢壘，因而事情并不像第3節(jié)所假設(shè)的那樣簡單。

4.1 勢壘

為簡化起見，我們考慮黑洞背景中的一個無質(zhì)量標(biāo)量場 ?。在現(xiàn)實(shí)世界中，考慮電磁場或引力場會更切實(shí)際。這會導(dǎo)致非常類似的分析，只是我們需要采用更復(fù)雜的分波展開，使用矢量或張量球諧函數(shù)。

為了維持平衡，輻射概率必須按相同比例減小。
然而，正如我們即將解釋的那樣，勢壘從左向右的透射概率與從右向左的透射概率是相同的。
因此，如果黑洞的輻射相對于我們之前的結(jié)果按從左向右穿過勢壘的透射概率因子減小，那么黑洞就有可能與溫度為 的熱輻射達(dá)到平衡。

4.2 更詳細(xì)的論證

其中，a 和 b 是曲面 S' 上的函數(shù)。這里 h 是柯西超曲面 S' 上誘導(dǎo)的度規(guī)，而 σ? 是 σ 沿垂直于 S' 方向的導(dǎo)數(shù)。雖然對于任意選擇的超曲面 S' 以及函數(shù) a 和 b，這樣的表達(dá)式都能定義一個場算符，但為了定義一個與即將進(jìn)行的觀測有簡單關(guān)聯(lián)的算符 W，選擇一個穿過探測器所在位置的超曲面 S' 是很有用的。

大致在測量發(fā)生的時間附近，并選擇函數(shù) a 和 b 在探測器附近有支撐。特別地，函數(shù) a 和 b 隨后將完全支撐在視界之外。超曲面 S' 在遠(yuǎn)離探測器處的行為并不重要，但自然的選擇是（如圖5所示），使其處處位于第3節(jié)推導(dǎo)中所用超曲面 S（見圖2）的未來。假設(shè)觀測者希望測量探測器角位置處的輻射通量隨能量和時間的變化，則方便的做法是選取函數(shù) a 和 b 為距黑洞距離 r 的函數(shù)，并近似正比于 e???（對于某個 ω）。當(dāng)然，由于 a 和 b 應(yīng)被局域化在探測器附近，它們不可能精確具有這種指數(shù)形式，但可以將其支撐限制在非常小的 ω 范圍內(nèi)。通過更細(xì)致地處理函數(shù) a 和 b，我們可以確保 W（幾乎）是頻率為 ω 模式的湮滅算符，而 W? 是產(chǎn)生算符；因此 W?W 是一個粒子數(shù)算符，在探測器角位置處對該算符的測量將揭示能量為 ω 的粒子通量。13

算符 W 的另一種表示方法更為方便?？梢詫?a 和 b 視為克萊因-戈登方程 ∑μ=03 DμDμf = 0 的解 f 的初始條件：

但 f 在超曲面 S 上是什么樣子？為了弄清楚這一點(diǎn)，我們必須從超曲面 S' 上的初始（或最終？）數(shù)據(jù)（方程 4.10）出發(fā)，反向求解克萊因-戈登方程，以找到在 S 上的解。一個普遍的事實(shí)是：由于 f 在柯西超曲面 S' 上的支撐完全位于視界之外，因此可以推斷，在 S' 的過去任何地方，f 都支撐在視界之外。特別地，在 S 上也是如此。更具體地說，在超曲面 S' 上，f（幾乎）是一個頻率為 ω 的入射波。當(dāng)我們反向積分克萊因-戈登方程時，該波會朝黑洞傳播，直到遇到我們之前已討論過的勢壘，此時它將部分被反射、部分被透射。反射部分的波會返回——隨著我們時間倒流——回到 r = ∞ 處，而透射部分則會繼續(xù)傳播至 S 上靠近視界的區(qū)域。

令 T′ 和 R′ 分別為時間反演散射問題中的透射和反射振幅。那么方程 (4.12) 表明，W 是 T′ 乘以一個近視界算符與 R′ 乘以一個在 r=∞ 附近的閔可夫斯基真空中的算符之和。當(dāng)觀測者測量 ?W?W? 時，“遠(yuǎn)距離”項(xiàng)（正比于 R′ 或 R?′）不產(chǎn)生貢獻(xiàn)，因?yàn)樵陂h可夫斯基真空中這些長距離算符的期望值為零（W?W 中正比于 |R′|2 的部分是一個粒子數(shù)算符，其在閔可夫斯基真空中的期望值為零；而正比于 T′R?′ 或 T?′R′ 的項(xiàng)，因其線性依賴于 σ，同樣在閔可夫斯基真空中期望值為零）。因此，W?W 的相關(guān)部分僅僅是 |T′|2 乘以若無反射發(fā)生時我們本應(yīng)得到的那個近視界算符。

T′ 和 R′ 是我們先前研究過的散射問題在時間反演版本下的透射和反射振幅。時間反演的作用是對散射振幅進(jìn)行復(fù)共軛，因此特別是 T′ 正好是前面定義的穿過勢壘的透射振幅 T 的復(fù)共軛。所以 W?W 就是 |T|2 乘以在第3節(jié)簡單推導(dǎo)中隱含假設(shè)無勢壘時所得到的結(jié)果。因此，正如所聲稱的那樣，黑洞在給定分波、頻率 ω 下的輻射率等于 |T(ω)|2 乘以該模式在霍金溫度下的熱輻射率。

這些結(jié)果及其擴(kuò)展表明，在遙遠(yuǎn)的未來，黑洞視界外的量子場處于一種普適狀態(tài)，稱為“安魯態(tài)”[21]，它不依賴于黑洞形成的具體細(xì)節(jié)。

通常被稱為“灰體因子”的對霍金輻射的抑制，對于使霍金過程有意義至關(guān)重要。如果第3節(jié)中的簡單推導(dǎo)在每個分波中都成立，那么我們預(yù)期每個分波都有相同的熱輻射率；而由于存在無窮多個分波，我們將預(yù)測霍金過程具有無限大的光度。相反，由于 |T|2 隨著 l 的增大而迅速衰減，輻射主要由前幾個分波主導(dǎo)，總光度的數(shù)量級如方程 (3.13) 所述。

4.3 熱力學(xué)不穩(wěn)定性

由于黑洞與熱氣體之間的熱力學(xué)平衡在推動本討論中發(fā)揮了作用，現(xiàn)在或許該指出：在漸近平直時空中，一旦考慮引力反作用，這種平衡實(shí)際上是不穩(wěn)定的。從某種意義上說，這種不穩(wěn)定性的原因有兩個。第一個與黑洞的熱力學(xué)性質(zhì)有關(guān)?？紤]一個質(zhì)量為 M、溫度為適當(dāng)霍金溫度 T = 1/(8πGM) 的黑洞，它正與熱氣體處于平衡狀態(tài)?，F(xiàn)在考慮一種熱漲落，使得黑洞輻射的粒子比吸收的多一些。結(jié)果，黑洞質(zhì)量減小，而由于霍金溫度與質(zhì)量成反比，黑洞會變得更熱。由于黑洞現(xiàn)在比其周圍環(huán)境更熱，它將以很高的概率輻射得比吸收得多，并繼續(xù)損失質(zhì)量。因此會出現(xiàn)一種失控的不穩(wěn)定性，最終導(dǎo)致黑洞消失。反之，若黑洞質(zhì)量發(fā)生向上漲落，會使黑洞變冷、輻射減少；隨后它將吸收多于輻射，質(zhì)量會無限制地增長。

這種不穩(wěn)定性反映了這樣一個事實(shí)：在漸近平直時空中，黑洞具有負(fù)的比熱。一般來說，能量為 E、溫度為 T 的物體的比熱定義為 C = dE/dT，而熱力學(xué)穩(wěn)定性要求 C ≥ 0。對于能量 E = M、溫度 T = 1/(8πGM) 的黑洞，有：

C = -8πGM2 < 0, （4.13）

這顯示了其不穩(wěn)定性。

第二種不穩(wěn)定性的來源是：事實(shí)上，在引力存在的情況下，不可能讓熱氣體充滿一個漸近平直的時空。考慮一個半徑為 R 的空間區(qū)域，其中充滿溫度為 T 的熱氣體。該氣體的能量密度約為 T?，其總能量約為 T?R3。質(zhì)量為此量級的物體的史瓦西半徑約為 GT?R3，因此，當(dāng) R ≤ GT?R3 時，充滿半徑為 R 區(qū)域的熱氣體會坍縮成黑洞。換句話說，在漸近平直時空中，溫度為 T 的熱氣體最多只能占據(jù)大小為

5 林德勒空間的熱力學(xué)

5.1 切割

霍金效應(yīng)的本質(zhì)是，即使整個宇宙處于純態(tài)，地平線外的宇宙部分（即外部觀察者所能看到的）處于混合態(tài)，并且具有熱性質(zhì)。

5.2 加速和Unruh效應(yīng)

在第6節(jié)發(fā)展了黑洞熱力學(xué)的歐幾里得方法之后，我們將能夠以一種精確平行的方式推導(dǎo)出黑洞時空的熱性質(zhì)。主要區(qū)別在于，在黑洞的情況下，無窮遠(yuǎn)處測量的溫度不會消失，而是等于黑洞的霍金溫度。關(guān)于我們?yōu)榱值吕湛臻g給出的推導(dǎo)以及我們最終將為黑洞給出的相應(yīng)推導(dǎo)，值得注意的是，它不需要對量子場理論做出任何假設(shè)，無論是否存在任意非引力力。（假設(shè)理論可以僅用一個標(biāo)量場?來表征純粹是為了符號方便。）相比之下，第3節(jié)中黑洞蒸發(fā)的推導(dǎo)忽略了非引力力。

5.4 熱場雙態(tài)的另一種視角

還有一種有趣的方法可以參考[21]，來展示閔可夫斯基空間中的真空矢量Ω是林德勒楔形的熱場雙態(tài)。這種解釋僅限于自由場理論，與我們已經(jīng)介紹的更為一般的方法形成對比，但它具有啟發(fā)性。然而，為了簡潔起見，我們只考慮二維時空維度中的手性自由費(fèi)米子的情況。其思想是展示真空態(tài)滿足對應(yīng)于方程（5.22）的條件。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2412.16795