On the Quantum Mechanics of Entropic Forces 熵力的量子力學(xué)

https://journals.aps.org/prx/pdf/10.1103/y7sy-3by1

30年前曾有人推測，引力可能源于信息的熵增重組。我們提供了一組微觀量子模型，詳細(xì)實(shí)現(xiàn)了這一構(gòu)想。特別地，我們提出一種簡單機(jī)制：牛頓引力定律源自一組量子比特或振子自由能的極值化，而非基本場虛粒子交換。我們給出了該構(gòu)造的局域與非局域版本，并說明如何利用現(xiàn)有觀測和近期實(shí)驗(yàn)將這些熵模型與普通微擾量子引力區(qū)分開來。

研究領(lǐng)域：引力、量子信息、統(tǒng)計物理

I. 引言

自然界中的許多力是通過交換虛場量子來傳遞的，但也存在一些有效力，它們源于復(fù)雜系統(tǒng)驅(qū)動熱力學(xué)自由能達(dá)到極值的過程。特別地，有觀點(diǎn)提出，引力可能正是這樣一種熱力學(xué)或熵性的相互作用，而非通過某種基本量子場產(chǎn)生［1,2］。然而，在這種設(shè)想中，量子化的物質(zhì)如何與引力耦合尚不清楚。本文通過構(gòu)建具體的、完全量子力學(xué)的模型來研究這一問題，這些模型在熱力學(xué)極限下能夠重現(xiàn)牛頓萬有引力定律。

這一思想的核心可通過典型的熵力（如理想氣體定律）類比理解?？紤]一對大質(zhì)量活塞，其間填充著無相互作用的氣體，如圖1所示。我們假設(shè)氣體通過與熱浴相連而維持在固定溫度 T。氣體的自由能 A=U?TS通過標(biāo)準(zhǔn)的薩庫爾-特羅德（Sackur-Tetrode）公式，依賴于活塞間距 x：

該系統(tǒng)在熵驅(qū)動下趨向其自由能的極值，這由條件 ?A/?x=0 所決定。由于在理想氣體中 ?U/?x=0 ，這意味著活塞間距是由熵力驅(qū)動的。

其中 A是活塞的面積。本練習(xí)所展示的是：兩個活塞之間感受到一種有效作用力，即壓力，該力由氣體介導(dǎo)，而非某種基本的量子場。

在我們的模型中，二體牛頓引力相互作用 同樣將作為由一個微觀系統(tǒng)介導(dǎo)的壓力而出現(xiàn)，該系統(tǒng)被驅(qū)動趨向其自由能的極值。我們的主要目標(biāo)是詳細(xì)展示非相對論性引力如何作為一個受控微觀模型的熱力學(xué)極限而產(chǎn)生。這反過來可以解釋在此類情景下引力如何與量子化物質(zhì)耦合（這一問題在文獻(xiàn)［1,2］中仍懸而未決），以及此類情景如何通過實(shí)驗(yàn)與普通的虛引力子交換區(qū)分開來［3–13］。我們在第 III 節(jié)討論實(shí)驗(yàn)預(yù)測。

我們強(qiáng)調(diào)，我們的構(gòu)造并不一定涵蓋“引力作為熵效應(yīng)或熱效應(yīng)”這一假說的所有可能實(shí)現(xiàn)形式［1,2］。特別地，我們的模型通常同時包含熱力學(xué)和純熵成分，這與文獻(xiàn)［1］一致，但比文獻(xiàn)［2］更一般化。我們還做出了一些具體選擇（例如，熱浴的譜密度），以便進(jìn)行詳細(xì)計算，但我們預(yù)期這里發(fā)現(xiàn)的定性結(jié)構(gòu)在更廣泛的設(shè)定中仍然成立。

此處提出的機(jī)制也不同于全息模型（如 AdS/CFT）中引力涌現(xiàn)的方式［14,15］，至少表面上如此。在這里，引力作為由熱力學(xué)系統(tǒng)直接介導(dǎo)的相互作用而出現(xiàn)，而任何 AdS/CFT 的弦理論模型在低能極限下都包含無質(zhì)量自旋-2 量子（即引力子），它們作為長波長引力的相干量子媒介［16–18］。

總之，我們的目標(biāo)是提供明確的、概念驗(yàn)證性的例子，在這些例子中，引力以熵效應(yīng)的形式涌現(xiàn)，其方式不同于傳統(tǒng)的引力子圖像，也不同于標(biāo)準(zhǔn)的全息原理。然而有趣的是，我們發(fā)現(xiàn)這些模型具有一系列自由參數(shù)，并且在某些參數(shù)范圍內(nèi)，它們與標(biāo)準(zhǔn)的虛引力子交換無法區(qū)分。這可能是我們非相對論極限下的一個副產(chǎn)物，也可能具有更根本的意義。我們將這一重要問題留待未來工作解決。

在繼續(xù)之前，我們指出一些早期關(guān)于熵引力［19–21］和熵力量子處理［22,23］的有益研究。本文全文采用單位制。

II. 牛頓萬有引力定律

在理想氣體的例子中，作用在活塞上的力是通過與一個多體中介系統(tǒng)（即氣體分子）耦合而產(chǎn)生的，而該中介系統(tǒng)又與一個熱浴相耦合。我們將遵循相同的范式來構(gòu)建一個引力模型。哈密頓量將具有如下一般形式：

此處， S 指的是可觀測的非相對論性大質(zhì)量物體系統(tǒng)，其哈密頓量為：

可以平凡地添加一個外勢。標(biāo)簽 M指代下文將詳細(xì)討論的多體中介系統(tǒng)，而 B指代熱浴。請注意，大質(zhì)量物體并不直接與熱浴耦合。

在理想氣體的例子中，熱浴代表一個熱儲庫，例如腔壁中的熱聲子，它們可與氣體發(fā)生交換。熱浴的作用是在足夠長的時間尺度上，將中介系統(tǒng)的狀態(tài)固定在溫度 T。我們將在下文對此進(jìn)行精確說明。引入熱浴主要是為了計算方便：人們也可以僅將中介系統(tǒng)視為一個自熱化的系統(tǒng)，例如一種自相互作用的氣體［24］。

牛頓引力定律將在熱力學(xué)極限下出現(xiàn)。本文的核心目標(biāo)之一是展示如何在完整的量子框架內(nèi)理解這一點(diǎn)，包括大質(zhì)量物體的量子力學(xué)行為。然而，作為起點(diǎn)，我們先考慮質(zhì)量足夠大的極限情形，使得我們可以將其視為經(jīng)典物體，此時位置 xi為經(jīng)典數(shù)（c 數(shù)）。以下是核心思想：中介系統(tǒng)的自由能 A=U?TS將通過耦合項(xiàng) VSM依賴于質(zhì)量的位置 )。然后，第 i個質(zhì)量會感受到一個熱力，

在引言中，我們曾提到這種力同時包含熱力學(xué)和熵成分。更具體地說，從式 (12) 可得中介系統(tǒng)的內(nèi)能與熵：

因此我們看到，自由能梯度 ?A同時包含熱力學(xué)和熵的成分。這與理想氣體不同，理想氣體中 ?U=0。

我們關(guān)于力的結(jié)果——式 (16) ——成立的前提是：質(zhì)量可被經(jīng)典處理，并且量子比特處于熱平衡狀態(tài)。若要將式 (16) 視為一條動力學(xué)定律，我們必須假設(shè)：當(dāng)物體間距離發(fā)生變化時，中介量子比特始終保持熱化狀態(tài)。這就要求大質(zhì)量物體的運(yùn)動在某種意義上是絕熱的，即其運(yùn)動速度遠(yuǎn)慢于系統(tǒng)內(nèi)熱化的特征時間尺度。這類似于理想氣體模型中，當(dāng)活塞壁移動時，氣體仍保持熱平衡狀態(tài)的假設(shè)；也與文獻(xiàn) [1] 中推導(dǎo)愛因斯坦方程作為物態(tài)方程時所采用的近似相同。在第 II C 節(jié)中，我們將展示如何通過熱浴-中介耦合來實(shí)現(xiàn)這一條件。

上述討論留下了一個開放性問題：如何將這種處理方式推廣到完全量子的情形，即質(zhì)量的位置 x1,2變?yōu)樗惴那樾?。利用?(3) 的完整哈密頓量，我們得到質(zhì)量的海森堡運(yùn)動方程：

此處的關(guān)鍵在于，只要質(zhì)量局域性良好且對中介系統(tǒng)取平均，我們就能在量子海森堡方程中看到相同的熱力學(xué)力出現(xiàn)。

最后，要推廣到 N個質(zhì)量的情形，有若干可能的方法。最簡單的方式是對每一對質(zhì)量 i,j重復(fù)上述構(gòu)造。具體而言，我們將式 (9) 中的哈密頓量替換為：

這推廣了式 (17) 中的二體對應(yīng)關(guān)系。其中仍然只有兩個自由參數(shù) T和 L，并受一個方程約束。

這種 N體推廣看起來可能相當(dāng)不簡約，因?yàn)槊恳粚|(zhì)量都配備自己的一組（無限多的）量子比特。因此，我們提出另一種方案：僅使用一組量子比特來耦合全部 N個質(zhì)量。具體寫法如下：

B. 局域模型

在上一節(jié)中，我們展示了如何通過將質(zhì)量物體對直接耦合到中介量子比特，從而產(chǎn)生一種涌現(xiàn)的牛頓引力。在此，我們給出另一種構(gòu)造：每個大質(zhì)量物體以準(zhǔn)局域的方式耦合到一個背景量子比特格點(diǎn)上。

盡管第 II A 節(jié)中的非局域模型與本節(jié)展示的局域模型在某些元素上是共通的，但它們并非同一模型的兩個版本。特別是，不同于通過積分掉光子以獲得非局域庫侖力的做法，在此處無法通過對局域中介系統(tǒng)積分來恢復(fù)第 II A 節(jié)形式的有效描述。這兩個模型在定性上存在差異，并受到不同的實(shí)驗(yàn)約束，我們將在下文討論。

考慮一個晶格常數(shù)為 a的三維晶格。在每個格點(diǎn) α上，放置一個固定于該位置的量子比特，其粒子數(shù)算符仍記為 Nα，如圖 3 所示。我們?nèi)×孔颖忍氐墓茴D量為：

讓我們研究自由能中各項(xiàng)的作用。
式 (29) 中的第一項(xiàng)是關(guān)于 xi 的常數(shù)函數(shù)，不會對大質(zhì)量物體產(chǎn)生任何力。
第二項(xiàng)也是常數(shù)：我們有

此處的討論再次處于質(zhì)量可被經(jīng)典處理的極限情形。推廣到完全量子的情形遵循第 II A 節(jié)非局域模型相同的步驟。特別地，我們?nèi)孕枰阅撤N方式將中介量子比特與熱浴耦合，以確保中介系統(tǒng)狀態(tài)在足夠緩慢的時間尺度上保持熱化。我們將在接下來的兩節(jié)中展示如何實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。

C. 完全微觀動力學(xué)

在前面幾節(jié)中，我們展示了如何構(gòu)造一個中介系統(tǒng) M以及它與質(zhì)量體的耦合項(xiàng) VSM，使得在假設(shè)中介系統(tǒng)處于熱平衡的前提下，它們能在質(zhì)量體上產(chǎn)生有效的牛頓引力。接下來需要做的是：明確一種動力學(xué)機(jī)制，使中介系統(tǒng)在質(zhì)量體運(yùn)動時仍能保持熱化。

此處出現(xiàn)的林德布拉德（“躍遷”）算符的形式在局域模型與非局域模型中略有不同。我們在此直接給出結(jié)果，并在附錄 B 中回顧詳細(xì)的推導(dǎo)過程。

在第 II A 節(jié)所述的非局域模型中，林德布拉德算符為

在局域模型中，牛頓項(xiàng)具有類似的形式：

這與標(biāo)準(zhǔn)微擾量子引力截然不同，在后者中，牛頓勢能算符是唯一相關(guān)項(xiàng)，導(dǎo)致可逆的、幺正的演化定律。因此，本文提出的熵模型與普通的微擾量子引力在可觀測上是可以區(qū)分的，我們將在下一節(jié)討論這一點(diǎn)。

III. 可觀測效應(yīng)

在過去十年中，人們提出了兩類主要的實(shí)驗(yàn)方案，用以檢驗(yàn)引力場的量子性質(zhì)［3］。其基本思路是：區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)微擾量子引力的預(yù)言（其中低能引力相互作用由引力子交換介導(dǎo)）與一系列替代理論模型的預(yù)言。

其中最為人熟知的一類實(shí)驗(yàn)旨在檢驗(yàn)引力相互作用是否能在兩個大質(zhì)量物體之間產(chǎn)生量子糾纏［4–10］。虛引力子交換（或等價地，一個相干的牛頓二體勢）確實(shí)會使質(zhì)量體之間發(fā)生糾纏［3,18］。相比之下，在許多“經(jīng)典”引力模型中，引力相互作用以經(jīng)典方式耦合到量子化的物質(zhì)，這類模型通常預(yù)言質(zhì)量體之間不會產(chǎn)生糾纏［6,34–40］。因此，這類實(shí)驗(yàn)可以區(qū)分上述兩類模型。我們將在下文看到，它們也能在某些熵引力模型的自由參數(shù)范圍內(nèi)，將引力子情形與熵引力情形區(qū)分開來。

另一類實(shí)驗(yàn)最近被提出，其依據(jù)在于：所有非引力子機(jī)制的模型似乎都會預(yù)言某種反常噪聲，例如將引力場視為一個隨機(jī)變量［37–39］。這與標(biāo)準(zhǔn)的、由引力子介導(dǎo)的微擾量子引力形成鮮明對比——如前所述，后者產(chǎn)生的是本質(zhì)上無噪聲的（幺正且可逆的）相互作用。因此，這類實(shí)驗(yàn)旨在直接檢驗(yàn)引力相互作用的噪聲特性［5,11–13］。正如我們前文所述，熵引力模型具有內(nèi)稟噪聲，因此可以通過這些實(shí)驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)。

本文將分析自旋熵引力模型在這兩類實(shí)驗(yàn)中的預(yù)言。這一分析也使我們能夠通過與現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比，對模型中的各種自由參數(shù)加以約束，如圖5所示。

A. 引力中的噪聲

在非局域和局域的熵引力模型中，引力均由一個趨于熱化的中介系統(tǒng)產(chǎn)生，因而伴隨著熱驅(qū)動的漲落。然而，這兩種模型中噪聲的表現(xiàn)形式不同：在非局域模型中，只有當(dāng)至少存在兩個質(zhì)量體時才會出現(xiàn)噪聲；而在局域模型中，即使單個孤立質(zhì)量體也會受到來自環(huán)境中介量子比特的噪聲影響。

在式 (38) 所描述的含噪演化下，動量算符 p的動量方差將隨時間增長而變得非零：

非局域模型。首先考慮非局域模型，并假設(shè)我們有兩個初始距離為 d的質(zhì)量體 m1和 m2，如圖 4 左側(cè)面板所示。將式 (45) 中明確給出的噪聲算符代入，我們可以輕易求解式 (48)，從而得到方差的線性增長：

為獲得該數(shù)值，我們?nèi)?λ=0，并基于一類測量毫米距離下兩個毫克級諧振器間引力的光力學(xué)實(shí)驗(yàn)［42］對實(shí)驗(yàn)參數(shù)進(jìn)行了基準(zhǔn)設(shè)定。這一水平的噪聲在現(xiàn)代超高靈敏度力測量技術(shù)下已接近可觀測范圍。例如，文獻(xiàn)［42］中的測量使用了一個扭擺振蕩器，它被放置在約1毫米處的一個驅(qū)動振蕩源質(zhì)量體旁，兩者質(zhì)量均在毫克量級，且其間設(shè)有超導(dǎo)屏蔽層，以確保引力相互作用主導(dǎo)于兩質(zhì)量體之間的電磁相互作用。這是圖4左側(cè)面板示意圖的一個具體實(shí)現(xiàn)。為了確定此類實(shí)驗(yàn)中觀測到的噪聲是否源于引力，而非其他技術(shù)性噪聲，可以通過改變距離 d和質(zhì)量 來驗(yàn)證，因?yàn)槭?(50) 中的引力信號依賴于這些參數(shù)的特定組合，這與其他典型噪聲源不同。

局域模型。在局域模型中，即使一個孤立的質(zhì)量體也會感受到來自本地中介量子比特?zé)釢q落所產(chǎn)生的噪聲背景力?？紤]一個孤立的質(zhì)量體 m。根據(jù)式 (48) 并代入式 (47) 中明確給出的林德布拉德算符，該質(zhì)量體的動量方差將再次隨時間線性增長，其表達(dá)式為：

B. 空間疊加態(tài)的退相干

熵引力中的噪聲力的一個推論是：它會導(dǎo)致處于空間疊加態(tài)的物體發(fā)生退相干?？紤]如下形式的密度矩陣元：

在第二行中，我們?nèi)×?λ = 0。然而，由于組合項(xiàng) λ/?2 出現(xiàn)在分母中，我們可以通過選擇 λ/?2 ? 1/d 來降低退相干速率，而不會影響牛頓力的涌現(xiàn)。

方程 (64) 可以與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，并對自由參數(shù) λ/?2 施加約束。第二行中的數(shù)值是基于地球表面原子干涉儀實(shí)驗(yàn)得出的，其中原子云的疊加位移可達(dá) δx ≈ 0.5 m [43,44]。未來的實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)是實(shí)現(xiàn) δx ? 100 m [46,47]?，F(xiàn)有實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，銫原子（m_Cs ~ 133 GeV）能夠在約秒量級的時間內(nèi)保持相干疊加態(tài)，因此排除了 Γ_min ? 1 Hz 的情況。這已足以完全排除 λ = 0 的模型。我們在圖 5 中展示了通用的數(shù)值約束。

局域模型?，F(xiàn)在考慮局域模型。假設(shè)我們有一個單一的大質(zhì)量物體，處于兩個位置的疊加態(tài) |ψ? = (|x? + |x′?)/√2。與非局域模型類似，這種疊加態(tài)會因該質(zhì)量與中介量子比特的相互作用而發(fā)生退相干。與非局域模型不同的是，無論是否存在其他質(zhì)量，這種退相干都會發(fā)生。

退相干速率可以類似地估算，如同非局域模型一樣。從方程 (60) 和 (61) 可知，相關(guān)的非對角密度矩陣元將以速率 Γ = Γ? + Γ? 衰減，其中

此處，我們使用了方程 (47) 中的顯式林德布拉德算符，取了通常的連續(xù)極限，并假設(shè) x′ = x + δx，且滿足 a/δx ? 1。

兩個項(xiàng) ?！?僅通過比值 η = T(1 ? σ?)/γ_th 依賴于模型的自由參數(shù)，其關(guān)系形式與我們之前所見的倒數(shù)關(guān)系相同。這意味著當(dāng) η = η? = 2√2 時，該模型預(yù)言存在一個最小退相干速率：

這為可能的 a 值設(shè)定了一個下限。我們在此使用了前一節(jié)中相同的銫原子干涉儀參數(shù)，由此得到一個界限 a ? 10?2? m。這個界限比從第 III A 節(jié)中的異常加熱所獲得的界限要弱得多，因?yàn)榇颂幍脑肼?~1/a，而力噪聲 ~1/a3。

C. 質(zhì)量之間的糾纏產(chǎn)生

最后，考慮圖4右側(cè)面板所示的實(shí)驗(yàn)，其旨在檢驗(yàn)引力相互作用是否能使兩個大質(zhì)量物體發(fā)生糾纏[7]。許多該基本測試的替代版本也已被提出[8–10,13]，我們預(yù)計此處的結(jié)論可以以直接的方式推廣到這些設(shè)置中。

具體而言，假設(shè)我們有兩個質(zhì)量均為 m 的物體，它們自由下落且適當(dāng)分離，使得它們的相互作用主要由彼此間的引力主導(dǎo)。我們進(jìn)一步選擇一種幾何構(gòu)型，使得 |R??|L?? 路徑對相比其他三對路徑更短。我們還將繼續(xù)假設(shè)，相對于引力相互作用，我們可以忽略動能項(xiàng) p2/2m。在文獻(xiàn)[7]的具體提案中，這種疊加態(tài)應(yīng)通過利用納米金剛石內(nèi)部自旋空位上的斯特恩-蓋拉赫型效應(yīng)來制備，該效應(yīng)將外部磁場耦合到金剛石質(zhì)心自由度上。

我們將兩個質(zhì)量制備為初始直積態(tài)，其形式為

該態(tài)是未糾纏的。我們假設(shè)各個 |L, R? 態(tài)的位置寬度足夠窄，以至于它們之間沒有重疊，即 ?L|R? = 0。問題是，在引力相互作用下的時間演化是否會使該態(tài)變?yōu)榧m纏態(tài)。為了量化這一點(diǎn)，考慮可觀測量 [7]

其中這些是在贗自旋基矢下的泡利算符，基矢定義為 ∣0?:=∣L?，∣1?:=∣R?。該算符被稱為糾纏見證（entanglement witness）。可以很容易地證明，只有在糾纏態(tài)中才可能出現(xiàn) ∣?W?∣>1［48］。因此，如果我們從一個直積態(tài)初始化系統(tǒng)，經(jīng)過含時演化后測量到 ∣?W?∣>1，那么我們就知道引力相互作用產(chǎn)生了糾纏。

對于兩個質(zhì)量在 ∣L?,∣R?基矢下的一般密度矩陣，稍作計算即可得到 W的期望值為：

那么問題就在于，在各種引力模型中，這個糾纏見證量如何隨時間演化。在圖6中，我們展示了在微擾量子引力理論和我們的熵引力模型中，糾纏見證量 ∣?W?∣隨時間變化的行為。

在普通的微擾量子引力理論中，時間演化由純粹的牛頓勢能算符產(chǎn)生，是幺正的，且沒有噪聲。初始的直積態(tài) ∣ψ(0)?會演化為如下形式的糾纏態(tài)：

因此，特別是在引力相互作用持續(xù)足夠長的時間后，有 ∣?W?∣>1。因此，微擾量子引力理論在可觀測上是明確且可證明地能夠產(chǎn)生糾纏的。

在我們的熵引力模型中，情況則更為微妙。由于我們處理的是一個由方程 (42) 中林德布拉德演化所支配的開放系統(tǒng)，初始態(tài) ∣ψ(0)?現(xiàn)在會演化為一個混合態(tài) ρ(Δt)。原則上，這個混合態(tài)仍可能具有糾纏性。特別是，方程 (42) 中的有效牛頓相互作用可以像通常意義下那樣產(chǎn)生糾纏。問題是，噪聲項(xiàng)在多大程度上破壞了這種糾纏。

非局域模型：在非局域模型中，編碼糾纏的相同密度矩陣元也會發(fā)生退相干。糾纏產(chǎn)生的速率與微擾引力計算中的結(jié)果相同，因?yàn)樗上嗤膭菽芩惴刂?；而退相干速率已在第三?jié) B 中計算過。將這兩者結(jié)合起來，我們得到

非局域模型中明確的退相干速率 Γ 如上文方程 (63) 所給出。第二行指數(shù)中的系數(shù) 4 是幾何因子；參見圖 4。綜合起來，這給出了糾纏見證量的演化：

我們看到糾纏效應(yīng)與退相干效應(yīng)之間的競爭。這種競爭是可調(diào)節(jié)的，因?yàn)榧m纏與自由參數(shù) λ 無關(guān)，而當(dāng) λT2 → ∞ 時，退相干 Γ → 0。在圖6中，我們看到當(dāng) λ = 0 時，沒有可觀測的糾纏量；而當(dāng) λ 足夠大時，退相干可以被完全消除，模型變得與標(biāo)準(zhǔn)微擾引力無法區(qū)分。如果我們采用與當(dāng)前原子干涉儀實(shí)驗(yàn)一致的最小值 (λT2)??? ~ 10?1? J（如圖5所示），則退相干可忽略不計。

局域模型：在局域模型中，方程 (69) 中出現(xiàn)的所有項(xiàng)都會演化。原因是此時退相干是局域的，因此即使像 |LL??RR| 這樣的密度矩陣元也會發(fā)生退相干，盡管并未產(chǎn)生引力相位。一般而言，密度矩陣元按如下方式演化：

在疊加尺度遠(yuǎn)小于晶格尺度及平均間距的極限下，這些退相干速率由方程 (65) 給出。當(dāng)疊加尺度或晶格尺度與兩質(zhì)量之間的距離 d相當(dāng)時，表達(dá)式會變得更加復(fù)雜。由于文獻(xiàn) [7] 中所提出的實(shí)驗(yàn)方案原則上屬于后一種情形，我們將完整的表達(dá)式記錄在附錄 D 中。

在圖 6 中，我們繪制了局域模型下的 ∣?W?∣。即使采用與第三節(jié) A 中反常加熱限制相一致的最小退相干速率，我們?nèi)园l(fā)現(xiàn)局域模型中的退相干顯著地將糾纏見證量壓制到糾纏閾值以下。因此，若在此類實(shí)驗(yàn)中觀測到引力誘導(dǎo)的糾纏，將完全排除局域自旋熵引力模型所剩余的全部參數(shù)空間。

IV. 展望

我們在可及長度尺度上觀測到的引力相互作用，原則上可能以多種方式從普朗克尺度（ρ ~ m?? / ???3 ~ 101?? J/cm3）的物理中涌現(xiàn)?；蛟S最簡單的一種方式是將引力擾動量子化為引力子，即如同自然界中其他基本力的規(guī)范玻色子一樣，作為一種新的量子場論。這是一種非常優(yōu)秀的有效量子場論；原則上沒有任何理由迫使我們放棄這一圖景，除非能量接近普朗克尺度 [50–52]。然而，考慮替代性的可能性是有趣的，特別是考慮到我們或許能夠通過實(shí)驗(yàn)對這些可能性加以約束。

本文中，我們提出了一種現(xiàn)象學(xué)模型，其中引力作為由多體系統(tǒng)介導(dǎo)的熵效應(yīng)而涌現(xiàn)，該模型建立在文獻(xiàn) [1,2] 的開創(chuàng)性思想基礎(chǔ)之上。這一圖景在本體論上與簡單的引力子場景截然不同，并且至少對于定義模型的自由參數(shù)的某些取值，其預(yù)測也完全不同。然而，我們也發(fā)現(xiàn)，對于某些自由參數(shù)值（例如，在第二節(jié) A 的非局域模型中 λ → ∞），這種熵相互作用也能重現(xiàn)普通虛引力子交換的預(yù)測，至少在本文所研究的非相對論極限下如此。理解 λ 是否存在某個根本性的上限將非常有趣，但我們尚未能確定這一點(diǎn)。

雖然我們?yōu)榱司唧w化而提出了一套基于熱化自旋的特定模型，但我們預(yù)期本文所發(fā)現(xiàn)的定性現(xiàn)象學(xué)可以推廣到更廣泛的“熵”引力模型類別中。特別地，此處的核心思想是：如果一個相互作用是由某個熱中介系統(tǒng)產(chǎn)生的，那么它就應(yīng)當(dāng)產(chǎn)生可觀測的力的熱漲落。

這一結(jié)論似乎具有相當(dāng)普遍的適用性；例如，它既適用于正文中的基于量子比特的模型，也適用于附錄 A 中用振蕩器取代量子比特的模型。特別地，即使在第二節(jié) B 的局域自旋模型的特殊點(diǎn)處——此時力純粹是熵性的且沒有內(nèi)部能量變化——我們?nèi)匀粫l(fā)現(xiàn)此類漲落。更一般地，許多結(jié)果已表明，不產(chǎn)生糾纏的引力模型具有最小水平的噪聲 [5,53,54]，因此很自然地可以預(yù)期，像我們這樣的熵相互作用模型（會產(chǎn)生某種程度的糾纏），同樣必須產(chǎn)生某種最小量的噪聲。當(dāng)然，全面厘清這些結(jié)論的普適性是一個關(guān)鍵的開放問題，尤其是在相對論背景下。

本文中，我們聚焦于具有嚴(yán)格熱力學(xué)極限的模型，并且在近似熱平衡得以維持、質(zhì)量緩慢運(yùn)動的參數(shù)區(qū)域進(jìn)行研究?？紤]對這些極限的修正將非常有趣，例如，采用有限維的中介系統(tǒng)，或考察遠(yuǎn)離平衡態(tài)制備的初態(tài)。這或許有助于闡明 Jacobson 關(guān)于“非平衡時空”的概念 [1]。盡管對該主題的全面探索仍需留待未來工作，但我們強(qiáng)調(diào)，第三節(jié)的結(jié)果提供了一個具體的分析框架，用于研究如何通過將源質(zhì)量置于空間疊加態(tài)來制備處于非熱平衡狀態(tài)的時空。

在所有旨在產(chǎn)生區(qū)別于標(biāo)準(zhǔn)引力子物理可觀測量的模型（[34–40]）中，本文提出的模型具有一項(xiàng)顯著優(yōu)勢：它服從量子力學(xué)的通常規(guī)則——微觀尺度上的幺正性本質(zhì)上是成立的，態(tài)的演化是線性的，且不存在基本的經(jīng)典隨機(jī)變量。特別地，人們應(yīng)當(dāng)能夠使用標(biāo)準(zhǔn)工具研究該模型中的重整化，我們將此留待未來工作。

前進(jìn)的方向是明確的。其一是消除熱庫的累贅，即用某種更簡單的自熱化系統(tǒng)取代熱化中介和熱浴。其二是尋找本文所提構(gòu)造的相對論版本。第三點(diǎn)，也是迄今為止最重要的，是繼續(xù)推進(jìn)這些場景的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。

https://journals.aps.org/prx/pdf/10.1103/y7sy-3by1