The Four laws of black hole mechanics

黑洞力學(xué)的四大定律

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《The Four Laws of Black Hole Mechanics》（黑洞力學(xué)四定律）一文的核心在于建立黑洞動(dòng)力學(xué)行為與經(jīng)典熱力學(xué)四定律之間的深刻類比，并在此基礎(chǔ)上提出一套形式上平行、內(nèi)涵上更嚴(yán)格的“黑洞力學(xué)四定律”。以下是本文的重點(diǎn)概述：

摘要

推導(dǎo)出了包含被物質(zhì)環(huán)繞的黑洞的愛因斯坦方程的定態(tài)軸對(duì)稱解的質(zhì)量表達(dá)式，以及兩個(gè)相鄰此類解之間質(zhì)量差的表達(dá)式。這些表達(dá)式中出現(xiàn)的兩個(gè)量，即事件視界的面積 A 和黑洞的“表面引力”κ，分別與熵和溫度有密切的類比關(guān)系。這種類比提示了可以提出四條黑洞力學(xué)定律，它們對(duì)應(yīng)于熱力學(xué)四定律，并在某些方面超越了熱力學(xué)四定律。

1. 引言

人們普遍認(rèn)為，一個(gè)引力坍縮的物體會(huì)形成一個(gè)黑洞，而這個(gè)黑洞最終會(huì)穩(wěn)定到一個(gè)定態(tài)。如果黑洞是旋轉(zhuǎn)的，則其定態(tài)必須是軸對(duì)稱的 [1]（該定理的一個(gè)改進(jìn)版本涉及較弱的假設(shè)，在 [2] 中概述，并在 [3] 中詳細(xì)給出）。已經(jīng)證明，事件視界外為空的定態(tài)軸對(duì)稱黑洞解屬于離散族，每個(gè)族僅依賴于兩個(gè)參數(shù)：質(zhì)量 M 和角動(dòng)量 J [4–6]。對(duì)于 M? > J2 的克爾解就是這樣一個(gè)族。似乎不太可能存在其他族。同樣，合理地假設(shè)，對(duì)于 M? > J2 + M2Q2 的紐曼-克爾解（其中 Q 是電荷），是除電磁場(chǎng)外事件視界外為空的唯一定態(tài)軸對(duì)稱黑洞解。另一方面，將存在一個(gè)無(wú)限維的定態(tài)軸對(duì)稱解族，其中存在圍繞黑洞運(yùn)行的物質(zhì)環(huán)。在本文第 2 節(jié)和第 3 節(jié)中，我們將推導(dǎo)出此類解的質(zhì)量公式，以及兩個(gè)相鄰解之間質(zhì)量差的公式。這些公式

推廣了斯馬爾 [7] 和貝肯斯坦 [8] 對(duì)克爾解和紐曼-克爾解所發(fā)現(xiàn)的表達(dá)式。我們證明，公式中出現(xiàn)的量具有明確的物理詮釋。特別值得關(guān)注的是事件視界的面積 A 和“表面引力”κ，它們共同出現(xiàn)。它們分別與熵和溫度有很強(qiáng)的類比關(guān)系。沿著這一類比，我們?cè)诘?4 節(jié)中推導(dǎo)出四條黑洞力學(xué)定律，它們類似于但不同于熱力學(xué)四定律。

1. 積分公式

在一個(gè)定態(tài)軸對(duì)稱漸近平坦的空間中，存在一個(gè)唯一的類時(shí)平移 Killing 矢量 K?，它在無(wú)窮遠(yuǎn)處是類時(shí)的，且滿足 K?K? = -1；還存在一個(gè)唯一的旋轉(zhuǎn) Killing 矢量 K??，其軌道是參數(shù)長(zhǎng)度為 2π 的閉合曲線。這些 Killing 矢量滿足方程

右邊第一個(gè)積分可被視為視界外物質(zhì)對(duì)總質(zhì)量的貢獻(xiàn)，而第二個(gè)積分則可被視為黑洞本身的質(zhì)量。類似地，可對(duì)式 (4) 進(jìn)行積分，從而得到從無(wú)窮遠(yuǎn)處漸近測(cè)得的總角動(dòng)量 J的表達(dá)式，

1. 微分公式

在本節(jié)中，我們將利用積分質(zhì)量公式推導(dǎo)出兩個(gè)略有不同的定態(tài)軸對(duì)稱黑洞解之間質(zhì)量差 δM的表達(dá)式。為簡(jiǎn)化起見，我們僅考慮視界外物質(zhì)為圍繞黑洞作圓周運(yùn)動(dòng)的理想流體的情形。不包含黑洞項(xiàng)的旋轉(zhuǎn)恒星的微分質(zhì)量公式在 [12] 中討論。包含電磁場(chǎng)、允許物質(zhì)為彈性固體的處理方法在 [6] 中給出。

理想流體可由能量密度 ε來(lái)描述，而 ε是粒子數(shù)密度 n和熵密度 s的函數(shù)。溫度 θ、化學(xué)勢(shì) μ和壓強(qiáng) p定義為

這就是微分質(zhì)量公式。

如果一個(gè)無(wú)窮小的環(huán)被緩慢地添加到一個(gè)黑洞上，且不允許任何物質(zhì)或輻射穿過事件視界，那么黑洞的面積和角動(dòng)量保持不變，而方程 (34) 中的物質(zhì)項(xiàng)給出了添加該環(huán)所需的凈能量。由于 ΩH和 κ會(huì)隨環(huán)的質(zhì)量一階變化，因此在積分質(zhì)量公式（方程 (13)）中必須考慮 的變化。

1. 四條定律

在本節(jié)中，我們將探討黑洞與熱力學(xué)之間的類比，并提出四條定律，它們對(duì)應(yīng)于熱力學(xué)四定律，并在某些方面超越了熱力學(xué)四定律。我們從最明顯的類比開始：

第二定律 [1]

每個(gè)黑洞的事件視界面積 A不會(huì)隨時(shí)間減小，即

若兩個(gè)黑洞并合，則最終事件視界的面積大于初始兩個(gè)視界面積之和，即

這確立了事件視界面積與熵之間的類比。黑洞力學(xué)第二定律比相應(yīng)的熱力學(xué)定律稍強(qiáng)一些：在熱力學(xué)中，熵可在不同系統(tǒng)之間轉(zhuǎn)移，僅要求總熵不減少；然而，黑洞之間無(wú)法轉(zhuǎn)移視界面積，因?yàn)楹诙床荒馨l(fā)生分叉（[1, 2, 3]）。因此，黑洞力學(xué)第二定律要求：每一個(gè)單獨(dú)黑洞的視界面積均不得減少。

第一定律

任意兩個(gè)相鄰的定態(tài)軸對(duì)稱解——其中包含作圓周流動(dòng)的理想流體及一個(gè)中心黑洞——滿足如下關(guān)系：

第零定律

定態(tài)黑洞的表面引力 κ在整個(gè)事件視界上為常數(shù)。
這一點(diǎn)已在第 2 節(jié)中得到證明；在稍有不同的假設(shè)下，其他證明見文獻(xiàn) [6, 2]。
若將該類比進(jìn)一步延伸，可提出如下假設(shè)：

第三定律

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