《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 029

029. 奇數(shù)偶數(shù)的數(shù)學表示式

人類在天地間的地位與動物不同，文明的進程源于智慧的啟迪，而智慧將引領我們邁向更高級的文明階段。作為人類，我們應承擔起社會責任，至少應具備基本的道德良知。目前，網(wǎng)絡上充斥著關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)的錯誤定義以及錯誤的數(shù)學表達式，這些錯誤的數(shù)學概念不僅影響了中小學生，還可能扭曲他們對基礎數(shù)學的理解，甚至對他們的未來產(chǎn)生長遠的負面影響。因此，我們必須認真對待這一問題，防止錯誤觀念的傳播，避免誤導下一代。

這種錯誤的表示定義和數(shù)學表示方式就是：

“奇數(shù)指不能被2整除的整數(shù)，如1、2、3……，數(shù)學表達式為2K+1(K為整數(shù)）。偶數(shù)表示成2K。”

見下圖，

顯然這個說法是嚴重錯的。

比如，奇數(shù)不但可以用等差數(shù)列2K+1表示，而數(shù)列4K+1、4K+3，6K+1、6K+3、6K+5，等等無限多的等差數(shù)列都可以表示奇數(shù)。

又比如，奇數(shù)19不但可以表示成 2K+1=2X9+1=19，還有 3K+1=3X6+1=19， 4K+3=4X4+3=19， 5K+4=5X3+4=19， 6K+1=6X3+1=19， 7K+5=7X2+5=19， 8K+3=8X2+3=19， 9K+1=9X2+1=19……

可以這樣講任何一個奇數(shù)可以用無窮多的等差數(shù)列形式來表示。

因此，上述關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)的定義及其表示方式，實際上違背了邏輯學中的“同一律”。這種表示方法是混亂的，毫無意義，并且是嚴重錯誤的，它可能導致數(shù)學思維的混亂。

為什么會發(fā)生這種嚴重的錯誤？

一是錯誤的數(shù)學思維方式問題，二是哲學和邏輯問題。

在一些人的大腦中沒有在看問題時，站在不同的角度去觀察。也就是沒有到自然數(shù)的外面去看問題，僅僅是在自然數(shù)的內(nèi)部研究問題。這也就是我過去的文章里一再強調(diào)的看問題的內(nèi)、外之分。

他們是這樣思考的：既然自然數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)，那么偶數(shù)就用2N表示，而奇數(shù)就是不能被2整除的數(shù)，可以用2N+1來表示。

這就好比在房間內(nèi)研究樓房結(jié)構(gòu)，而未從外部觀察整個樓房。然而，邏輯思維能揭示問題所在。用2K+1和2K來表示奇數(shù)和偶數(shù)，并非唯一方式，這種做法可能會引起混淆。

這個問題已經(jīng)引起了世界頂尖數(shù)學家數(shù)千年甚至數(shù)百年的關(guān)注。因此，他們并未采用等差數(shù)列來表示奇數(shù)和偶數(shù)，否則諸如“哥德巴赫猜想”等數(shù)論中的古老難題將不復存在，也不會留給我們今天來研究。試想，如果等差數(shù)列真的能用來表示奇數(shù)和偶數(shù)，難道那些世界級的數(shù)學家們會不明白嗎？我們是否真的比他們更聰明？

如何正確的理解正整數(shù)和用等差數(shù)列來表示正整數(shù)？我們先看下面的圖形，

在這個表格中，每一橫向數(shù)列組，都可以表示全部正整數(shù)。看到這個圖形你們就能理解了吧？他們是在“2K+1”這個房間里研究奇數(shù)、偶數(shù)，而是沒有到自然數(shù)的外面看到自然數(shù)的金字塔結(jié)構(gòu)。

奇數(shù)、偶數(shù)正確的表示方法應該這樣表述：在正整數(shù)2N+A空間里，用兩個等差數(shù)列2N+1和2N+2一組表示全部正整數(shù)，此時奇數(shù)可以用等差數(shù)列2K+1表示，偶數(shù)用2K+2表示，其中K的取值范圍是0、1、2、3……。

見下圖，

加上這個前提條件后，像4K+1和4K+3等等其它含奇數(shù)的等差數(shù)列就不會出現(xiàn)在這個體系里了。這就消除了矛盾，讓每一個奇數(shù)、偶數(shù)都會有唯一的一個項數(shù)N來固定。2K+1和2K 就成了唯一的表示方式，而3K、4K、5K等等的等差數(shù)列就不會出現(xiàn)同一個空間體系里。

同時注意等差數(shù)列有三種形式奇數(shù)數(shù)列、偶數(shù)數(shù)列和奇偶數(shù)數(shù)列。更多的“數(shù)論新出等理論”請參閱我有關(guān)的文章。

其實全部正整數(shù)就是一個數(shù)列，也可以看成 N+1 空間，見下圖

畢達哥拉斯的推導過程實際上并不存在任何矛盾之處，因為他是在一個更高維度的空間，即N+1維的空間中進行推導的。在這樣的空間當中，出現(xiàn)不同維度數(shù)（W維數(shù)）的情況其實并不足為奇。需要明確的是，這種情況僅僅遵循“等差數(shù)列”的規(guī)律，而不是一種函數(shù)關(guān)系。如果將其表述為代數(shù)式的話，那就是一個非常嚴重的錯誤了。這是由于在不同的W維數(shù)所對應的空間里，每一個正整數(shù)都擁有自己固定不變且獨一無二的坐標。一旦改變了這個W數(shù)值，那么正整數(shù)所對應的坐標就會隨之發(fā)生改變。

我們應該如何去看待和理解在N+1空間中出現(xiàn)了2N-1這種情況呢？這里需要明確的是，這個2N - 1僅僅與等差數(shù)列存在著關(guān)聯(lián)關(guān)系，而和空間坐標并沒有任何的關(guān)系。當我們想要把正整數(shù)放入到2N + A空間之中的時候，必須要采用這個特定空間里的坐標來對正整數(shù)進行表示，絕對不能夠?qū)⑵浠煜饋?。因為在不同的?shù)學概念和體系之下，有著各自獨特的規(guī)則和表示方法，只有嚴格遵守這些規(guī)則，才能夠準確地理解和運用相關(guān)的數(shù)學概念，從而避免出現(xiàn)不必要的誤解和混淆。所以在面對這樣的情況時，我們要清晰地認識到不同數(shù)學概念之間的界限，按照正確的規(guī)則去處理相關(guān)的問題。

在探討奇數(shù)和偶數(shù)的正確表示方式時，我們需要從更宏觀的角度去審視整個數(shù)學體系。正如前文提到的“2K+1”房間內(nèi)的局限性，許多錯誤源于對單一表達形式的過度依賴，而忽略了數(shù)學概念本身的多維度特性。如果僅用2K+1來定義奇數(shù)、用2K定義偶數(shù)，這種簡單的劃分方式雖然看似直觀，卻容易導致邏輯上的僵化與片面。

進一步來說，在N+1維空間中，每個正整數(shù)都擁有其獨特且固定的坐標位置，這為我們提供了一種全新的視角去理解數(shù)字之間的關(guān)系。例如，在不同維度的空間里，等差數(shù)列的表現(xiàn)形式可能截然不同，但它們依然遵循著各自內(nèi)部的規(guī)律。因此，當我們試圖將這些規(guī)律應用于具體問題時，必須明確所處的數(shù)學框架，并嚴格遵守該框架下的規(guī)則。

此外，值得注意的是，數(shù)學中的某些經(jīng)典難題之所以長期未被解決，往往是因為我們習慣于在既定的思維模式下進行推導，而未能跳出固有的認知邊界。以哥德巴赫猜想為例，這一問題的核心并不僅僅在于奇數(shù)或偶數(shù)的簡單分類，而是涉及更深層次的數(shù)論結(jié)構(gòu)。如果我們始終局限于傳統(tǒng)的2K+1和2K表達式，就很難觸及問題的本質(zhì)。

回到如何正確理解奇數(shù)與偶數(shù)的問題上，可以發(fā)現(xiàn)，只有通過引入更高維度的空間觀念，才能真正消除現(xiàn)有體系中的矛盾。例如，在2N+A空間中，奇數(shù)和偶數(shù)分別由2K+1和2K+2唯一確定，這樣的設定不僅避免了重復定義的可能性，還使得每一個正整數(shù)都能找到屬于自己的明確歸屬。這種方法的優(yōu)勢在于，它為后續(xù)的研究奠定了堅實的基礎，同時保持了數(shù)學語言的一致性和嚴謹性。

最后，我們必須認識到，數(shù)學作為一門高度抽象的學科，其發(fā)展離不開哲學思考與邏輯推理的支持。無論是奇數(shù)還是偶數(shù)，它們的定義和表示方法都不應僅僅停留在表面的形式化描述上，而是需要結(jié)合實際應用場景以及理論背景加以綜合考量。唯有如此，才能確保我們的數(shù)學知識體系更加完善、更具普適性，從而推動人類文明向更高層次邁進。

仰望星空與大地，我們仿佛微不足道的塵埃。生命不過是轉(zhuǎn)瞬即逝的火花，但我們的智慧與精神卻能永恒地在宇宙中回響。終有一日，我們都將歸于塵土，捫心自問，你是否是炎黃子孫？你是在推動這個民族向前發(fā)展，還是成為腐蝕這一光榮整體的毒瘤？若是后者，那么在未來的史冊上，你們將只留下一個污點。

李鐵鋼 寫于2025年5月5日

2025年12月10日星期三 再整理