如果把數(shù)學(xué)比作“建筑”，我們就像建筑師一樣學(xué)習(xí)使用既有經(jīng)驗(yàn)構(gòu)造堅(jiān)實(shí)的新結(jié)構(gòu)，從而確保建筑有穩(wěn)固的地基，并不斷攀登高峰。

如果把數(shù)學(xué)比作“植物”，我們就像是園丁一樣考察花園的景觀、土壤質(zhì)量和氣候，從而確保植物有強(qiáng)壯的根基，并且符合預(yù)期地生長(zhǎng)。

為了幫助讀者從中學(xué)的“自然”數(shù)學(xué)過(guò)渡到更加復(fù)雜、廣闊的高等數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)大師斯圖爾特在《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)講義》中從讀者熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，一邊構(gòu)建邏輯聯(lián)系，一邊介紹形式化方法，幫助想要進(jìn)一步深造數(shù)學(xué)的讀者打磨數(shù)學(xué)直覺(jué)，從而直擊數(shù)學(xué)問(wèn)題的要害。

《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)講義：走向真正的數(shù)學(xué)》

作者：伊恩·斯圖爾特

譯者：姜喆

01

概念的演進(jìn)改變了數(shù)學(xué)家的信念

不斷構(gòu)造更大的數(shù)系時(shí)，每一個(gè)階段都推廣了一些性質(zhì)，也有一些含義產(chǎn)生了變化。我們?cè)谧匀粩?shù)中可以討論質(zhì)數(shù)和因數(shù)分解，但是在實(shí)數(shù)中就不行。正如我們從自然數(shù)過(guò)渡到負(fù)數(shù)或者復(fù)數(shù)時(shí)所發(fā)現(xiàn)的那樣，曾經(jīng)堅(jiān)信的觀點(diǎn)在更一般的結(jié)構(gòu)中未必正確。

概念的推廣固然有其優(yōu)勢(shì)，但是無(wú)論對(duì)于學(xué)生還是數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，含義的變化都讓人暈頭轉(zhuǎn)向。即便像四元數(shù)中交換律失效這樣，只有一個(gè)性質(zhì)發(fā)生改變，也會(huì)產(chǎn)生無(wú)法預(yù)見(jiàn)的后果。比如，我們看到了四元數(shù)多項(xiàng)式可以有無(wú)限多個(gè)根，但是無(wú)法根據(jù)交換律失效一眼看出這個(gè)結(jié)果。

這些長(zhǎng)期的含義變化不僅為讀者帶來(lái)了麻煩，也隨著概念的演進(jìn)改變了數(shù)學(xué)家的信念。隨著數(shù)學(xué)的邊界不斷拓展，這種變化不僅存在于過(guò)去、發(fā)生在當(dāng)下，也必將持續(xù)到未來(lái)。

古希臘人開(kāi)始公式化地表述幾何時(shí)，他們認(rèn)為點(diǎn)、線和面比畫(huà)在紙上或者沙地上的圖形有著更深?yuàn)W、更完美的含義。對(duì)于古希臘人來(lái)說(shuō)，點(diǎn)不僅僅是紙上的一個(gè)痕跡，它還表示了平面或者空間中的一個(gè)唯一的位置。直線不只是沿著直尺畫(huà)出的筆跡，它表示的是一條完美的直線，這種柏拉圖式的存在超越了人類(lèi)物理方法表述的極限。圓也比圓規(guī)畫(huà)出的曲線更加完美：它是一個(gè)沒(méi)有大小的點(diǎn)在平面上和圓心保持固定距離移動(dòng)的軌跡。

同理，我們可以數(shù)石頭的個(gè)數(shù)，并且把它們按一定的規(guī)則擺放，來(lái)揭示一些理論結(jié)構(gòu)，從而表示整數(shù)。比如，如果你有一定數(shù)量的石頭，我們有時(shí)候可以把它們擺成長(zhǎng)方形陣列，有時(shí)候卻不行。這就形成了合數(shù)和質(zhì)數(shù)的概念，最終引出了質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)，每個(gè)整數(shù)都能唯一地表示為質(zhì)數(shù)之積這兩個(gè)結(jié)果的形式化證明。

古希臘人的數(shù)學(xué)基于自然現(xiàn)象，但是又有著完美的柏拉圖式性質(zhì)，無(wú)法用物理方法模擬。因?yàn)樗麄兊臄?shù)學(xué)源于對(duì)自然現(xiàn)象的觀察，所以他們的數(shù)學(xué)是自然的。但他們又會(huì)在想象的世界中尋求完美的理論基礎(chǔ)，讓他們超脫自然的限制。

接著他們開(kāi)始思考更一般的數(shù)。因?yàn)樗麄冎荒苡脦缀蝸?lái)思考，所以他們先是把數(shù)想象為長(zhǎng)度、面積和體積?；谄渌I(lǐng)域的經(jīng)驗(yàn)（比如弦在長(zhǎng)度二分之一、三分之一或者三分之二的地方振動(dòng)可以產(chǎn)生和弦，而和弦是音樂(lè)理論的基礎(chǔ)），他們把這些量和整數(shù)之比聯(lián)系了起來(lái)。但后來(lái)他們發(fā)現(xiàn)直角邊均為單位長(zhǎng)度的直角三角形的斜邊不能這樣表示，因此必須把它也納入數(shù)學(xué)理論中。

02

從自然數(shù)學(xué)走向形式化方法

后來(lái)的數(shù)學(xué)家引入新數(shù)系，不斷拓展了這些概念。每個(gè)數(shù)系中引入的新詞匯其實(shí)都表現(xiàn)了人們對(duì)于新含義的擔(dān)憂：正數(shù)和負(fù)數(shù)，有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)（以及后者的實(shí)部和虛部）。加粗的詞都有著負(fù)面含義。每次擴(kuò)張之后，新數(shù)系乍一看都更加抽象，和自然現(xiàn)象毫無(wú)瓜葛。

但是隨著數(shù)學(xué)家對(duì)新數(shù)系的理解加深，他們發(fā)現(xiàn)可以把負(fù)數(shù)理解為擴(kuò)張后的數(shù)軸上的點(diǎn)，把復(fù)數(shù)理解為平面上的點(diǎn)。與此同時(shí)，熟悉的舊概念也變得和新概念一樣撲朔迷離了。等到數(shù)學(xué)家終于理解了復(fù)數(shù)之后，他們反而開(kāi)始思考實(shí)數(shù)的本質(zhì)了。

幾何概念依然基于點(diǎn)和線：點(diǎn)位于線上，而線穿過(guò)點(diǎn)。即便笛卡兒用一對(duì)數(shù)(x y ) 把點(diǎn)表示在了平面上，古希臘人對(duì)于點(diǎn)和線的看法依然是幾何思維的自然基礎(chǔ)。

牛頓使用古希臘幾何和符號(hào)代數(shù)構(gòu)建了他的微積分思想，解釋了重力和天體運(yùn)動(dòng)等自然現(xiàn)象。

萊布尼茨思考了無(wú)窮小量，并給出了一套強(qiáng)大的符號(hào)系統(tǒng)，用來(lái)表示微積分。

盡管邏輯基礎(chǔ)飽受質(zhì)疑，但這一系統(tǒng)還是經(jīng)受住了時(shí)間的考驗(yàn)。在他們之后的數(shù)學(xué)巨匠們則各自專(zhuān)注于不同領(lǐng)域。

歐拉利用冪級(jí)數(shù)和復(fù)數(shù)來(lái)代數(shù)式地運(yùn)用符號(hào)，而柯西用幾何方法解釋無(wú)窮小量，把它們想象為直線上或者平面上任意小的可變量。歐拉當(dāng)時(shí)發(fā)表的很多論文放到今天可能都無(wú)法通過(guò)，而柯西的無(wú)窮小量的概念后來(lái)被廣泛批評(píng)。

柯西的方法將實(shí)分析和復(fù)分析中的圖像和符號(hào)方法相結(jié)合，取得了重大進(jìn)展，但也招致了大量對(duì)其準(zhǔn)確含義的批評(píng)。

這些批評(píng)的核心在于：無(wú)窮小量的含義沒(méi)有得到完整解釋。他的方法更像是基于一種“它從前沒(méi)有自相矛盾，所以現(xiàn)在一定也沒(méi)有問(wèn)題”的盲信。

19 世紀(jì)后半葉和20世紀(jì)初的時(shí)候，發(fā)生了從自然數(shù)學(xué)向形式化方法的轉(zhuǎn)變。數(shù)學(xué)家用集合論定義數(shù)學(xué)實(shí)體，并只靠數(shù)學(xué)證明來(lái)推導(dǎo)它們的性質(zhì)。

據(jù)說(shuō)，戴維·希爾伯特在一堂幾何基礎(chǔ)的講座之后和同事們?cè)诎亓只疖?chē)站休息，他當(dāng)時(shí)說(shuō)道：“即便用桌子、椅子和啤酒杯來(lái)代替點(diǎn)、直線和平面，幾何理論也必須行得通?！边@句話的意義在于，數(shù)學(xué)不必只依賴(lài)于自然現(xiàn)象。從此我們不再只關(guān)注對(duì)象是什么，而是關(guān)注它們的形式化定義的性質(zhì)。

于是我們不再認(rèn)為點(diǎn)標(biāo)在線上，而是認(rèn)為實(shí)軸是一個(gè)由點(diǎn)組成的集合。“自然”數(shù)學(xué)感知到的是點(diǎn)在直線上平滑地移動(dòng)，而形式數(shù)學(xué)把數(shù)重新解讀為固定的實(shí)體，它們構(gòu)成了實(shí)數(shù)這一集合。

在這段時(shí)期，新的思維方式不僅應(yīng)用于自然現(xiàn)象，也應(yīng)用到了用形式化陳述的性質(zhì)所描述的系統(tǒng)中。當(dāng)時(shí)出現(xiàn)了大量不同的思維方法，各自側(cè)重于不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

舉例如下。

●直覺(jué)主義：基于人類(lèi)認(rèn)知和構(gòu)造方法的自然數(shù)學(xué)，其中構(gòu)造必須由有限的運(yùn)算序列完成，并且不允許使用反證法。

● 邏輯主義：數(shù)學(xué)基于形式邏輯，不依賴(lài)于任何自然直覺(jué)。

●形式主義：數(shù)學(xué)具有一個(gè)形式化的集合論基礎(chǔ)。希爾伯特承認(rèn)這個(gè)基礎(chǔ)可能源于自然的直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)，但是它必須用集合論的定義和形式化證明來(lái)系統(tǒng)闡述。

03

掌握兩種互補(bǔ)的思維模式

因?yàn)閿?shù)學(xué)家的關(guān)注點(diǎn)不同，所以后來(lái)數(shù)學(xué)也發(fā)展出了多種多樣的領(lǐng)域。

應(yīng)用數(shù)學(xué)家研究實(shí)際問(wèn)題，并且構(gòu)造數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題。物理學(xué)家考察重力或磁力這樣的自然現(xiàn)象，用牛頓力學(xué)或者愛(ài)因斯坦相對(duì)論的四維時(shí)空來(lái)構(gòu)造數(shù)學(xué)模型。他們認(rèn)為宇宙起源于一次大爆炸，而大爆炸理論本身是一種宇宙擴(kuò)張的數(shù)學(xué)模型。他們思考原子的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造亞原子粒子的模型，用復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠衿ヅ洮F(xiàn)實(shí)世界。氣候?qū)W家構(gòu)建長(zhǎng)期天氣變化的數(shù)學(xué)模型。經(jīng)濟(jì)學(xué)家構(gòu)建經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型，并基于它做出時(shí)而準(zhǔn)確時(shí)而錯(cuò)誤的預(yù)測(cè)。如果模型不足以預(yù)測(cè)，那么就會(huì)尋找預(yù)測(cè)更精確的模型。

與此同時(shí)，純數(shù)學(xué)家試圖構(gòu)建精密的理論，讓它在明確的上下文中自洽。數(shù)學(xué)家從任何吸引他們的現(xiàn)象中汲取靈感，尋找解決問(wèn)題的規(guī)律和聯(lián)系。他們有時(shí)使用已有的理論解決問(wèn)題，有時(shí)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)提出新的可能性，有時(shí)則思考已有的理論來(lái)尋找新的定理，從而給出新的形式化定義并建立新的形式理論。許多數(shù)學(xué)家會(huì)視情況混用這些方法，畢竟每個(gè)人對(duì)數(shù)學(xué)研究方法都有自己的偏好。

學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)不同領(lǐng)域時(shí)，很可能遇到截然不同的方法。讀者應(yīng)當(dāng)冷靜地看待它們，多樣性自有其優(yōu)勢(shì)。數(shù)學(xué)是艱深的：我們要盡可能地用上所有能想到的方法來(lái)思考。你掌握的工具和方法越多，能創(chuàng)造的成果也就越多。

為了幫助讀者從中學(xué)的“自然”數(shù)學(xué)過(guò)渡到更加復(fù)雜、廣闊的高等數(shù)學(xué)，本書(shū)從讀者熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，一邊構(gòu)建邏輯聯(lián)系，一邊介紹形式化方法。

在掌握了形式化方法之后，讀者就可以掌握兩種互補(bǔ)的思維模式。這兩種思維模式不是互斥的：讀者只需要選擇在上下文中最有幫助、最有成效的即可。其中一種是從直覺(jué)出發(fā)，構(gòu)造形式化結(jié)構(gòu)的自然方法；另一種是利用集合論定義證明這些結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，從而形式化地構(gòu)造它們的形式化方法。讀者應(yīng)該根據(jù)上下文靈活地選擇合適的方法。

基于熟悉的圖像和符號(hào)運(yùn)算的自然方法更容易被人腦理解，但形式化地證明相關(guān)性質(zhì)可以由形式化定義推導(dǎo)出來(lái)也是必要的。你還可能發(fā)現(xiàn)從未想過(guò)的新可能性。例如，復(fù)數(shù)把我們熟悉的小數(shù)擴(kuò)展到了一個(gè)允許求-1的平方根的系統(tǒng)，而復(fù)數(shù)到四元數(shù)的擴(kuò)張則得到了一個(gè)不滿(mǎn)足乘法交換律、二次方程可以有無(wú)限多個(gè)根的系統(tǒng)。形式化的方法為這些新概念打好地基提供了所必需的結(jié)構(gòu)。

形式化方法關(guān)注從特定假設(shè)開(kāi)始的邏輯推導(dǎo)的準(zhǔn)確性，可以用來(lái)構(gòu)造頭腦中聯(lián)系知識(shí)的基模。賦予這些基模以圖形和符號(hào)意義，讓我們能從自然角度理解它們。我們可以證明特定的結(jié)構(gòu)定理來(lái)實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程：這些定理證明一個(gè)已知的形式化結(jié)構(gòu)有著可以形式推導(dǎo)的性質(zhì)，這些性質(zhì)可以把概念表示為圖像或者符號(hào)，進(jìn)而解決問(wèn)題。

這使得數(shù)學(xué)能夠用不同的方法發(fā)展：可以基于邏輯推導(dǎo)，也可以在形式證明的支持下，用圖像或者符號(hào)運(yùn)算來(lái)自然地思考形式系統(tǒng)。

作者：[英] 伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）

譯者：姜喆

一版再版，被美國(guó)大學(xué)廣泛采用的經(jīng)典參考書(shū)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上走向“成熟”，彌合中學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的差距

啟發(fā)思維，拓展知識(shí)，有效引導(dǎo)，知識(shí)與方法深度結(jié)合

為高中生、低年級(jí)本科生和愛(ài)好數(shù)學(xué)的大眾讀者開(kāi)啟的一場(chǎng)妙趣橫生的數(shù)學(xué)思維之旅