《量子雜志》每周都會(huì)解釋推動(dòng)現(xiàn)代研究的最重要思想之一。本周，數(shù)學(xué)專欄作家Joseph Howlett詳細(xì)介紹了數(shù)學(xué)思維的魅力和重要性。

作者：Joseph Howlett（量子雜志數(shù)學(xué)專欄作家） 2024-12-16

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2024-12-17

直到一年多前，我還是一名實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家。我一直都在使用數(shù)學(xué)，所以你可能會(huì)認(rèn)為，成為一名數(shù)學(xué)記者對(duì)我來說是再合適不過了。從很多方面來說，這的確沒錯(cuò)。但從其他方面來看，我的新知識(shí)家園星球感覺就像一個(gè)外星世界。

在我以前的生活里，我研究的是物理對(duì)象和可測(cè)量的現(xiàn)象。數(shù)學(xué)是讓我能夠做到這一點(diǎn)的工具。我曾經(jīng)嘲笑過我的理論學(xué)家朋友，他們不告訴我他們最近在“研究”什么，而是告訴我他們?cè)凇八伎肌笔裁础＿@讓我想起這些朋友整天躺在辦公桌前，頭向后仰，眼睛瞇著看著天花板，心思飄忽不定。現(xiàn)在，我采訪的每個(gè)人都以同樣的方式談?wù)撍麄兊难芯俊?/p>

數(shù)學(xué)家關(guān)注的數(shù)學(xué)類型與我作為物理學(xué)家所使用的工具截然不同。他們的工作深受人類對(duì)美和抽象概念的驅(qū)動(dòng)，并將純邏輯推向極限。實(shí)驗(yàn)和觀察可以幫助指導(dǎo)數(shù)學(xué)家的理解，但最終，他們不會(huì)接受某些東西在數(shù)學(xué)上是正確的，除非他們能提出一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C來證明它。正如一位數(shù)學(xué)家最近向我保證的那樣，“沒有嚴(yán)格的證據(jù)表明某人不能活到超過一千歲。這只是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)事實(shí)。”

這種對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)性的強(qiáng)調(diào)有時(shí)會(huì)帶來看似不可能的現(xiàn)象的證明。例如，巴拿赫-塔斯基（Banach-Tarski）悖論說（參閱），你可以把一個(gè)球打碎，然后用它制造出兩個(gè)與原球一模一樣的球。對(duì)我這個(gè)物理學(xué)家來說，這聽起來像是從無到有創(chuàng)造物質(zhì)，但從數(shù)學(xué)上來說，毫無疑問這是正確的——而且也很美妙。

我欣賞這種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式。我并不懷念物理學(xué)的一點(diǎn)是，當(dāng)你試圖跟上講座或論文時(shí)，你經(jīng)常站在不穩(wěn)定的理論基礎(chǔ)上。數(shù)學(xué)是如此堅(jiān)固，如此沒有虛晃的架勢(shì)（原文用詞hand-waving，在物理里表示其所描述的論斷沒有嚴(yán)格的根據(jù)，譯者注）。在某種程度上，數(shù)學(xué)真理是由比我過去整天擰緊的真空法蘭上的鋼螺栓更堅(jiān)固的東西構(gòu)成的。

數(shù)學(xué)思維似乎過于苛刻，但它很重要。作為一門藝術(shù)和一門科學(xué)，它展示了人類創(chuàng)造力的力量，同時(shí)也揭示了我們周圍世界的奧秘。它甚至有各種各樣的實(shí)際應(yīng)用：曾經(jīng)被視為無用的數(shù)學(xué)抽象現(xiàn)在在密碼學(xué)、化學(xué)、工程、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。但從本質(zhì)上講，數(shù)學(xué)是關(guān)于探索、發(fā)現(xiàn)、美和理解的。

以下是《Quanta Magazine量子雜志》在2024年講述的一些數(shù)學(xué)故事，它們常常挑戰(zhàn)我對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知，幫助我適應(yīng)了這個(gè)新世界。

改變我數(shù)學(xué)思維的故事

我對(duì)數(shù)學(xué)的理解以及數(shù)學(xué)從業(yè)者的思維方式很大程度上來自于閱讀量子雜志的解釋和問答。如果你一年前問我如何正確定義2的平方根，我會(huì)感到困惑——它是當(dāng)你將它乘以自身時(shí)等于2的數(shù)字！但在閱讀Jordana Cepelewicz的解釋后（參閱），我明白了數(shù)學(xué)家需要如何根據(jù)完善的公理和定理來具體定義一切，包括數(shù)字。因此，2的平方根需要更嚴(yán)格的定義。

我經(jīng)常聽到伽利略說宇宙“是用數(shù)學(xué)語言寫成的”，但直到我讀到克萊爾·瓦贊（Claire Voisin）的這篇問答時(shí)（參閱，以及 ），我才意識(shí)到不同的數(shù)學(xué)語言可以描述同一個(gè)宇宙。她解釋了數(shù)學(xué)家們?nèi)绾闻υ诓煌臄?shù)學(xué)語言（比如代數(shù)語言和幾何語言）之間進(jìn)行翻譯，以獲得新的見解。物理學(xué)家經(jīng)常使用不同的描述來嘗試?yán)斫庀嗤幕粳F(xiàn)實(shí)，他們的想法是，沒有一種描述比另一種更“真實(shí)”。我從未想過數(shù)學(xué)語言也可以以同樣的方式運(yùn)作。

在我當(dāng)物理學(xué)家的日子里，我通常被困在三維空間中（不包括時(shí)間）。數(shù)學(xué)家不受物理現(xiàn)實(shí)的限制，可以飛越更高的平面，那里充滿了他們自己無法理解的對(duì)象。他們只能通過觀察嵌入其中的更簡(jiǎn)單、更低維的形狀來感受這些形狀的邊緣。今年，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了比他們之前認(rèn)為的更奇怪、更豐富的嵌入，這表明四維世界比他們所知道的還要奇怪。

2024年的一條數(shù)學(xué)新聞確實(shí)吸引了我的注意，部分原因是我是一個(gè)狂熱的觀鳥愛好者，但也因?yàn)樗砻鲾?shù)學(xué)和其他科學(xué)一樣，充滿了偶然的發(fā)現(xiàn)。Lyndie Chiou 今年早些時(shí)候報(bào)道了一種神秘的數(shù)學(xué)模式，稱為“椋鳥群飛”（murmuration，參閱），因其類似于翱翔的椋鳥群中形成的華麗的波浪狀漣漪而得名。這種模式是由一位名叫 Alexey Pozdnyakov 的本科生發(fā)現(xiàn)的，當(dāng)時(shí)他使用一個(gè)公共方程式數(shù)據(jù)庫繪制了一張圖，而這在資深數(shù)論學(xué)家看來是永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)生的。他在這張圖中看到的奇怪漣漪遠(yuǎn)不僅限于這些方程式，后來被證明在數(shù)論及其他領(lǐng)域無處不在。在我最近參加的石溪大學(xué)關(guān)于該主題的研討會(huì)上，麻省理工學(xué)院的數(shù)論學(xué)家 Andrew Sutherland 展示了 Pozdnyakov 的圖，并將其與“他們?cè)谂囵B(yǎng)皿中發(fā)現(xiàn)霉菌以發(fā)現(xiàn)青霉素”進(jìn)行了類比。

感謝這些故事，我的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（某種程度上）穩(wěn)定了下來，我迫不及待地想看看2025年會(huì)帶來什么新的突破。

網(wǎng)絡(luò)上

彼得·佩西克（Peter Pesic）撰寫的長(zhǎng)篇論文《阿貝爾的證明》（Abel's Proof）讓我明白了現(xiàn)代數(shù)學(xué)為何充斥著深?yuàn)W的抽象概念。它還讓我開始思考不可解性 — — 有些數(shù)學(xué)問題，即使是非常簡(jiǎn)單的問題，也是可以證明無法證明的。

統(tǒng)計(jì)學(xué)在我心中占有特殊的地位。它對(duì)于我們理解世界至關(guān)重要，但同時(shí)也非常復(fù)雜和微妙。我喜歡閱讀由統(tǒng)計(jì)學(xué)家Andrew Gelman創(chuàng)辦的博客“統(tǒng)計(jì)建模、因果推斷和社會(huì)科學(xué)” ，其中有關(guān)于統(tǒng)計(jì)學(xué)及其在科學(xué)中經(jīng)常被濫用的清晰對(duì)話。

在一個(gè)實(shí)際應(yīng)用并不重要的領(lǐng)域，我對(duì)數(shù)學(xué)家認(rèn)為什么是有趣的東西非常感興趣。這讓我找到了維基百科上的“有趣數(shù)字悖論”頁面，這真是令人愉快。（我最喜歡的有趣數(shù)字是142857。）

隨著我撰寫的每一個(gè)新故事，我越來越了解數(shù)學(xué)家的工作方式。例如，他們的工作日常是什么樣子的？我很高興在數(shù)學(xué)家Kimball Martin的主頁上找到這篇“日常生活”帖子。

參考資料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/why-colliding-particles-reveal-reality-4865837

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-marvel-at-crazy-cuts-through-four-dimensions-20240422/

https://mp.weixin.qq.com/s/eia9KK4LQnmTnOP7tbtG3w

https://mitpress.mit.edu/9780262661829/abels-proof/

https://statmodeling.stat.columbia.edu

https://en.wikipedia.org/wiki/Interesting_number_paradox

https://en.wikipedia.org/wiki/142857

https://math.ou.edu/~kmartin/aday.html

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