譯者注：

上個月，Gross、Hacking、Keel、Kontsevich四人團隊（簡稱GHKK）獲得2025年AMS美國數(shù)學會E.H.莫爾（Moore）研究論文獎。本文是論文作者之一Seán Keel（肖恩·基爾）對該合作研究的背后介紹。另請參閱：

關于作者：

肖恩·基爾（Seán Keel）是一位代數(shù)幾何學家，特別關注雙有理幾何、?？臻g和鏡像對稱。

除了數(shù)學之外 [參閱文末icea鏈接]，他還寫過一部劍與魔法奇幻小說、大量短篇小說和詩歌。他與他的家庭樂隊Bill the Pony（比爾小馬）制作了三張民謠/爵士唱片，以及一張“超級簡單的民謠鄉(xiāng)村音樂”專輯。

作者：Seán Keel（德克薩斯大學奧斯汀分校）2024-12-20

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學科普公眾號）2025-1-20

K3曲面

圖源：西蒙斯基金會

多年來，我一直與保羅·哈金（Paul Hacking）一起嘗試尋找K3曲面?？臻g的典范環(huán)形壓縮，遵循一個模糊但持久的想法，即K3曲面類似于復曲面，但用球面代替了晶格多面體。與此相關的球面已經(jīng)出現(xiàn)在康采維奇（Kontsevich）和索貝爾曼（Soibelman）2004年一篇令人驚嘆的論文中 https://link.springer.com/chapter/10.1007/0-8176-4467-9_9 ，我正在研究該論文，但沒有太多的理解。

2007年，我第一次訪問IHES快結束時，我第一次從馬克·格羅斯（Mark Gross，他也處在訪問期間）那里聽說了相關的、對我來說更容易理解的格羅斯（Gross）和西伯特（Siebert）的想法 https://annals.math.princeton.edu/2011/174-3/p01 。保羅和我開始與馬克一起工作，我們對?？臻g（moduli space）的興趣逐漸被一些更基本和基礎的東西所取代，從那時起，它就占據(jù)了我的思考：為了讓我們想做的事情發(fā)揮作用，卡拉比-丘（以及它們的更簡單的開的表親，log CY）接受了阿貝爾簇上的 theta 函數(shù)（或其開的表親，代數(shù)環(huán)面的單項式）的廣泛推廣。大約在2012年，我們正式確定了這個猜想。我受到馬克西姆的鼓勵，他非常熱情地接受了這個想法，也受到了揚·索貝爾曼（Yan Soibelman）的鼓勵，他首先向我解釋了從馬克西姆的同調鏡像對稱猜想的角度來看，這是極其自然的。

幾年后，岡察洛夫在IHES進行了一次短暫訪問，并打算就叢簇函數(shù)的典范基發(fā)表他與?？说穆?lián)合猜想和結果。我從未聽說過叢簇（cluster variety），但典范基（canonical basis）正是我們所猜測的，我期待著岡察洛夫的講座。就在它開始之前，馬克西姆像往常一樣來到我的辦公室，展示了他那邊一些有趣的事情。我問他不想去聽講座嗎，他說不想去，因為他已經(jīng)聽過了。所以我留在辦公室（不會離開馬克西姆）并聆聽（可能很少理解）他想向我展示的任何內容。

幾個月后，我看到了?？撕蛯炻宸虻念A印本 https://link.springer.com/article/10.1007/s10240-006-0039-4 ，并很快意識到他們對叢簇函數(shù)的猜想基礎是我們對 log CY 典范 theta 函數(shù)猜想的一個非常特殊的情況。令人興奮的是，?？撕蛯炻宸虻牟孪耄ㄒ约拔覀兊牟孪耄┯兄钊梭@嘆的潛在應用。我立即開始向馬克詢問叢簇的問題——我真的很想在這種特殊情況下證明我們的猜想。馬克過去（現(xiàn)在仍然）非常忙于與西伯特合作的一個雄心勃勃的項目（所謂的格羅斯-西伯特Gross-Siebert計劃），因此摒棄了我，幾乎是他以前做過的最粗魯?shù)氖虑椤?/p>

但也許一年后，馬克西姆在巴黎做了一系列講座，馬克也參加了，在其中一次講座中他提出了將鏡像對稱性與叢簇世界中主要的開放猜想聯(lián)系起來的想法——這些包括福明-澤列文斯基（Fomin-Zelevinski） https://www.jstor.org/stable/827129 以及?？?岡察洛夫（Fock-Goncharov） http://www.numdam.org/item/ASENS_2009_4_42_6_865_0/ 的猜想。這引起了馬克的興趣，我們和保羅一起認真研究了這些問題，這實際上是我們試圖在更大的普遍意義上所做的一個近乎完美的簡單案例。

在很短的時間內，我們就能夠證明所有主要猜想，并且我同意在那一年馬克西姆的邁阿密鏡面對稱會議上就我們的結果進行一系列講座。有一個基本猜想我們還沒有證明——所謂的洛朗現(xiàn)象（Laurent phenomenon）的正性。

在邁阿密，我意識到我們的工作實際上存在空隙。對于我們的結果，我們實際上需要這種正性。我知道馬克西姆已經(jīng)考慮過了，所以我問他。他說他不知道如何證明這一點，但實驗證據(jù)讓他相信這絕對是真的。我記得我和馬克西姆、索貝爾曼、岡察洛夫、卡普拉諾夫（Kapranov）一起吃晚飯——馬克不在場，因為他正在準備第二天的演講。我向馬克西姆建議我們在這種正性上共同努力，他同意了。我很高興能與這些大咖共進晚餐，并與馬克西姆進行正式合作。

第二天早上，我遇到了馬克，告訴他這個安排。他開始大笑，他非常興奮，因為那天晚上他已經(jīng)想出了如何證明必需的正性。我們繼續(xù)寫論文。正如馬克西姆會告訴你的那樣，他與這件事幾乎沒有任何關系。但肯定的是，將他的名字寫在上面絕對具有極好的宣傳效果。

格羅斯和西伯特的組合小工具（所謂的折線）在我們的工作中發(fā)揮了核心作用，它們是球面（或者更確切地說是它們在 log CY 情況下的類似物）上的分段直線路徑。讓我困擾的是我們不知道這些東西“真正”是什么。過了一會兒，我在與馬蒂亞斯·瓊森（Mattias Jonsson）的一次非常鼓舞人心的對話中了解到，別爾科維奇（Berkovich）版本的解析盤（帶有一個標記點）包含一條典范的分段直線路徑。

然后，在與馬克西姆的一次長談中，我記得是在IHES主樓的小報告廳里，我們意識到這些折線確實一定就是瓊森提到的這些典范路徑，并且鏡像代數(shù)中的結構常數(shù)必須是這些解析盤的數(shù)目（解釋了為什么它們是正整數(shù)，它們是某些東西的樸素計數(shù)）。這是我一生中最激動人心、最重要的數(shù)學對話之一。

要利用這個想法需要在別爾科維奇幾何學方面做大量的基礎工作（當時我對此基本上一無所知）。當時，我有一個非常有前途的研究生，他剛從中國來到德州大學。我把這個問題交給了他。他是一個非常聰明的學生，但這是一次非常艱難的提升——尤其是因為我對這個學科知之甚少，無法為他提供太多幫助。他最終做了一些不同的事情，而且也非常好（后來他離開了數(shù)學界，現(xiàn)在在谷歌找到了一份非常好的工作）。我不知道的是，馬克西姆還有一個新的有前途的學生，巧合的是，他也來自中國。他給了他本質上同樣的問題。

結果就是（托尼）余越（Tony Yue Yu）相當精彩的博士論文 https://link.springer.com/article/10.1007/s00208-016-1376-3 。從那以后，托尼和我一直在這項工作的基礎上繼續(xù)努力，用別爾科維奇幾何術語重新表述了格羅斯-西伯特計劃的大部分內容。至此，我們已經(jīng)實現(xiàn)了與馬克西姆在小教室度過的那個（對我來說）重要的下午的許多瘋狂愿望。此后，托尼和我回去并使用別爾科維奇公式重做了GHKK（Gross-Hackin-Keel-Kontsevich）https://projecteuclid.org/journals/annals-of-mathematics/volume-198/issue-2/The-Frobenius-structure-theorem-for-affine-log-Calabi-Yau-varieties/10.4007/annals.2023.198.2.1.short （該論文獲得AMS莫爾獎 https://www.ams.org/news?news_id=7403 ）的大部分內容。馬克西姆可能與最初的 GHKK https://www.ams.org/journals/jams/2018-31-02/S0894-0347-2017-00890-7/viewer/ 沒有太大關系。但他的想法是這次重新闡述（我個人更喜歡它）的基礎。

附錄：IHES官網(wǎng)的祝賀文章2024-12-18

IHES很高興地宣布馬克西姆·康采維奇（Maxim Kontsevich）榮獲美國數(shù)學會（AMS）頒發(fā)的2025 年莫爾（Moore）獎。

該獎項于2004年設立，以紀念AMS前主席E.H. Moore命名，每三年頒發(fā)一次。它認可在AMS期刊之一上發(fā)表的研究文章，這些期刊包括 Journal of the AMS《AMS雜志》、Proceedings of the AMS《AMS論文集》、Transactions of the AMS《AMS匯刊》、AMS Memoirs《AMS回憶錄》、Mathematics of Computation《計算數(shù)學》、Electronic Journal of Conformal Geometry and Dynamics《共形幾何與動力學電子雜志》 和 Electronic Journal of Representation Theory《表示論電子雜志》。

在2025年的獎項中，Maxim Kontsevich 和他的合著者Mark Gross （劍橋大學） 、 Paul Hacking （馬薩諸塞大學阿默斯特分校）和Seán Keel （德克薩斯大學奧斯汀分校）因其發(fā)表于 2018 年美國數(shù)學會雜志的文章《叢代數(shù)的典范基》 Canonical Bases for Cluster Algebras https://www.ams.org/journals/jams/2018-31-02/S0894-0347-2017-00890-7/viewer/ 而獲得殊榮。

巴黎西岱大學數(shù)學教授Bernhard Keller反思了這篇開創(chuàng)性的文章：

叢代數(shù)（cluster algebra）由Fomin-Zelevinsky https://www.jstor.org/stable/827129 于2002年發(fā)明，是某些具有豐富組合結構的交換代數(shù)。在這些代數(shù)中，有格拉斯曼的齊次坐標代數(shù)、雙布魯哈特（Bruhat）單元的齊次坐標代數(shù)以及在幾何和李理論中具有重要意義的許多其他變體。福明-澤列文斯基的主要希望是獲得一種組合方法來構建 Lusztig 的“典范基”（此類坐標代數(shù)所擁有的），以及與他密切相關的完全正性理論。

Fock-Goncharov http://www.numdam.org/item/ASENS_2009_4_42_6_865_0/ 在他們著名的對偶猜想中使 Fomin-Zelevinsky 的希望更加精確。但即使使用這個框架，事實證明，以所需的通用性為叢代數(shù)構建“典范基”也是極其困難的。同樣，F(xiàn)omin-Zelevinsky 2002年的正性猜想幾乎完全開放，直到2013年Lee-Schiffler證明了它適用于由箭圖（quiver）產(chǎn)生的叢代數(shù)。在這篇論文中，Gross-Hacking-Keel-Kontsevich 做出了兩個突破：

他們證明了由任意值的箭圖產(chǎn)生的叢代數(shù)的完全普遍性的正性猜想；

他們?yōu)橐淮箢悈泊鷶?shù)，特別是李理論和高等Teichmüller理論中的所有例子構建了“規(guī)范基”，從而（部分）證實了Fock-Goncharov的猜想。

他們使用鏡像對稱工具（散點圖和折線）獲得這些結果，這些工具主要由Kontsevich-Soibelman和Gross-Siebert開發(fā)，其對叢代數(shù)的適用性是Gross、Hacking和Keel的深刻洞察。通過其結果和方法，這篇論文對叢代數(shù)的研究產(chǎn)生了革命性的影響，在許多其他領域產(chǎn)生了重要影響，這些領域已被證明是相關的，特別是枚舉幾何、表示論和量子拓撲結構。

IHES 熱烈祝賀 Mark Gross、Paul Hacking 和 Seán Keel（都是該研究所的前訪客）以及 Maxim Kontsevich 獲得這一享有盛譽的獎項。

參考資料

https://www.ihes.fr/en/ghkk-keel/

https://www.ihes.fr/en/kontsevich-moore-prize/

https://link.springer.com/chapter/10.1007/0-8176-4467-9_9

https://annals.math.princeton.edu/2011/174-3/p01

https://link.springer.com/article/10.1007/s10240-006-0039-4

https://www.jstor.org/stable/827129

http://www.numdam.org/item/ASENS_2009_4_42_6_865_0/

https://link.springer.com/article/10.1007/s00208-016-1376-3

https://projecteuclid.org/journals/annals-of-mathematics/volume-198/issue-2/The-Frobenius-structure-theorem-for-affine-log-Calabi-Yau-varieties/10.4007/annals.2023.198.2.1.short

https://www.ams.org/news?news_id=7403

https://www.ams.org/journals/jams/2018-31-02/S0894-0347-2017-00890-7/viewer/

https://icea.se/blogs/news/austin-based-ut-math-professor-folk-artist-sean-keel-reveal-the-raw-starkly-evocative-record-ferals-welcome-his-second-album-after-signing-with-icons-creating-evil-art

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