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數(shù)學(xué)家們已經(jīng)開始為數(shù)學(xué)意義的深刻轉(zhuǎn)變做準(zhǔn)備。#AI時(shí)代專題系列

圖源：Sally Caulwell / Quanta Magazine

作者：Jordana Cepelewicz（量子雜志數(shù)學(xué)主編）2025-4-30

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-5-1

自20世紀(jì)初以來，數(shù)學(xué)的核心一直是證明——一個(gè)嚴(yán)格的、合乎邏輯的論證，證明一個(gè)給定的命題是真是假。數(shù)學(xué)家的職業(yè)生涯是通過他們能證明什么樣的定理以及證明多少定理來衡量的。他們花費(fèi)了大量時(shí)間提出新的見解來使證明發(fā)揮作用，然后將這些直覺轉(zhuǎn)化為一步一步的推理，像拼圖一樣將不同的推理路線組合在一起。

最好的證明都是藝術(shù)品。它們不僅嚴(yán)謹(jǐn)，而且優(yōu)雅、富有創(chuàng)意且漂亮。這使它們像是一種明顯的人類活動(dòng)——我們理解世界、磨礪思維、測試思維本身極限的一種方式。

但證明本質(zhì)上也是理性的。因此，當(dāng)研究人員在1950年代中期開始開發(fā)人工智能時(shí)，他們希望自動(dòng)化定理證明是很自然的：設(shè)計(jì)能夠生成自己的證明的計(jì)算機(jī)程序。他們?nèi)〉昧艘恍┏晒?。最早?AI 程序之一可以輸出數(shù)理邏輯中的數(shù)十個(gè)命題的證明https://www.cs.cornell.edu/courses/cs4860/2012fa/MacKenzie-TheAutomationOfProof.pdf 。其他程序緊隨其后，想出了證明幾何、微積分和其他領(lǐng)域命題的方法。

盡管如此，這些自動(dòng)定理證明器仍然有限。數(shù)學(xué)家真正關(guān)心的定理類型需要太多的復(fù)雜性和創(chuàng)造力。數(shù)學(xué)研究一如既往地繼續(xù)進(jìn)行，沒有受到影響，也沒有被嚇倒。

現(xiàn)在，這種情況開始改變。在過去的幾年里，數(shù)學(xué)家們使用機(jī)器學(xué)習(xí)模型來發(fā)現(xiàn)新模式 https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x ，發(fā)明新猜想，并找到舊猜想的反例。他們創(chuàng)建了強(qiáng)大的證明助手 https://www.quantamagazine.org/building-the-mathematical-library-of-the-future-20201001/ 既可以驗(yàn)證給定的證明是否正確，也可以組織他們的數(shù)學(xué)知識(shí)。

到目前為止，他們還沒有構(gòu)建可以從頭到尾生成證明的系統(tǒng)，但這種情況可能正在發(fā)生變化。2024年，Google DeepMind宣布他們開發(fā)了一種人工智能系統(tǒng)，該系統(tǒng)在IMO國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（一項(xiàng)針對(duì)高中生的著名的以證明為主的考試）中獲得銀牌 https://deepmind.google/discover/blog/ai-solves-imo-problems-at-silver-medal-level/ 。OpenAI更通用的“大語言模型”ChatGPT在復(fù)制證明和解決具有挑戰(zhàn)性的問題方面取得了重大進(jìn)展，較小規(guī)模的定制系統(tǒng)也是如此。

“它們進(jìn)步的程度令人震驚，”蒙特利爾大學(xué)的數(shù)學(xué)家安德魯·格蘭維爾（Andrew Granville）說，直到最近，他才懷疑這項(xiàng)技術(shù)可能很快就會(huì)對(duì)定理證明產(chǎn)生真正影響的說法?！八鼈儚氐状蚱屏宋以詾榇嬖诘南拗?，天機(jī)已經(jīng)泄露了?！?/p>

研究人員預(yù)測，他們將能夠在未來幾年內(nèi)開始將更多乏味的證明部分外包給AI。對(duì)于人工智能是否能夠完全證明他們最重要的猜想，他們意見不一：一些人愿意接受這個(gè)概念，而另一些人則認(rèn)為存在無法克服的技術(shù)障礙。但是，數(shù)學(xué)事業(yè)中更具創(chuàng)造性的方面有朝一日可能會(huì)實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化，這已不再完全不可能。

Andrew Granville擔(dān)心，將更嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方面外包給AI可能會(huì)對(duì)研究人員的思考能力產(chǎn)生不利影響?！拔乙庾R(shí)到，自己的認(rèn)知并非源自高瞻遠(yuǎn)矚，”他說，“而是來自親力親為的實(shí)踐?！?/p>

圖源：Alex Tran / Quanta Magazine

即便如此，目前大多數(shù)數(shù)學(xué)家“都把頭牢牢地埋在沙子里，”格蘭維爾說。他們忽視了最新的發(fā)展，寧愿將時(shí)間和精力花在他們平常的工作上。

一些研究人員警告說，繼續(xù)這樣做將是一個(gè)錯(cuò)誤。即使是將枯燥或死記硬背的部分證明外包給AI的能力，“隨著時(shí)間的推移，也會(huì)極大地改變我們的工作以及我們對(duì)數(shù)學(xué)的看法，”新澤西州普林斯頓高等研究所杰出數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎(jiǎng)獲得者阿克薩伊·文卡特什（Akshay Venkatesh，1981 -）說。

他和一小群其他數(shù)學(xué)家現(xiàn)在開始研究人工智能驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)未來會(huì)是什么樣子，以及它將如何改變他們所珍視的東西。在這樣的未來，數(shù)學(xué)家們將扮演批評(píng)家、翻譯家、指揮家、實(shí)驗(yàn)家的角色，而不是把大部分時(shí)間花在證明定理上。數(shù)學(xué)可能會(huì)更接近實(shí)驗(yàn)室科學(xué)，甚至藝術(shù)和人文學(xué)科。

想象AI將如何改變數(shù)學(xué)不僅僅是一項(xiàng)準(zhǔn)備工作。它迫使數(shù)學(xué)家考慮數(shù)學(xué)的真正核心是什么，以及它的用途是什么。

工具所鑄

蘇格拉底是西方最早擔(dān)憂技術(shù)如何與清晰思維相互沖突的思想家之一。在他看來，日益普及的書寫技術(shù)是一種不可靠的信息載體，會(huì)侵蝕人們與生俱來的記憶能力。

今天，我們不能不寫作就做數(shù)學(xué)?！凹垙埖淖饔檬峭獠坑洃?，一種不同類型的思維系統(tǒng)，”Venkatesh說。它允許人們存儲(chǔ)知識(shí)并將其傳遞下去；甚至關(guān)于使用哪些符號(hào)來表示數(shù)學(xué)概念的決定也帶來了重要的進(jìn)步。

在蘇格拉底時(shí)代以及接下來的2000年里，西方數(shù)學(xué)是幾何學(xué)。古希臘人將數(shù)學(xué)描述為關(guān)于大小的科學(xué)，即你可以繪制、測量和計(jì)數(shù)的事物。通過以幾何方式表示概念，數(shù)學(xué)家可以找到意義并發(fā)現(xiàn)應(yīng)用。這項(xiàng)工作是物理的，甚至是觸覺的。

然后，在1637年，法國數(shù)學(xué)家勒內(nèi)·笛卡爾（René Descartes，1596 - 1650）發(fā)表了他的論文《方法論》（Discourse on the Method https://www.gutenberg.org/ebooks/59 ）。在其附錄中，他介紹了后來被稱為笛卡爾坐標(biāo)的東西：一種將幾何曲線和形狀轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程的方法。

代數(shù)成為外包某些無法用幾何方式解決的問題的手段。但這也意味著要遠(yuǎn)離對(duì)數(shù)學(xué)的物理理解?！澳憧梢云D難地完成代數(shù)，但在某種程度上你是在盲目工作，”英格蘭開放大學(xué)的杰里米·格雷（Jeremy Gray）說?！皺C(jī)械套用之法，終不及歐氏幾何的直觀之美?！?/p>

在17世紀(jì)，勒內(nèi)·笛卡爾引入了一種將幾何曲線表示為代數(shù)方程的方法。它改變了數(shù)學(xué)的完成方式。

圖源：公共領(lǐng)域

一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為代數(shù)方法將數(shù)學(xué)帶向了錯(cuò)誤的方向。其中最主要的是艾薩克·牛頓（Isaac Newton，1643 - 1727）。他寫道，這些方法“如此乏味和糾纏，以至于令人作嘔”。對(duì)他來說，幾何直覺是真正用數(shù)學(xué)方式理解事物的核心。他聲稱 http://mitp-content-server.mit.edu:18180/books/content/sectbyfn?collid=books_pres_0&fn=9780262013178_sch_0001.pdf&id=8197 ，通過代數(shù)符號(hào)和抽象方面的工作，數(shù)學(xué)家不可能理解他們?cè)谧鍪裁?，即使他們認(rèn)為自己在做什么。

起初，代數(shù)技術(shù)是達(dá)到目的的一種手段。它們只是使數(shù)學(xué)家能夠思考和解決某些問題。但很快，數(shù)學(xué)家們就開始為了他們自己而研究這些技術(shù)，從而產(chǎn)生了各種美麗的數(shù)學(xué)：例如，如果沒有代數(shù)，微積分是不可想象的。這反過來又導(dǎo)致了集合論等形式主義——現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)——隨后開辟了全新的研究領(lǐng)域。（牛頓是微積分的發(fā)明者之一，最初為它開發(fā)了一個(gè)代數(shù)框架。但由于他的哲學(xué)觀點(diǎn)，他拒絕出版他的作品，直到他找到一種以幾何方式呈現(xiàn)它的方法。）

數(shù)學(xué)逐漸從其幾何根源轉(zhuǎn)為越來越抽象?！敖裉?，數(shù)學(xué)真理以幾何學(xué)為基礎(chǔ)的概念似乎很古怪，”卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的杰里米·阿維加德（Jeremy Avigad）在2022年的一篇文章中寫道 https://www.ams.org/journals/bull/2022-59-01/S0273-0979-2021-01726-5/viewer/ 。數(shù)學(xué)家現(xiàn)在將問題外包給各種方法，包括代數(shù)和非代數(shù)；他們通常將這些比代數(shù)方程復(fù)雜得多的方法稱為數(shù)學(xué)“機(jī)械”。曾經(jīng)不可接受的抽象概念現(xiàn)在并不比一個(gè)強(qiáng)大的工具更神秘，并且對(duì)于構(gòu)建任何雄心勃勃的東西同樣重要。

了解每一顆釘子

為了構(gòu)建證明，數(shù)學(xué)家從堅(jiān)實(shí)的假設(shè)或公理基礎(chǔ)開始。他們一次一個(gè)地在這個(gè)基礎(chǔ)上放置積木 — 命題或引理，這些命題或引理最終組合在一起，幫助形成一個(gè)單一的邏輯結(jié)構(gòu)。

歸根結(jié)底，重要的是這個(gè)總體結(jié)構(gòu)：墻壁、樓梯和柱子賦予了證明的形狀。但是，雖然證明最有趣的方面可能是它的藍(lán)圖——論證的總體設(shè)計(jì)——但磚塊本身也很重要。引理是次要的陳述，也需要證明為真，然后以巧妙的方式組合起來，以構(gòu)建完整的證明。

La Géométrie《幾何學(xué)》是笛卡爾著名的《方法論》中的一個(gè)簡短附錄，為解析幾何奠定了基礎(chǔ)。通過引入坐標(biāo)系的概念，笛卡爾在幾何和代數(shù)之間架起了一座橋梁，后來使微積分和其他重要數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展成為可能。

圖源：公共領(lǐng)域

例如，一個(gè)引理可能涉及泛化一個(gè)已知的命題，或證明一個(gè)對(duì)象滿足一組特定的性質(zhì)。通常，數(shù)學(xué)家有理由相信這樣的引理是正確的。但是嚴(yán)格證明它們可能需要一段時(shí)間，從幾小時(shí)到幾周不等。它們可能不需要很多創(chuàng)造力，但它們很耗時(shí)，并且它們最終可能會(huì)在最終的證明中占據(jù)一頁又一頁的篇幅。

幾年后，AI模型（與形式驗(yàn)證系統(tǒng)配對(duì)以檢查準(zhǔn)確性）可能能夠自動(dòng)證明這些引理，就像數(shù)學(xué)家目前將簡單算術(shù)外包給計(jì)算機(jī)程序一樣。如果發(fā)生這種情況，論文將更容易寫。數(shù)學(xué)將發(fā)展得更快，以更快的速度開辟新的研究領(lǐng)域。數(shù)學(xué)教育可能會(huì)發(fā)生重大變化。

在這個(gè)愿景中，數(shù)學(xué)家將繼續(xù)成為新數(shù)學(xué)大教堂的建筑師。但他們也不必再兼任施工隊(duì)，親手打造和敲打每一塊磚、每根托梁和每顆釘子。

然而，即使是這種對(duì)人工智能的使用——實(shí)現(xiàn)人類已經(jīng)可以做的事情，盡管速度更慢——也可能極大地改變數(shù)學(xué)，就像17世紀(jì)代數(shù)機(jī)械的引入一樣。為了了解這可能是什么樣的，倫敦帝國理工學(xué)院的希瑟·麥克白（Heather Macbeth）一直在比較傳統(tǒng)的證明 https://arxiv.org/abs/2405.04699 與使用證明助手 Lean編寫的相同定理的證明。

在一個(gè)Lean的證明中，所有步驟都是用計(jì)算機(jī)代碼編寫的，有些是手工編寫的，有些是使用人工智能編寫的；然后，軟件程序驗(yàn)證這些步驟是否遵循有效的邏輯鏈，以及證明是否正確。Macbeth發(fā)現(xiàn)，在這樣的證明中，你可以將更多信息打包到稱為“策略”的自動(dòng)化流程中，從而讓數(shù)學(xué)家騰出時(shí)間專注于更高層次的描述和理解。

“即使在我們認(rèn)為基于證明的數(shù)學(xué)中，即成人研究數(shù)學(xué)的生計(jì)中，仍然有很多東西實(shí)際上是計(jì)算，”麥克白說。隨著證明的這些部分被外包給計(jì)算機(jī)，無論是Lean還是其他一些AI系統(tǒng)，數(shù)學(xué)家可以花費(fèi)更多的精力來提供解釋和傳達(dá)最重要的思想；對(duì)細(xì)節(jié)的強(qiáng)調(diào)將減少，因?yàn)榧?xì)節(jié)將成為AI的職權(quán)范圍。這將代表數(shù)學(xué)的重大文化轉(zhuǎn)變：數(shù)學(xué)家將不再需要那么多地關(guān)注嚴(yán)謹(jǐn)性。

“紙上的嚴(yán)謹(jǐn)和你頭腦中的嚴(yán)謹(jǐn)之間會(huì)有某種脫節(jié)，”多倫多大學(xué)的丹尼爾·利特（Daniel Litt）說?！拔視?huì)從整體意義上理解一些新的東西，即使我不會(huì)理解所有的細(xì)節(jié)?！?/p>

然而，總的來說，數(shù)學(xué)家們?cè)跉赓|(zhì)或訓(xùn)練上超乎尋常地傾向于關(guān)注嚴(yán)謹(jǐn)性?！拔也幌矚g不了解細(xì)節(jié)的感覺，所以我必須接受這種感覺，”利特說。

幾千年來，歐幾里得的《幾何原本》（Elements of Geometry）深刻影響了數(shù)學(xué)家對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)性的思考。但在過去的400年里，數(shù)學(xué)變得越來越抽象。

圖源：公共領(lǐng)域

這種感受不僅僅是出于不適；數(shù)學(xué)家們擔(dān)心（正如蘇格拉底曾經(jīng)擔(dān)憂的那樣），如果停止強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)性，可能會(huì)對(duì)他們的思維能力產(chǎn)生負(fù)面影響。“你或許會(huì)說，好吧，現(xiàn)在可以自由地關(guān)注更大的圖景了。但我認(rèn)為我自己的理解并非源于宏觀視角，而是源于親自動(dòng)手的實(shí)踐，”格蘭維爾說，“抽象的力量，在那些同時(shí)理解實(shí)踐的人手中才能發(fā)揮最大效力。”

分工合作

許多數(shù)學(xué)家可能會(huì)因?yàn)闊o法理解他們證明中的每一個(gè)細(xì)節(jié)而感到不安，但我們已經(jīng)有非常成功的研究計(jì)劃的例子，在這些計(jì)劃中，沒有人可以把每一個(gè)細(xì)節(jié)都記在腦子里。例如，在粒子物理學(xué)領(lǐng)域，有3000多名作者在論文中宣布發(fā)現(xiàn)了希格斯玻色子，這是一項(xiàng)耗資數(shù)十億美元的科學(xué)實(shí)驗(yàn)的最高成就。即使在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在20世紀(jì)的過程中，也有100多名研究人員為一項(xiàng)大規(guī)模證明做出了貢獻(xiàn)——填滿了10000多頁——將重要對(duì)象分類為有限單群。

AI將使這種數(shù)學(xué)項(xiàng)目成為常態(tài)而不是例外，將主題轉(zhuǎn)變?yōu)閺?qiáng)調(diào)實(shí)驗(yàn)的大型合作，并有可能提出以前無法提出的問題。

2024年秋天，為了展示未來可能是什么樣子，加州大學(xué)洛杉磯分校的陶哲軒（Terence Tao）啟動(dòng)了方程理論項(xiàng)目 https://terrytao.wordpress.com/2024/10/12/the-equational-theories-project-a-brief-tour/ 。首先，他考慮了一個(gè)叫做原群（magma）的簡單數(shù)學(xué)對(duì)象：一組元素，以及將集合中任意兩個(gè)元素組合成第三個(gè)元素的規(guī)則。（該規(guī)則可能是加法、乘法或不太熟悉的運(yùn)算。數(shù)學(xué)中最核心的對(duì)象之一，稱為群，是一種特殊類型的原群。參閱

然后，陶哲軒提出了數(shù)千個(gè)命題，描述了任何給定原群中的元素可能的行為。例如，元素可能是可交換的，這意味著你組合它們的順序無關(guān)緊要?；蛘邔⒃嘏c自身組合在一起可能總是會(huì)得到相同的元素。陶哲軒說，每個(gè)命題“本身就是一個(gè)無聊的東西”。但他想了解所有這些命題是如何相互關(guān)聯(lián)的。如果原群滿足一個(gè)命題，它可能還必須滿足一系列其他命題，但不能滿足別的命題。

所有命題中有2200萬種可能的含義，陶哲軒想評(píng)估每一個(gè)命題是真是假?！澳惆堰@些方程式的景觀看作一件大事，你正在研究這個(gè)景觀本身，”阿爾伯塔大學(xué)的亞當(dāng)·托帕斯（Adam Topaz）說，他沒有參與這個(gè)項(xiàng)目?！皼]有計(jì)算機(jī)，我們就無法做到這一點(diǎn)?！?/p>

在幾個(gè)月內(nèi)，50多名參與者（其中許多是業(yè)余愛好者）證明了幾乎所有2200萬條蘊(yùn)含命題的真假。有些人使用了AI；其他人則手工解決。最終，該項(xiàng)目于2025年4月完成 https://mathstodon.xyz/@tao/114337393836459074 ，開辟了數(shù)學(xué)提問的新領(lǐng)域，否則看起來根本不會(huì)有趣。

這讓我們看到了AI輔助數(shù)學(xué)研究的一絲光芒?！拔磥?，當(dāng)我們探索數(shù)學(xué)的一個(gè)領(lǐng)域時(shí)，你可以首先讓一個(gè)AI來探索數(shù)百萬個(gè)問題，并獲得一些初步的景觀，”陶哲軒說?！爸皇琴|(zhì)量很低。但這將引導(dǎo)更老練的人類說，‘好吧，現(xiàn)在，根據(jù)這種實(shí)驗(yàn)，我們應(yīng)該將我們的人力資源用在這里?！?/p>

“這是一種更分散的方法，”渥太華大學(xué)的瑪雅·弗雷澤（Maia Fraser）說?；蛘?，正如荷蘭萊頓大學(xué)的人類學(xué)家和歷史學(xué)家羅德里戈·奧內(nèi)加梅（Rodrigo Ochigame）所說，“它具有這種不守紀(jì)律、實(shí)驗(yàn)性、自力更生的性格?！?/p>

“我們會(huì)更像物理學(xué)家，”格蘭維爾說?！拔覀儍A向于先說出我們的猜測，然后希望它是正確的。這是一種非常不同的方法，你很多時(shí)候都錯(cuò)了，你只是偶爾希望你能達(dá)到目標(biāo)?！?/p>

數(shù)學(xué)家陶哲軒提出了他的“方程理論項(xiàng)目”，以測試一個(gè)更具協(xié)作性、實(shí)驗(yàn)性、人工智能驅(qū)動(dòng)的未來會(huì)是什么樣子。

圖源：Reed Hutchinson

因此，與物理學(xué)和其他實(shí)驗(yàn)室科學(xué)一樣，數(shù)學(xué)也可能涉及更多的分工。目前，數(shù)學(xué)家負(fù)責(zé)從頭到尾執(zhí)行所有數(shù)學(xué)任務(wù)：提出新想法、證明引理和定理、撰寫證明并傳達(dá)它們。隨著AI的出現(xiàn)，這種情況很可能會(huì)改變。一些數(shù)學(xué)家可能會(huì)繼續(xù)手工做數(shù)學(xué)，而AI系統(tǒng)的能力存在差距。

其他數(shù)學(xué)家可能負(fù)責(zé)開發(fā)理論進(jìn)行測試，或?qū)⒉孪敕g成計(jì)算機(jī)語言，以便AI和驗(yàn)證系統(tǒng)可以投入使用，或確保AI所證明的實(shí)際上是數(shù)學(xué)家想要證明的（這是一項(xiàng)非常艱巨的任務(wù)），或在項(xiàng)目的眾多合作者之間進(jìn)行協(xié)調(diào)，或向他人解釋自動(dòng)證明?！霸谖锢韺W(xué)或化學(xué)中，有人提出理論，有人做實(shí)驗(yàn)，他們都重視對(duì)方，”烏得勒支大學(xué)和Lean研究組織的數(shù)學(xué)家約翰·科梅林（Johan Commelin）說?！八赡軙?huì)開始看起來更像那樣。”

“我們將看到更多的小組項(xiàng)目，其中沒有一個(gè)人知道正在發(fā)生的一切，但人們可以集體完成比任何個(gè)人都多得多的成就，”陶說?！斑@就是現(xiàn)代世界其他部分的運(yùn)作方式?！?/p>

數(shù)學(xué)的終結(jié)？

了解到什么算作重要的數(shù)學(xué)問題往往是一個(gè)品味問題，這可能會(huì)讓人感到驚訝。從深遠(yuǎn)的角度來看，“什么是數(shù)學(xué)”這個(gè)問題與“數(shù)學(xué)家認(rèn)為什么很重要”這個(gè)問題是一樣的。

根據(jù)Venkatesh的說法，解決某些數(shù)學(xué)問題越容易，數(shù)學(xué)家就越不重視這些問題 https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01834-5/viewer/ ?！斑@就像高級(jí)時(shí)裝，”DeepMind的研究員Alex Davies說?！耙坏┠銚碛辛俗屓藗兒苋菀捉佑|到高級(jí)時(shí)裝的技術(shù)，它成為大眾市場，那么它就會(huì)變得不那么時(shí)尚。高級(jí)時(shí)尚人士去做其他事情?！?/p>

AI系統(tǒng)可能更適合某些問題，這使得這些問題本身就不那么有趣。目前尚不清楚哪些學(xué)科可能會(huì)先落下。例如，尋找函數(shù)的最優(yōu)解的問題曾經(jīng)是純數(shù)學(xué)中更核心的部分，與微積分、代數(shù)和其他領(lǐng)域緊密交織在一起。

但在20世紀(jì)中葉，隨著基于計(jì)算機(jī)的技術(shù)發(fā)展，優(yōu)化證明往往被簡化為計(jì)算。重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到這些技術(shù)的應(yīng)用上，因此今天，雖然優(yōu)化問題仍然很重要，但它們更多地屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域——這個(gè)領(lǐng)域不是為了它們本身而涉及對(duì)思想或概念的研究，而是旨在將它們用作實(shí)現(xiàn)特定、實(shí)際目的的手段。

AI可能特別適合于最優(yōu)化和其他領(lǐng)域中往往更具體或傾向于重復(fù)使用相同類型的證明技術(shù)的問題。例如，一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為人工智能可能會(huì)改變組合學(xué)，即計(jì)數(shù)的數(shù)學(xué)研究。其他數(shù)學(xué)家認(rèn)為，最容易自動(dòng)化的學(xué)科是那些涉及更多符號(hào)表示的學(xué)科，例如代數(shù)。

盡管如此，如果AI足夠好，可以解決其中一些領(lǐng)域的問題，那么可能沒有什么可以阻止它最終擅長所有領(lǐng)域的問題。在那個(gè)未來，數(shù)學(xué)家可以把注意力集中在其他事情上?！拔蚁嘈臕I將能夠證明很多事情，但數(shù)學(xué)家只會(huì)改變他們工作的抽象層次，”Topaz說。

例如，在使用AI的過程中，Litt已經(jīng)意識(shí)到，比他所意識(shí)到的要多得多的數(shù)學(xué)知識(shí)是關(guān)于了解大量事實(shí)并以有趣的方式將它們組合在一起，而不是靈光乍現(xiàn)。“我某種程度認(rèn)為，很多困難的事情更多的是關(guān)于你的工作記憶和知識(shí)，而不是創(chuàng)造力，”他說。

“這動(dòng)搖了我的信心，因?yàn)槲颐靼孜覀冏鍪裁?，或者什么是?yōu)秀的數(shù)學(xué)家?，F(xiàn)在我認(rèn)為我所做的大部分工作是將一些以標(biāo)準(zhǔn)方式已知的事實(shí)放在一起。然后每隔一段時(shí)間，我所做的實(shí)際上就會(huì)有創(chuàng)意部分。我做一個(gè)類比或發(fā)展一個(gè)新的定義?！?/p>

這意味著“我所做的很多事情都是機(jī)器觸手可及的，”他補(bǔ)充說。

也許數(shù)學(xué)家會(huì)把大部分時(shí)間花在試圖理解AI系統(tǒng)生成的證明上——這項(xiàng)任務(wù)需要大量的時(shí)間、精力和聰明才智。哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)家馬克·基辛（Mark Kisin）預(yù)計(jì)，該領(lǐng)域可能會(huì)在未來10到100年內(nèi)轉(zhuǎn)變?yōu)楦咏宋膶W(xué)科?！叭绻憧创髮W(xué)的一個(gè)典型的英語系，它通常不是由寫文學(xué)作品的人組成的，”他說。“它的工作人員都是批評(píng)文學(xué)的人?！?/p>

同樣，他說，數(shù)學(xué)家可能會(huì)扮演批評(píng)家的角色，他們仔細(xì)分析AI證明，然后在研討會(huì)上教授它們。羅南·埃爾丹（Ronen Eldan）是一位數(shù)學(xué)家，最近離開了魏茨曼科學(xué)研究所去了OpenAI，他回憶起另一位數(shù)學(xué)家在一次談話中的預(yù)測，“今天的數(shù)學(xué)家將像鋼琴家一樣，”他說?！八麄儾谎葑嘧约旱淖髌?，但人們?nèi)匀粊砺??！?/p>

即便如此，數(shù)學(xué)家也有很多工作要做，從提出新的定義和抽象到?jīng)Q定哪些新的研究方向最值得追求。“我很難想象指導(dǎo)數(shù)學(xué)課程的基本創(chuàng)造性工作不是由人類完成的，”約翰霍普金斯大學(xué)的艾米莉·里爾（Emily Riehl）說。

盡管如此，數(shù)學(xué)家設(shè)想的潛在變化是深遠(yuǎn)的?！皬哪撤N意義上說，這將是目前實(shí)踐的數(shù)學(xué)研究的終結(jié)，”利特說。“但這并不意味著這將是數(shù)學(xué)家的終結(jié)。”

“我認(rèn)為這會(huì)對(duì)我的自尊心造成打擊，但我不認(rèn)為我會(huì)為此感到非常沮喪，”他補(bǔ)充道?！叭绻幸粋€(gè)大語言模型可以證明黎曼假設(shè) https://www.youtube.com/watch?v=zlm1aajH6gY 并向我解釋證明，我仍然會(huì)非常高興地學(xué)習(xí)它。大多數(shù)情況下，我想在數(shù)學(xué)中做的是理解什么是真的以及為什么它是真的?！?/p>

“在過去的50年里，我們有點(diǎn)處于靜止的環(huán)境中。我們可以繼續(xù)做我們正在做的事情，”Venkatesh說?！暗覀儾荒茉龠@樣做了。”

參考資料

https://www.quantamagazine.org/mathematical-beauty-truth-and-proof-in-the-age-of-ai-20250430/

https://www.quantamagazine.org/series/science-in-the-age-of-ai/

https://www.cs.cornell.edu/courses/cs4860/2012fa/MacKenzie-TheAutomationOfProof.pdf

https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x

https://www.quantamagazine.org/building-the-mathematical-library-of-the-future-20201001/

https://deepmind.google/discover/blog/ai-solves-imo-problems-at-silver-medal-level/

https://www.gutenberg.org/ebooks/59

http://mitp-content-server.mit.edu:18180/books/content/sectbyfn?collid=books_pres_0&fn=9780262013178_sch_0001.pdf&id=8197

https://www.ams.org/journals/bull/2022-59-01/S0273-0979-2021-01726-5/viewer/

https://arxiv.org/abs/2405.04699

https://terrytao.wordpress.com/2024/10/12/the-equational-theories-project-a-brief-tour/

https://mathstodon.xyz/@tao/114337393836459074

https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01834-5/viewer/

https://www.youtube.com/watch?v=zlm1aajH6gY

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