數(shù)學(xué)與物理的相互塑造

數(shù)學(xué)與物理之間存在著深刻的共生關(guān)系：數(shù)學(xué)為物理現(xiàn)象的描述與預(yù)測(cè)提供語言和工具，而物理則不斷激發(fā)新的數(shù)學(xué)概念的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展。物理學(xué)中的許多重大突破，都建立在精密的數(shù)學(xué)框架之上。

歷史上，數(shù)學(xué)與物理之間的這種互動(dòng)關(guān)系屢見不鮮。而在當(dāng)今的量子場(chǎng)論和宇宙學(xué)等前沿領(lǐng)域，這種動(dòng)態(tài)關(guān)系依舊延續(xù)，在這些領(lǐng)域中，新的數(shù)學(xué)思想與基礎(chǔ)物理問題正緊密交織在一起。

在一項(xiàng)于近期發(fā)表在《美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)通訊》上的研究中，兩名數(shù)學(xué)家就探討了代數(shù)幾何、代數(shù)分析與組合學(xué)在交叉領(lǐng)域的最新發(fā)展，以及它們?cè)谖⒂^粒子物理學(xué)和宏觀宇宙學(xué)中的應(yīng)用。

費(fèi)曼圖

粒子物理學(xué)研究的是構(gòu)成物質(zhì)與輻射的基本粒子及其相互作用。在數(shù)學(xué)上，散射振幅用于衡量這些相互作用中特定結(jié)果發(fā)生的概率；在實(shí)驗(yàn)上，物理學(xué)家通過粒子加速器來研究這些過程。粒子物理學(xué)家希望通過研究這些相互作用，來解答一些關(guān)于宇宙本質(zhì)的最基本問題：宇宙是如何誕生的？由什么構(gòu)成？未來又將如何演化？

20世紀(jì)40年代，理查德·費(fèi)曼（Richard Feynman）提出了用圖示法來計(jì)算散射振幅。現(xiàn)如今，費(fèi)曼圖已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于幾乎所有基本相互作用的計(jì)算中，涵蓋強(qiáng)相互作用、弱相互作用和電磁相互作用，無論是在高能物理還是低溫與凝聚態(tài)體系下。

費(fèi)曼圖被廣泛應(yīng)用于幾乎所有基本相互作用的計(jì)算中，這里展示的是電磁相互作用：它們?nèi)坑赏环N載力粒子——光子傳遞。然而，即便由相同的粒子傳遞，相互作用的結(jié)果仍可能表現(xiàn)為吸引、排斥，或其他更復(fù)雜的形式。（圖/V. S. de Carvalho and H. Freire, Nucl. Phys. B, 2013）

然而，費(fèi)曼的圖示法存在一些根本性的局限。首先，這種方法只有在像電磁力和弱核力這類耦合常數(shù)較小的相互作用中比較有效。在這些情況下，隨著計(jì)算的圖越來越多、越來越復(fù)雜，結(jié)果會(huì)逐漸逼近真實(shí)的物理答案。其次，我們無法僅靠增加計(jì)算項(xiàng)數(shù)就無限接近精確答案，費(fèi)曼圖方法展開的并不是一個(gè)收斂級(jí)數(shù)，而是一個(gè)漸近級(jí)數(shù)。當(dāng)超過某個(gè)計(jì)算項(xiàng)數(shù)后，繼續(xù)增加項(xiàng)反而會(huì)讓結(jié)果偏離正確答案。

超越費(fèi)曼圖的正幾何

費(fèi)曼圖的復(fù)雜性和局限性促使科學(xué)家尋找新的語言。2013年，理論物理學(xué)家尼馬·阿爾坎尼·哈米德（Nima Arkani-Hamed）和合作者提出了一種全新的幾何對(duì)象——振幅多面體（amplituhedron），用于在一種特殊的量子場(chǎng)論中計(jì)算散射振幅。

在這一幾何視角下，散射振幅不再需要拆分成無數(shù)費(fèi)曼圖逐項(xiàng)相加，而是直接通過一個(gè)只依賴于粒子初始態(tài)和末態(tài)的純幾何結(jié)構(gòu)來得到。這種方法避免了追蹤粒子在時(shí)空中的復(fù)雜演化過程。

振幅多面體只是更廣闊的一個(gè)領(lǐng)域——正幾何——的一個(gè)典型例子。正幾何是近年來興起的跨學(xué)科領(lǐng)域，涉及：

• 代數(shù)幾何：通過多項(xiàng)式方程組的解來定義形狀與空間；

• 代數(shù)分析：通過一種叫D-模的數(shù)學(xué)對(duì)象研究微分方程；

• 組合學(xué)：用來描述這些結(jié)構(gòu)的排列與相互作用。

正幾何的核心思想是：一些關(guān)鍵的物理可觀測(cè)量（如散射振幅），可以被編碼在某些優(yōu)美的幾何對(duì)象（如振幅多面體）中。

這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是一個(gè)高維幾何對(duì)象，用于可視化振幅多面體。只要能計(jì)算出特定棱所投影面體的體積，就能得知相應(yīng)系統(tǒng)的散射振幅——這是一項(xiàng)巨大的數(shù)學(xué)進(jìn)展，并且在原理上與真實(shí)物理系統(tǒng)緊密相關(guān)。（圖/Jgmoxness/Wikimedia Commons）

宇宙的幾何語言

令人驚奇的是，這套幾何語言不僅適用于微觀的粒子世界，也延伸到了宏觀的宇宙學(xué)。

宇宙學(xué)的一個(gè)基本任務(wù)，是理解物質(zhì)和能量在不同時(shí)刻的分布。在實(shí)驗(yàn)室里，物理學(xué)家依靠粒子加速器進(jìn)行高能粒子碰撞實(shí)驗(yàn)，來研究基本粒子的相互作用。但從某種意義上說，大爆炸本身就是一場(chǎng)更為宏大的“實(shí)驗(yàn)”，并將“實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)”留在了今天的天空中——比如宇宙微波背景和星系的分布等。

如果我們想從這些數(shù)據(jù)中提取有用的信息，就需要新的數(shù)學(xué)工具。在理論上，宇宙學(xué)家使用“宇宙學(xué)相關(guān)器”來模擬早期宇宙初始條件的統(tǒng)計(jì)特性，這類似于用散射振幅描述粒子的碰撞。

而正如散射振幅可以用振幅多面體的幾何結(jié)構(gòu)直接給出，宇宙學(xué)相關(guān)器也可以通過正幾何中的宇宙學(xué)多面體（cosmological polytopes）來重建。這種幾何方法為我們提供了一條全新的思路去重建支配宇宙起源的物理規(guī)律。

數(shù)學(xué)架起的橋梁

作者指出，未來需要數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家共同努力，深入研究這些新興的幾何對(duì)象和理論。令人振奮的是，已有的合作表明，這些方向不僅能加深我們對(duì)物理世界的理解，也能推動(dòng)數(shù)學(xué)本身的發(fā)展。

正幾何不僅是一種工具，更是一種語言——一種或許能在所有尺度上統(tǒng)一我們對(duì)自然理解的語言。

#參考來源：

https://www.ams.org/journals/notices/202508/noti3220/noti3220.html?adat=September

https://www.mpg.de/25215172/the-shape-of-the-universe-revealed-through-algebraic-geometry

https://bigthink.com/starts-with-a-bang/positive-geometry-theory-of-everything/

#圖片來源：

封面圖&首圖：Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences