|作者：楊昂1　郭彥良2　應(yīng)磊1，?

(1 浙江大學(xué)物理學(xué)院)

(2 因斯布魯克大學(xué)實驗物理系)

本文選自《物理》2025年第9期

01

引 言

混沌，是自然界中最常見卻最神秘的現(xiàn)象之一。它廣泛存在于數(shù)學(xué)、物理、生物、生態(tài)、氣象乃至經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中?；煦绮⒉灰馕吨兇獾臒o序，而是指一種對初始條件極端敏感的動力學(xué)過程：哪怕最細(xì)微的初始差別，經(jīng)過時間放大，都可能演變成截然不同的結(jié)果，且難以被重復(fù)。人們常用“蝴蝶效應(yīng)”來形容這種特征：一只蝴蝶在南美洲扇動翅膀，幾周后可能在北美引發(fā)龍卷風(fēng)。也可以想象為宇宙初始時刻那種混沌未分、模糊難辨的狀態(tài)。在經(jīng)典物理中，混沌與“熱化”密切相關(guān)。所謂熱化，就是孤立系統(tǒng)隨著時間演化逐漸喪失初始信息，最終趨于一個平穩(wěn)、均衡的狀態(tài)。不同形狀的冰塊最終都會融化成相同的一灘水，空氣中的花粉擴(kuò)散后終將均勻分布，這些都是“遍歷性”的體現(xiàn)——系統(tǒng)在長期演化中幾乎走遍所有可能的狀態(tài)，最終歸于平衡。而混沌正是保證這種遍歷性的常見機制。

那么，量子系統(tǒng)是否也像經(jīng)典系統(tǒng)一樣必然熱化呢？這是一個自量子力學(xué)誕生以來一直存在的核心問題。根據(jù)“本征態(tài)熱化假設(shè)(ETH)”，孤立量子系統(tǒng)的高能本征態(tài)本身就等同于熱平衡態(tài)，因而系統(tǒng)最終將不可避免地?zé)峄痆1]。然而，近年的研究卻揭示了許多“叛逆”的例外：例如多體局域化系統(tǒng)，即便演化極久也不熱化[2]；還有一些奇特的“量子疤痕態(tài)”，它們在演化中頑固地保留著初始態(tài)的記憶[3]。

更引人關(guān)注的是，當(dāng)持續(xù)向量子系統(tǒng)輸入外部能量時，它會怎樣演化？直覺告訴我們：無論宏觀還是微觀系統(tǒng)，持續(xù)驅(qū)動都會使它更快失序，最終熱化到無限溫度。然而，這種直覺真的總是正確的嗎？

02

受擊轉(zhuǎn)子——混沌的優(yōu)雅起點

在深入理解量子多體系統(tǒng)之前，我們不妨從最簡單的情況出發(fā)，即單粒子的動力學(xué)行為。在針對混沌與熱化現(xiàn)象的研究中，有一個堪稱教科書級別的經(jīng)典模型：周期性受擊轉(zhuǎn)子(kickedrotor)[4，5]。它描述了這樣一個系統(tǒng)：一根可以自由旋轉(zhuǎn)的“轉(zhuǎn)子”，每隔一段時間就被沿著轉(zhuǎn)動方向猛擊一次，就像你定期用手指彈撥一個陀螺或者周期性踢擊一個轉(zhuǎn)子(圖1(a))。這個模型也可以 等效地理解為，一個粒子在一個周期性出現(xiàn)的正弦勢場中自由運動，受到周期性的激發(fā)。通過適當(dāng)?shù)膯挝粴w一化，這個系統(tǒng)的經(jīng)典哈密頓量可以寫為[5]

其中

p

分別代表粒子的動量與坐標(biāo)，

K

代表踢擊的強度，

n

代表踢擊次數(shù)也即時間。

在經(jīng)典物理框架下，人們通過構(gòu)造一個名為“標(biāo)準(zhǔn)映射”的數(shù)學(xué)描述，揭示了系統(tǒng)在不同踢擊強度下的狀態(tài)演化：

當(dāng)踢擊較弱時，系統(tǒng)的相空間軌跡還相對“有序”，粒子運動受限在一個個穩(wěn)定的軌道環(huán)中，就像被困在一個個“保護(hù)殼”里，如圖1(b)所示。該系統(tǒng)雖然不可積，但可以容忍外界的擾動，遵循所謂的Kolmogorov—Arnold—Moser 定理。但是，當(dāng)踢擊強度超過某個臨界值(

K

c ≈0.971)后(圖1(c))，這些軌道結(jié)構(gòu)被徹底打破，系統(tǒng)進(jìn)入一種高度敏感、徹底混亂的狀態(tài)，稱為“混沌海”(圖1(d))。 在這個狀態(tài)下，粒子的動能隨著時間 呈線性增長，也就是說，它會無限地“被加熱”，展現(xiàn)出擴(kuò)散行為。

圖1 (a)周期性受擊轉(zhuǎn)子示意圖(圖片源自網(wǎng)絡(luò)并經(jīng)過修改)；(b—d)標(biāo)準(zhǔn)映射得到的經(jīng)典受擊轉(zhuǎn)子在相空間的軌跡，踢擊強度分別為

K

=0.2 (b)，0.971 (c)，5.5 (d)(圖源自文獻(xiàn)[5]并經(jīng)過修改)

03

動力學(xué)局域化

然而，當(dāng)我們把這個模型推廣到單體的量子系統(tǒng)時，結(jié)果卻有顯著的變化。將受擊轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行量子化后，可以得到所謂的量子受擊轉(zhuǎn)子(quantum kicked rotor，QKR)[5]。直覺上，當(dāng)踢擊強度K很大時，人們?nèi)匀黄诖憩F(xiàn)出類似的擴(kuò)散現(xiàn)象，畢竟它也在持續(xù)受到周期性的激發(fā)。但實驗和理論研究卻發(fā)現(xiàn)，在一定條件下，這個量子系統(tǒng)并不熱化，其動能在經(jīng)歷一段短暫增長之后便停止下來，趨于一個穩(wěn)定值，如圖2(a)所示，這一現(xiàn)象被稱為動力學(xué)局域化(dynamical localization)。這是一種由量子相干性帶來的“凍結(jié)效應(yīng)”。雖然系統(tǒng)持續(xù)被踢打、被激發(fā)，但量子干涉卻抑制了能量的吸收，使動量被“局域”在某個有限的范圍內(nèi)。這種局域化的動量分布呈現(xiàn)出指數(shù)型衰減(圖2(b))，與物理學(xué)中著名的安德森局域化極為相似，只不過發(fā)生的空間從“位形空間”換成了“動量空間”。

圖2 (a)經(jīng)典受擊轉(zhuǎn)子(黑色)與量子受擊轉(zhuǎn)子(藍(lán)色)的動能隨時間的演化；(b)量子受擊轉(zhuǎn)子的Floquet本征態(tài)在動量空間中的衰減[5]

事實上，通過數(shù)學(xué)映射，量子受擊轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的確可以等效為動量空間的安德森局域化：動量態(tài)之間的耦合相當(dāng)于粒子在無序晶格中的格點間散射跳躍；而周期驅(qū)動帶來的相因子在某種意義上起到了“無序勢場”的作用，造成了量子干涉下的局域化行為。在過去三十年里，單體物理下的動力學(xué)局域化已在冷原子實驗和理論研究中被反復(fù)驗證[6—10]。

然而，現(xiàn)實中的物理系統(tǒng)通常由數(shù)以萬計的相互作用的粒子組成。相互作用幾乎總是導(dǎo)致多體動力學(xué)的隨機化，驅(qū)動相互作用的量子多體系統(tǒng)會進(jìn)一步增加復(fù)雜性。在位形空間的接觸相互作用雖然是短程的，但是在動量空間的耦合卻是長程的，因為任意兩個動量的粒子在位形空間都會發(fā)生碰撞。粒子之間的相互作用導(dǎo)致了多體糾纏，這樣的多體系統(tǒng)在持續(xù)的強烈外部驅(qū)動下，是否還會存在局域化的行為呢？是否存在這樣一個量子多體系統(tǒng)，通過其量子相干性，能在長時間的外部驅(qū)動下抑制熱化、抑制退相干呢？

04

多體動力學(xué)局域化的實驗觀測

為了探究動力學(xué)局域化能否在相互作用存在的情況下保持穩(wěn)定，研究者引入了量子受擊轉(zhuǎn)子的多體版本，即受周期性踢擊的相互作用的一維Lieb—Liniger玻色氣體。其中封閉的一維Lieb—Liniger玻色氣體是可積模型，可以通過貝特擬設(shè)的方法嚴(yán)格求解[11]。此前，在理論上已有研究通過平均場方法提出了動力學(xué)局域化的破壞[12—14]，在隨后的系列實驗中，如在弱相互作用一維玻色氣體[15]、強相互作用三維玻色氣體[16]的冷原子實驗中，看到了相互作用會破壞動力學(xué)局域化的現(xiàn)象。但是，最新理論研究表明[17—21]，動力學(xué)局域化可能存在于更強的原子間相互作用下的多體量子系統(tǒng)中，即所謂的多體動力學(xué)局域化(many-body dynamical localization，MBDL)。這也就引出了這個令人難以琢磨的現(xiàn)象：驅(qū)動強關(guān)聯(lián)多體系統(tǒng)未必會導(dǎo)致混沌動力學(xué)或熱化狀態(tài)。

2025年，中國理論物理學(xué)者與奧地利冷原子實驗團(tuán)隊合作，首次在超冷原子平臺上報道了強相互作用下多體動力學(xué)局域化的觀測結(jié)果[22]，并通過理論分析與數(shù)值模擬予以驗證。研究者首先將玻色—愛因斯坦凝聚體(BEC)裝載入由二維光晶格構(gòu)成的窄一維管道陣列中(圖3(a))，形成晶格的激光束在

y

水平面內(nèi)以直角相交傳播，長度相對于原子的勢阱深度很長，兩個相鄰一維管之間沒有隧穿，使得各個管道可視為獨立的一維系統(tǒng)。憑借銫原子得天獨厚的費希巴赫共振譜線，通過調(diào)節(jié)沿垂直

z

方向的磁場

B

可以調(diào)控粒子間的三維散射長度，進(jìn)而改變一維玻色氣體的相互作用Lieb—Liniger常數(shù)

[23] ，并借助磁場梯度抵消重力作用使原子懸浮起來。通過選取

值在0至11之間，研究者實現(xiàn)了從無相互作用的玻色氣體到強相互作用的Tonks—Girardeau氣體 [24，25] 的完整覆蓋。沿

z

方向的脈沖駐波被周期性地施加在一維陣列中，作為踢擊項，形成多體的量子受擊轉(zhuǎn)子。在整個演化過程結(jié)束后，研究者關(guān)掉粒子間相互作用，并關(guān)掉所有的外部勢阱，再通過20 ms飛行時間的吸收成像技術(shù)，得到玻色氣體沿

z

方向的一維動量分布

n

k

)，實驗流程如圖3(b)所示。現(xiàn)在，讓我們回看每個“管子”中的原子。如圖3(c)所示，這些完全相同的原子在外界駐波周期性開啟和關(guān)閉的“踢擊”下不斷相互碰撞。直觀來看，它們的運動規(guī)律似乎會變得復(fù)雜甚至難以預(yù)測。

圖3　多體動力學(xué)局域化的實驗實現(xiàn) (a)三維玻色—愛因斯坦凝聚體被裝載入由二維光學(xué)晶格(黃色)產(chǎn)生的一維管陣列中，并通過失諧光學(xué)反勢阱(藍(lán)色)進(jìn)行部分補償，量子受擊轉(zhuǎn)子的晶格沿

z

方向；(b)實驗中量子受擊轉(zhuǎn)子的時間序列；(c)強相互作用極限下，四個相互作用的原子在平底勢阱中(橙色)的密度分布(綠色)

在實驗中，經(jīng)過長時間的周期性駐波“踢擊”后，研究者發(fā)現(xiàn)：當(dāng)原子間沒有相互作用時，它們的動量分布會在幾十次脈沖后完全穩(wěn)定下來，表現(xiàn)為指數(shù)型衰減，這正是動力學(xué)局域化的典型特征，如圖4(a)所示。而當(dāng)存在強相互作用時，動量分布在早期階段擴(kuò)展得更明顯，但在大約數(shù)百次的踢擊后也逐漸“凍結(jié)”，動量分布進(jìn)入一種長程衰減的狀態(tài)，也就是所謂的多體動力學(xué)局域化(圖4(b))，這一結(jié)果得到了理論很好的支持。

圖4　一維動量分布的演化過程。實驗測量的無相互作用(a)與強相互作用系統(tǒng)(b)在踢擊強度

K

= 3.3時的動量分布

n

k

)隨踢擊次數(shù)

N

p 的演化

為了探究這種“凍結(jié)”是否真實存在，研究者引入了多個物理量，包括Jensen—Shannon散度、動能與信息熵，來量化不同 時間下動量分布的差異，如圖5所示。不同相互作用、踢擊強度下的結(jié)果一致顯示：無相互作用系統(tǒng)很快會達(dá)到穩(wěn)定，而強相互作用系統(tǒng)雖然演化更久，但最終同樣停滯不前。在不同實驗時刻對比強相互作用下的動量分布，發(fā)現(xiàn)幾乎一模一樣，從而確鑿地證實了多體動力學(xué)局域化的存在。更加耐人尋味的是，當(dāng)把周期性的踢擊改為隨機踢擊時，局域化完全消失了：無論有無相互作用，系統(tǒng)的動能都會像經(jīng)典擴(kuò)散那樣線性增長，動量分布被逐漸“抹平”，最終變得均勻。這就好比一塊有棱角的冰塊逐漸融化，變成了一灘水。由此表明，維持局域化的關(guān)鍵正是量子相干性。

圖5　多體動力學(xué)局域化的證據(jù) (a)無相互作用與強相互作用系統(tǒng)的Jensen—Shannon散度隨踢擊次數(shù)的演化，子圖對比了強相互作用系統(tǒng)踢擊次數(shù)為701和1001次的動量分布；(b，c)不同參數(shù)下系統(tǒng)動能和信息熵隨踢擊次數(shù)的演化，其中黑色三角代表隨機踢擊情況

05

小結(jié)與展望

研究者通過周期性驅(qū)動限制在平底勢阱中的強相互作用玻色氣體，首次觀測并分析了一種名為多體動力學(xué)局域化的多體相。實驗表明，盡管存在周期性驅(qū)動，強相互作用系統(tǒng)的動量分布仍會凍結(jié)并保持其特征的干涉結(jié)構(gòu)。動能與信息熵均呈現(xiàn)受抑制的增長與飽和現(xiàn)象，該量子多體系統(tǒng)并未進(jìn)入熱化與混沌狀態(tài)。無相互作用與強相互作用情況下動量分布的差異，凸顯了周期性驅(qū)動下多體效應(yīng)的影響。

這一發(fā)現(xiàn)不僅挑戰(zhàn)了人們長期以來的認(rèn)識，也讓我們對量子系統(tǒng)的“熱化”機制有了更深的理解。更重要的是，它為研究驅(qū)動下的量子物質(zhì)開辟了新方向，并可能為構(gòu)建更加穩(wěn)定的量子器件和量子信息存儲方式提供新的思路。

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